De kiem tra Hoc ki 2 mon Toanco dap an

Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.[r]

Sở Giáo dục và Đào tạo

TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2008-2009)

MÔN TOÁN LỚP 12

Thời gian làm bài : 120 phút A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

Cho hàm số : y= − x +2

2 x+1(C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của

(C) với trục Ox c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục Ox

và trục Oy d) Xác định m để đường thẳng (d ): y =x+2 m cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt

Câu 2 (1,5 điểm)

Tính các tích phân :

a) I= ∫

0

π

2

cos2x sin xdx b) J=

x

x3+1¿

2

dx

¿

∫

0

1

¿

Câu 3 (2 điểm)

Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA

b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuơng gĩc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC)

B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)

Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đĩ.( phần I hoặc phần II)

I)Theo chương trình chuẩn.

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y=− x3−3 x2+ 4 trên đoạn [-3;2]

2) Xác định m để hàm số y=x3

+(m+2)x2−2 mx+m+1 cĩ điểm cực đại

và điểm cực tiểu

3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và cĩ tâm I thuộc đường thẳng (d):

¿

x=2-t

y =3t z=1+6t

¿{ {

¿

II)Theo chương trình nâng cao.

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y=√x2+2 x +5 trên đoạn [-3;2]

2) Xác định m để hàm số y=x3+(m+2)x2−2 mx+m+1 đồng biến trên tập xác định của nĩ

3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0

HẾT

Đáp án :

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

Cho hàm số : y= − x +2

2 x+1(C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Tập xác định :

¿

R {−1

2

¿

0,25 đ

Sự biến thiên

chiều biến thiên :

2 x +1¿2

¿

¿

y '= −5

¿

0,25 đ

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞; −1

2 )và (

−1

2 ;+∞)

0,25 đ

Hàm số không có cực trị Tiệm cận : Lim

x → ±∞ y= Lim

x→ ±∞

− x +2

2 x+1=

− 1

2

x → −1

2

+ ¿

y =+ ∞

Lim

x → − 1

2

− y=− ∞ và Lim

¿

0,25 đ

Đường thẳng y= −1

2 là tiệm cận ngang

Đường thẳng x= −1

2 là tiệm cận đứng 0,25 đ

Bảng biến thiên

0,25 đ

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục Ox tại điểm ( 2

; 0 )

Vẽ đồ thị Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị

0,5 đ

y

-1/

2

+

-1 / 2

-1 / 2

b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của

(C) với trục Ox

Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 ) y’(2) = − 15

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2 ; 0 ) :

y − 0= −1

5 (x −2)⇔ y= −1

5 x +

2

c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục Ox và trục Oy

Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 )

Giao điểm với trục Oy : ( 0 ; 2 )

Vì y= − x +2

2 x+1 ≥ 0 với x ∈[0 ;2] nên diện tích hình phẳng cần tìm :

− x+ 2

2 x +1dx=¿∫

0

2

(−1

5/2

2 x +1)dx=(

−1

2 x +

5

4Ln|2 x +1|)¿0 2

S=∫

0

2

¿

S = −1+5

d)Xác định m để đường thẳng (d ): y =x+2 m cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt

Hoành độ giao điểm của (d ) và đồ thị ( C ) thỏa phương trình :

− x +2

2 x+1=x+2m(x ≠

−1

2 )

⇔

2 x2+4 mx+2 x+2m −2=0

− 1

2 ¿

2−2 m− 1+2m −2 ≠0

¿

¿

¿

⇔

¿

¿

¿x2+(2 m+1)x +m −1=0

¿

2¿ Vậy với mọi m đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt

0,5 đ Câu 2 (1,5 điểm)

Tính các tích phân : a) I= ∫

0

π

2

cos 2x sin xdx

Đặt u=cos x thì du=−sin xdx 0,25 đ

Ta có : x = 0 thì u=1

x = π2 thì u=0

Vậy I =

u2

(− du)=(− u

3

3)∨¿1 0=1

3

∫

1

0

¿

0,5 đ

b) J=

x

x3+1¿

2

dx

¿

x3+1¿2

¿

¿

x2

¿

¿

∫

0

1

¿

Ta có : x = 0 thì u=1

x = 1 thì u=2

Vậy J=

du

3 u2=−

1

3 u∨¿1 2=− 1

6 +

1

3=

1 6

∫

1

2

¿

0,5 đ

Câu 3 (2 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3)

a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA

Ta có ⃗BC=(0 ; −2 ; 3)

