mò vµ logarýt i mò 1 c¸c ®þnh nghüa embed equation dsmt4 2 c¸c týnh chêt vd týnh gi¸ trþ cña bióu thøc 3 hµm sè mò d¹ng a 0 a 1 tëp x¸c ®þnh tëp gi¸ trþ týnh ®¬n

Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox... Gäi M lµ trung ®iÓm cña CC1.[r]

Trang 1

Mũ Và LOGARíT

I Mũ

1 Các định nghĩa

+

n

n thua so

a    a.a a

(n Z ,n 1,a R)   

+ a 1a a

+ a 0 1  a 0

+

n n

1 a

a





 

(n Z ,n 1,a R / 0 )   

+

m

n m n

a  a ( a 0;m,n N  )

+

m n

n

a

a a



2 Các tính chất

+ a a m n a m n



+

m

m n n

a





+ (a ) m n (a ) n m a m.n

+ (a.b) n a b n n

+

n n n

( )

b b

VD: Tính giá trị của biểu thức:

6

2

A



3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > 0 , a1 )

- Tập xác định : D R

- Tập giá trị : T R  ( a x 0  x R )

- Tính đơn điệu:

* a > 1  y a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1  y a x nghịch biến trên R

- Đồ thị hàm số mũ :

II Logarit

1 Định nghĩa:Với a > 0 , a 1 và N > 0 ta có: loga N M dn a M N

Chú ý: Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi

0

a N







2 Các tính chất

+ log 1 0 a 

+ log a 1 a 

+ log a a M M

+ a log N a N

+ log (N N ) log N a 1 2  a 1log N a 2

+

1

2

N log ( ) log N log N

+ log N a  .log N a

2

log N 2.log N

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

Trang 2

3 Công thức đổi cơ số

+

a b

a

log N log N

log b



+

log N log b.log N

* Công thức đặc biệt: b a

c

c b

alog  log

1 log b

log a



+ a k a

1 log N log N

k



4 Hàm số logarít:

Dạng: y log x a

( a > 0 , a  1 )

- Tập xác định : D R  

- Tập giá trị T R 

- Tính đơn điệu: * a > 1  y log x a đồng biến trên R

* 0 < a < 1  y log x a nghịch biến trên R

- Đồ thị của hàm số lôgarít:

5 Các định lí cơ bản

1 Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN  M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN  M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN  M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì :loga M = loga N  M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (đồng biến)

III CáC PHƯƠNG PHáP GIảI PHƯƠNG TRìNH Mũ- lô

1 Phơng trình mũ:

a Dạng cơ bản: +

( ) log

f x

a

b





  





+ a f x( )a g x( )  f x( ) g x( )

b Dạng có số có chứa ẩn:

  ( )   ( )

( ) 1 ( ), ( )

( ) 0

có nghĩa

h x

f x g x

h x









 



 



Chú ý: Một số phơng pháp thờng dùng khi giải phơng trình mũ

C1: Đa về phơng trình dạng cơ bản

C2: Lấy lôgarit hai vế khi 2 vế của pt có dạng tích hoặc thơng

C3: Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ)

Biến đổi phơng trình về dạng

- Dạng 1: .a2f (x) +.af (x) +  = 0 , Đặt t = af (x) ĐK t > 0

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x O

Trang 3

- Dạng 2: .ab f (x) +.ab f (x) +  = 0, Đặt t = af (x)ĐK t > 0

- Dạng 3: .af (x)+.bf (x)+  = 0 với a.b = 1, Đặt t = af (x) 

1

t =bf (x)

- Dạng 4: .a2f (x)+. a.b f (x)

+ .b2f (x) = 0 , Chia 2 vế cho b2f (x) và đặt

t =

f (x) a b

 

 

  , t>0 C4: Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất, (thờng thì PT có 1 nghiệm duy nhất)

2 Phơng trình logarit

a Dạng cơ bản: +

( )

a



  





+







hoặc

b Cơ số có chứa ẩn:

f x





Chú ý: Một số phơng pháp thờng dùng khi giải phơng trình logarit

C1: Đa về cùng cơ số

C2: Mũ hoá

C3: Đặt ẩn phụ

C4: Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất,

A bài tập phơng trình mũ

Bài 1 Giải các phơng trình sau:

a

2 5 1 1 9.3

27

x x 

b

x x



c 20x1 0,052x2



d 2 3 2 2 3 12

x x

x





e

0,125.4

8

x x



 

a 72x1 5



c 3x 7.5x



e 2x1 3x 5.3x1 2x2

h 4.9x1 3 22x1

a

2 1 1

c

2

x  x x



d

1

x

x x



a 32x 4.3x 3 0

c 4x1 2x4 2x2 16

e 8x 3.4x 3.2x1  8 0

Trang 4

Bµi 5 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a 5x 5 x 2 0

c 3x1 3x2 4

2xx 2  x x 3(D 03)

