Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANGKHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG LÊ NGỌC QUỲNH AN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI

VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG

LÊ NGỌC QUỲNH

AN GIANG, 7 - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU

PHẲNG DI ĐỘNG

LÊ NGỌC QUỲNH

AN GIANG, 7 - 2018

Đề tài nghiên cứu khoa học "Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình

có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động", do tác giả Lê Ngọc Quỳnh,công tác tại Khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung và được Hộiđồng Khoa học và Đào tạo Trường thông qua ngày / /

Thư ký

Chủ tịch Hội đồng

LỜI CẢM TẠ

Đề tài nghiên cứu được thực hiện tại trường Đại học An Giang Tác giả xingửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệutrường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm bộ mônToán cùng các phòng ban chức năng của trường Đại học An Giang và anh chị,bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoànthành đề tài nghiên cứu này

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện đã dành thời gianđọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho đề tài này

Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, những ngườithân luôn tin tưởng, thương yêu, động viên và giúp đỡ tác giả vượt qua mọi khókhăn trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu

Long Xuyên, tháng 7 năm 2018

Tác giả

TS Lê Ngọc Quỳnh

TÓM TẮT

hai ánh xạ phân hình f và g đi từ Cn vào PN(C) có chung ảnh ngược với (2N + 2)siêu phẳng ở vị trí tổng quát với bội được ngắt bởi l0 thì ánh xạ f × g là suy biếnđại số Ở đây, ánh xạ f × g từ Cn vào PN(C) × PN(C) xác định bởi

(f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN(C) × PN(C), ∀z 6∈ If ∪ Ig

Ta nói rằng một ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh là suy biến đại số nếu ảnhcủa nó nằm trong một tập con đại số thực sự của đa tạp đó Ngược lại nó sẽ đượcnói là không suy biến đại số

Mục đích của đề tài này là mở rộng kết quả của H Fujimoto trong trườnghợp hai ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng di động chậm

PN(C) có chung ảnh ngược với (2N + 2) siêu phẳng di động {ai}2N +2

được ngắt bởi l0 thì ánh xạ f × g là suy biến đại số trên R{ai}2N +2

i=1 , trong đó

l0 = 3N3(N + 1)q(q − 2) với q = 2N +2N +2
Kết quả của chúng tôi là sự mở rộng chokết quả trước đó của Fujimoto cho trường hợp họ siêu phẳng cố định, đồng thờichúng tôi cũng phát triển kết quả của Fujimoto bởi việc ước lượng cụ thể bội bịngắt l0

ABSTRACT

In 1999, Fujimoto proved that there exists an integer l0 such that, if twomeromorphic mappings f and g of Cn into PN(C) have the same inverse imagesfor (2N + 2) hyperplanes in general position with counting multiplicities to level

l0, then the map f × g is algebraically degenerate Here, f × g is a mapping from

Cn into CN(C) × PN(C) defined by

(f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN(C) × PN(C)for all z outside the union of the indeterminacy loci of f and g We also say that

a meromorphic mapping into a projective variety is algebraically degenerate if itsimage is included in a proper analytic subset of the projective variety, otherwise

it is algebraically non-degenerate

The purpose of this paper is to generalize the result of H Fujimoto to thecase where meromorphic mappings have the same inverse images of slowly movinghyperplanes In this thesis, we will show that if two meromorphic mappings f and

g of Cninto PN(C) have the same inverse images for (2N +2) moving hyperplanes{ai}2N +2

algebraically degenerated over the fields R{ai}2N +2

i=1 , where l0 = 3N3(N +1)q(q−2)

with q = 2N +2N +2
Our results generalizes the previous result for fixed hyperplanescase of Fujimoto and also improves his result by giving an estimate for the number

l0

LỜI CAM KẾT

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu trongcông trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận mới về khoa học củacông trình nghiên cứu này chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Long Xuyên, tháng 7 năm 2018

