Tính an pha ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm

Như vậy ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào-ra: x t& = f t,x t ,u t xt ut Một trong những mục đíc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN TOÁN _

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KHÔNG ÔTÔNÔM CÓ CHẬM

Chủ nhiệm đề tài: Ths VÕ THÀNH TÀI

Long Xuyên, tháng 3 năm 2009

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, điều khiển thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bằng các phương trình toán học dạng:

( ) ( ( ) ( ) )

x t& =f t, x t , u t

trong đó x t( ) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u t( ) là biến điều khiển mô

tả đối tượng đầu vào của hệ thống, những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống Như vậy ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào-ra:

( ) ( ( ) ( ) )

x t& = f t,x t ,u t x(t)

u(t)

Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong muốn Trong đó, tính

ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, kinh tế,… Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho

hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó Nói một cách giải tích, cho một hệ thống mô tả bởi phương trình toán học điều khiển, bài toán ổn định hóa của

hệ là tìm hàm điều khiển, người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược (feedback control), u t( )=h t, x( ) sao cho hệ động lực:

( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) )

x t& =f t, x t , h t, x t =F t, x t

là ổn định hoặc ổn định tiệm cận tại trạng thái cân bằng

Trong các bài toán ổn định hóa tổng quát, hệ điều khiển thường được mô hình

hóa với các tác động của điều khiển ngược, của các nhiễu điều khiển, các thiết bị điều khiển, quan sát,… và thường được mô tả theo sơ đồ sau:

Cơ sở lý thuyết được sử dụng trong bài toán ổn định hóa này là lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết ổn định này được hình thành bởi những công trình nghiên cứu đầu tiên của nhà toán học người Nga A M Lyapunov từ cuối thế kỷ XIX Trước Lyapunov đã có một số công trình nghiên cứu về tính ổn định, tuy nhiên phải đến khi

Lyapunov công bố công trình nổi tiếng “Bài toán tổng quát về sự ổn định của

chuyển động, 1892” thì lý thuyết ổn định mới thực sự được quan tâm và có bước tiến

mạnh mẽ Vấn đề ổn định phương trình vi phân đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và giải quyết, có thể kể ra đây một số tác giả trong nước như: Hoàng Hữu Đường, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hoàn, Vũ Ngọc Phát, Trần Thị Loan,.v.v… Những định nghĩa về tính ổn định của Lyapunov đưa ra hơn một thế kỷ qua vẫn còn nguyên giá trị và ngày càng phát triển Hai phương pháp do ông đề xuất

là phương pháp số mũ đặc trưng và phương pháp hàm Lyapunov Trong đó, phương pháp hàm Lyapunov được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về

tính ổn định, nội dung của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm đặc biệt (được gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo đang xét) của hàm Lyapunov tương ứng

Cùng với sự phát triển của lý thuyết ổn định, lý thuyết điều khiển toán học cũng

là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới được xuất hiện và phát triển trong mấy thập kỷ gần đây, tính điều khiển được hệ động lực được khởi xướng bởi một công trình nổi tiếng của Kalman từ những năm 60 của thế kỷ XX, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại số về tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều không có hạn chế điều khiển Từ những kết quả của Kalman thì việc nghiên cứu tính điều khiển được đã không ngừng phát triển và trở thành một hướng quan trọng của lý thuyết điều khiển hệ động lực

Do nhu cầu nghiên cứu các tính chất định tính của hệ thống điều khiển, người

ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hoá các hệ điều khiển Đây là nội dung nghiên cứu chính của đề tài này

PHẦN TÓM TẮT

Đề tài nghiên cứu tính α -ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm Dựa trên phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để thiết lập điều kiện đủ cho hệ được xét là α -ổn định hóa được thông qua nghiệm phương trình Riccati vi phân Đây là vấn đề đang rất được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây

Sau phần mở đầu là phần nội dung gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, lý thuyết

ổn định Lyapunov, bài toán ổn định hóa và một số kết quả đã có trong những năm gần đây

