Nghiên cứu phổ tán sắc plasmon và hấp thụ của hệ khí điện tử hai chiều graphene ở nhiệt độ không tuyệt đối với hằng số điện môi nền đồng nhất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM NGHIÊN CỨU PHỔ TÁN SẮC PLASMON VÀ HẤP THỤ CỦA HỆ KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU – GRAPHENE Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG TUYỆT ĐỐI VỚI HẰNG SỐ ĐIỆN MÔI NỀN ĐỒNG NHẤT AN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

ThS NGUYỄN VĂN MỆN ThS ĐỔNG THỊ KIM PHƯỢNG

AN GIANG, THÁNG 01 NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

NGHIÊN CỨU PHỔ TÁN SẮC PLASMON VÀ HẤP THỤ CỦA

HỆ KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU – GRAPHENE Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG TUYỆT ĐỐI VỚI HẰNG

SỐ ĐIỆN MÔI NỀN ĐỒNG NHẤT

AN GIANG, THÁNG 01 NĂM 2018

Đề tài nghiên cứu khoa học “NGHIÊN CỨU PHỔ TÁN SẮC PLASMON VÀ HẤP THỤ CỦA HỆ KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU – GRAPHENE Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG TUYỆT ĐỐI VỚI HẰNG SỐ ĐIỆN MÔI NỀN ĐỒNG NHẤT”, do các tác giả Nguyễn Văn Mện và Đổng Thị Kim Phượng, công tác tại Khoa Sư phạm thực hiện Các tác giả đã báo cáo kết quả nghiên cứu và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày 25/01/2018

ii

LỜI CẢM TẠ

Tác giả xin chân thành cảm ơn Đảng ủy, Ban Giám hiệu Trường Đại học An Giang, Phòng Quản lý khoa học và Hợp tác quốc tế, Phòng Kế hoạch tài vụ, Ban Chủ nhiệm Khoa Sư phạm đã tạo mọi điều kiện, hướng dẫn các thủ tục hành chính cần thiết để các tác giả hoàn thành đề tài này

Các tác giả xin chân thành cảm các các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Vật lý, Khoa Sư phạm đã giúp đỡ các tác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Đặc biệt, các tác giả xin gửi lời cảm ơn trân trọng nhất đến PGS TS Nguyễn Quốc Khánh đã có những thảo luận xác đáng và hữu ích về kết quả nghiên cứu của

đề tài

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực có hạn nên các tác giả rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của các nhà khoa học, các bạn đồng nghiệp, các học viên, sinh viên để các tác giả có những điều chỉnh, cũng như những định hướng nghiên cứu tiếp theo, phát triển đề tài

Xin chân thành cảm ơn!

An Giang, ngày 25 tháng 01 năm 2018

TM Nhóm tác giả

ThS Nguyễn Văn Mện

TÓM TẮT

Phổ tán sắc plasmon là một trong những đặc tính quan trọng của vật liệu cả cấu trúc khối và cấu trúc lớp và đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong những năm qua, đặc biệt là đối với những vật liệu mới như graphene Phổ tán sắc plasmon của đơn lớp graphene, lớp kép và lớp đôi graphene và cả lớp đôi gồm khí điện tử hai chiều truyền thống rất mỏng và graphene đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố Đề tài này nghiên cứu phổ tán sắc plasmon của một cấu trúc lớp đôi có dạng tương tự như vậy nhưng có tính đến bề dày của lớp khí điện tử hai chiều và hệ số hấp thụ các dao động plasma hình thành trong hệ

Đề tài tính toán hàm phân cực, hàm điện môi động của cấu trúc lớp đôi cấu tạo

từ lớp khí điện tử hai chiều có kể đến bề dày lớp và lớp graphene, tìm nghiệm số chính xác và nghiệm giải tích trong gần đúng sóng dài Biểu thức nghiệm giải tích cho thấy, trong gần đúng bậc nhất của vector sóng, tần số nhánh quang học bị ảnh hưởng bởi hằng số điện môi nền của lớp trung gian trong khi tần số nhánh âm học chịu ảnh hưởng bởi khoảng cách hai lớp, bề rộng giếng lượng tử, hằng số điện môi lớp trung gian và cả hằng số điện môi của vật liệu bên trong giếng lượng tử Việc khảo sát phần thực và phần ảo hàm điện môi giúp dự đoán cấu trúc của phổ Kết quả giải số về phổ plasmon của hệ cho thấy sự phụ thuộc của phổ và hấp thụ vào các yếu

tố đặc trưng là không giống nhau Các kết quả cũng cho thấy, hầu hết các đại lượng khảo sát ảnh hưởng rất yếu lên nhánh quang học của phổ nhưng ảnh hưởng đáng kể lên nhánh âm học Nhánh quang học chỉ chịu ảnh hưởng mạnh bởi hằng số điện môi nền lớp tiếp giáp giữa hai lớp của hệ