Tác giả

TS Lê Ngọc Quỳnh

MỤC LỤC

Chương 1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 5

Chương 2 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 8

2.1 Một số toán tử vi phân 8

2.2 Công thức Jensen 8

2.3 Định lý cơ bản thứ nhất 9

2.4 Định lý cơ bản thứ hai 11

Chương 3 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 12

3.1 Ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 12

3.2 Phân thớ siêu phẳng của không gian xạ ảnh phức 13

3.3 Dạng Fubini-Study trên không gian xạ ảnh phức 13

3.4 Hàm đặc trưng, hàm đếm, hàm xấp xỉ 14

Chương 4 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt 17

4.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ 17

4.2 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình 21

Tài liệu tham khảo 31

• vn−1 := (ddckzk2)n−1, σn:= dclogkzk2∧ (ddclogkzk2)n−1: các dạng vi phân.

• O(1): đại lượng bị chặn

• O(r): đại lượng vô cùng bé cùng bậc với r khi r → +∞

• o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞

LỜI MỞ ĐẦU

1 TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Lý thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, đượcxây dựng đầu tiên bởi R Nevanlinna vào năm 1926 cho trường hợp hàm phânhình một biến phức Sau khi bài báo của ông được công bố, lý thuyết này đãđược mở rộng và nghiên cứu sâu sắc cho các ánh xạ phân hình nhiều biến phứcbởi nhiều nhà toán học như A Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W.Stoll, J Noguchi và một số tác giả khác

Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lý thuyếtquan trọng của toán học và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toánhọc trên thế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ và sâu sắc đã được công bố Nhữngkết quả của lý thuyết Nevanlinna đã được ứng dụng trong việc nghiên cứu nhiềuvấn đề của hình học phức và giúp cho việc hình thành lên nhiều hướng nghiêncứu như nghiên cứu về tính duy nhất, tính hữu hạn, sự phụ thuộc đại số và tínhsuy biến đại số của các ánh xạ phân hình

Tuy nhiên, các kết quả đã đạt được hầu hết chỉ liên quan đến tính duy nhấthay hữu hạn của ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với các siêu phẳng cốđịnh và cần ít nhất điều kiện trên 2N+2 siêu phẳng Việc nghiên cứu về mối liên

hệ đại số giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với các siêu phẳngtrong trường hợp siêu phẳng là di động và số siêu phẳng được xét ít hơn vẫn còn

là một vấn đề mới mẻ, có ít kết quả được công bố

Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Tính suy biến đại số củacặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động”

2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC

a) Tình hình nghiên cứu trong nước

Liên quan đến vấn đề hữu hạn và suy biến của ánh xạ phân hình, có nhiềukết quả đã được đưa ra bởi D.D.Thai và S.D.Quang (2005), S D Quang vàL.N.Quynh (2014) và một số tác giả khác Tuy nhiên, các kết quả trên cần ítnhất điều kiện trên 2N+2 siêu phẳng cố định, trong trường hợp nghiên cứu mốiliên hệ giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với ít nhất 2N+2 siêuphẳng di động thì đây vẫn là vấn đề còn mới mẻ Kết quả gần nhất hiện nay vớinội dung nghiên cứu được đưa ra trong Luận án tiến sĩ vào năm 2016 của tác giả

Lê Ngọc Quỳnh về sự suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnhngược đối với 2N+2 siêu phẳng đi động tuy nhiên tác giả vẫn chưa đưa ra đượcđánh giá cụ thể về bậc ngắt của bội giao Đây là vấn đề tác giả trăn trở và đặt

ra để nghiên cứu trong đề tài

b) Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Cho ánh xạ phân hình f từ Cn vào PN(C) có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · :

fN) và siêu phẳng H xác định bởi phương trình H :

Năm 1999, H Fujimoto tiếp tục xem xét vấn đề trên trong trường hợp bội bịngắt bởi l0 đồng thời số siêu phẳng được giảm đi Cụ thể, ông chứng minh Định

Ở đây, ánh xạ f × g từ Cn vào PN(C) × PN(C) xác định bởi

(f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN(C) × PN(C), ∀z 6∈ If ∪ Ig

Ta nói rằng một ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh là suy biến đại số nếuảnh của nó nằm trong một tập con đại số thực sự của đa tạp đó Ngược lại nó sẽđược nói là không suy biến đại số