Chương 2 nghiên cứu tính α-ổn định hóa cho một lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến có chậm dạng:

u t B t P t 2 I x t

2

= − ⎡⎣ − β ⎤⎦Hơn nữa, nghiệm x t,( )φ thỏa mãn điều kiện

x t,φ ≤Ne−α φ , ∀ ≥ t 0

Với định lý trên, đề tài đã đưa ra và chứng minh các điều kiện đủ về tính α -ổn định hóa được cho một lớp các hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ CÓ CHẬM 2

1.1 Phương trình vi phân 2

1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 4

1.3 Bài toán ổn định hóa 6

1.4 Một vài kết quả 7

Chương 2 TÍNH α-ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KHÔNG ÔTÔNÔM CÓ CHẬM 11

2.1 Các định lý 11

2.2 So sánh với một vài kết quả đã có 29

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

• n m × không gian các ma trận (n m× ) chiều

• C a, b ,( [ ] n) không gian Banach các hàm liên tục trên [ ]a, b nhận giá trị trong n

MỞ ĐẦU

1 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

- Mục tiêu nghiên cứu: Tìm điều kiện đủ cho tính α -ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm hay còn gọi là bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển, tức là tìm hàm điều khiển (đầu vào) sao cho hệ động lực với điều khiển đó là α -ổn định

- Nội dung nghiên cứu: Nghiên cứu tính α -ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm dạng:

( ) ( ) ( ) 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) )

x t& =A t x t +A t x t h t− +B t u t +f t, x t , x t h t , u t−

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một lớp các hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm

3 Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu

- Cơ sở lý thuyết được sử dụng là lý thuyết phương trình vi phân hàm, lý thuyết

ổn định Lyapunov và lý thuyết điều khiển toán học

- Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii

để thiết lập điều kiện đủ cho hệ được xét là α -ổn định hóa được thông qua nghiệm phương trình Riccati vi phân

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV

VÀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ CÓ CHẬM

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định Lyapunov,

bài toán ổn định hóa và một số kết quả đã có trong những năm gần đây

ii) x(t) thoả mãn phương trình vi phân (1.1)

Giả sử f t, x( ) liên tục trên I D× Khi đó nghiệm x(t) của hệ (1.1) cho bởi

dạng tích phân:

0

t 0 t

cho

k 0>

f t, x −f t, x ≤k x −x2 với mọi Khi đó với mỗi ( ) sẽ

tìm được số sao cho hệ (1.1) luôn có duy nhất nghiệm trên khoảng

(t , t0 0+b) sao cho f t, x t( ( ) ) ≤m t( ) với mọi ( )t, x ∈ ×I D

thì hệ (1.1) có nghiệm trên khoảng [t , t0 0+β β], >0 nào đó

Chú ý rằng định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không

duy nhất

Định lý 1.3 (Định lý kéo dài nghiệm)

Giả sử f C a, b∈ ⎡⎣( )×D, n⎤⎦, a 0≥ , thỏa mãn f t, x( ) ≤M và

( 1) ( 2)

f t, x −f t, x ≤k x1−x2 trên ( )a, b ×D Giả sử x t( )=x t, t , x( 0 0) là nghiệm của (1.1) xác định trên [t ,0 β), t0∈( )a,b Khi đó, tồn tại Hơn nữa nếu

Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ chậm Với

Hàm x t( ) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có chậm (1.2) trên

[t0−h, t0+A] nếu tồn tại t0∈ + và A 0> sao cho:

x C t∈ −h, t +A , , t, x ∈ D

ii x(t) thỏa mãn phương trình (1.1) với t∈[t , t0 0+A]

Hệ (1.1) được gọi là tuyến tính nếu f t,( )φ =L t,( ) (φ +h t), trong đó L t( ),φ là tuyến tính theo φ Hệ (1.1) được gọi là hệ ôtônôm nếu f t,( )φ =g(φ), trong đó g không phụ thuộc theo t

= +∫ ≥ (1.3) Trong phần nghiên cứu này chúng tôi luôn giả thiết hàm f của hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm, phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban đầu

x t =x , t ≥0

( ) ( ( ) )