e

sin cos

2xx 4.2x x 2 x 4 0

a 3.4x 2.6x 9x

c 27x 12x 2.8x

e 25x 10x 22x1 g 4.3 9.2 5.62

x

x x 

h cos 72 0 x cos36 0x 3.2 x

i 26 15 3  x 2 7 4 3  x 2 2  3x  1

a 4x 4 x  2x 2 x  10

b 2 3x 8.2  3x 6 2 x 2.2 x  1

3

3 1

2 2

x x

a  2 1   x 2 1  x 2 2 0 

b  2  3 x 2  3x 4

c  7  48 x 7  48x  14

d 2 3  112x12 3  112x1 4 3

a 4x 4 x1 3.2x x



c 25x 12.2x 6, 25.0,16x 0

a 2x 3x 5x

 

c 9x 2x 2 3 x 2x 5 0 

a 3x 4x 5x

c 2 32 1

x x

e

2

sin cos

A bµi tËp ph¬ng l«ga

c    2 

2

d log 3x log 3x 2 1 0 

g  1 

2

1

x



a

2

log x log 3x 1 0 

b 2 2  3

Trang 5

c

log x log x  1 5 0 

d

4

3

e 3 log 3x log 3 3 x 1 0 

a

2

b

2

d x log 1 2  x xlog 5 log 6 

e

1

x

c

7

6

b

2

5

x

c

x

1

a

e logx 5 log 5  x x 2, 25 logx 52

g log 1 log 3x  x 27  1

a  log 5 1

5

x

b xloga x a x2 0 a 1

c

2

log10 log log100

e xlog 92 x2.3log2x xlog 32

c log 4x 12 log ( 2 x 1) 3  25

a log 5x log 7x 2

b 3 6 

c 2log5x3 x

-bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ logarit

- Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình

mũ và logarit có các cách giải đó

- Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí

+

f x g x a f x g x





Trang 6

1: ( )

b



+





Bµi tËp

Bµi 1 Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:

a

2 2 1

x x



c x 32x27x 1

d 4x2 x.3 x 31 x 2 3x2 x 2x 6

b logx2 16 log 4 x 10

c 4

log

x x





2 1 2

x



e

2 0,5

15

16

x

e

h

2 0,7 6

4

x





1 3

1

x x







1

x

x x





a 2log2x 1  log 52  x 1

b

3

d

3

g 2x log 8 3 x2log 2 3 x log 3x3x2

2x   cos logx x 6  2cosx 2 logx x 6

a

1

0

x x

x





c

2

1

x x







25 x x   9 x x   34.15 x x

e

2

3 x 8.3x x 9.9 x 34.15 x x

h

15.2x   1 2x 1 2  x

Trang 7

a  1

4

x



b 2log 5x  log 125 1x 

e 16loga x   4 3.xlog 4a g

2

a 2.2x 3.3x 6x 1

c

1

0

x





2

1

3 3

log





-HÖ mò vµ l«ga Bµi 1 Gi¶i c¸c hÖ sau:

a

4

1

25

y x

y











c

23 x=5 y 2− 4 y

4x+ 2x+1

2x+2 =y

¿ {

¿

 

2

log 2

1 3

3

x y





 







e

2

3 2

1

2







log 2 (x2+y2)=5

2 log4x +log2y=4

¿ {

¿

h

x − 4|y| +3=0

√log4x −√log2x =0

¿ {

¿

i

logy√xy=logx y

2x+2y=3

¿ {

¿

j

logx(x3

+2 x2− 3 x −5 y )=3

logy(y3

+2 y2−3 y − 5 x)=3

¿ {

¿

k

 







Bµi 2 Gi¶i c¸c hÖ sau:





x y









c 1

x x y



 







log log log 4 log3









-Mét sè ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò - l« chøa tham sè

Trang 8

Bài 1 Tìm m để pt sau có đúng 1 nghiệm

 5 1  x 2m 5 1  x  2x

, ĐS:

1 0, 8

Giải các phơng trình sau:

Bài 2 Tìm m để phơng trình:

log x log x  1 2m 1 0 

có ít nhất thuộc

3

1;3

ĐS: 0 m 2

Bài 3 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, +)

√log22x+log1

2

x2− 3=m(log4x2−3)

Bài 4 Tìm m để bpt sau có nghiệm: 49x 5.7xm 0,ĐS:

25 4

m 

Chủ đề 3 hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôga

A Hệ THốNG Lý THUYếT

I Phơng trình và bất phơng trình mũlogarit

a Ph ơng trình mũ :

Đa về cùng cơ số

+0<a 1: a f(x) =a g(x) (1)  f(x)=g(x)

+ 0<a 1: a f(x) =b   







b x

f

b

a

log

0

Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đa về một phơng trình đại số

Lu ý những cặp số nghịch đảo nh: (2 3), (74 3),… Nếu trong một ph Nếu trong một phơng trình

có chứa {a 2x ;b 2x ;axbx} ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc

t=(b/a) x

Phơng pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x)  f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c1

b P h ơng trình logarit :

Đa về cùng cơ số:

+loga f(x)=g(x)f x a g x

+loga f(x)= log a g(x)

 

   















x g x f

x

Đặt ẩn phụ

a Bất ph ơng trình mũ :

* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)>g(x);

a f(x) a g(x)  f(x)g(x).

* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)g(x);

a f(x) a g(x)  f(x)g(x).

b Bất ph ơng trình logarit :

+ Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x) 

 









 0

x g

x g x f

;

+ Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) 

 









 0

x f

x g x f

B bài tập

Trang 9

Vấn đề 1: Phơng trình mũ

Dạng 1 Đa về cùng cơ số

Bài 1 : Giải ác phơng trình sau

a) 2x4 3 4

2 6 5 2

2

3 x 9x x



d) 2x2 x 8  41 3 x e) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 f)

4

f) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 g) (1,25)1 – x = (0,64)2(1 x)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 2: Giải các phơng trình

a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d)

1

e) 5 x 53 x 20

g)  5 2 6   x 5 2 6  x 10

Dạng 3 Logarit hóạ

Bài 3 Giải các phơng trình

a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 =

2 7 12

5x  x

d)

2

2x 5x x

1

x

x x

 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu

Bài 4: giải các phơng trình

a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x

Vấn đề 2: Phơng trình logarit

Dạng 1 Đa về cùng cơ số

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

e) log3x = log9(4x + 5) - 1 f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2 g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 6: giải phơng trình

a)

1

4 ln  x2 ln  x  b) logx2 + log2x = 5/2

c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log 2x  6 9

e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

g)

2

h) lg 16 l g 64 3x2  o 2x 

Dạng 3 mũ hóa

a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = 2 – x

Vấn đề 3: Bất Phơng trình mũ

Bài 8: Giải các bất phơng trình

a) 16x – 4 > 8 b)

2 5

1

9 3

x

 



 

6 2

9x 3x



Trang 10

d) 4x2 x 6 1

4 15 4

3 4

1

2

x x

x

 





  f) 52x + 2 > 3 5x

a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 < 3 c)

1 1 1 2

4x  2x  3

d) 5.4x+2.25x >7.10x e) 2 16x – 24x – 42x – 2 15 f) 4x +1 -16x 

2log48

g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x

a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3 3

c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)

Vấn đề 4: Bất Phơng trình logarit

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5)  log2(3 – 2x) – 4 c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x)  0

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1

g)

1 3

2

x x







a) log2

2 + log2x  0 b) log1/3x > logx3 – 5/2

c) log2 x + log2x 8 < 4 d)

1

1 log  xlogx 

1

x

Bài 13 Giải các bất phơng trình

a) log3(x + 2) 2 – x b) log5(2x + 1) < 5 – 2x

c) log2( 5 – x) > x + 1 d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2)  2

bàI TậP Bổ SUNG

Bài 1: Đơn giản biểu thức

a

a b ab

A





1 4 4

a-1

1 a

a a a



4



Bài 2: Tớnh giỏ trị biểu thức

1 1log 4

log 2

4 2

4

1log 3 3log 25

  c.C log 6.log 9.log 2 3 8 6

Bài 3 Rỳt gọn biểu thức

a

4 16 64 log

2

A 

b 3

1 loga

a



c

5 b a b3

C

a b a



Bài 4: Tỡm tập xỏc định cỏc hàm số sau

a

2

x y

x



 b.y e2x23x1 1

  c.y log ( 2 x2 2 ) 1x 

Bài 5.

a Biết log 2 5 a;log 3 5 b Tớnh theo a, b cỏc lụgarớt log 27;log 5 5 30

b.Biết log 392 3 x;log 112 3 y.Tớnh theo x, y cỏc lụgarớt log 7;log 2 3 3

Bài 6: Tớnh đạo hàm cỏc hàm số sau

a.y (x2 2x3)e x b

ln x

y x



c

x x

y





 d.y x2ln x21

Trang 11

Bài 7 Chứng minh rằng cỏc hàm số sau thỏa món hệ thức đó cho

ayesinx  y c' osx-ysinx-y''=0 b ye c x osx  2y'-2y-y''=0

Bài 8: Tỡm giỏ trị lớn nhất nhỏ nhất cỏc hàm số sau

a.y 2x24x2; 3;1  b.y2x123x; 1;3 

c.y 5sin2x 5cos2x d 2 22 1

x x

Mai Duy Duân

HD: Đặt t = log x2 (t  5.) 2

0

1 3

m

m t















a log22x (x 1) log 2 x  6 2x b log 5x log ( 7 x 2)

c 2log ( 6 4 x8 x) log  4 x

d log ( 3 x2 x 1) log  3x 2x x 2

e

2

3 2

3

 

IV CáC PHƯƠNG PHáP GIảI bất PHƯƠNG TRìNH Mũ- lô

1 Một số kiến thức cần nhớ

+

f x g x a f x g x



 1: ( )

b



+





2 Bất phơng trình mũ

a.