Trong trường hợp hai ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với các siêuphẳng di động với số siêu phẳng là ít cũng như tìm cách đánh giá được bậc ngắtbội thì vấn đề này vẫn còn là một mới mẻ và có ít kết quả được công bố

3 MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

a) Mục tiêu nghiên cứu

Chúng tôi áp dụng lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu bài toán về sự suybiến đại số của hai ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức dựa trên cácđiều kiện đặt ra trên ảnh ngược của họ các siêu phẳng di động cho trước

b) Câu hỏi nghiên cứu

Câu hỏi nghiên cứu đặt ra: “Có kết quả tương tự nào như kết quả trong bàibáo của H Fujimoto (1999) trong trường hợp siêu phẳng cố định được thay thế

bằng siêu phẳng di động và bậc ngắt bội l0 được đánh giá cụ thể hay không?”.

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong giới hạn nội dung của đề tài nghiên cứu, chúng tôi sẽ nghiên cứu sựsuy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình trong trường hợp siêu phẳng tham gia

là di động, đồng thời chúng tôi cũng quan tâm đến mức độ được ngắt của bộigiao Đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là các ánh xạ phân hình nhiều biến từ

Cn vào PN(C)

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Dựa trên cơ sở các phương pháp nghiên cứu cũng như những kĩ thuật truyềnthống của hình học phức và lý thuyết phân bố giá trị, chúng tôi đã đề xuất những

kĩ thuật mới để giải quyết vấn đề đặt ra trong đề tài

6 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung đề tàinghiên cứu bao gồm bốn chương:

Chương I Tổng quan

Chương II Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình

Chương III Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạảnh phức

Chương IV Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnhngược đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt

7 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

01 bài báo được đăng trên tạp chí Toán quốc tế Complex Variables and EllipticEquations (thuộc danh mục SCIE)

8 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Về mặt kiến thức, đề tài góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sựhiểu biết về hình học phức mà cụ thể là Lý thuyết phân bố giá trị và áp dụng lýthuyết này vào việc nghiên cứu mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào

đa tạp xạ ảnh phức

Về mặt đào tạo, đề tài là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên,học viên cao học theo hướng nghiên cứu hình học phức và giải tích phức

Về mặt học thuật, đề tài góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu khoa họccủa bản thân tác giả để trên cơ sở đó góp phần phát triển ngành khoa học cơ bảnthuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên và nâng cao uy tín khoa học của trường Đạihọc An Giang trong giới khoa học cũng như so với các trường bạn trong nước vàtrên thế giới.

9 PHƯƠNG THỨC CHUYỂN GIAO VÀ ĐỊA CHỈ ỨNG DỤNGKết quả nghiên cứu của đề tài và bài báo được chuyển giao và lưu trữ tại:

Bộ môn Toán

Khoa Sư phạm

Thư viện trường Đại học An Giang

CHƯƠNG 1.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Năm 1926, R Nevanlinna đã chỉ ra rằng hai hàm phân hình phân biệt kháchằng f và g trong mặt phẳng phức C thì không thể có cùng ảnh ngược đối vớinăm giá trị phân biệt Ngoài ra, hàm g sẽ là một biến đổi phân tuyến tính (tức

là biến đổi M¨obius) của f nếu chúng có cùng ảnh ngược tính cả bội đối với bốngiá trị phân biệt Hai kết quả trên được gọi là định lý năm điểm và bốn điểm củaNevanlinna Từ đó, việc tổng quát và mở rộng các kết quả nói trên cho trườnghợp hàm phân hình trên C và ánh xạ phân hình nhiều biến từ Cn vào PN(C) đãthu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới với nhiều kết quả đẹp