Bên cạnh các kết quả thu được theo mục tiêu ban đầu, đề tài còn vài hạn chế là chưa xét đến sự không đồng nhất của hằng số điện môi nền, hiệu ứng tương quan – trao đổi trong lớp khí điện tử cũng như nhiều loại graphene khác nhau Đây sẽ là những định hướng cho các nghiên cứu tiếp theo của các tác giả

Từ khóa: phổ tán sắc plasmon, hệ số hấp thụ, hàm điện môi động, gần đúng pha ngẫu nhiên, gần đúng sóng dài

ABSTRACT

Plasmon dispersion is one of important properties of three- and two dimensional matters and has attracted a lot of scientist’s attention in recent years, especially new matterials as graphene The plasmon dispersions of monolayer graphene, bilayer graphene, double layer graphene, and a double layer consisting of a very thin electron gas and graphene have been considered and published This research is to study plasmon dispersion of a similar double layer, taking into account the thickness of two-dimensional electron gas layer and damping rate of oscillation plasma in the system

This work calculates polarizability and dynamical dielectric functions of a double layer structure made of two dimensional electron gas, taking into account thickness and graphene, finds out exactly numerical solutions and approximately analytical ones in long wavelength limit The analytical results show that in the first order of wave vector, optical frequency is affected by dielectric constant of contacting media while the acoustic one depends on two layers distance, the width of quantum well, dielectric constant of contacting media, and dielectric constant in quantum well The consideration in real and imaginary parts of dielectric function helps to predict the structure of plasmon modes The numerical results in plasmon represent that the dependence of plasmon and damping rate on properties of the

iv

system is not similar, in general The solutions also show that most of selected properties affects weakly on optical mode but strongly on acoustic one The optical branch is only affected significantly by dielectric constant of contacting media Beside the results as predicted, the paper consists of several weak points such

as not considering the inhomogeneity of background dielectric constan, exchange correlation effects in two dimensional electron gas, and different kinds of graphene These should be following researches

Keywords: plasmon dispersion, damping rate, dynamical dielectric function, random phase approximation, long wavelength limit

LỜI CAM KẾT

Chúng tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chúng tôi Các số liệu trong công trình nghiên cứu này có xuất xứ rõ ràng Những kết luận mới về khoa học của công trình nghiên cứu này chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác

An Giang, ngày 25 tháng 01 năm 2018

TM Nhóm tác giả

ThS Nguyễn Văn Mện

vi

MỤC LỤC

LỜI CẢM TẠ II TÓM TẮT III LỜI CAM KẾT V MỤC LỤC VI DANH SÁCH HÌNH VII DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT VIII

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Tính cần thiết của đề tài 1

1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 2

1.3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

1.5 Đóng góp của đề tài 4

CHƯƠNG 2 HÌNH THỨC LUẬN ĐIỆN MÔI 5

2.1 Một số đặc tính cơ bản của khí điện tử hai chiều 5

2.2 Một số đặc tính cơ bản của graphene 9

2.3 Hàm phân cực và hàm điện môi động của khí điện tử hai chiều ở nhiệt độ không tuyệt đối 14

2.4 Hàm phân cực và hàm điện môi động của đơn lớp graphene ở nhiệt độ không tuyệt đối 15

2.5 Hàm điện môi của lớp đôi 2deg – mlg ở nhiệt độ không tuyệt đối 18

CHƯƠNG 3 PHỔ TÁN SẮC PLASMON VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ CỦA LỚP ĐÔI 2DEG – MLG CÓ HẰNG SỐ ĐIỆN MÔI NỀN ĐỒNG NHẤT 20

3.1 Xây dựng chương trình máy tính để giải số phương trình điểm không của phần thực hàm điện môi 20

3.2 Phổ tán sắc plasmon của đơn lớp 2DEG và đơn lớp graphene 22

3.3 Khảo sát phần thực và phần ảo hàm điện môi của lớp đôi 2DEG – MLG 26 3.4 Phổ tán sắc plasmon của lớp đôi 2DEG – MLG 29

3.5 Hệ số hấp thụ plasmon của lớp đôi 2DEG – MLG 38

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

PHỤ LỤC 44

DANH SÁCH HÌNH

Hình 2 1 Mô hình giếng lượng tử (a) và hàm thế năng của giếng sâu vô hạn 5Hình 2 2 Ô đơn vị và vùng Brillouin của graphene 10Hình 2 3 Cấu trúc lớp đôi 2DEG-MLG 18Hình 3 1 Lưu đồ thuật giải phương trình điểm không phần thực hàm điện môi bằng phương pháp chia đôi 22Hình 3 2 Phổ tán sắc plasmon của 2DEG 24Hình 3 3 Phổ tán sắc plasmon và hấp thụ của MLG 25Hình 3 4 Phần thực và phần ảo hàm điện môi của 2DEG Hình vẽ ứng với