0

t 0 t

Định nghĩa 1.3. Nghiệm x t( ) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó

là ổn định và có δ >0 sao cho với y0−x0 <δ thì tlim y t( ) ( )x t 0

Định nghĩa 1.6 Hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có

( )

b =b t >0 sao cho với mọi φ∈C( [−h,0 ,] n) mà φ <b0 thì nghiệm x(t) của

hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (t ,0 φ)∈ +×C( [−h,0 ,] n) đều thỏa mãnlim x tt ( ) 0

Định nghĩa 1.7 Cho α > hệ chậm (1.2) là α -ổn định nếu tồn tại hàm 0,

sao cho với mọi

Định lý 1.4. Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa nếu hàm

Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều

thì hệ (1.2) là α -ổn định

Bổ đề 1.1. Giả sử S∈ n n × là một ma trận đối xứng xác định dương Khi đó,

n với mọi ma trậ Q∈ n n × ta đều có

trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đầu

đầu vào của hệ thống Các đối tượng điều khiển trong mô hình điều khiển hệ thống

ổn định hoá của hệ là tìm hàm điều khiển (có thể phụ thuộc vào biến trạng thái) mà người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược sao cho

hệ

ra, u(t) là biến điều khiển mô tả đối tượng

được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng, có thể làm ảnh hưởng

đến sự vận hành đầu ra của hệ thống Như vậy ta hiểu một hệ phương trình điều

khiển có chậm là sự mô tả một mô hình toán học của hệ thống điều khiển biểu thị sự

liên hệ vào – ra:

trong đó A(t), B(t) là các ma trận n n, n m× × tương ứng liên tục theo t 0≥ Khi đó,

hệ là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm điều khiển u t( )=K t x t( ) ( ) sao cho hệ

đóng:

hư vậy mục đích của bài toán ổn định hoá là tìm các hàm điều khiển ngược

h(.) (hoặc ma trận m n _ K t× ( )) sao cho hệ là ổn định tiệ cận đều, hoặc m α -ổn định

Định nghĩa 1.9. Hệ (1.4) được gọi là α -ổn định hóa được nếu tồn tại hàm

Cho α >0, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.10. Hệ (1.6) được gọi là α-ổn định hóa được nếu tồn tại hàm

( ) ( ( ) )

u t =g x t sao cho hệ phương trình vi phân (1.7) là α

xét. hĩa trên thường được gọi là số mũ Lyapunov, bài to

trong đó x t( )∈X là biến trạng thái, u t( )∈U là biến điều khiển và

Trước đây, GS TSKH Vũ Ngọc Phát (2001) đã đưa ra kết quả sau

Định lý 1.6 Cho hệ điều khiển tuyến tính ⎡⎣A t , B t( ) ( )⎤⎦ là điều khiển được về

0 toàn cục trong thời gian hữu hạn Giả sử a1 1

2p

≤ và tồn tại các số dương thỏa

a, b,c mãn

n tại các hàm liên tục không âm và giới nộ

là hàm phi tuyến cho trước thỏa mãn: Tồ i a t , a t , b t( ) ( ) (1 ) sao cho

( ) ( ) 1( ) ( )

f t, x, y, u ≤a t x +a t y +b t u , đặt A t( )=A t( )+δI và xét phương trình vi ph sau:

= (1.11) hiệu

ân RiccatiVới số δ >0

-* Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm nhiều chậm

m

2 h 0

x t ≤N φ e , t−α ≥ 0

CHƯƠNG 2 TÍNH α -ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KHÔNG ÔTÔNÔM CÓ CHẬM

Phần này sẽ nghiên cứu tính α-ổn định hóa cho một lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến có chậm Sử dụng hàm Lyapunov để tìm hiểu và nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính α-ổn định mũ dưới dạng nghiệm phương trình Riccati

m

t h h

i 1 m h

Khi đó, hệ (2.1) là α-ổn định hóa được nếu

β α

ε − − ε

i Hơn nữa, hàm điều khiển là

i 1 t h

0 m

=

ε + ε

Do đó nghiệm y(t) của hệ (2.2) là bị chặn

Trở lại nghiệm x t,( φ) của hệ (2.1) và chú ý rằng

Vậy theo định lý 2.1 hệ là 0.5-ổn định hóa được với điều khiển ngược

( )

