i gi¸o ¸n phô ®¹o m«n to¸n líp 8 n¨m häc 2009 2010 ch­¬ngi nh©n vµ chia ®a thøc i nh©n ®a thøc nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc ab c ab ac nh©n ®a thøc víi ®a thøc a bc d ac ad bc bd

B×nh ph¬ng cña mét hiÖu... LËp ph¬ng cña mét hiÖu.[r]

ChơngI: Nhân và chia đa thức

I Nhân đa thức

- Nhân đơn thức với đa thức

A(B + C) = AB + AC

- Nhân đa thức với đa thức

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

Ví dụ Thực hiện phép tính:

a) 4x2 (5x3 + 3x  1) )

 

4x 5x 4x 3x 4x 1 4.5 (x x ) (4.3)(x x) (4.1)x 20x 12x 4x

b) 5x 4x x 2 5x x 2 4x x 2 5x x 5x 2 4x.x 4x 2

c) (3x + 4x2 2)(x2 +1) + 2x)=3x(x2 +1) + 2x) + 4x2(x2 +1) + 2x) -2(x2 +1) + 2x)

3x.( x ) 3x.1 3x.2x 4x ( x ) 4x 1 4x 2x 2.( x ) 2.1 2.2x

B i tập: ài tập: 1) ) Tìm x biết:

3x(12x - 4) – 9x(4x - 3) = 30

3x.12x - 3x.4 – 9x.4x – (- 9x).3 = 30

36x2 - 12x – 36x2 + 27x = 30

15x = 30

 x= 2

2)Thực hiện phép tính:

a) (x2- 2x + 3)(

1)

2x - 5) = x2

1)

2x + x2.(- 5)+ (- 2x)

1)

2x + (- 2x).(- 5)+ 3

1)

2x + 3.(- 5) =

1)

2x3 - 6x2 +

23

2 x - 15

b) (x2y2 -

1)

2xy + 2y)(x - 2y) = x2y2.x + x2y22y) +

(-1)

2xy).x +

(-1)

2xy)(-2y) + 2y.x + 2y.(-2y)

= x 3 y 2 - 2x 2 y 3 -

1

2x2 y + xy 2 + 2xy - 4y 2

II Các hằng đẳng thức đáng nhớ

- Bình phơng của một tổng Bình phơng của một hiệu

(A  B)2 = A2  2AB + B2,

- Hiệu hai bình phơng

A2  B2 = (A + B) (A  B),

- Lập phơng của một tổng Lập phơng của một hiệu.

(A  B)3 = A3  3A2B + 3AB2  B3,

- Tổng hai lập phơng Hiệu hai lập phơng

A3 + B3 = (A + B) (A2  AB + B2),

A3  B3 = (A  B) (A2 + AB + B2),

(trong đó: A, B là các số hoặc các biểu thức đại số)

Ví dụ: a) (a + 1 )2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2a + 1

b) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1+ 12 = 2500 + 100 + 1 = 2601

c) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2

d) 992 = (100 - 1)2= 1002 - 2.100.1 + 12= 10000 - 200 + 1= 9801

e) (x - 2y)(x + 2y) =x2 - (2y)2 = x2 - 4y2

f) 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602- 42 = 3600 - 16 = 3584

g) (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 h) 8x3- y3 = (2x)3 -y3 = (2x -y)((2x)2 + 2x.y + y2)= (2x - y)(4x2 +2xy + y2) i) 342 + 662 + 68.66 = 342+ 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2=1002= 10 000

Bài tập:

1) ) Thực hiện phép tính:

(x2  2xy + y2)(x  y) = (x- y)2(x- y) = (x- y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

(x2  xy + y2)(x + y)  2y3 tại x =

4

5 và y =

1)

3 (x2  xy + y2)(x + y)  y3 = x3 + y3 - y3 = x3 thay x =

4

5 và y =

1)

3 ta có:

x 3 =

3 3 3

III Phân tích đa thức thành nhân tử

+ Phơng pháp đặt nhân tử chung

+ Phơng pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phơng pháp nhóm hạng tử

+ Phối hợp các phơng pháp phân tích thành nhân tử ở trên

Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) ) 1) 5x2y + 20xy2  25xy = 5xy.3x + 5xy.4y - 5xy.5 = 5xy(3x + 4y - 5)

2) a 1)  2y + y2 = 1) 2 - 2.1) y + y2 = (1) - y)2;

b 27 + 27x + 9x2 + x3 = 33 + 3.32.x + 3.3.x2 + x3 = (3 + x)3 ;

c 8  27x3 = 23 - (3x)3 = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x2)

d 1)  4x2 = 1) 2 - (2x)2 = (1) - 2x)(1) + 2x);

e.(x + y)2  25 = (x + y)2 - 52 = (x+ y + 5)(x + y - 5) ;

3) a 4x2 + 8xy  3x  6y = (4x2 + 8xy) - (3x + 6y) = 4x(x + 2y) - 3(3 + 2y) = (x + 2y)(4x - 3);

b 2x2 + 2y2  x2z + z  y2z  2 = (2x2 + 2y2 - 2) - (x2z + y2z - z)

