Không gian LP và các ứng dụng của định lý hội tụ đơn điệu và định lý hội tụ bị chặn

LỜI NÓI ĐẦU Dựa vào tính chất hình học của không gian ¡ k, người ta đã xây dựng lý thuyết tích phân Lebesgue cho không gian ¡ k mà không dựa trên lý thuyết độ đo.. Lý thuyết tích phân đư

KHOA SƯ PHẠM

W X

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

ĐỊNH LÝ HỘI TỤ ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỊNH LÝ HỘI

TỤ BỊ CHẬN

NGƯỜI THỰC HIỆN : NGUYỄN NHƯ LÂN

ĐƠN VỊ : BỘ MÔN TOÁN – KHOA SƯ PHẠM

LONG XUYÊN - 2004

LỜI NÓI ĐẦU

Dựa vào tính chất hình học của không gian ¡ k, người ta đã xây dựng

lý thuyết tích phân Lebesgue cho không gian ¡ k mà không dựa trên lý

thuyết độ đo Lý thuyết tích phân được xây dựng theo lối như vậy được trình

bày ở tài liệu Lý Thuyết Tích Phân của Giáo Sư ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Trên

cơ sở đó, đề tài này khảo sát các tính chất của các không gian Lp( ) Ω

Đã có nhiều tài liệu trình bày về không gian Lp( ) Ω nhưng hầu hết

các tài liệu trình bày dựa trên lý thuyết độ đo Ở đề tài này, trong chứng

minh các tính chất của không gian Lp( ) Ω ta chủ yếu dựa vào định lý hội tụ

đơn điệu và định lý hội tụ bị chận mà không dựa trên lý thuyết độ đo, hai

định lý biểu diễn Riesz cho không gian Lp( ) Ω cũng được chứng minh

không dựa trên lý thuyết độ đo Đây là điểm khác biệt của đề tài này so với

các tài liệu khác đã trình bày

Nội dung của đề tài gồm năm phần: Trong phần thứ nhất trình bày các

kiến thức chuẩn bị Phần thứ hai trình bày định nghĩa và các tính chất của

không gian Lp( ) Ω , ở đây ta chứng minh các bất đẳng thức , bất

đẳng thức Minkowski và tính đầy đủ của không gian

Holder &

( )

p

L Ω Phần thứ ba trình bày về tính trù mật và tách được của không gian , ta chứng

minh được tập các hàm bậc thang, tập các hàm bậc thang có giá compact

≤ < ∞ ( )

p

L Ω , kết quả chính của phần này là định lý IV.1, định lý IV.2, hai định lý này chỉ ra điều kiện để

tập con trong là compact tương đối Phần cuối cùng ta trình bày về

tính lồi đều và đối ngẫu của không gian

, và định lý biểu diễn Riesz cho

(

p

L Ω )

1 p < < ∞ L1( ) Ω

KHÔNG GIAN LP VÀ CÁC ỨNG DỤNG

CỦA ĐỊNH LÝ HỘI TỤ ĐƠN ĐIỆU VÀ HỘI

TỤ BỊ CHẬN

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Từ đđy về sau ta quy ước Ω lă một tập đo được trong ¡ Ta quy ước n

lă hai hăm đo được f vă g lă bằng nhau nếu f f h.h=

Chứng minh. Nếu p 2 or t 0 or t 1= = = , dễ thấy ( )3 đúng Giả sử

Ta chứng minh mỗi số hạng của chuỗi là dương với 0 s 1< < Số hạng thứ k

có thể được viết dưới dạng

p p 1 2 p 3 p 2k 1 p

s2k !

vì 0≤(2k p− ) (p 1− ≤) 2k p 1( − ) nên

f′ θ = −p rsin′ θ 1 r+ +2r cosθ ′ − − +1 r −2r cosθ ′ − ≤0 ∀θ∈ 0,π 2

Như vậy giá trị cực đại của f xảy ra tại 0θ = và do đó ( )6 được chứng

Định lý I.1(Ascoli-Arzela) Giả sử Ω là một miền bị chận trong ¡ k

Một tập con K ⊂C( )Ω compact tương đối trong C( )Ω nếu thoả:

i/ Tồn tại hằng số M sao cho với mỗi φ∈ và K x∈Ω φ, ( )x ≤ M

ii/ Với mỗi ε > tồn tại 0 δ > sao cho nếu 0

và

K, x, y

φ∈ ∈Ω x y− < δthi φ( ) ( )x − φ y < ε

Định lý I.2 Một tập A là compact tương đối trong không gian

Banach X nếu và chỉ nếu với mỗi số dương ε tồn tại một tập con hữu

Định lý I.3(Hội tụ đơn điệu) Cho ( )fm là một dãy tăng những hàm

khả tích trên ¡ Nếu dãy các tích phân bị chận trên, thì có một hàm khả n

tích f :¡ n →¡ sao cho fm →f h.h và mlim fm( )x dx f x dx( )