0,8 F

q k 26Hình 3 5 Phần thực và phần ảo hàm điện môi của MLG Hình vẽ ứng với q0,8k F

27Hình 3 6 Phần thực và phần ảo hàm điện môi của lớp đôi 2DEG-MLG Hình vẽ ứng với q0,8k F 28Hình 3 7 Phần thực và phần ảo hàm điện môi của lớp đôi 2DEG-MLG Hình vẽ ứng với q1,5k F 29Hình 3.8 Phổ tán sắc plasmon của lớp đôi 2DEG-MLG So sánh với nghiệm giải tích trong gần đúng sóng dài 30Hình 3 9 Phổ tán sắc plasmon của lớp đôi 2DEG-MLG So sánh với đơn lớp 2DEG

và MLG 32Hình 3 10 Phổ tán sắc plasmon của lớp đôi 2DEG-MLG So sánh với DLG 33Hình 3 11 Ảnh hưởng của bề dày lớp tiếp xúc lên plasmon của hệ 2DEG-MLG33Hình 3 12 Ảnh hưởng của bề dày lớp 2DEG lên plasmon của hệ 2DEG-MLG 35Hình 3 13 Ảnh hưởng của mật độ hạt tải lên plasmon của hệ 2DEG-MLG 36Hình 3 14 Ảnh hưởng của hằng số điện môi nền lên phổ plasmon của hệ 2DEG-MLG 37Hình 3 15 Hệ số hấp thụ plasmon của hệ 2DEG-MLG 38Hình 3 16 Hệ số hấp thụ plasmon so sánh với DLG (a) và thay đổi bề dày lớp 2DEG (b) 40

viii

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

1 Khí điện tử hai chiều 2DEG

2 Đơn lớp graphene SLG/MLG

3 Lớp đôi graphene DLG

4 Lớp kép graphene BLG

5 Gần đúng pha ngẫu nhiên RPA

6 Mono layer gapped graphene MLGG

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

1.1 TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Bài toán hệ nhiều hạt tương tác đóng vai trò quan trọng trong Vật lý vì việc giải nhiều bài toán vật lý được qui về mô hình loại này Hiệu ứng nhiều hạt trong vật liệu khối cũng như các hệ thấp chiều đã được nghiên cứu trong nhiều năm qua Tuy nhiên, cấu trúc của các hệ loại này là rất đa dạng nên việc nghiên cứu cũng chưa đi đến hồi kết thúc mà mở ra một hướng nghiên cứu mới cho Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Ngoài ra, giải thưởng Nobel năm 2010 cho những nghiên cứu về graphene cho thấy việc nghiên cứu về các cấu trúc một lớp hay hai lớp graphene là một vấn đề rất thời sự

Graphene là hệ cấu trúc hai chiều gồm một lớp nguyên tử carbon được sắp xếp chặt chẽ tạo thành mạng tinh thể hai chiều hình lục giác (tổ ong), và là cơ sở cho các cấu trúc khác của carbon Đây là vật liệu thấp chiều thu hút được rất nhiều sự quan tâm trong giới khoa học những năm gần đây bởi những tính chất vật lý khác biệt của

nó so với các cấu trúc hai chiều truyền thống Sự khác biệt đó có thể kể tới như: đây

là vật liệu có bề dày mỏng nhất được biết đến hiện nay (chỉ một lớp nguyên tử), dẫn điện và dẫn nhiệt rất tốt (độ linh động của điện tử trong graphene lớn gấp hàng trăm lần so với vật liệu silicon, các electron có thể dễ dàng đi qua mà không bị cản trở gì nhiều) Cũng chính bởi những tính chất đặc biệt này làm cho việc nghiên cứu về graphene được xem là một hướng đi mới trong công nghệ vật liệu thấp chiều, thay thế công nghệ silicon đã rất thịnh hành trong những năm qua

Các cấu trúc khí điện tử hai chiều truyền thống (two dimensional electron gas – 2DEG) là thành phần chủ yếu trong các linh kiện bán dẫn đang được sử dụng phổ biến trong giai đoạn hiện nay Những mô hình lý thuyết và thực nghiệm cũng như đặc tính vật lý cơ bản của các hệ 2DEG đã được nghiên cứu và công bố từ giữa thế

kỷ trước và đã được sử dụng làm cơ sở cho công nghệ vật liệu silicon cho đến thời điểm hiện nay, là một loại vật liệu phổ biến trong khoa học vật liệu cũng như trong

kỹ thuật, đặc biệt là kỹ thuật điện tử

Để nghiên cứu lý thuyết về vật liệu, các nhà Vật lý lý thuyết đã trình bày rất nhiều phương pháp khác nhau và đã đạt được những kết quả nhất định Một trong số