2 x x 1

x 2x 1

3

 





b

5

6

Bài 2 Giải các bất phơng trình sau:

a 8  2 1 x  4x  2 1 x  5

b 9x2

−2 x −2(13)2 x− x

2

3

c

2

1

x x







1

3

x

d

e 32x 8.3x x4 9.9 x4 0

Bài 3 Tìm m để bpt sau có nghiệm: 49x 5.7xm 0,ĐS:

25 4

m 

3 Bất phơng trình lôga

Trang 12

Bài 1 Giải các bất phơng trình sau :

a

2 1 2

x

, ĐS: 2 2,1 , 2, 2   2 

b

2 0,7 6

4

B x



  ĐS: -4<x<-3, x>8

x    B

ĐS: log 73 9 x 2

d

2

5

log (x  6x 8) 2log (  x 4) 0 

e

3

4

d

1

2

g 2 x

1

2log2x

≥2

3

2log2x

m9x (2m 1)6xm.4x  0 (1) nghiệm đúng với mọi x  [0; 1]

23 x=5 y2− 4 y

4x

+ 2x+1

2x+2 =y

¿ {

¿

ĐS (0,1) (2,4)

23 x=5 y2− 4 y

4x

+ 2x+1

2x+2 =y

¿ {

¿

ĐS (0,1) (2,4)

logx(x3

+2 x2− 3 x −5 y )=3

logy(y3

+2 y2−3 y − 5 x)=3

¿ {

¿

log1

4

(y − x)− log4( 1

y)=1

y2

+x2

¿ {

¿

KA 2004 (3,4)

Hệ mũ và lôga Bài 1 Giải các hệ sau:

a

log1

4

(y − x)− log4( 1

y)=1

y2+x2= 25

¿ {

¿

(A-04)ĐS(3;4) b 9 2 3 3





c

23 x=5 y2− 4 y

4x

+ 2x+1

2x+ 2 =y

¿ {

¿

x − 4|y| +3=0

√log4x −√log2x =0

¿ {

¿

Bài 2 Giải các hệ sau:

a

log2(x2+y2)=5

2 log4x +log2y=4

¿ {

¿

b

log ( ) log 3

xy







Trang 13

c

logx(x3

+2 x2− 3 x −5 y )=3

logy(y3+2 y2−3 y − 5 x)=3

¿ {

¿

d

3

2 2

3

x

y









Bài 3 Giải các hệ sau:

a

2 2

3





logy√xy=logx y

2x+2y=3

¿ {

¿

c

x2

+y= y2

+x

2x+ y − 2 x −1=x − y

¿ {

¿

d

(x4

+y ).3 y− x4

=1

8( x4

+y)−6 x4

− y=0

¿ {

¿

-Tích phân

I Các phơng pháp tính tích phân

1 P hơng pháp tính trực tiếp

- Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm

2 Phơng pháp đổi biến số

DạNG 1:Tính I =

b

' a

f[u(x)].u (x)dx

 bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1:

I =



) ( ) (

) ( )

( ' )

a u

b

a

dt t f dx x u x u

f

Cách thực hiện:

Bớc 1: Đặt t u(x) dt u' (x)dx







) (

a u t

b u t a x

b x







Bớc 3: Chuyển tích phân đã cho sang

tích phân theo biến t ta đợc





) ( ) (

) ( )

( ' )

a u

b

a

dt t f dx x u x u f I

(tiếp tục tính tích phân mới)

DạNG 2: Tính I =

b a

f(x)dx



bằng cách đặt x =  (t)

Công thức đổi biến số dạng 2:

 















f dx x f

a

) ( ' ) ( )

(

Cách thực hiện:

Bớc 1: Đặt x  (t)  dx  ' (t)dt









t

t a x

b x

Bớc 3: Chuyển tích phân đã cho

sang tích phân theo biến t ta đợc

 















f dx x f

a

) ( ' ) ( )

(

(tiếp tục tính tích phân mới)

Chú ý: Một số dạng tp dùng đổi biến số dạng 2:

 Dạng:

2 2









, 2 2

dx



 

đặt x = asint

 Dạng: 2 2

dx



 

đặt x = atant,

2 2

dx





đặt ax b  cott

3 Phơng pháp tích phân từng phần

a Công thức tích phân từng phần:

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	706,26 KB