⃗OA=(1 ;0 ;0)

Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp tuyến là :

⃗

đ

Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến

⃗

n=(0 ;3 ;2) nên có phương trình :

(y – 2)3 + 2z = 0 ⇔ 3y + 2z – 6 = 0 0,5đ

b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC)

Phương trình mp(ABC) : x1+y

2+

z

3=1⇔ 6 x+3 y +2 z− 6=0

0,25 đ

Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 )

Phương trình tham số của đường thẳng OH:

¿

x=6t y=3t z=2t

¿{{

¿

0,5 đ

H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :

x=6t y=3t

z =2t

6x+3y +2z-6=0

¿{ { {

¿ Giải hệ trên ta được H ( 3649 ;18

49 ;

12

B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)

I)Theo chương trình chuẩn.

1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y=− x3−3 x2+4

y=− x3−3 x2+ 4 xác định và liên tục trên R

y '=0 y '=− 3 x ⇔ x=0 ; x=−22−6 x

( thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ] )

0,5 đ

Xét trên trên đoạn [-3;2]:

Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2

0,5 đ

2) Xác định m để hàm số y=x3

+(m+2)x2−2 mx+m+1 có điểm cực đại

và điểm cực tiểu

Hàm số xác định có tập xác định là R

y=x3+(m+2)x2−2 mx+m+1

y '=3 x2+2(m+2)x −2 m

¿

y '=0 ⇔ 3 x2+2(m+2)x −2 m=0

m+2¿2+6 m=m2+10 m+4

Δ'=¿

(1)

0,5 đ

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt : Δ'>0 ⇔m<−5 −√21 v m>−5+√21 0,5 đ

3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):

¿

x=2-t

y =3t z=1+6t

¿{ {

¿

Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB

Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )

Vecto AB→ =(4 ;− 4 ;2)

Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0

⇔2 x − 2 y+z+2=0

Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên tọa độ tâm I thỏa :

x=2− t

y=3t z=1+6t

2x −2y +z +2=0

¿{ { {

¿ Giải hệ trên ta được I ( −3

2;

21

Bán kính mặt cầu (S) : IB =

21

2 ¿

2

+192

¿

−3

2− 2¿

2

+¿

¿

√¿

Phương trình mặt cầu ( S )

z − 22¿2=967

2

y −21

2 ¿

2

+¿

x+3

2¿

2

+¿

¿

0,5 đ

II)Theo chương trình nâng cao.

1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

y=√x2

+2 x +5 trên đoạn [-3;2]

Ta có tập xác định của hàm sô là R Hàm số liên tục trên R

y '=

x+1

√x2+2 x +5

y '=0 ⇔ x=−1 ∈[− 3 ;2]

0,5 đ

Ta có y(-3) = √8 ; y(-1) =2 ; y(2) = √13

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là √13 , đạt tại x = 2

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1 0,5 đ

2) Xác định m để hàm số y=x3

+(m+2)x2−2 mx+m+1 đồng biến trên tập xác định của nó

Hàm số xác định có tập xác định là R

y=x3+(m+2)x2−2 mx+m+1

y '=3 x2+2(m+2)x −2 m

¿

y '=0 ⇔ 3 x2

+2(m+2)x −2 m=0

m+2¿2+6 m=m2+10 m+4

Δ'=¿

(1)

0,5 đ

Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì (1) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ( vì hệ số a của y’ là số dương)

Δ' ≤ 0 ⇔− 5−√21≤ m≤ −5+√21 0,5 đ

3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0

Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB

Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )

Vecto AB→ =(4 ;− 4 ;2)

Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0

⇔2 x − 2 y+z+2=0 ( 1 )

Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của BC

Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 )

Vecto BC→ =(− 2;2 ;− 4)

Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0

⇔− x+ y −2 z+2=0 (2) Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3)

Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) Giải hệ này ta được

Bán kính mặt cầu ( S ) : IA = √11

Vậy phương trình mặt cầu ( S ):

z − 2¿2=11

y −1¿2+¿

x +1¿2+¿

¿

0,5 đ Hết