đó phải kể đến là hình thức luận điện môi Hình thức luận điện môi là một phương pháp nghiên cứu cấu trúc khối cũng như các cấu trúc thấp chiều dựa trên những tính toán về hàm điện môi động và các ứng dụng của nó Hàm điện môi động là một đặc trưng quan trọng của hệ vật lý, từ kết quả về hàm điện môi động trong hình thức luận điện môi ta có thể tìm ra phổ kích thích tập thể (hay phổ tán sắc plasmon), hệ số hấp thụ và những đặc tính quan trọng khác của hệ (như tính chất vận chuyển chẳng hạn)

Do đó, để nghiên cứu về đặc tính kích thích tập thể của hệ hai chiều nói chung và graphene nói riêng thì việc sử dụng hình thức luận điện môi là một trong những cách làm hiệu quả

Các cấu trúc lớp có chứa graphene thường rất phong phú trong công nghệ vật liệu cũng như trong các mô hình ở phòng thí nghiệm Các cấu trúc đó có thể chỉ gồm một lớp graphene (single layer graphene – SLG), hai lớp graphene với khoảng cách lớn (double layer graphene – DLG), hai lớp graphene với khoảng cách nhỏ (bilayer graphene – BLG) hay một bên là đơn lớp graphene trong khi bên kia là khí điện tử hai chiều truyền thống Trong tất cả các hệ loại này thì kích thích tập thể giữ vai trò quan trọng, nó ảnh hưởng mạnh đến các tính chất khác và không thể bỏ qua trong các

2

tính toán Do đó, việc nghiên cứu kích thích tập thể của một hệ như vậy là điều cần thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, làm nền tảng lý thuyết cho việc nghiên cứu, lựa chọn vật liệu sau này

Vì những lý do trên, chúng tôi thực hiện đề tài “Nghiên cứu phổ tán sắc plasmon và hấp thụ của hệ khí điện tử hai chiều – graphene ở nhiệt độ không tuyệt đối với hằng số điện môi nền đồng nhất”, nhằm góp phần xây dựng, hoàn chỉnh lý thuyết về các hệ hai chiều loại này

1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC

Phổ tán sắc plasmon của các cấu trúc lớp đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước nghiên cứu và công bố trong những năm qua

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước

Về phổ tán sắc plasmon của 2DEG và graphene đã được một số nhà khoa học trong nước nghiên cứu và công bố Có thể kể tới là:

 Hàm điện môi và phổ tán sắc plasmon của khí điện tử giả hai chiều đã được nghiên cứu và công bố từ cuối thế kỷ trước (Nguyễn Quốc Khánh, 1996; 2001) Các công trình vẫn chưa kể đến hiệu ứng tương quan – trao đổi trong hệ

 Ảnh hưởng của bề dày lớp và ảnh điện có xét đến hiệu ứng tương quan – trao đổi trong hệ hai chiều cũng được tác giả này cùng công sự nghiên cứu và công

bố sau đó vài năm (Nguyễn Quốc Khánh & Ngô Minh Toàn, 2003)

 Trong những năm đầu của thế kỷ XXI, ngày càng nhiều các công bố về phổ kích thích tập thể của cấu trúc lớp mà đặc biệt là đối với lớp có chứa graphene Một nghiên cứu về phổ tán sắc plasmon của DLG với điện môi nền đồng nhất ở nhiệt

độ hữu hạn cũng đã được nghiên cứu và công bố năm 2013 (Đinh Văn Tuân & Nguyễn Quốc Khánh, 2013) Công trình khảo sát kích thích tập thể và hàm hệ số hấp thụ năng lượng của cấu trúc DLG với hằng số điện môi nền như nhau ở nhiệt độ hữu hạn

 Mới đây nhất, các tính chất động lực học của hệ điện tử trong graphene ảnh hưởng đến các đặc trưng plasmon của nó là nội dung luận án tiến sĩ ngành Vật lý

kỹ thuật mới được công bố (Hồ Sỹ Tá, 2017) Công trình trình bày các tính toán chi tiết về hàm phân cực, hàm điện môi của đơn lớp graphene trong cả hai trường hợp pha tạp thấp và pha tạp cao, ứng dụng trong tính toán độ dẫn quang của vật liệu

1.2.2 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Giới khoa học trên thế giới có nhiều công bố hơn trong lĩnh vực này trên những tạp chí khoa học danh tiếng, cụ thể như:

 Phổ tán sắc plasmon của hệ khí điện tử hai chiều trong giếng thế đơn, giếng thế đôi lượng tử và ảnh hưởng của tương quan lên plasmon của 2DEG đã được nghiên cứu và công bố (Czachora và vs, 1982; Karsten & Ben, 1995; Yurtsever, Moldoveanu & Tanatar, 2003) Các kết quả cho thấy phổ plasmon của giếng đơn và giếng đôi lượng tử có dạng gần giống nhau, tiếp xúc với đường biên vùng kích thích đơn hạt (SPE) và biến mất tại một giá trị xác định của vector sóng