Định lý I.4(Hội tụ bị chận) Cho ( )fm là một dãy tăng những hàm

khả tích trên ¡ sao cho n mlim fm( ) ( )x f x h.h

→∞ = Nếu có một hàm khả tích g sao cho

m

f x ≤g x h.h, thì f khả tích,

Định lý I.5(Fubini) Cho f là một hàm khả tích trên ¡ r s + Thì tích

phân g y( )= ∫f x, y dx( ) tồn tại với h.h các y, tích phân g x( )=∫f x, y dy( )

tồn tại với h.h các x Ngoài ra, g và h khả tích và ta có

Định lý I.7 Cho T là một song ánh khả vi từ tập mở U vào tập mở

W (trong ¡ n), ngoài ra T− 1 liên tục Khi đó nếu f khả tích trên W thì

Định nghĩa Cho tập mở Ω ⊂ ¡ n, ta ký hiệu C( )Ω là tập các hàm

liên tục trên , Ω Cm( )Ω là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới bậc m

với giả thiết tích phân trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g

II ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN LP( )Ω

Định nghĩa Cho f là hàm đo được trên Ω, nếu f p với

khả tích trên Ω, ta định nghĩa

1 p≤ < ∞

1 p p p

là hai số liên hợp và

u ≤

∫

Ωhay

q p

1 u v

Định lý II.2 (bất đẳng thức Minkowski)

Nếu 1 ≤ p < ∞ và u,v∈L (Ω), thì ( u + v ) ∈

L ( Ω), và

p p

p p

v

u+ ≤ + Với 1 < p < ∞ :

Ta có

p

)x(v)

x(u2)

x(v)x(u)

x(v)x(

vu

q

1 1 p

vu

−

hay

p p

< ∞ Vậy L p

( Ω) với 1≤ p < ∞ là không gian định chuẩn

Định lý II.4 Với 0 p 1< < sao cho p′ =p p 1( − < Giả sử ) 0

Chứng minh Nếu u v 0= = trong LP( )Ω , thì ( )10 lă tầm thường

Ngược lại vế trâi lớn hơn không Âp dụng ( )9 ta có

p p

Ω

|| f ||∞ = inf { λ : λ > | f(x) | h.k.n }

sao cho λn → u ∞ và với mỗi n,

n

)x(

≤ g fg

Hệ quả II.7 ∞là chuẩn trong L∞

(Ω) Vậy

L∞

(Ω) là không gian định chuẩn

Định lý II.8 Giả sử | Ω | < ∞ và 1 ≤ p ≤ q

≤ ∞ Khi đó

(i) Nếu u ∈ L q (Ω) , thì u ∈ L p (Ω) và

|| u ||p ≤ | Ω | q)

1 ( ) p

1 ( −

.|| u ||q

(iii) Nếu u ∈ L p (Ω) với 1 ≤ p < ∞ và tồn

tại một hằng số K sao cho

Chứng minh : (i) Nếu 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ và u ∈

Lq(Ω), từ bất đẳng thứcHo&lder,

q

p 1 q p q p

1u

u

−

Ω Ω

Ω∫ ≤⎜⎜⎝⎛∫ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛∫ ⎟⎟⎠⎞ Từ đó ta suy ra

