«n häc sinh giái to¸n.. PhÇn I..[r]
Trang 1ôn học sinh giỏi toán
Phần I
phân số - các bài toán về phân số
A Những kiến thức cần ghi nhớ
I Tính chất cơ bản của phân số
1 Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên khác 0 thì ta đợc một PS bằng PS đó
* VD: 6
8 =
6 :2
8 :2 =
3
4 ;
2
4 =
2 x 3
4 x 3 =
6 12
2 Rút gọn phân số
* Quy tắc
* VD: 15
21 =
15 :3
21 :3 =
5 7
Ta nói PS 15
21 đợc rút gọn thành PS
5
7.
- Phân số tối giản là PS mà tử số và mẫu số không cùng chia hết cho 1 số nào khác 1
3 Quy đồng mẫu số các phân số
* Quy tắc
* Chú ý.:
a Trớc khi quy đồng mẫu số các PS ta rút gọn các PS ( nếu có thể rút gọn) thành PS tối giản để mẫu số chung là nhỏ nhất
* VD: Quy đồng mẫu số 2 PS : 6
15 và
2 8
b Khi mẫu số của 1 trong 2 PS phải quy đồng chia hết cho mẫu số của PS kia,
ta tìm thơng của 2 mẫu số rồi cùng nhân với tử số và mẫu số của PS có mẫu số nhỏ hơn
* VD: Quy đồng mẫu số 2 PS: 5
18 và
1 3
Ta thấy 18: 3 = 6 nên 1
3=
1 x 6
3 x 6 =
6 18
c Quy đồng mẫu số 2 PS : 5
6 và
3 4
Ta thấy 12 : 6 = 2 ; 12 : 4 = 3
Do đó: 5
6 =
5 x 2
6 x 2 =
10
12 ;
3
4 =
3 x 3
4 x 3 =
9 12
d Quy đồng tử số các PS
* Quy tắc
* VD: 3
4 và
5 6
Ta có 3
4 =
3 x 5
4 x 5 =
15
20 ;
5
6 =
5 x 3
6 x 3 =
15 18
II So sánh phân số
1 So sánh phân số với 1
- Phân số lớn hơn 1 khi tử số lớn hơn mẫu số: 17
12 > 1
Trang 2- Phân số bằng 1 khi tử số bằng mẫu số: 15
18 =
15 18
- Phân số bé hơn 1 khi tử số bé hơn mẫu số: 3
4
- Số tự nhiên đợc coi là PS có tử số là số đó và mẫu số là 1
6 = 6
1 ; 0 =
0 1
2 Hai PS có mẫu số bằng nhau
a PS có tử số lớn hơn là PS lớn hơn: 5
6 >
3
6.
b PS có tử số bé hơn là PS bé hơn: 15
18 <
17 18
c 2 PS có tử số bằng nhau thì 2 PS đó bằng nhau: 9
12 =
9
12.
3 Hai PS có tử số bằng nhau
a PS có mẫu số lớn hơn là PS nhỏ hơn: 3
5 <
3
4.
b PS có mẫu số nhỏ hơn là PS lớn hơn: 4
9 >
4 11
c Nếu mẫu số cũng bằng nhau thì 2 PS đó bằng nhau: 15
20 =
15
20.
4 Hai PS có mẫu số và tử số khác nhau
*a Quy đồng mẫu số 2 PS rồi so sánh
*b Quy đồng tử số 2 PS rồi so sánh
*c So sánh với 1 ( Trờng hợp trong 2 PS cần so sánh có 1 PS < 1 và 1 PS > 1)
*d So sánh qua 1 PS trung gian
VD : So sánh 2 PS sau: 3
7 và
5 8
Ta có: 1
2 =
3
6 mà
3
6 >
3
7 ;
1
2 =
5
10 mà
5
10 <
5 8 Vì 3
7<
1
2 <
5
8 nên
3
7 <
5 8
*e So sánh hai " Phần bù" với 1 của PS ( Trờng hợp 2 PS cần so sánh đều < 1) PS nào có phần bù lớn hơn thì PS đó nhỏ hơn và ngợc lại
VD : So sánh 2 PS : 4
9 và
6 11
Ta có: 1 - 4
9 =
5
9 ; 1 -
6
11 =
5 11 Vì 5
9 >
5
11 nên
4
9 <
6 11
*g So sánh hai " Phần hơn" với 1 của mỗi PS ( Trờng hợp 2 PS cần so sánh
đều > 1 PS nào có phần hơn lớn hơn thì lớn hơn
VD : So sánh 2 PS : 11
9 và
17 15
Ta có: 11
9 - 1 =
2
9 ;
17
15 - 1 =
2 15
Trang 3Vì 2
9 >
2
15 nên
11
9 >
17
15.
*h So sánh 2 PS bằng cách chuyển các PS đó thành hỗn số ( Trờng hợp 2 PS cần so sánh đều > 1) rồi so sánh 2 hỗn số
VD So sánh 2 PS : 19
12 và
32 11
Ta có : 19
12 = 1
7
12 ;
32
11 = 2
10 11 Vì 1 7
12 < 2
10
11 nên
19
12 <
32 11 III Các phép tính về phân số
1 Phép cộng
a Quy tắc
b Tính chất
* Tổng của 2 hay nhiều PS không thay đổi nếu ta thay đổi thứ tự của các phép tính.( T/ c giao hoán)
VD:
*Tính chất kết hợp
VD:
*Tổng của 2 PS không thay đổi nếu ta thêm vào PS thứ nhất 1 số và bớt ở PS thứ hai cùng số ấy và ngợc lại
VD:
2 Phép trừ
a Quy tắc
b Tính chất
*Hiệu của 2 PS không thay đổi nếu ta cùng thêm (hoặc cùng bớt) 1 số ở cả
PS bị trừ và PS trừ
VD:
3.Phép nhân
a Quy tắc
b Tính chất
* T/ c giáo hoán
* T/ c kết hợp
* Muốn nhân 1 PS với 2 STN ta làm nh sau:
- Viết STN đó dới dạng PS rồi nhân 2 PS đó với nhau
VD: 3 x 2
5 =
3
1 x
2
5 =
6 5
*Nhân STN với tử số và giữ nguyên mẫu số
VD: 3 x 2
5 =
3 x 2
5 =
6 5
*Nếu mẫu số của PS chia hết cho số nguyên đó, ta chia mẫu số cho số nguyên đó và giữ nguyên tử số
VD: 3 x 2
9 =
2
9 :3 =
2 3
4 Phép chia
a Quy tắc
b Chú ý
* Chia 1 STN cho 1 PS
-Viết STN đó dới dạng PS rồi chia 2 PS đó với nhau
Trang 4VD:
Hoặc :Lấy STN đó nhân với mẫu số thì đợc tử số, còn tử số của PS ban đầu chính là mẫu số
VD: 4 : 2
5 =
4 x 5
2 =
20
2 = 10
*Chia 1 PS cho 1 STN
-Viết STN đó dới dạng PS rồi chia 2 PS đó với nhau
VD:
Hoặc: Tử số giữ nguyên, còn mẫu số nhân với STN đó thì đợc mẫu số VD: 2
5 : 4 =
2
5 x 4 =
2
20 =
1 10 Hoặc: Lấy tử số chia cho STN đó thì đợc tử số, còn mẫu số giữ nguyên VD: 6
7 : 3 =
6 :3
7 =
2 7
B Bài tập thực hành
Bài 1 Viết 5 PS bằng PS 2
5 Bài 2 Rút gọn các PS sau: 4
10 ;
25
75 ;
6
36 ;
12
72 ;
30
42 ;
26
14 ;
15
39;
45
117;
72
64. Bài 3 Quy đồng mẫu số các PS sau: 3
8 và
5
10 ;
1
7 và
4
9 ;
3
5 và
4 7 Bài 4 > ; < ; =
4
13 1 ;
7
7 1 ;
25
12 1 ;
12
72
9
72 ;
17
42
17
51 ;