 Phổ tán sắc plasmon của hệ đơn lớp graphene và lớp đôi graphene với điện môi nền đồng nhất ở cả nhiệt độ hữu hạn và nhiệt độ không tuyệt đối cũng đã được nghiên cứu và công bố trong vòng 10 năm trở lại đây, làm cơ sở lý thuyết cho các nghiên cứu tiếp theo (Hwang & Sarma, 2007; 2009) Các công trình này trình bày các kết quả chi tiết về hàm phân cực và hàm điện môi của MLG, là một trong

những công trình tiên phong trong lĩnh vực này, làm cơ sở cho các nghiên cứu tiếp

theo

 Phổ plasmon của hệ DLG với điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ hữu hạn đã được công bố năm 2012 (Badalyan & Peeters, 2012) Đóng góp lớn nhất của công trình này là tính đến sự không đồng nhất của hằng số điện môi nền, một yếu

tố mà các công trình trước đây thường bỏ qua do yếu tố phức tạp của nó

 Thế tương tác Coulomb của và điện trở Coulomb drag của hệ 2DEG – Graphene với hằng số điện môi nền không đồng nhất đã được Benedikt Scharf và Alex Matos-Abiague (2012) tính toán bằng cách giải phương trình Poisson Kết quả được các tác giả sử dụng để tính toán điện trở Coulomb drag của hệ Tuy nhiên, các thế tương tác Coulomb trong cấu trúc lớp đôi loại này là một đóng góp lớn về mặt khoa học, mở đường cho các nghiên cứu tiếp sau về cấu trúc loại này

 Cấu trúc dạng lớp đôi gồm một đơn lớp graphene và một lớp khí điện tử hai chiều rất mỏng với công thức giải tích trong vùng bước sóng dài đã được Principi

và cộng sự nghiên cứu và công bố (2012) Các tác giả đã tìm được biểu thức giải tích cho tần số nhánh quang plasmon và giá trị giới hạn của khoảng cách giữa hai lớp mà

ở đó, nhánh âm học của phổ đi vào vùng liên tục của hệ

 Mới đây, tại Maharaja Sayajirao University Of Baroda (Ấn Độ), trong luận án Tiến sĩ của mình, Digish (2015) bằng cách sử dụng gần đúng RPA (Random phase approximation) đã tính hàm phân cực, hàm điện môi và phổ kích thích tập thể của hệ MLGG (Mono layer gapped graphene) ở nhiệt độ không tuyệt đối và nhiệt độ hữu hạn với độ rộng năng lượng vùng cấm khác nhau

Những công bố khoa học trên cho thấy, phổ plasmon của hệ các cấu trúc lớp (cả đơn lớp và lớp đôi) nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học trong nước cũng như trên thế giới Tuy nhiên, việc nghiên cứu về phổ plasmon

và hệ số hấp thụ plasmon của lớp đôi 2DEG – MLG (mono-layer graphene) vẫn chưa được chú ý nhiều Do đó, vấn đề mà đề tài đặt ra có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, giúp các nhà khoa học vật liệu có thêm thông tin về vật liệu đầy tiềm năng, graphene

1.3 MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

1.3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Tính toán và vẽ đồ thị phổ kích thích tập thể (plasmon) và hệ số hấp thụ cho hệ hai chiều có dạng lớp đôi 2DEG – MLG có kể đến bề dày lớp, với điện môi nền đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối, góp phần hoàn chỉnh lý thuyết về các hệ hai chiều có chứa graphene

1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu

Có thể sử dụng phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên để tính toán hàm điện môi động của cấu trúc lớp đôi 2DEG – MLG, rồi dùng phương pháp số để giải các phương trình, từ đó tính toán phổ kích thích tập thể và hệ số hấp thụ của hệ

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài đã sử dụng phối hợp các phương pháp sau:

 Phương pháp kế thừa và phương pháp tổng hợp: tổng hợp, sử dụng kết quả của một số bài báo khoa học để tính thế tương tác Coulomb của hệ, các biểu thức

và phương trình giải tích Đề tài sử dụng phương pháp tiếp cận lý thuyết làm phương pháp nghiên cứu chủ đạo

4

 Phương pháp giải tích và phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (random phase approximation – RPA): tính toán chi tiết hàm phân cực, hàm điện môi cho hệ khảo sát

 Phương pháp số: sử dụng ngôn ngữ lập trình C++ giải phương trình, tìm phổ kích thích plasmon, tạo dữ liệu cho việc vẽ đồ thị biểu diễn phổ và hệ số hấp thụ

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: xin ý kiến, thảo luận với chuyên gia về kết quả

 Phương pháp so sánh: so sánh kết quả bước đầu của đề tài với kết quả tương tự của các tác giả khác trong nước và trên thế giới

1.5 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

1.5.1 Đóng góp về mặt khoa học

Plasmon là một trong những đặc tính vật lý quan trọng của một vật liệu nói chung và vật liệu thấp chiều nói riêng Kết quả đề tài trình bày về thuộc tính này của một hệ hai chiều có dạng lớp đôi, được hình thành từ một lớp khí điện tử hai chiều quen thuộc và một lớp graphene Kết quả này góp phần hoàn thiện lý thuyết về vật liệu mới, lớp đôi chứa graphene; giúp các nhà khoa học vật liệu có thêm thông tin để lựa chọn vật liệu trong việc sản xuất và ứng dụng các linh kiện điện tử

1.5.2 Đóng góp công tác đào tạo

Kết quả đề tài có thể dùng làm tài liệu giảng dạy, tham khảo cho sinh viên và học viên cao học ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán, Vật lý kỹ thuật, Công nghệ vật liệu; làm cơ sở để nghiên cứu các hệ hai chiều có cấu trúc tương tự

1.5.3 Đóng góp phát triển kinh tế xã hội

Đề tài góp phần phát triển ngành khoa học cơ bản thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của bản thân tác giả và uy tín khoa học của Trường Đại học An Giang trong giới khoa học cũng như so với các trường bạn trong nước và trên thế giới

CHƯƠNG 2 HÌNH THỨC LUẬN ĐIỆN MÔI

2.1 MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CƠ BẢN CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU

2.1.1 Mô hình khí điện tử hai chiều trong giếng thế lượng tử

Giếng lượng tử khí điện tử là cấu trúc tạo bởi lớp vật liệu A được kẹp giữa hai lớp vật liệu khác B và C (hình 2.1) Tính chất của hạt tải trong giếng lượng tử phụ thuộc từng trường hợp cụ thể Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát ta có thể tìm được các đại lượng đặc trưng vật lý như hàm sóng, năng lượng, mật độ trạng thái của hạt tải điện trong giếng

V(z)

Hình 2 1 Mô hình giếng lượng tử (a) và hàm thế năng của giếng sâu vô hạn (b)

2.1.2 Hàm sóng và năng lượng

Trong mô hình giếng thế lượng tử được trình bày trong hình 2.1, các electron

có thể chuyển động tự do trong mặt phẳng Oxy Nhưng theo phương của trục Oz, hạt chịu thêm tác dụng của trường thế năng V z hình thành do sự khác biệt năng lượng  của đáy vùng dẫn ở các lớp Để đơn giản ta giả sử giếng thế có chiều sâu vô hạn, hàm thế năng có dạng (hình 2.1b)

m là khối lượng hiệu dụng của điện tử theo phương Oz Thế năng V z  chỉ phụ

thuộc vào z , nên điện tử được xem như chuyển động tự do trong mặt phẳng Oxy

và hàm sóng của điện tử theo trục x và y sẽ là sóng phẳng Khi đó, hàm sóng của

điện tử được viết lại như sau:

x y z, ,  expik x x exp ik y y  z

k E

m

với k k k x, y là vector sóng hai chiều trong mặt phẳng Oxy, phương trình

(2.4) được viết lại như sau:

Phương trình (2.6) là phương trình Schrödinger một chiều và việc giải phương

trình này trở nên đơn giản trong một số trường hợp Đối với V z  ở (2.1), phương

trình Schrödinger cho điện tử bên trong giếng thế (V z 0) là

Sử dụng các điều kiện biên tại các thành của giếng thế  0  a 0, hàm

sóng (2.8) được viết lại như sau:

  sin

z

z n

Vậy, hàm sóng và năng lượng tương ứng của điện tử trong giếng lượng tử

Mật độ trạng thái được định nghĩa là số trạng thái lượng tử trên một đơn vị năng lượng chứa trong một đơn vị thể tích của không gian thực

  3

3

D D

N là số trạng thái chứa trong một đơn vị thể tích không gian thật

Để xác định mật độ trạng thái trong hệ hai chiều (two-dimentional – 2D), trước tiên ta xác định đại lượng này trong hệ ba chiều (three-dimensional – 3D)

Xét một hệ các điện tử trong tinh thể bán dẫn khối lập phương, mỗi cạnh có

chiều dài L (hằng số mạng) Điều kiện biên tuần hoàn Bloch cho hàm sóng:

8

lớp vật liệu chứa 2DEG); thừa số 4 3

3k chính là thể tích của hình cầu có bán kính bằng k trong không gian xung lượng, 3

L chính là thể tích ô đơn vị trong không gian

E k

k E m

 , ta có

1/2

* 2

s D

Biểu thức (2.19) cho thấy, mật độ trạng thái của khí điện tử trong hệ ba chiều

tỷ lệ với căn bậc hai của năng lượng

Tương tự như trong trường hợp ba chiều, đối với trường hợp hai chiều thể tích hình cầu có bán kính k suy biến về diện tích hình tròn bán kính bằng k trong không gian xung lượng Do đó tổng số các trạng thái trên một đơn vị diện tích, 2 D

