Hình học vi phân tài liệu giảng dạy

Đường cung Γ trong Rn được gọi là chính quy nếu một tham số hóa bất kì của nó là chính quy... Đường cong chính quy c được gọi là bao hình của họ cα nếu tại mỗiđiểm của c tiếp xúc với ít

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

Giáo trình và tài liệu giảng dạy "Hình học vi phân", do tác giả Lê NgọcQuỳnh, công tác tại Khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung vàđược Hội đồng Khoa học và Đào tạo Khoa thông qua ngày / / và đượcHội đồng Khoa học và Đào tạo Trường thông qua ngày / / .

Tác giả biên soạn

Hiệu trưởng

AN GIANG, 07 - 2018

LỜI CẢM TẠ

Tài liệu giảng dạy được thực hiện tại trường Đại học An Giang Tác giả xingửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệutrường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm bộ mônToán cùng các phòng ban chức năng của trường Đại học An Giang và anh chị,bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoànthành tài liệu này

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện đã dành thời gianđọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho đề tài này

Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, những ngườithân luôn tin tưởng, thương yêu, động viên và giúp đỡ tác giả vượt qua mọi khókhăn trong suốt quá trình thực hiện tài liệu giảng dạy

Long Xuyên, tháng 7 năm 2018

Tác giả

TS Lê Ngọc Quỳnh

MỤC LỤC

Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG Rn 2

1.1 Hàm vectơ và đạo hàm của hàm vectơ trong Rn 2

1.1.1 Nhắc lại về không gian vectơ Euclide n chiều Rn 2

1.1.2 Hàm vectơ 3

1.1.3 Đạo hàm của hàm vectơ 4

1.1.4 Ma trận Jacobi và đạo hàm riêng 4

1.1.5 Vi phôi 5

1.1.6 Định lý hàm ẩn và hàm ngược 6

1.1.7 Định hướng trong Rn 7

1.2 Trường vectơ và trường mục tiêu 7

1.2.1 Không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc 7

1.2.2 Ánh xạ cảm sinh 8

1.2.3 Trường vectơ 8

1.2.4 Trường mục tiêu 9

Chương 2 LÝ THUYẾT ĐƯỜNG 10

2.1 Đường trong Rn (n = 2, 3) 10

2.1.1 Đường (cung) tham số hóa 10

2.1.2 Trường vectơ và trường mục tiêu dọc cung tham số 10

2.1.3 Đường (cung) trong Rn 11

2.1.4 Tiếp tuyến của đường cong 12

2.1.5 Độ dài cung 13

2.1.6 Tham số hóa tự nhiên 13

2.1.7 Bao hình của họ đường cong phẳng 14

2.2 Các tính chất địa phương của đường trong R2 14

2.2.1 Trường mục tiêu Frenet 14

2.2.2 Độ cong của đường cong trong R2 14

2.2.3 Công thức Frenet 15

2.2.4 Đặc trưng của đoạn thẳng và cung tròn 16

2.3 Các tính chất địa phương của đường trong R3 18

2.3.1 Khái niệm cung song chính quy 18

2.3.2 Độ cong của đường cong trong R3 19

2.3.3 Trường mục tiêu Frenet 20

2.3.4 Độ xoắn của đường cong trong R3 21

2.4 Cung hình học và đa tạp một chiều 23

2.4.1 Cung hình học 23

2.4.2 Đa tạp một chiều 24

2.5 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng 25

2.5.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu 26

2.5.2 Định lý bốn đỉnh 30

Bài tập 36

Chương 3 LÝ THUYẾT MẶT 47

3.1 Mảnh tham số và mặt trong Rn 47

3.1.1 Mảnh tham số 47

3.1.2 Mặt phẳng tiếp xúc 56

3.1.3 Đường thẳng pháp tuyến 58

3.1.4 Mảnh trong R3 58

3.2 Mảnh hình học và đa tạp hai chiều trong Rn 62

3.2.1 Mảnh hình học 62

3.2.2 Đa tạp hai chiều trong Rn 62

3.2.3 Mặt định hướng trong Rn 65

3.3 Ánh xạ Weingarten và các dạng cơ bản của mặt 68

3.3.1 Ánh xạ Weingarten 68

3.3.2 Các dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai 70

3.4 Các độ cong trên mặt 73

3.5 Mặt kẻ và mặt cực tiểu 80

3.5.1 Mặt kẻ 80

3.5.2 Mặt cực tiểu 82

3.6 Phương trình Lagrange 83

3.6.1 Phương trình Lagrange 83

3.6.2 Các tính chất địa phương 84

3.7 Đường trên mặt trong R3 86

3.7.1 Đường chính khúc 86

3.7.2 Đường tiệm cận 88

3.7.3 Đường (tiền) trắc địa 90

Bài tập 92

Tài liệu tham khảo 107

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học vi phân là một trong những nội dung trọng yếu trong chương trìnhhọc tập của sinh viên khoa Toán ở các trường Đại học Sư phạm Để góp phầngiúp sinh viên học tập môn này được thuận lợi, tác giả biên soạn tài liệu giảngdạy "Hình học vi phân"

Khác với các môn hình học Affine và Euclide và hình học xạ ảnh, công cụ chủyếu là đại số tuyến tính thì ở hình học vi phân, công cụ chủ yếu là phép tính vitích phân Sinh viên sẽ được khảo sát một lớp các đường và mặt rộng hơn (đườngtham số, mặt tham số, đa tạp 1 chiều và 2 chiều) Các vấn đề về khảo sát hàm

số sẽ được nhìn lại ở góc nhìn tổng quát và chi tiết hơn Đây là một môn học khóđòi hỏi sinh viên phải cố gắng nhiều Nhiều tính chất địa phương và toàn cục củađường và mặt sẽ được khảo sát Đây là những điều mới mẻ đối với sinh viên.Tài liệu gồm 3 chương: chương 1 dành cho việc nhắc lại các kiến thức nềntảng về phép tính vi phân trên Rn để sinh viên nắm vững và tiếp thu tốt hơn cáckiến thức hình học ở các chương tiếp theo, chương 2 dành cho lý thuyết đường,chương 3 dành cho lý thuyết mặt

Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ bổ ích đối với các bạn sinh viên theo học khoaToán ở các trường Đại học Sư phạm Sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạmngành Toán cũng có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo, đặc biệt cácgiáo viên Toán ở các trường trung học phổ thông có thể dùng giáo trình này để

ôn tập và củng cố các kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn nhưng chắc chắn rằng tài liệukhông tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp quý báu chân tình của quý đồng nghiệp và bạn đọc để tài liệu đượchoàn thiện hơn nữa

Xin chân thành cảm ơn

Long Xuyên, tháng 7 năm 2018

Tác giả

TS Lê Ngọc Quỳnh

CHƯƠNG 1.

Phép tính vi phân là một trong các công cụ chủ yếu của hình học vi phân.Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết một số khái niệm cơ bản củaphép tính vi phân trong Rn để ứng dụng nghiên cứu hình học

1.1 HÀM VECTƠ VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ TRONG RN

1.1.1 Nhắc lại về không gian vectơ Euclide n chiều Rn

Kí hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và Rn là tích Descartes của n phiênbản tập số thực, tức là

Rn= {(x1, · · · , xn)|xi ∈ R, i = 1, n}

Cho hai vectơ −→x = (x

1, · · · , xn); −→y = (y

1, · · · , yn) ∈ Rn, ta có mệnh đề sau:Mệnh đề 1.1 Tập hợp Rn là một không gian vectơ Euclide n chiều với các phéptoán:

Do đó việc nghiên cứu không gian vectơ Euclide n chiều tùy ý hoàn toàntương đương với việc nghiên cứu không gian vectơ Euclide Rn với sai khác mộtđẳng cấu

