Về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

Hầu chắc chắn LX, Y Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y LX Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX 0 Ω Tập hợp các biến ngẫu nhiên X-giá trị L0Ω Tập hợp các biến ng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới Các kếtquả viết chung với thầy hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng và TS.Nguyễn Thịnh, đã được sự đồng ý của các thầy hướng dẫn khi đưa vàoluận án Những kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưatừng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Trần Xuân Quý

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự quan tâm, động viên, khích lệ vàhướng dẫn tận tình của GS TSKH Đặng Hùng Thắng và TS NguyễnThịnh Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mìnhđối với hai Thầy

Tác giả xin được cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKhoa học, ĐHTN; Bộ môn Xác suất Thống kê, Ban chủ nhiệm Khoa Toán

- Cơ - Tin học, Phòng sau Đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên Hà Nội, Khoa Sau đại học, ĐHQGHN đã tạo nhiều điều kiệnthuận lợi trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh

Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên,

đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kết quảnghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, đã hỗ trợ kinh phí chotác giả trong quá trình nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thành viên của đại giađình, đã luôn động viên, chia sẻ và là chỗ dựa vững chắc về mọi mặt

NCS Trần Xuân Quý

Mục lục

1.1 Một số kết quả về lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính tất

định 5

1.1.1 Toán tử tuyến tính liên tục 5

1.1.2 Toán tử liên hợp 9

1.1.3 Toán tử tự liên hợp, Hermit, và chuẩn tắc 10

1.1.4 Định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc, toán tử Hermit 12

1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 14

1.2.1 Định nghĩa, các ví dụ 14

1.2.2 Một số tính chất cơ bản 16

1.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 17

1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp 23

1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính 25

Chương 2 Độ đo phổ ngẫu nhiên và định lý phổ cho toán tử

2.1 Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc

và toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit 30

2.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 34

2.2.1 Toán tử ngẫu nhiên chiếu 34

2.2.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 35

Chương 3 Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng trên không gian unitary xác suất 51 3.1 Không gian Banach xác suất 52

3.2 Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính 63

3.3 Liên hợp của toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính trên không gian Hilbert xác suất 70

Kết luận và kiến nghị 77 Kết luận 77

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 78 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 80

Bảng ký hiệu

A, F σ-đại số

B(S) Tập các ánh xạ đo được bị chặn trên S

B(X) σ-đại số Borel của X

C[a, b] Không gian các hàm số liên tục trên [a, b]

H Không gian Hilbert xác suất

h.c.c Hầu chắc chắn

L(X, Y ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(X) Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

LX

0 (Ω) Tập hợp các biến ngẫu nhiên X-giá trị

L0(Ω) Tập hợp các biến ngẫu nhiên thực hoặc phức

(Ω, F , P ) Không gian xác suất đầy đủ

p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất

Q Tập hợp các số hữu tỷ

R Tập hợp các số thực

r(T ) Bán kính phổ của toán tử tuyến tính T

R(T ) Miền giá trị của toán tử tuyến tính T

σ(T ) Tập phổ của toán tử tuyến tính T

X , Y Các không gian Banach xác suất

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Môi trường chúng ta đang sống là một môi trường ngẫu nhiên, luôn bịcan thiệp và tác động bởi các nhân tố ngẫu nhiên Chính vì vậy mà Giảitích trong môi trường ngẫu nhiên (gọi tắt là Giải tích ngẫu nhiên) là mộtlĩnh vực Toán học phát triển nhanh và mạnh cả về lý thuyết và ứng dụng.Một số lượng lớn các bài báo về Giải tích ngẫu nhiên được tóm tắt trongMath.Review đã minh chứng điều đó Giải tích ngẫu nhiên mang tính liênngành, có quan hệ mật thiết với nhiều chuyên ngành toán học khác

Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính là một trong những hướng

nghiên cứu lớn của Giải tích ngẫu nhiên Toán tử ngẫu nhiên tuyến tínhthu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu không chỉ bởi nó là

sự mở rộng từ tất định sang ngẫu nhiên của lý thuyết các toán tử tuyếntính mà còn về tầm ứng dụng rộng lớn của nó trong nhiều ngành khoa họckhác Nếu như lý thuyết các toán tử tuyến tính tất định là một lâu đài đồ

sộ của toán học, đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú, các kếtquả và phương pháp của nó được ứng dụng trong nhiều ngành khác nhaucủa toán học lý thuyết và toán ứng dụng thì lý thuyết toán tử ngẫu nhiêntuyến tính hãy còn non trẻ và đang ở giai đoạn phát triển ban đầu Hiệntại lý thuyết các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính đã thu được một số kếtquả mới, lý thú cùng với nhiều bài toán còn bỏ ngỏ (xem [38]-[48])

Hơn nửa thế kỷ trở lại đây, hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quantâm của nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả Tuy nhiên, phầnlớn các kết quả nghiên cứu của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên lại tập trungvào phương trình toán tử ngẫu nhiên, chủ yếu là điểm bất động ngẫu nhiên,

mở rộng các kết quả một cách riêng lẻ, không hệ thống Khởi đầu với cáckết quả nghiên cứu về điểm bất động ngẫu nhiên là O Hans và A Spacektrong những năm 1950 (xem [25]-[28]) Sau các kết quả này, nhiều kết quả

mở rộng đã được chứng minh Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên thực sự được

tiếp thêm sức mạnh bởi sự ra đời của các cuốn sách Random integral

equations (1972) của A.T Bharucha-Reid Với các kết quả nghiên cứu

của A.V Skorohod và là tác giả cuốn sách Random Linear Operators

(1984), nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên trong không gian Hilbert, xem xét

sự hội tụ yếu và mạnh của các toán tử ngẫu nhiên, hàm các toán tử ngẫunhiên, phương trình và tích phân ngẫu nhiên Đã thu hút nhiều nhà toánhọc mở rộng các kết quả của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Nhiều nhà toánhọc đã thành công trong việc mở rộng các kết quả Cụ thể hơn, gần đâynhóm nghiên cứu đứng đầu là Guo Tiexin đã thu được nhiều kết quả ngẫunhiên hóa các kết quả của giải tích hàm (xem [20]-[24]) Trong nước, dẫnđầu là GS Đặng Hùng Thắng cùng nhóm học trò, từ cuối những năm 1980trở lại đây bắt đầu nghiên cứu về lý thuyết toán tử ngẫu nhiên và đã thunhiều kết quả (xem [38]-[48]) Cụ thể, về hướng điểm bất động ngẫu nhiên

và phương trình ngẫu nhiên được công bố trong các công trình tiêu biểu

là [2],[46],[48]; thác triển toán tử ngẫu nhiên [3],[45]

Một chủ đề lớn “chính thống” của lý thuyết toán tử tuyến tính (tấtđịnh) là lý thuyết phổ các toán tử tuyến tính (gọi tắt là lý thuyết phổ).Theo sự hiểu biết của chúng tôi, các kết quả nghiên cứu về lý thuyết phổcác toán tử ngẫu nhiên tuyến tính đến nay còn tương đối ít Thành thửchúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Về độ đo phổ ngẫu

nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính” với hy vọng gặt háiđược những kết quả mới trong lĩnh vực nghiên cứu đầy hứa hẹn này.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Tìm được dạng ngẫu nhiên của các định lý phổ tất định (chẳng hạnnhư định lý biểu diễn phổ của toán tử chuẩn tắc, toán tử tự liên hợp ).Nói cách khác mục tiêu luận án là mở rộng các định lý phổ của toán tửtuyến tính tất định sang trường hợp toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

3 Đối tượng nghiên cứu

Các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các công cụ và kết quả của xác suất, giải tích, giảitích hàm (lý thuyết các toán tử tuyến tính, không gian Hilbert), lý thuyết

độ đo véc tơ, lý thuyết xác suất trên các không gian vô hạn chiều

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án bổ sung và làm phong phú thêm về lý thuyếtcác toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Nếu như lý thuyết phổ các toán tửtuyến tính tất định đã có rất nhiều áp dụng trong phương trình vi phân,phương trình đạo hàm riêng, vật lý học thì có cơ sở để hy vọng rằng lýthuyết phổ các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính sẽ tìm được áp dụng trongphương trình vi phân ngẫu nhiên, phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên,vật lý thống kê, vật lý lượng tử

6 Cấu trúc luận án

Luận án được trình bày trong ba chương

Chương 1: Trình bày thống nhất một số khái niệm cơ bản và một sốkết quả của các tác giả khác mà được sử dụng trong phần sau của luận

án Trước tiên chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và kết quả về toán

tử tuyến tính tất định, độ đo phổ tất định, tích phân của hàm đo được bịchặn đối với độ đo phổ tất định và một số kết quả liên quan, chẳng hạn

như: Định lý hội tụ bị chặn đối với độ đo phổ tất định và kết quả biểudiễn phổ của toán tử tất định sẽ được xây dựng phiên bản ngẫu nhiên ởChương 2 Tiếp theo chúng tôi trình bày lại khái niệm về toán tử ngẫunhiên tuyến tính và một số kết quả đã đạt được và toán tử ngẫu nhiên suyrộng tuyến tính.

Chương 2: Trình bày một phần kết quả chính của luận án về biểu diễnphổ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính: trước tiên chúng tôi đưa ra địnhnghĩa độ đo phổ ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên chiếu và độ đo phổ ngẫunhiên suy rộng Xây dựng tích phân của hàm đo được bị chặn đối với độ

đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Chứng minh được định lý hội tụ bị chặn đốivới độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng và mỗi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng

có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên

Chương 3: Chúng tôi đưa ra khái niệm không gian ngẫu nhiên tổng quát,chẳng hạn như: không gian tuyến tính xác suất, không gian định chuẩnxác suất, không gian Banach xác suất và không gian Hibert xác suất Tiếptheo chúng tôi trình bày khái niệm toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyếntính, mở rộng một số kết quả đạt được trên không gian ngẫu nhiên tổngquát Chúng tôi chứng minh được phiên bản ngẫu nhiên của định lý biểudiễn Riesz Ngẫu nhiên hóa kết quả của Friedrichs - Stone -Wintner trongtrường hợp tất định cho toán tử đối xứng nửa bị chặn Chỉ ra được rằngnếu Φ : D(Φ) → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên

hợp và α là số phức với phần ảo khác không thì Φ α = αI − Φ : D(Φ) → H

là song ánh và (Φα)−1 : H → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyếntính chuẩn tắc

Hà Nội, ngày 05 tháng 15 năm 2015

Tác giả luận án

NCS Trần Xuân Quý

tử chuẩn tắc Một số kết quả liên quan đến các bài toán mở rộng cho toán

tử ngẫu nhiên cũng sẽ được trình bày

1.1.1 Toán tử tuyến tính liên tục

Giả sử H1 và H2 là hai không gian vector trên trường K Toán tử tuyến tính T từ H1 vào H2 là một ánh xạ tuyến tính từ D(T ) vào H2 (với D(T )

là một không gian con của H1, và ta có thể viết là T : D(T ) ⊂ H1 → H2)

D(T ) được gọi là miền xác định của T, tập hợp R(T ) = {T x : x ∈ D(T )} được gọi là miền giá trị của T (hay là ảnh của T ) Vì chỉ xét toán tử tuyến

tính, nên xuyên suốt phần này ta sẽ thống nhất gọi là toán tử thay vì gọi

toán tử tuyến tính.

Nếu H1 = H2 = H thì T được gọi là toán tử trên H Toán tử từ H vào

K được gọi là phiếm hàm tuyến tính Miền giá trị của toán tử T là không gian con của H2 Một toán tử là đơn ánh nếu và chỉ nếu T x = 0 suy ra

x = 0 Trong trường hợp này toán tử ngược T−1 của T được xác định như

sau

D(T−1) = R(T ), T−1y = x với y = T x ∈ R(T ).

Ta có T−1 là toán tử từ H2 vào H1 Với toán tử T từ H1 vào H2 và a ∈ K, toán tử aT được xác định như sau

D(aT ) = aD(T ), (aT )x = a(T x) với x ∈ D(aT ).

Xét hai toán tử S, T từ H1 vào H2, toán tử tổng S + T được xác định như

sau

D(S + T ) = D(S) ∩ D(T ), (S + T )x = Sx + T x với x ∈ D(S + T ) Nếu S là toán tử từ H1 vào H2 và T là toán tử từ H2 vào H3 thì toán tử

tích T S được định nghĩa như sau

D(T S) = {x ∈ D(S) : Sx ∈ D(T )}, (T S)x = T (Sx) với x ∈ D(T S) Giả sử S và T là hai toán tử từ H1 vào H2 Toán tử T được gọi là một mở rộng (hay thác triển) của S nếu ta có

D(S) ⊂ D(T ) và Sx = T x với x ∈ D(S).

Ta ký hiệu S ⊂ T

Giả sử H1 và H2 là hai không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng là

k · k1, k · k2 Toán tử T từ H1 vào H2 được gọi là liên tục tại x ∈ D(T ) nếu, với mọi dãy (x n) ⊂ D(T ) thỏa mãn lim n x n = x thì ta có lim n T x n = T x Toán tử T được gọi là liên tục nếu nó liên tục với mọi x ∈ D(T ) Toán

tử T được gọi là bị chặn nếu tồn tại C > 0 để kT xk2 6 Ckxk1 với mọi

T là toán tử bị chặn từ H1 vào H2, chuẩn kT k được xác định như sau

kT k = inf{C > 0 : kT xk2 6 Ckxk1 với mọi x ∈ D(T )}.

Ký hiệu L(H1, H2) là tập các toán tử bị chặn từ H1 vào H2 với miền

xác định H1, ta có L(H1, H2), k.k là không gian định chuẩn, nếu H2 làkhông gian Banach thì L(H1, H2), k.k cũng là không gian Banach Nếu

Toán tử T : D(T ) ⊂ H1 → H2 được gọi là xác định trù mật nếu D(T )

là tập trù mật trong H1

Định lý 1.1.2 ([50], Định lý 4.5) Giả sử T là toán tử tuyến tính bị chặn

từ không gian định chuẩn H1 vào không gian Banach H2 Khi đó tồn tại duy nhất một toán tử mở rộng bị chặn S của T sao cho D(S) = D(T ), và

ta có kSk = kT k.