= 2(x2 + y2 - 1) ) - z(x2 + y2 - 1) ) = (x2 + y2 - 1) )(2 - z)

4)a) 3x2  6xy + 3y2 = 3(x2 - 2xy + y2) = 3(x - y)2;

b) 1) 6x3 + 54y3 = 2(8x3 + 27y3)

2 2x 3y 4x 6xy 9y

; c) x2  2xy + y2  1) 6 = (x2 - 2xy + y2) - 42 = (x - y)2 - 42 = (x - y + 4)(x - y - 4);

Bài tập: 1) Tính nhanh:

a)34.76 + 34.24 = 34( 76 + 24 ) = 34.1) 00 = 3400

b)1) 052 – 25 = 1) 052 – 52 = ( 1) 05 + 5)(1) 05 – 5)= 1) 1) 0.1) 00 = 1) 1) 000

c)1) 5.64+ 25.1) 00+ 36.1) 5+ 60.1) 00

1) 5.64+ 25.1) 00+ 36.1) 5+ 60.1) 00 = (1) 5.64+ 36.1) 5)+ (25.1) 00+ 60.1) 00)

= 1) 5(64+ 36)+ 1) 00(25+ 60) = 1) 5.1) 00+ 1) 00.85 = 1) 00.1) 00 = 1) 0 000

2 Tìm x biết:

3x2 – 6x = 0 ⇔3x(x – 2) = 0 ⇔ 3x = 0 hoặc x – 2 = 0 ⇔x = 0 hoặc x = 2 Vậy khi x = 0 hoặc x = 2

3 Tính giá trị của biểu thức x22x 1 y2tại x = 94,5 và y = 4,5

x22x 1 y2= (x2 2x1) y = (x +1) 2 2  y2 (x 1 y x)(  1 y)

Với x = 94,5, y = 4,5 ta có: 94,5 1 4,5 94,5 1 4,5         100.91 9100 

4 Phân tich đa thức thành nhân tử:

x6  x4 + 2x3 + 2x2 = x2(x4- x2 + 2x + 2)

2 2

IV Chia đa thức.

- Chia đơn thức cho đơn thức

- Chia đa thức cho đơn thức

Ví dụ Làm phép chia :

3 2

7 2 5

) x : x

5 ) 20 : 12

3







d) (1) 5x2y3  1) 2x3y2) : 3xy =1) 5x2y3 : 3xy - 1) 2x3y2 : 3xy

= (1) 5:3).(x2:x).(y3:y) - (1) 2:3).(x3:x).(y2:y) = 5xy2 - 4x2y



3 2

2

2

e) x - x 7 3 3

x - 3x x 2 1

2x 7 3

2x 6

3 3

0

x x

x x x

Bài tập: Làm phép chia :

a) (3x y 6x y  12xy) : 3xy xy 2xy  4

b) (2x4 - 3x3- 3x2 + 6x - 2): (x2 - 2)







3 2

3

2 2

2 4 2 3 1

3 6

x 2

x 2

x x x x x x x x x x x x x 0

Vậy: 2x4 3x3 3x2  6x  2 = (x2 2)(2x2 3x 1) c) Tìm số a để đa thức x3- 3x2 + 5x + a chia hết cho đa thức x-2            3 2 3 2 2 2 2 x - 3x 5 2

x - 2x x 3 - x 5 - x 2 3 3 6 6

x a x x x a x x a x a

Vậy : x3- 3x2 + 5x + a = (x2 - x + 3)(x - 2) + (a + 6) => (x3- 3x2 + 5x + a) ( x - 2) khi a + 6 = 0 => a = -6 ChơngII: Phân thức đại số I Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là một phân thức) là một biểu thức có dạng A B, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0 A đợc gọi là tử thức (hay tử), Bđợc gọi là mẫu thức (hay mẫu)  Hai phân thức bằng nhau . .

A C A D C B B D    Tính chất cơ bản của phân thức

A A M B B M (M là đa thức khác 0)

: :

A A N

B B N (N là nhân tử chung)

 Rút gọn phân thức

Nhận xét: để rút gọn 1) phân thức ta có thể:

+ Phân tích cả mẫu và tử thành nhân tử (nếu cần)

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

* Để tìm MTC ta có thể làm nh sau:

- Phân tích MT của các phân thức thành nhân tử

- MTC là một tích gồm:

+ Nhân tử bằng số ở các mẫu

+ Với mỗi luỹ thừa của một biểu thức có mặt trong mẫu thức ta chọn luỹ thừa

có số mũ cao nhất

 Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thứcta có thể làm nh sau:

- Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

- Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức(chia mẫu thức chung cho mẫu thức của mỗi phân thức)

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân với nhân tử phụ tơng ứng

Ví dụ a)

2

3 2

3

xy  y Vì 3x y y2 .2 2 6x y2 3;6xy x3. 6x y2 3

b)

x





2 2





c) Rút gọn các phân thức:

*)

xy  xy xy  y

*)





2

d) Qui đồng mẫu thức

5 3

5

7 12x y

MTC:12x y5 4

*) 5 3 5 3 5 4

x y x y 12y 12x y

*)

3 4 3 4 2 5 4

12x y 12x y x 12x y

Bài tập:



2 3 2







b) Rút gọn các phân thức:

*)

2

2

x

*)

2 2

( 1)( 1)



x xy x y x x y x y

x xy x y x x y x y

c) Qui đồng mẫu thức hai phân thức:

2 

3

5 2x 10

2

x  5x x(x  5) ;

2x 10  2(x  5)

MTC = 2x(x- 5)

*) 2

x  5x x(x  5) x(x  5).2 2x(x  5)

*)

2x 10  2(x  5) 2(x  5).x 2x(x  5)

II Cộng và trừ các phân thức đại số

- Phép cộng các phân thức đại số

Cộng hai phân thức cùng mẫu



Cộng hai phân thức có cùng mẫu khác nhau



- Phép trừ các phân thức đại số

Khái niệm phân thức đối của phân thức

A

B (B  ) (là phân thức

A B



và đợc kí hiệu là 

A

B )

* Qui tắc:

Ví dụ Thực hiện các phép tính:

a)

b) 2 2 3

x

c)



2

x

(2)

MTC = (x 3)(x3)

(2)



x



III Nhân và chia các phân thức đại số Biến đổi các biểu thức hữu tỉ.

- Phép nhân các phân thức đại số

+ Quy tắc nhân hai phân thức:

A B

C

D =

A.C B.D

- Các tính chất của phép nhân các phân thức đại số:

A B

C

D=

C D

A

B (tính giao hoán);



   (tính kết hợp);

(tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

- Phép chia các phân thức đại số

*)

A

B có phân thức nghịch đảo là

B A

B

A có phân thức nghịch đảo là

A B

* Qui tắc: SGK

0

C D



- Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

Ví dụ.

a)

3 2 3 3 2 3 2

5 3 3 5 2

8x y 9z 8.9x y z 6x

1) 5z 4xy 1) 5.4xy z 5yz ;

b)



2 2

c) Cho phân thức 2

1

x C







ĐKXĐ:









1

x

x

Bài tập:

.

a

b) Cho phân thức:

2 2

1

x



ĐKXĐ: x2  1 0  x 1

ChơngIII Phơng trình bậc nhất một ẩn

I Khái niệm về phơng trình, phơng trình tơng đơng.

- Phơng trình một ẩn

Một phơng trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

Ví dụ:

a) 2x + 5 = 3 (x - 1) )+ 2

b) (t + 1) )2 = 3t + 4

c)

1 0 2

x 

 

- Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng

Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm

Ví dụ: x + 1) = 0  x = - 1)

II Phơng trình bậc nhất một ẩn.

- định nghĩa phơng trình bậc nhất: ax + b =  (x là ẩn; a, b là các hằng số, a   Nghiệm của phơng trình bậc nhất: Có một nghiệm duy nhất

b x a





Ví dụ:

4

Vậy nghiệm của pt là x = 5



3

Vậy nghiệm của pt là x = - 4

- Phơng trình đa đợc về dạng ax + b = 

Cách giải phơng trình:

+ Bớc 1) : Thực hiện phép tính bỏ ngoặc, qui đồng rồi khử mẫu

+ Bớc 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia + Bớc 3: Thu gọn và giải phơng trình nhận đợc

Giải phơng trình: b) 8x  35x12

 8x  5x  12  3

 3x 15

 x 5

Vậy tập nghiệm của phơng trình là S  5





 12x 10x  4  21 9  x

 12x 10x  9x  21 4  

25 11

x 

Phơng trình có tập nghiệm

25 11

1

(x 1) (2  x  1)   9 x

 x 1 2  x   1 9 x

  x   9 x

phơng trình vô nghiệm

- Phơng trình tích

phơng trình có dạng:

A(x).B(x).C(x) =  (A(x), B(x), C(x) là các đa thức chứa ẩn x

Ví dụ: giải phơng trình

(x 1)(2x 3)  0

1

1 0

3

2

x x





 







Vậy nghiệm của phơng trình là x = - 1)

và x = 3/2

3

5

2

x x











Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3

và x = - 5/2

       

Vậy tập nghiệm của PT là S   1;3

x x







3

2

5

x

x

Vậy tập nghiệm của phơng trình là

3

;5

2

- Phơng trình chứa ẩn ở mẫu

quy tắc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm điều kiện xác định

+ Quy đồng mẫu và khử mẫu(Nhân cả hai vế với MTC)

+ Giải phơng trình vừa nhận đợc

+ Xem xét các giá trị của x tìm đợc có thoả mãn ĐKXĐ không và kết luận về nghiệm của phơng trình

III Giải bài toán bằng cách lập phơng trình bậc nhất một ẩn.

các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Bớc 1) : Lập phơng trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

+ Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết

+ Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng

Bớc 2: Giải phơng trình

Bớc 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời