[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi môn toán 8
(Thời gian: 120 phút)
Bài 1 Cho biểu thức:
A = (x +1
x −1 −
x −1
x +1+
x2−4 x −1
x2− 1 ).
x +2006 x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 2:
a) Giải phơng trình: 2− x
2004 − 1=
1 − x
2005 −
x
2006
b) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1
Bài 3.
Cho hình thang ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên đáy lớn AB Từ M kẻ các đờng thẳng song song với hai đờng chéo AC và BD Các đờng thẳng này cắt hai cạnh BC
và AD lần lợt tại E và F Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cũng là trung điểm của EF
b) Trong trờng hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của M trên AB sao cho
EJ = JI = IF
Bài 4 Cho a 4; ab 12 Chứng minh rằng C = a + b 7
Trang 2Đáp án:
Bài 1:
a) Điều kiện:
x ≠ ± 1
x ≠ 0
¿ {
¿
¿
b) A = ¿ = x+2006
x
c) Ta có: A nguyên ⇔ (x + 2006)
⋮ x ⇔2006 ⋮ x⇔
¿
¿
¿
Do x = ± 1 không thoã mãn đk Vậy A nguyên khi x = ± 2006
Bài 2
a) Ta có: 2− x
2004− 1=
1 − x
2005−
x
2006
⇔ 2− x
2004 +1=
1 − x
2005+1 −
x
2006 +1
⇔ 2− x
2004 +
2004
2004=
1 − x
2005+
2005
2005 −
x
2006+
2006 2006
⇔ 2006 − x
2004 =
2006 − x
2005 +
2006 − x
2006
⇔ (2006 − x ) ¿
⇔ (2006 - x) = 0 ⇒x = 2006
b) Thực hiện phép chia đa thức, rồi từ đó ta tìm đợc:
a=2 b=1
¿ {
¿
¿
Bài 3 O
a) Ta có: FI
IE=
FP
PM=
DO
OB (1) EJ
FJ =
EQ
QM=
CO
OA (2)
DO
OB=
CO
OA (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra FI
IE=
EJ
FJ hay FI.FJ = EI.EJ (4)
Nếu H là trung điểm của IJ thì từ (4) ta có:
(FH −IJ
2)(FH+
IJ
2)=(EH−
IJ
2)(EH+
IJ
2)⇒FH=EH
b) Nếu AB = 2CD thì DO
OB=
CO
OA=
1
2 nên theo (1) ta có
FI
IE=
1 2
suy ra: EF = FI + IE = 3FI Tơng tự từ (2) và (3) ta có EF = 3EJ
Do đó: FI = EJ = IJ = EF
3 không liên quan gì đến vị trí của M Vậy M tuỳ ý trên AB
Bài 4
Ta có: C = a + b = (3
4a+b¿+
1
4a ≥2√3 ab4 +
1
4a ≥ 2√3⋅124 +
1
4⋅ 4=7 (ĐPCM)
E
I J
F Q
P