|| u ||p ≤ | Ω | q

1 p

1−

|| u ||q (ii) Nếu u∈ L∞

Mặt khác, với mọi ε > 0 tồn tại tập đo được

A ⊂ Ω với | A | > 0 sao cho

| u(x) | ≥ || u ||∞ − ε nếu x ∈ A

Do đó

p p

A

p

)u

(Au

Vậy

lim→∞inf u ≥ u ∞

p p

Hệ quả II.9 L p (Ω) ⊂ với 1 ≤ p ≤ ∞

và bất kì Ω ⊂

)(

L1loc Ω

k

¡

Định lý II.10 Với tập con đo được Ω ⊂ ¡ k

, 1 ≤ p ≤ ∞ Không gian L p (Ω) là không gian

Banach

Chứng minh Xét trường hợp 1 ≤ p < ∞ Cho

(f ) là một dãy Cauchy trong Ln p(Ω) Khi đó có

một dãy con (f ), n

j

n 1 < n2 < sao cho

, )2,1j(2f

p n

n n m

1 j

n n

m

1 j

n n

p

2

1f

fg

j 1

Vậy, theo định lý hội tụ đơn điệu, | g | p

khả tích do đó | g | < ∞ h.kn Ta suy ra chuỗi

n n n

n1 f j 1 f j f mf

p n

p n m p

Do vế phải tiến về 0 khi m → ∞ , ta suy ra

kết quả

Với p = ∞ :

Nếu {un} là một dãy Cauchy trong L∞

(Ω), thì có tập không đáng kể

A ⊂ Ω sao cho với x ∈ Ω\A, thì

n,m,uu)x(u)x(u,u)x(

Vì dãy {|| un ||} bị chận trong ¡ nên { }u hội tụ n

đều trên Ω\A tới hàm bị chận u Đặt u(x) = 0

với x ∈ A, ta có u ∈ L∞

(Ω) và || un − u ||∞ → 0 khi n→ ∞ Vậy L∞

(Ω) là đầy đủ

Hệ quả II.11 Nếu 1 ≤ p ≤ ∞, thì mỗi dãy

Định lý III.1 Với mọi hàm không âm f ∈

L p ( Ω) , 1 ≤ p < ∞ thì có dãy (φ n ) các hàm bậc

thang sao cho φn → f trong L p

φn(x) → [ max { u(x) − v(x) , 0 }]p

1 = [ max { (1Ωf )p(x), 0 }]p

1

= 1Ωf (x) h.k.n,

| φn(x) |p

= max { sn(x) − tn(x) , 0 } ≤ | sn(x) − tn(x) | ≤ | sn(x) | + |

tn(x) |

≤ | u(x) | + | v(x) | h.k.n

Vậy theo định lý hội tụ bị chận

0flim n p

(Ω) và

f+ ≥ 0 , f− ≥ 0 Với ε > 0 bất kỳ, theo định lý

trên có các hàm bậc thang ϕ và sao cho ψ

2f

và,2

f

p p

Định lý III.3 Cho Ω là tập mở ⊂ ¡ Khi k

đó tập hợp các hàm bậc thang có giá compact

chứa trong Ω là trù mật trong L p

.slim

−

Ω

p p

0

1

Giả sử f ∈ L 1 k

) và g ∈

−f

( )

L ¡ với 1 ≤ p < ∞ Khi đó, với mỗi x∈ ¡ hàm k

α f(x − y) g(y) khả tích trên k

∈L ¡p( )k Hơn nữa

p 1 g p

f g∗ ≤ f

Chứng minh Với p = ∞ thì kết quả là rõ

rằng với mỗi x cố định, hàm

y ⎪f(x − y)⎪⎪g(y)⏐ là khả tích, nghĩa là ,y α

⎪f( x − y ) ⎪p

1.⎪g(x −y) ⎪ là hàm thuộcL ¡p( )k ặt k ác, α ⎪f(x − y) ⎪

1

∈L ¡q( )k ( q là số liên hợp của p ), dựa vào bất đẳng thức Holder,

ta suy ra hàm

y α ⎪f(x − y) ⎪.⎪g(y)⎪ = ⎪f(x − y) 1

⎪p

.⎪g(y)⎪ ⎪f(x−y) ⎪q

là khả tích và

1

k k

1 p

Hiển nhiên nếu g ∈ L ¡p( )k thì gα ∈L ¡p( )k

Mệnh đề III.5 Nếu g ∈L ¡p( )k với 1 ≤ p < ∞ ,

thì gα → g trong L ¡p( )k khi α → 0 trong ¡ k

Chứng minh Lấy g = 1P với P là một ô

trong ¡ Do 1k P liên tục tại mọi điểm của

k

¡ \∂P, mà |∂P| = 0 nên 1P liên tục h.k.n trong ¡ k

Vậy 1P(x−α) → 1P(x) khi α → 0 h.k.n trong ¡ k

)1(lim P P p

→

Do đó ( 1P)α → 1P trong L ¡p( )k khi α → 0 trong

P

K1 K

thì sα → s trong L ¡p( )k khi α → 0 trong ¡ k

Nếu g ∈L ¡p( )k và ε > 0, thì tồn tại hàm

bậc thang s sao cho

3g

s− p < ε

, và

p 1

R

p k

dx)x(s)x(gg

R

p k

dy)y(s)y(

sα − < ε α <α Vậy

0 p

gα −g ≤ gα −sα + sα −s + −s g < ε khi α < α

Do đó gα → g trong L ¡p( )k khi α → 0 trong¡ k

Định lý III.6 Nếu u ∈Lp( )Ω , 1 ≤ p < ∞, thì

=+ ), ta cọ

p p

u)z

Từ đó ta suy ra ϕε* u → u trong Lp(Ω) khi ε →

0

Định lý III.7 Cho tập hợp mở Ω ⊂ ¡ k và

hàm u : ¡ k→ ¡ triệt tiêu trên ¡ k \Ω Khi đó

(i) Nếu u ∈L1loc(Ω , thì ) ϕε*u∈C∞

Fn(y) = ϕε(xn − y) u(y), thì Fn(y) → ϕε(x − y) u(y) h.k.n Hơn nữa, gọi K

là tập con compact của Ω sao cho với mọi y ∈

Ta chứng minh ϕ ∗ε u khả vi và

⎪Fh(y)⎪ = (x hei y) (x y) W

1 (y)h

' 1Wu(y)

∞ εϕ

=Vậy

i

k i

Mặt khác do nên các đạo hàm

riêng liên tục trên

k c

Do đó (x −εz) ∉ suppu nên u(x −εz) = 0, ∀z∈

B(0,1) Vậy với mọi

Ωm = { x ∈ Ω : d(x, ¡ k\Ω) >

m

1 và ⎪x⎪ ≤ m }

Ta có Ω m ⊂ Ω, ∀m , Υ∞ =Ω, và Ω

=

Ω1 m

Lấy u ∈ Lp(Ω) , ta có u.1 ∈ L

m

Ω p(Ω) , ∀m , và u.1 (x) → u(x) h.k.n,

m Ω

p p

p

)x(u2)x(u)x(1.u

Do đó, theo định lý hội tụ bị chận,

0u

1.ulim

1

u

p 0

.u)1.u(

*lim

p m

.u)1.u(

*

p M

1

0 m 0

−ϕ

≤

−

p p

M

1 p

M

1 *(u.1 ) u *(u.1 ) u.1 u.1 u

0 m 0

m 0

m 0

Định lý III.9 L p (Ω) là tách được nếu 1 ≤

p < ∞

Chứng minh Với m = 1,2, đặt

m

Ω = { x∈ Ω ; d(x, ¡ k\Ω) >

m

1 và ⎪x⎪ ≤ m },

thì Ω là tập con compact của m Ω Gọi P là

tập tất cả các đa thức trên ¡ kcó hệ số hữu

tỉ Đặt Pm = { −⎪f ∈ P }, thì P

m1

trong C(Ω ) Hơn nữa, m Υ∞ là đếm được

=1 m mP Nếu u ∈ Lp(Ω) và η > 0, tồn tại sao

cho

)(

(Ω) và do đó Lp(Ω) là tách được

IV CÂC TẬP COMPACT TƯƠNG ĐỐI TRONG Lp( )Ω

Cho u lă hăm xâc định h.k.n trín miền Ω ⊂ ¡ , ta ký hiệu u% lă hăm k

Định lý IV.1 Giả sử 1 p≤ < ∞ Một tập con bị chận K ⊂LP( )Ω là

compact tương đối trong Lp( )Ω nếu và chỉ nếu với mỗi số tồn tại

số và một tập con sao cho với mỗi

Chứng minh Tachỉ cần chứng minh cho trường hợp đặc biệt Ω = ¡ k

Chiều thuận: Giả sử K là tập compact tương đối trong Lp( )Ω Cho

bên ngoài Br 1+ với h 1< Do đó

Nếuφ∈ thoả S u− φ < ε 3 , thì cũng có p T u Th − φ < ε Do đó theo h p 3

( )16 ta có với h đủ nhỏ (không phụ thuộc vào u K∈ ),

T u u− ≤ T u T− φ + T φ − φ + φ −u p < ε(2 3)+ Thφ − φ < ε p

Chiều đảo: Lấy và chọn ε >0 G⊂⊂ ¡ sao cho với mọik u K∈

p p

ϕ ∗ φ là dãy Cauchy hội tụ tới uϕ ∗ trong η L ¡P( )k

η→ ϕ ∗ − = đều với u K∈ Bây giờ ta cố định 0η > sao cho

p G

Ta chứng tỏ rằng {ϕ ∗η u : u K∈ }thoả mãn điều kiện của định lý

Ascoli-Arzela trên G và do đó là compact tương đối trong C G Theo ( )