2

s D

2.2 MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CƠ BẢN CỦA GRAPHENE

2.2.1 Cấu trúc tinh thể của graphene đơn lớp (monolayer graphene – MLG)

Mạng tinh thể graphene là một mạng lưới các nguyên tử carbon được liên kết

và sắp xếp với nhau theo cấu trúc một lưới lục giác đều hình tổ ong Mỗi cạnh có chiều dài 0

1, 42 A Cấu trúc của lưới này được tạo thành nhờ các liên kết hoá học

cộng hoá trị giữa các nguyên tử carbon với nhau Theo đó, mỗi nguyên tử carbon riêng biệt ở trạng thái cơ bản chứa sáu electron theo cấu hình electron là 2 2 2

1 2 2s s p ,

nghĩa là có hai electron lắp đầy lớp trong 1s, liên kết chặt chẽ với hạt nhân, không tham gia vào các phản ứng hóa học Bốn electron chiếm các lớp ngoài theo mức năng lượng từ thấp đến cao thuộc các orbital 2s và 2p Vì các orbital 2p có năng lượng tương đối gần mức 2s, chỉ cao hơn cỡ 4 eV (Saito, Dresselhaus và Dresselhaus,1998) nên khi các nguyên tử carbon được kích thích tham gia vào liên kết trong mạng graphene, một electron ở mức 2s nhảy lên mức 2p để hình thành các liên kết hóa học cộng hóa trị với các nguyên tử khác

Như vậy, ở trạng thái kích thích, các electron ngoài cùng của nguyên tử cacbon tồn tại ở bốn trạng thái lượng tử trong các orbital 2s và 2 p Sự xen phụ hàm sóng (xen phủ trạng thái) của orbital 2s và hai trong ba trạng thái của orbital 2 p

( 2p x và 2p y chẳng hạn) tạo nên sự lai hóa sp được mô tả bởi hàm sóng có 2

2.2.2 Cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong gần đúng liên kết chặt

Như đã trình bày ở mục 2.2.1, ta chỉ quan tâm đến năng lượng của các liên kết

 trong tinh thể graphene Về mặt cấu trúc tinh thể, có thể xem tinh thể graphene được hình thành từ hai mạng con dạng tam giác đều của hai loại nguyên tử C khác nhau A và B (hình 2.2a) Ô đơn vị của mạng Bravias tương ứng được chọn với thể tích bé nhất là hình thoi chấm gạch trên hình 2.2a Trong ô đơn vị này có hai nguyên

tử C khác loại Các vector đơn vị của mạng thuận a và 1 a được biểu diễn trên hình 2

2.2a Nếu chọn các trục tọa độ như trong hình thì các vector này có tọa độ

ứng với hằng số mạng 4 / 3a trong không gian mạng đảo Vector đơn vị b1

và b2 của mạng đảo lục giác đều được quay một góc 900 từ vector đơn vị a và 1 a2

của mạng tinh thể lục giác đều trong không gian thực, như thể hiện trong hình 2.2 Bằng cách chọn vùng Brillouin thứ nhất là lục giác đều tô đen trong hình 2.2b, chúng

ta có ba điểm đối xứng cao Г, K và M tương ứng tại tâm, góc và trung điểm của cạnh

a)

M K

K’

b) Hình 2 2 Ô đơn vị và vùng Brillouin của graphene Với cách chọn ô đơn vị như trên, ta sử dụng phương pháp liên kết chặt để phân tích cấu trúc vùng năng lượng của graphene Trong phương pháp liên kết chặt, hàm sóng cơ sở là hàm Bloch, tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng nguyên tử của hai nguyên tử khác loại nằm trong ô đơn vị A và B

trong đó 0   Ar R H Br R R i , i1, 2,3 (do tính chất đối xứng của hệ nên 0 không phụ thuộc i) là năng lượng tương tác giữa các điện tử thuộc lân cận gần nhất (the nearest-neighbor hopping energy), f k là tổng của các  

thừa số pha ikR j,  1, 2,3

e j Sử dụng tọa độ Oxy như hình 2.2a chúng ta thấy

như một gần đúng đơn giản cho cấu trúc điện tử của graphene:

33

K

a a

K

a a

v   a cm s với c là tốc độ ánh sáng truyền trong

chân không Giá trị này được gọi là vận tốc graphene, lần đầu tiên thu được bởi Wallace (1947)

Đặc điểm quan trọng nhất trong hệ thức năng lượng của graphene là năng lượng phụ thuộc tuyến tính vào động lượng như trong phương trình (2.39)