Mệnh đề 1.3 Không gian Rn cũng là một không gian Euclide n chiều

Thật vậy, ta luôn luôn có thể xét Rn như là một không gian affine với cấutrúc affine chính tắc xác định qua ánh xạ liên kết

(x, y) 7→ −→

xy = y − x, ∀x, y ∈ Rn

Khi đó, mỗi phần tử của Rnđược gọi là một điểm và không gian affine Rnvớitích vô hướng chính tắc trở thành một không gian Euclide n chiều Trong khônggian Euclide n chiều, khoảng cách giữa hai điểm x và y được định nghĩa bởi

d(x, y) = kx − yk =phx − y, x − yi

Bây giờ chúng ta xét vài kiểu tập con trong Rn:

Định nghĩa 1.1 Dãy điểm {xk} ⊂ Rn được gọi là hội tụ về x0 ∈ Rn nếu dãy

số d(x0, xk) hội tụ về 0 trong R, kí hiệu xk → x0

Định nghĩa 1.3 Cho U ⊂ Rm, hàm vectơ f : U → Rn được gọi là liên tục tạiđiểm x0 ∈ U nếu:

1.1.3 Đạo hàm của hàm vectơ

Định nghĩa 1.4 Cho hàm vectơ f : J ⊂ R → Rn, t 7−→ f (t), khi đó đạo hàmcủa f tại t ∈ J nếu có là hàm số f0(t) = lim

∆t→0

kf (t + ∆t) − f (t)k

|∆t| .Cho U ⊂ Rm, hàm vectơ f : U → Rn được gọi là khả vi tại x0 ∈ U nếu tồntại ánh xạ tuyến tính λ : Rm → Rn sao cho λ = lim

Tính chất 1.1 Đạo hàm của hàm vectơ có các tính chất sau:

a) f = (f1, · · · , fn) khả vi tại x0 ∈ U nếu và chỉ nếu fi khả vi tại x0, ∀i =

1, · · · , n và

Df (x0) = (Df1(x0), · · · , Dfn(x0))

b) f, g : Rn → R khả vi tại x0, khi đó các hàm số f + g, f.g,f

g với g(x0) 6= 0cũng khả vi tại x0 với:

D(f + g)(x0) = Df (x0) + Dg(x0),D(f.g)(x0) = g(x0)Df (x0) + f (x0)Dg(x0),

D fg

(x0) = g(x0)Df (x0) − f (x0)Dg(x0)

[g(x0)]2 c) Cho f : Rm → Rn khả vi tại x0 và g : Rn → Rp khả vi tại f (x0) Khi đó

gof khả vi tại x0 và D(gof )(x0) = Dg(f (x0))Df (x0)

1.1.4 Ma trận Jacobi và đạo hàm riêng

Định nghĩa 1.5 Cho U ⊂ Rm và hàm f : U → Rn khả vi tại x0 ∈ U Khi đó

ma trận của ánh xạ tuyến tính Df (x0) đối với các cơ sở chính tắc của Rm và Rn

được gọi là ma trận Jacobi của f tại x0, kí hiệu f0(x0)

Định thức của ma trận Jacobi f0(x0) được gọi là định thức hàm Jacobi hayJacobien của f tại x0, kí hiệu Jf(x0)

Hạng của f tại x0, kí hiệu rankx0(f ) được định nghĩa là hạng của ma trậnJacobi f0(x0)

Từ định nghĩa ta thấy rằng rankx0(f ) ≤ min(n, m)

+ Trường hợp rankx0(f ) = min(n, m) thì x0 là điểm chính quy của f

+ Trường hợp rankx0(f ) < min(n, m) thì x0 là điểm kì dị của f

Định nghĩa 1.6 Cho U ⊂ Rm và hàm f : U → R, x0 ∈ U Nếu tồn tại

thì giá trị này được gọi là đạo hàm riêng thứ i của f tại x0 và ta kí hiệu là Dif (x0)hay ∂f

và gọi là đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2 của f tại x0

Nếu các hàm Dijf và Djif liên tục trên một tập mở chứa x0 thì ta có

Dijf (x0) = Djif (x0)

b) Theo nhận xét trên, ta cũng định nghĩa được đạo hàm riêng hỗn hợp cấp

k của f tại x0 bằng quy nạp và kí hiệu là:

Cho Umở ⊂ Rn và hàm f : U → Rn được gọi là vi phôi trơn địa phương tại

x0 nếu tồn tại một lân cận Ux0 của x0 sao cho f |U0 : U0 → f (U0) là vi phôi trơn.Hàm f liên tục được coi là khả vi lớp C0

Định lý 1.1 (Định lý hàm ẩn địa phương) Cho U ×V mở trong Rn×Rm ∼=

Rn+m và (x0, y0) ∈ U × V Giả sử f : U × V → Rn khả vi liên tục sao cho

f (x0, y0) = 0 và det(Dn+jfi(x0))m×m 6= 0Khi đó tồn tại các lân cận V (x0), W (y0) sao cho

∀x ∈ V (x0), ∃!y = g(x) ∈ W (y0) để f (x, g(x)) = 0

Ở đây, g : V (x0) → W (y0) là hàm khả vi và gọi là hàm ẩn xác định bởi phươngtrình f (x, y) = 0

Định lý 1.2 (Định lý hàm ngược địa phương) Cho V mở trong Rn, f : V →

Rn khả vi liên tục và x0 ∈ V là điểm chính quy của f Khi đó tồn tại cáclân cận mở V (x0) và W (f (x0)) sao cho f : V (x0) → W (f (x0)) là vi phôitrơn (tức f là vi phôi trơn địa phương tại x0) Nói riêng, tồn tại hàm ngược

g = f−1 : W (f (x0)) → V (x0) gọi là hàm ngược (địa phương) của f trong lân cậncủa điểm x0

1.1.7 Định hướng trong Rn

Định nghĩa 1.9 Hai cơ sở () và (0) của Rn được gọi là cùng hướng nếu matrận chuyển S = (sij)n từ () sang (0) có det S > 0

Nhận xét

a) Quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương trên tập hợp các cơ sở của Rn

và chỉ có hai lớp tương đương Ta nói mỗi lớp tương đương xác định một hướngtrong Rn

b) Hai cơ sở thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng với nhau.Lớp của cơ sở chính tắc xác định một hướng trên Rn gọi là hướng dương (hayhướng chính tắc) Hướng còn lại được gọi là hướng âm (hay hướng đối chính tắc).Định nghĩa 1.10 Ta có các định nghĩa sau:

(i) Phép biến đổi tuyến tính ϕ : Rn → Rn được gọi là bảo toàn hướng nếudet ϕ > 0 Trường hợp det ϕ < 0 ta nói ϕ là đảo hướng

(ii) Phép affine f của Rn được gọi là bảo toàn hướng nếu phép biến đổi tuyếntính nền của f là bảo toàn hướng Trường hợp phép biến đổi tuyến tính nền của

f đảo hướng ta nói f đảo hướng

(iii) Phép đẳng cự của Rn bảo toàn hướng được gọi là phép dời hình Phépđẳng cự của Rn đảo hướng được gọi là phép phản dời hình

1.2 TRƯỜNG VECTƠ VÀ TRƯỜNG MỤC TIÊU

1.2.1 Không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc

h(x0, x), (y0, y)i = hx, yi

Ta gọi Rn

x 0 hay Tx0Rn là không gian tiếp xúc với Rn tại x0 Ta có thể hìnhdung Tx0Rn là không gian các vectơ của Rn với gốc đặt tại x0 và Tx0Rn cũng làkhông gian Euclide được xác định nhờ vào Rn

Mỗi phần tử (x0, x) ∈ Rn được kí hiệu là xx0 Hệ vectơ {e1x0, · · · , enx0} ứngvới cơ sở chính tắc của Rn lập thành một cơ sở trực chuẩn trong Tx0Rn