chứng minh của định lý III.6, ta có

k

1 p p x

nó bị chận đều vớix∈¡ và u Kk ∈ vì K là tập bị chận trong L ¡P( )k và ηcố

Như vậy{ϕ ∗η u : u K∈ }compact tương đối trong C G và theo định ( )

lý I.2 tồn tại một tập hữu hạn{ψ1, ,ψ sao cho nếu m} , thì

u K∈j,1 j m≤ ≤ x G∈

Do đó K có một ε −nethữu hạn trong L ¡P( )k là{ψ%1, ,ψ% , và vì vậy là m}

compact tương đối theo định lý I.2

Định lý IV.2 Cho 1 p≤ < ∞và K ⊂LP( )Ω Giả sử tồn tại một dãy

{ }Ω các tập con của j Ω thoả:

i/ với mỗi j, Ω ⊂ Ωj j+1;

ii/ với mỗi j tập hợp {u : u KΩj ∈ }lă compact tương đối trong LP( )Ω ;

iii/ với mỗi ε >0, tồn tại j sao cho

Khi đó K lă compact tương đối trong LP( )Ω

Chứng minh Lấy dêy { }un ⊂ K Khi đó theo (ii) tồn tại một dêy con

v =u với n=1,2, Rõ răng { }v lă một dêy con của n { }u n

Cho , tồn tại j [theo (iii) ] sao cho ε >0

Từ ( )22 vă ( )23 ta thấy rằng { }v lă một dêy Cauchy trong n Lp( )Ω vă vì

vậy nó hội tụ trong Lp( )Ω Do đó K compact tương đốI trong Lp( )Ω

V TÍNH LỒI ĐỀU VÀ ĐỐI NGẪU CỦALp( )Ω

Định lý V.1(bất đẳng thức Clarkson) Cho

u,v∈ L p (Ω) Với 1< p < ∞ và p' = p/(p−1) Khi đó

(i) Nếu 2 ≤ p < ∞, thì

p p

p p p

p

p

p

v2

1u

2

12

vu2

v

1 ' p p p

p p

' p

p

' p

p

v2

1u

2

12

vu2

+

(ii) Nếu 1 < p ≤ 2, thì

1 ' p p p

p p

' p

p

' p

p

v2

1u

2

12

vu2

+

,

p p

p p p

p

p

p

v2

1u

2

12

vu2

v

Chứng minh (i) Với 2 ≤ p < ∞,

+ Aïp dụng bổ đề 1 với z = u(x), w = v(x),

ta có

∫

∫

Ω Ω

−+

+

=

−+

vu2

vu2

vu

p p

p p

v2

1u

2

1v

2

1u2

+ Ta chú ý rằng

p 1

p

' p

p p

1 p ' p '

p

2

12

12

(*)

1 ' p p p

1 ' p p p

p

2

1u2

1v

2

1u

p

2

vu2

vu

' p '

p

2

vu2

vu

−

−+

+

=

1 p

' p

1 p

' p

2

vu2

vu

−

−

−+

+

' p

p

' p

vu2

p

' p

p 1

' p

1 p

' p '

p

p

' p

vu2

vu2

vu2

vu

−

−

−+

+

=

−++

1 p

1 1 p ' p '

p2

vu2

v2

1u

p

2

1u

' p '

p

w2

1z2

12

wz2

+

Ta suy ra

1 p ' p '

p p

p

2

wz2

wzw

2

1z21

2 p

2

wz2

wz2

p p

2

wz2

p p

2

wz2

wzw

2

1z2

1v

2

1u

21

2

vu2

vu

∫ ∫

Ω Ω

2

vu2

vu

v

u+ + −

Hệ quả V.2 L p (Ω) lồi đều khi 1 < p < ∞

Chứng minh Lấy u,v ∈ Lp(Ω) sao cho

1v

p 1 22

v

u+ ≤ − ε

+) Nếu 1 < p ≤ 2, từ bất đẳng thức

Charkson (ii), ta có

p ' p

vu

p

Mệnh đề V.3 Giả sử 1 ≤ p ≤ ∞ và p' là

số mũ liên hợp của p Khi đó với mỗi v ∈

L p' ( Ω), phiếm hàm L V : L p ( Ω) → ¡ xác định bởi

( L (

L p Ω = Chứng minh Từ bất đẳng thứcHölder, ta có

L (u) uv u v

Ω

≤∫ ≤ p '