  F

E q   v q Dấu  ở đây chỉ vùng dẫn và vùng hóa trị, hai vùng này giao nhau tại q0 vì vậy không có vùng cấm ngăn cách giữa hai vùng này Chính vì vậy một lần nữa chúng ta thấy graphene là một loại bán dẫn có vùng cấm bằng không (zero gap) với hệ thức tán sắc năng lượng ở vùng bước sóng dài cho cả điện tử (lỗ trống) trong dải dẫn (hóa trị) là tuyến tính chứ không phải là bình phương như hệ thức tán sắc năng lượng trong các chất bán dẫn khác Sự tồn tại của hai điểm Dirac tại K và K’, chỗ mà các mặt nón của điện tử và lỗ trống trong không gian xung lượng gặp nhau dẫn đến thừa số suy biến vùng (valley) cho graphene g v2 (so với g 1 của khí điện tử hai chiều trong AsGa)

2.2.3 Một số đại lượng đặc trưng của graphene

Trong phần này chúng ta sẽ điểm qua một số tính chất của graphene và so sánh với khí điện tử hai chiều trong bán dẫn để thấy rõ sự khác biệt về tính chất của điện tử trong graphene và điện tử trong khí điện tử hai chiều trong chất bán dẫn (Sarma và cs, 2011)

2.2.3.1 Vector sóng Fermi:

Trong hệ hai chiều vector sóng Fermi là giá trị xung lượng mà tất cả các trạng thái dưới giá trị này đều bị lấp đầy bởi các trạng thái riêng không tương tác Giá trị vector sóng Fermi kí hiệu là k F Đối với hệ có 2 chiều:

 

2 2

44

2.2.3.2 Năng lượng Fermi :

Từ giá trị vector sóng Fermi thu được trong 2.2.3.1 và biểu thức năng lượng của graphene trong vùng sóng dài lân cận điểm Dirac (2.39), chúng ta có giá trị của năng lượng Fermi E cho graphene : F

 

 

2 2

dN E g g E

g E

dE  v

Một điều khác biệt nữa ở đây giữa graphene so với khí điện tử hai chiều trong

bán dẫn là trong graphene mật độ trạng thái tỉ lệ với năng lượng E , còn trong khí

điện tử giá trị này là một hằng số 2   2

2

s v D

Đối với graphene không kích thích (undoped graphene) toàn bộ vùng hóa trị

được lấp đầy và vùng dẫn hoàn toàn trống nên n0 và E F 0, vì vậy đối với graphene không kích thích D0 0

2.2.3.4 Tham số tương tác rs :

Tham số tương tác chính là bán kính Wigner-Seitz và được kí hiệu là r Đại s

lượng này là tỉ số giữa năng lượng tương tác Coulomb trung bình giữa các điện tử với năng lượng Fermi Ở đây năng lượng tương tác Coulomb trung bình giữa các điện tử chỉ tính đơn giản là

2

e V

F

g g e

n

 ~n1/2, thừa số này tăng lên khi mật độ giảm

2.3 HÀM PHÂN CỰC VÀ HÀM ĐIỆN MÔI ĐỘNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG TUYỆT ĐỐI

Các tính toán chi tiết về hàm phân cực và hàm điện môi của lớp khí điện tử hai chiều ở nhiệt độ không tuyệt đối đã được Czachora, Holas, Sharma, và Singwi (1982) tính toán chi tiết Các kết quả này cos thể được tóm lượt như sau:

Hàm phân cực (còn gọi là hàm phản hồi) của 2DEG (phụ thuộc vào tần số 

 

2 2

2

1( , )

2

F DEG

F DEG

m k q q

Dạng giải tích của hàm phân cực và hàm điện môi động của đơn lớp graphene

ở nhiệt độ không tuyệt đối đã đƣợc Hwang và Sarma (2007) trình bày Sau đây chúng tôi tóm tắt kết quả này

Hàm phân cực của đơn lớp graphene đƣợc xác định bằng biểu thức

1 ' cos,

2

ss

ss

F k k    với  là góc giữa k và k Ta

s v g

2

s v g

g g n

g g E

v 

  là mật độ trạng thái tại mức Fermi mà ta đã đƣa ra trong mục 2.2, chúng ta có:

 là thế tương tác Coulomb hai chiều

Chúng ta thấy rằng hàm điện môi trong graphene hoàn toàn khác với hàm điện môi hai chiều trong chất bán dẫn với hệ thức tán sắc năng lượng là parabol (Stern, 1967)

z = w

2DSpacer

Hình 2 3 Cấu trúc lớp đôi 2DEG-MLG Hàm điện môi động của hệ lớp đôi chứa 2DEG - MLG đƣợc xác định (Scharf

  cosh  sinh  2 cosh   2 sinh  cosh  2 sinh 

Ta thấy hàm phân cực và hàm điện môi động của hệ lớp đôi 2DEG-MLG có

dạng phức tạp Do đó, việc giải phương trình điểm không hàm điện môi cũng như

tính toán hệ số hệ số hấp thụ plasma của hệ chỉ có thể thực hiện bằng phép tính giải

tích trong gần đúng sóng dài (q0) hoặc phải tìm nghiệm bằng phương pháp giải

số