đẽ và sâu sắc được công bố

Trong giới hạn đề tài, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ đại số của các ánh xạphân hình vào không gian xạ ảnh phức Khi nghiên cứu vấn đề này, ba đối tượngthường được quan tâm là số siêu phẳng tham gia, mức độ được ngắt của bộigiao và các siêu phẳng tham gia là cố định hay di động Đối với trường hợp siêuphẳng tham gia là cố định thì các kết quả cho bài toán duy nhất, hữu hạn và suybiến của ánh xạ phân hình đã được đưa ra bởi H Fujimoto (1999), S.D.Quang vàL.N.Quynh (2014) với điều kiện được xét trên ít nhất 2N+2 siêu phẳng cố định.Còn trong trường hợp siêu phẳng là di động thì có các kết quả cho bài toán duynhất, hữu hạn và suy biến của các tác giả trong và ngoài nước như D.D.Thai vàS.D.Quang (2005) với 2N2+ 4N siêu phẳng di động và G Dethloff và T V Tan.(2006) với 3N + 1 siêu phẳng di động Nếu xem xét nghiên cứu mối liên hệ đại sốgiữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với ít nhất 2N+2 siêu phẳng

di động thì đây vẫn là vấn đề còn mới mẻ và có ít kết quả đạt được

Kết quả gần nhất hiện nay với nội dung nghiên cứu của đề tài được đưa ratrong Luận án tiến sĩ vào năm 2016 của tác giả Lê Ngọc Quỳnh về sự suy biếnđại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với 2N+2 siêu phẳng điđộng tuy nhiên tác giả vẫn chưa đưa ra được đánh giá cụ thể về bậc ngắt của bộigiao đồng thời kĩ thuật chứng minh vẫn còn cồng kềnh với nhiều đánh giá trunggian để đưa ra được kết quả cuối cùng Vì vậy, tác giả luôn trăn trở và đặt ra câuhỏi có thể cải tiến được kĩ thuật chứng minh để đưa ra các đánh giá tốt hơn haykhông và có đưa ra được đánh giá bậc ngắt cụ thể của bội giao hay không? Đây

là vấn đề tác giả trăn trở và đặt ra để nghiên cứu trong đề tài Cụ thể, chúng tôiđặt ra bài toán nghiên cứu như sau:

Cho ánh xạ phân hình f từ Cn vào PN(C) có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · :

fN) và siêu phẳng H xác định bởi phương trình H :

nhất cho hai ánh xạ phân hình f và g từ Cn vào PN(C) có cùng ảnh ngược tính

cả bội đối với họ siêu phẳng H1, , Hq của PN(C) ở vị trí tổng quát như sau:Định lý A Giả sử rằng ν(f,Hi) = ν(g,Hi) (1 ≤ i ≤ q) Nếu q = 3n + 2 và f , gkhông suy biến tuyến tính trên C, tức là ảnh của chúng không nằm trong bất kỳsiêu phẳng nào của PN(C) thì f = g

Năm 1999, H Fujimoto tiếp tục xem xét vấn đề trên trong trường hợp bội bịngắt bởi l0 đồng thời số siêu phẳng được giảm đi Cụ thể, ông chứng minh Định

Ở đây, ánh xạ f × g từ Cn vào PN(C) × PN(C) xác định bởi

(f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN(C) × PN(C), ∀z 6∈ If ∪ Ig

Ta nói rằng một ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh là suy biến đại số nếuảnh của nó nằm trong một tập con đại số thực sự của đa tạp đó Ngược lại nó sẽđược nói là không suy biến đại số

Khi đó các câu hỏi sau được đặt ra một cách tự nhiên: Có kết quả tương tựnào như kết quả trên của H Fujimoto trong trường hợp siêu phẳng cố định đượcthay thế bằng siêu phẳng di động hay không?

Mục đích của đề tài là đưa ra câu trả lời cho câu hỏi trên Chúng tôi sẽ tổngquát và mở rộng kết quả của H Fujimoto trong trường hợp siêu phẳng di độngđồng thời bậc ngắt bội l0 được đánh giá cụ thể

Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết sau đây

hình a từ Cn vào PN(C)∗ là một siêu phẳng di động trong PN(C) Ta nói rằng a

là di động chậm tương ứng với f nếu || T (r, a) = o(T (r, f )) khi r → ∞ trong đó