Cho U mở trong Rn, lấy x0 ∈ U Khi đó Rn

x 0 cũng được gọi là không gian tiếpxúc với U tại x0 hay Tx0Rn = Tx0U

Tập T U = x

0 ∈U Rnx 0 = U × Rn được gọi là phân thớ tiếp xúc trên U 1.2.2 Ánh xạ cảm sinh

Định nghĩa 1.11 Cho U là tập mở trong Rn, ánh xạ trơn f : U → Rm Với mỗi

x0 ∈ U , f cảm sinh ra ánh xạ tuyến tính f∗x 0 : Tx0Rn → Tf (x0)Rm xác định bởi

f∗x 0((x0, x)) = (f (x0), Df (x0)(x)) trong đó Df (x0) : Rn → Rm là ánh xạ tuyếntính

Khi đó f∗x 0 hay Tx 0f là ánh xạ tiếp xúc của f tại x0 và ma trận của f∗x 0 trongcặp cơ sở chính tắc cũng là f0(x0), x0 ∈ U (ma trận Jacobi của f tại x0)

Ánh xạ f được gọi là dìm, ngập hay trãi tại x0 ∈ U nếu Tx0f là đơn ánh, toànánh hay song ánh Trường hợp f là dìm, ngập, trãi với mọi x0 ∈ U thì ta nói f

là dìm, ngập, trãi trên U

Cho U là tập mở trong Rn và f : U → Rm là hàm vectơ khả vi Khi đó ta xâydựng được ánh xạ cảm sinh trên các phân thớ tiếp xúc như sau f∗ : T U → T Rmxác định bởi f∗(xx0) = f∗x 0(xx0) = (f (x0), Df (x0)(x))

X (x0)) Ta nói trường vectơ khả vi lớp Ck nếu hàm vectơcủa nó khả vi

Nếu các vectơ Xx0 hay vectơ −→

X (x0), ∀x0 ∈ U là các vectơ hằng thì X đượcgọi là trường vectơ song song

Kí hiệu X (U ) = {X : trường vectơ trơn trên U} và F (U ) = {f : U →

R là hàm trơn} Khi đó F (U ) là một vành giao hoán có đơn vị và X là mộtkhông gian vectơ thực với các phép toán:

• (X + Y )x = Xx+ Yx,

• (λX)x = λXx,

• f X(x) = f (x)Xx với x ∈ U, f ∈ F (U ), X ∈ X (U ),

• hX, Y i(x) = hXx, Yxi, với x ∈ U, X, Y ∈ X (U )

Do TxRn có cơ sở trực chuẩn là {e1x, · · · , enx} nên với X ∈ X (U ) thì Xx ∈

TxRn, ∀x ∈ U và do đó Xx= X1(x)e1x+· · ·+Xn(x)enx, hay Xx = (X1(x), · · · , Xn(x))

Từ đó ta thu được các hàm trơn X1, · · · , Xn∈ F (U ) và được gọi là các thànhphần của X kí hiệu là X = (X1, · · · , Xn)

1.2.4 Trường mục tiêu

Định nghĩa 1.13 Cho U mở trong Rn, hệ trường vectơ khả vi {U1, · · · , Un}trên U sao cho với mọi x ∈ U hệ vectơ {U1(x), · · · , Un(x)} là một cơ sở (trựcgiao, trực chuẩn) của TxRn hay TxU thì được gọi là trường mục tiêu (trực giao,trực chuẩn) khả vi trên U

Trường hợp các trường vectơ U1, · · · , Un là song song thì {U1, · · · , Un} đượcgọi là trường mục tiêu song song

Cho {U1, · · · , Un} trên U là một trường mục tiêu trên U, khi đó với mọi

X ∈ X (U ), tồn tại duy nhất ϕ1, · · · , ϕn ∈ F (U ) sao cho

CHƯƠNG 2.