9
10
9 10 Bài 5 Cho 2 PS 2
7 và
4
9 Hãy so sánh 2 PS đó bằng 4 cách.
C1: Quy đồng MS
C2: Quy đồng TS
C3 Tìm PS trung gian
Ta có: 1
3 =
7
21 ;
2
7 =
6
21 mà
6
21 <
7 21 1
3 =
3
9 mà
4
9 >
3 9 Vậy 2
7 <
1
3 <
4
9 nên
2
7 <
4 9 C4 Tìm phần bù của mỗi PS
Bài 6.Đúng ghi Đ, sai ghi S
a 2
5 +
1
5 =
2+ 1
5 d
3
8 x
4
5 =
3 x 4
8 x 5
b 8
9 +
4
9 =
8+4 9+9 e
9
13 :
3
13 =
9 :3 13
c 7
12 -
5
6 =
7 − 5
12 −6 g
1
8 :
3
5 =
1 x 5
8 x 3
Bài 7 Tính
4 x 3
7 ; 5 x
2
10 ; 8 :
3
4 ; 9 :
5
13 ;
4
15 : 2 Bài 8 Tính nhanh
Trang 5a.6 x 7 x 12 x 4
6 x 3 x 7 x 4 b
5 x 7 x 9 x 19
3 x 7 x 11x 5 c
5
7 +
7
13 +
19
13 +
6
5 +
2
7 +
9 5
d 3
5 + (
9
18 +
4
10) e
75
100 +
18
21 +
19
32 +
1
4 +
3
21 +
13 32
g 4 2
5 + 5
6
9 + 2
3
4 +
3
5 +
1
3 +
1 4 Bµi 9 T×m X
a 1
3 + X +
5
3 b X -
5
8 =
3 8
c 8
9 x X =
4
7 d
49
8 : X =
3 5 Bµi 10
PHÇN II
c¸c bµi to¸n vÒ h×nh häc
* Các công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình.
1 Hình chữ nhật
P = ( a + b ) x 2
( P là chu vi; a là chiều dài; b là chiều rộng; a,b cùng đơn vị đo)
S = a x b
( S là diện tích; a là chiều dài; b là chiều rộng; a,b cùng đơn vị đo)
* Mở rộng: a = S : b
b = S : a
2 H ình vuông
P = a x 4
( P là chu vi ; a là độ dài cạnh)
* Mở rộng: a = P : 4
S = a x a
( S là diện tích; a là độ dài cạnh)
3.Hình tam giác
P = a + b + c
( P là chu vi; a,b,c là dài các cạnh)
S = a x h : 2
( S là diện tích a là độ dài đáy; h là chiều cao)
*Mở rộng : h = S x 2 : a
a = S x 2 : h
4 Hình thang
P = a + b + c + d
( P là chu vi; a,b,c,d là độ dài các cạnh)
S = ( a + b ) x h : 2
( S là diện tích, a là đáy lớn, b là đáy bé, h là chiều cao)
* Mở rộng: (a + b) : 2 = S : h
a + b = S x 2 : h
Trang 6h = S x 2 : ( a + b )
5 Hình tròn
C = d x 3,14 Hoặc C = r x 2 x 3,14
( C là chu vi; d là đường kính; r là bán kính)
* Mở rộng: d = C : 3,14 Hoặc r = C : 2 : 3,14
S = r x r x 3,14
( S là diện tích; r là bán kính)
* Mở rộng: r x r = S : 3,14
6 Hình bình hành
P = ( a + b ) x 2
( P là chu vi; a ,b là độ dài các cạnh)
S = a x h
( S là diện tích; a là độ dài đáy; h là chiều cao)
* Mở rộng: a = S : h
h = S : a
7 Hình thoi
P = a x 4
( P là chu vi; a là độ dài cạnh)
* Mở rộng: a = P : 4
S = (m x n) : 2
( S là diện tích; m, n là độ dài của hai đường chéo)