Cho a1, , aq (q ≥ N + 1) là q siêu phẳng di động trong PN(C) với biểu diễnrút gọn ai = (ai0 : · · · : aiN) (1 ≤ i ≤ q) Ta nói rằng a1, , aq ở vị trí tổng quátnếu det(aikl) 6≡ 0 với mọi họ chỉ số 1 ≤ i0 < i1 < · · · < iN ≤ q, 0 ≤ l ≤ N Ta kíhiệu M là trường tất cả các hàm phân hình trên Cn và R{ai}qi=1 là trường connhỏ nhất của M chứa C và tất cả aik/ail with ail 6≡ 0

Kết quả của H Fujimoto được chúng tôi mở rộng và tổng quát như sau:

a1, , a2N +2 là các siêu phẳng di động chậm (tương ứng với f và g) trong PN(C)

ở vị trí tổng quát Giả sử l0 là số nguyên dương hay +∞ và min(ν(f,ai), l0) =min(ν(g,ai), l0) (1 ≤ i ≤ 2N + 2) Nếu l0 ≥ 3N3(N + 1)q(q − 2) với q = 2N +2N +2
thìánh xạ f × g vào PN(C) × PN(C) là suy biến đại số trên R{ai}2N +2i=1

CHƯƠNG 2.

LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH

Cho φ là một hàm số trên C nhận giá trị phức Có thể coi φ = φ(x, y) : R2 → C

và giả sử φ = u + iv với u, v : R2 → R Ta nói φ khả vi tại z = x + iy nếu u, vkhả vi tại x và y

Ta định nghĩa các toán tử đạo hàm riêng

là rời rạc (có thể hữu hạn phần tử) Giả sử φ ∈ C2 trên C \ Z và tại mỗiđiểm av ∈ Z có một C2 hàm ψv trên một lân cận của av và có số thực λv đểφ(z) = λvlog |z − av| + ψv(z) Ta có:

2

1(¯z − av)dz ∧ d¯z = 0

Vậy ta có thể thác triển liên tục ∂ ¯∂φ tới các điểm av ∈ Z bằng cách đặt

∂∂φ(av) = ∂∂ψv(av)

Định lý 2.1 (Công thức Jensen) Cho φ là hàm trên C nhận các giá trị thựcthỏa mãn điều kiện trên Khi đó với 0 ≤ s < r nếu φ(0) 6= ±∞, với 0 < s < rnếu trường hợp tùy ý thì ta có

dt

t (X

|a v |<t

λv) = 12πZ

|z|=r

2πZ

h (trên V ).

Giả sử f 6= 0 là hàm phân hình trên U Khi đó với mỗi a ∈ U ta có biểu diễnđịa phương

f (z) = (z − a)mg(z), m ∈ Ztrong đó g(z) là hàm chỉnh hình trên U và g(a) 6= 0

• Nếu m > 0 ta nói a là một không điểm bậc m (bội m) của f

• Nếu m < 0 ta nói a là một cực điểm bậc m của f

Định nghĩa 2.2 (Divisor) Một divisor D trên U ⊂ C là một tổng hình thức

có dạng

D =Xλvzv, λv ∈ Z; {zv} rời rạc trong U

Định nghĩa 2.3 Giả sử f là hàm phân hình trên U {av}∞

v=1, {bv}∞

v=1 lần lượt

là các tập không điểm và cực điểm của f có bậc tương ứng là λv (λv > 0) và

−µv (µv < 0) Ta định nghĩa các divisor không điểm và các divisor cực điểm của

f và divisor sinh bởi hàm f lần lượt như sau:

Định nghĩa 2.4 (Hàm đếm) Giả sử D =P µvzv là một divisor trên C Với mỗi

số tự nhiên k > 0 hoặc +∞ ta định nghĩa hàm đếm của D chặn bội đến bậc knhư sau

Ta dùng kí hiệu k P để nói rằng kết luận P đúng ngoài tập E ⊂ [0, +∞) có

độ đo Lebesgue hữu hạn

Bổ đề 2.1 (Bổ đề Borel) Giả sử hàm Φ(r) > 0 (r > 1) là hàm đơn điệu tăng.Khi đó với mỗi δ > 0 ta có:

2logr + O(1)Định lý 2.3 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình khác hằngtrên C và a1, a2, , aq ∈ C là các điểm phân biệt (q > 3)

1, · · · , 5 thì f ≡ g