2 2 h 2

3 2

2 2

1 1,

2 1

1

31

31

P t A t A t P t y t , y t1

A t A t y t , y t1

ε − δ

2 1

h

2 2

Từ P(t) là nghiệm của (RDE2), ta có

Vậy ta được điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm sau đây

Vậy nghiệm hệ đã cho là 1-ổn định hóa được với điều khiển ngược

Giả sử tồn tại các số thực dương

và ma trận thỏa mãn phương trình Riccati vi phân sau:

u t B t P t 2 I x t

2

= − ⎡⎣ − β ⎤⎦Hơn nữa, nghiệm x t,( )φ thỏa mãn điều kiện

V t, x =V +V +V +V ,4

trong đó

0

2 2

h 2

2 h 1 1

T

2 h 1

2 P t A t x t h t , x t x t h t , x t h t

33

2

T

2 h 1

2 A t x t h t , x t x t h t , x t h t

33

P t 2 I B t B t P t 2 I x t , x t4

P t B t B t P t P t B t B t B t B t x t , x t 2.124

Ví dụ 2.3 Xét hệ điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm sau đây

( ) ( ) ( ) 1( )

3sin t 0

2.2 So sánh với một vài kết quả đã có

2.2.1 So sánh kết quả đạt được với một định lý trong luận án tiến sĩ của Nguyễn Mạnh Linh (2006)

Định lý 3.5 trong luận án tiến sĩ

Điều kiện α-ổn định hóa thông

qua tính điều khiển được của hệ

( ) ( ),

A t B t

⎡⎣ ⎤⎦ Điều kiện này sẽ suy ra

được phương trình Riccati vi phân:

Điều kiện α-ổn định hóa thông qua

sự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati vi phân:

2.2.2 So sánh kết quả đạt được với một định lý trong luận án tiến sĩ của Phan Thanh Nam (2008)

Định lý 3.1 trong án tiến sĩ của

Phan Thanh Nam (2008)

Điều kiện α-ổn định hóa thông qua

sự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati

Định lý 3.1 trong án tiến sĩ của

Phan Thanh Nam (2008)

Điều kiện α-ổn định hóa thông qua

sự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati

Để xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển với các ma trận

là các ma trận hệ số hằng và để thuận lợi trong việc sử dụng Matlab để tìm

ma trận đối xứng xác định dương P, chúng ta có thể nghiên cứu tiếp theo hướng sau:

- Nghiên cứu bài toán ổn định hóa và α -ổn định hóa cho các hệ phương trình

vi phân điều khiển có chậm trên điều khiển u t( −h ,) như đối với hệ:

x t& =Ax t +A x t h− +Bu t +B u t h− +f t, x t , x t h , u t , u t h − −

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Bellman, R 1960 Introduction to Matrix Analysis McGraw-Hill book company, INC

Demidovic, B.P 1967 Những bài giảng của lý thuyết Toán học về sự ổn định Nauka, Moscow (Bản dịch tiếng Việt, Vũ Tuấn-Cấn Văn Tuất, Phòng tư liệu, Đại học Sư phạm Hà Nội)

Freiling, G and Ionescu, V and Jank, G 2003 Matrix Riccati Equations in Control and Systems Theory Basel, Birkhauser

Hale, J K 1997 Theory of Function Differential Equations Spinger Verlag, New York

Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu 2000 Cơ sơ phương trình vi phân và lý thuyết ổn định NXB GD, Hà Nội

Nguyễn Mạnh Linh 2006 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ động lực phi tuyến Luận án tiến sĩ Toán học Viện Toán học, Hà Nội

Phan Thanh Nam 2008 Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân có chậm Luận án tiến sĩ Toán học Viện Toán học, Hà Nội

Vũ Ngọc Phát 2001 “Stabilization of linear continuous time-varying systems with

state delays in Hilbert spaces” Electronic Journal of Differential Equation

No.67:1-13

Vũ Ngọc Phát và Phan Thanh Nam 2005 “Exponential stability criteria of linear

non-autonomous systems with multiple delays” Electronic Journal of