LÝ THUYẾT ĐƯỜNG

2.1 ĐƯỜNG TRONG RN (N = 2, 3)

2.1.1 Đường (cung) tham số hóa

Định nghĩa 2.1 Cho I là một khoảng mở trong R Mỗi ánh xạ c : I → Rn khả

vi lớp Ck được gọi là đường tham số hóa lớp Ck trong Rn Các giá trị t ∈ I đượcgọi là tham số của c, ảnh c(I) được gọi là vết của c

Đường tham số lớp C0 gọi là đường tham số liên tục Đường tham số lớp C∞gọi là đường tham số nhẵn (trơn)

Ta quy ước gọi đường tham số khả vi là đường tham số lớp Ck nào đó màkhông cần chỉ rõ k Từ nay trở đi, nếu không nhấn mạnh, ta chỉ xét các đườngtham số lớp C∞ và gọi đơn giản là đường tham số

Đường tham số c = (c1, · · · , cn) : I → Rn khả vi lớp C∞ khi và chỉ khi

Định nghĩa 2.2 Cho đường tham số khả vi c : I → Rn Ta nói c(t) (t ∈ I) làđiểm chính quy nếu ˙c(t) 6=−→

0 (hay c0(t) 6=−→

0 ) Ngược lại, c(t) là điểm kì dị.Đường tham số c được gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chínhquy

2.1.2 Trường vectơ và trường mục tiêu dọc cung tham số

Định nghĩa 2.3 Cho cung tham số c : I → Rn, trường vectơ dọc cung tham số

Định nghĩa 2.5 Cho trường vectơ X : I →

t∈I

Tc(t)Rndọc theo một cung tham

số c : I → Rn xác định bởi hàm vectơ −→

X : I → Rn xác định bởi X(t) =(c(t),−→



2.1.3 Đường (cung) trong Rn

Cho I, I là hai khoảng trên R Ánh xạ ϕ : I → I được gọi là phép đổi tham

số nếu ϕ là một vi phôi

Định nghĩa 2.8 Cho c : I → Rn và c : I → Rn là hai đường tham số hóa trên

Rn thuộc lớp Ck Khi đó ta nói c tương đương với c nếu tồn tại một phép đổitham số (vi phôi bảo toàn hướng) ϕ : I → I sao cho c = coϕ Kí hiệu c ∼ c

Ta thấy ∼ là một quan hệ tương đương

Mỗi lớp tương đương được gọi là một đường (cung) lớp Ck trong Rn

Nếu c ∼ c thì c(I) = c(I) tức là c và c cùng vết Khi đó c là chính quy nếu vàchỉ nếu c chính quy

Đường (cung) (Γ) trong Rn được gọi là chính quy nếu một tham số hóa bất

kì của nó là chính quy

Trường vectơ dọc cung (Γ) được xét sao cho nếu tham số hóa c của cung (Γ)được xác định bởi trường vectơ X dọc c thì tham số hóa tương đương c = coϕvới ϕ là phép đổi tham số tương ứng được xác định bởi trường vectơ Xoϕ−1 dọcc.

Định nghĩa 2.9 Cho cung chính quy (Γ) xác định bởi tham số hóa c : I → Rn.Khi đó ánh xạ

T : I →[Tc(t)Rn, t 7→ T (t) = 1

kc(t. 0)k

.

c(t0) ∈ Tc(t)Rn.xác định một trường vectơ khả vi dọc (Γ), được gọi là trường vectơ tiếp xúc đơn

vị dọc (Γ)

2.1.4 Tiếp tuyến của đường cong

Định nghĩa 2.10 Cho đường cong khả vi (Γ) có tham số hóa c : I → Rn.Tiếp tuyến của (Γ) tại điểm chính quy P = c(t0) là đường thẳng đi qua P và

(x 0 ,y 0 ,z 0 )

= y − y0

ϕ0z ϕ0x

ψ0z ψx0

... sin

θ 2

∆s

˙N(t) = −k˙c(t)kk(t)T (t)

Hay vi? ??t ma trận:

˙T(t)

˙N(t)

Ví dụ 2.1 Xét cung (Γ) xác định tham số hóa c : [0;