Do đó LV ∈ ( Lp

(Ω) )' và

' p ))'

( L (

L p Ω ≤

Ta chứng minh

' p ))'

( L (

L p Ω =+) Nếu 1 < p ≤ ∞, ta đặt

0)x(vnếu)

x(v.)x(v)x(u

2 p

Khi đó u ∈ Lp

(Ω) và LV(u) =

' pv.u+) Giả sử p = 1 và do đó p' = ∞ :

x(

Axkhi)x(v.)x(v)x(u

p

L Ω = v

Bổ đề 3 Với 1 < p < ∞ Nếu L ∈ [

L p ( Ω) ]' và L [Lp(Ω)]' =1, thì tồn tại duy nhất w ∈

L p ( Ω) sao cho w L(w) 1

p = = Ngược lại, nếu

w ∈ L p

( Ω) và w p=1, thì tồn tại duy nhất L ∈ [

L p ( Ω) ]' sao cho L L(w) 1

)]' ( L [ p Ω = = Chứng minh +) Giả sử L ∈ [ Lp

(Ω) ]' và 1

L = Khi đó tồn tại dãy (wn)⊂ Lp

(Ω) sao cho wn p =1, ⏐L(wn)⏐ >

2

1 và lim L(wn) 1

n = Bằng cách thay wn bởi bội số thích hợp của wn sao cho

1

wn = , ta có thể giả sử L(wn) > 0

Giả sử dãy (wn) không là dãy Cauchy trong

Lp(Ω) Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho wn −wm ≥ε

với mọi m, n ∈ , do đó từ tính lồi đều, ta

(2

1

p m

www

w

wwL

1

p

m n p

m n

m n

[L( ) ( )wn L wm ]

2

1.1

δ

−

Cho n, m → ∞, ta suy ra điều mâu thuẫn

Như vậy (wn) là một dãy Cauchy trong Lp(Ω)

và vì thế hội tụ tới phần tử w∈Lp

(Ω) Dễ thấy rằng w p = , và 1

1)w(Llim)w(

x(w.)x(w)

x(v

2 p

,

thì v ∈L (Ω) và phiếm hàm Lp′

V : Lp(Ω) → ¡ lă tuyến tính liên tục thỏa

(Ω) sao cho L1(u)

≠ L2(u) Thay u bởi bội số thích hợp của u,

ta có thể giả sử rằng L1(u) − L2(u) = 2, khi

đó thay u bởi tổng của nó với bội số thích

hợp của w, ta có thể sắp xếp sao cho L1(u) =

p

2

)tuw()tuw(2

)tuw()tuw(u

1tuw2

p

' p

p

' p p ' p

2

)tuw()tuw(2

)tuw()tuw(u

t

p

1 ' p p p

p

2

1tuw2

( Ω) sao cho ∀u ∈ L

∫

Ω

= uv)

u(

Hơn nữa,

)]' ( L [ '

Như thế [L p ( Ω)]' ≅ L p'

( Ω)

Chứng minh +) Nếu L = 0 , ta lấy v = 0

+) Nếu L ≠ 0, không mất tính tổng quát,

0)x(wnếu)

x(w.)x(w)

x(v

2 p

Khi đó v ∈ Lp'

(Ω), v p' = và phiếm hàm L1 V :

Lp(Ω) → R xác định bởi

, ∀u ∈ L

∫

Ω

= uv)

u(

và

' p )]'

( L

0

fϕ= ∀ϕ∈ c∞ Ω

Ω∫

Khi đó f = 0 h.k.n trên Ω

Chứng minh Lấy tập G ⊂ Ω sao cho G compact

và chứa trong Ω Theo định nghĩa, f ∈ L1

(G) , do trù mật trong L

n n

)G(

~ c

n

~

≤ϕ

∈

và ∫ ϕ = ∀

G n

~

n,0f

Do ϕn → f trong L1

(G), nên có một dãy con ( )

k nϕsao cho f h.k.n

k

n →ϕ

trên G, do đó

2 2

n

n n

~

f1

f1