Tiếp theo ta xét phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên không

gian Hilbert H Định lý biểu diễn Riesz là một định lý có ý nghĩa cơ bản

trong toàn bộ lý thuyết không gian Hilbert

Định lý 1.1.3 (F Riesz) ([50], Định lý 4.8) Với mỗi a ∈ H tồn tại

phiếm hàm tuyến tính liên tục T a với D(T a ) = H và

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại các khái niệm về giá trị riêng, vector riêng,

tập phổ và tập giải của toán tử (toán tử tuyến tính tất định) Số z được gọi

là giá trị riêng của toán tử T nếu tồn tại x ∈ D(T )\{0} sao cho T x = zx, nghĩa là toán tử z −T = zI −T không phải là đơn ánh (Ker(z −T ) 6= {0}) Phần tử x được gọi vector riêng của toán tử T ứng với giá trị riêng z Không gian con Ker(z −T ) được gọi là không gian giá trị riêng của z Nếu z không phải là giá trị riêng của toán tử T thì ta đặt R(z, T ) = (z − T )−1 Tập hợp ρ(T ) = {z ∈ K : z − T đơn ánh, và R(z, T ) ∈ L(H)} được gọi là tập giải

của toán tử T , với K là trường số thực hoặc phức Nếu toán tử T không đóng thì z − T và R(z, T ) cũng không đóng, do đó ρ(T ) = ∅ Nếu toán tử T

đóng thì theo định lý đồ thị đóng ta có ρ(T ) = {z ∈ K : z −T là song ánh}.

Ánh xạ

R(., T ) : ρ(T ) → L(H) , z 7→ R(z, T )

được gọi là giải của toán tử T Với mỗi z ∈ ρ(T ) toán tử R(z, T ) được gọi

là giải của toán tử T tại điểm z Tập hợp σ(T ) = K\ρ(T ) được gọi là tập phổ của toán tử T

1.1.2 Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử H1, H2 là các không gian Hilbert và toán tử

T : D(T ) ⊂ H1 → H2 với miền xác định D(T ) trù mật Toán tử T∗ :

D(T∗) ⊂ H2 → H1 với miền xác định D(T∗) như sau

D(T∗) = {y ∈ H2 : phiếm hàm x 7→ hT x, yi liên tục trên D(T )}

Nếu S và T xác định trù mật từ H1 vào H2 và S ⊂ T thì T∗ ⊂ S∗ Ta

có kết quả sau

Định lý 1.1.6 ([50], Định lý 4.19, 4.20) Giả sử T1, T2 tương ứng là toán

tử xác định trù mật từ H1 vào H2 và từ H2 vào H3 Khi đó

(a) Nếu T2T1 xác định trù mật, thì ta có T1∗T2∗ ⊂ (T2T1)∗.

(b) Nếu T2 ∈ L(H2, H3), thì ta có (T2T1)∗ = T1∗T2∗.

Giả sử S, T là các toán tử từ H1 vào H2, khi đó

(a) Nếu T xác định trù mật, thì ta có (aT )∗ = aT∗, ∀a 6= 0.

(b) Nếu T1 + T2 xác định trù mật, thì ta có T1∗ + T2∗ ⊂ (T1 + T2)∗.

(c) Nếu S ∈ L(H1, H2) và T xác định trù mật, thì ta có (T1 + T2)∗ =

T1∗ + T2∗.

1.1.3 Toán tử tự liên hợp, Hermit, và chuẩn tắc

Định nghĩa 1.1.7. 1 Toán tử T trên không gian Hilbert H được gọi là

Toán tử tự liên hợp là toán tử chuẩn tắc Nếu T là toán tử chuẩn tắc thì z + T cũng là toán tử chuẩn tắc, với mọi z ∈ K Nếu T đối xứng và D(T ) = H thì T tự liên hợp.

Kết quả dưới đây đảm bảo sự tồn tại của toán tử tự liên hợp mở rộng

của lớp toán tử đối xứng Một toán tử đối xứng S trên không gian Hilbert

H được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại γ ∈ R sao cho hx, Sxi > γkxk2 với

mọi x ∈ D(S).

Định lý 1.1.9 ([50], Định lý 5.32) Giả sử S là toán tử đối xứng trên không

gian Hilbert H và thỏa mãn điều kiện tồn tại γ ∈ R sao cho hx, Sxi > γkxk2với mọi x ∈ D(S) Khi đó với mỗi θ < γ tồn tại toán tử mở rộng tự liên

hợp T θ của S thỏa mãn hx, T θ xi > θkxk2, ∀x ∈ D(T θ ).

Định lý sau là một kết quả mở rộng cho toán tử Hermit bị chặn

Định lý 1.1.10 ([50], Định lý 5.33) Giả sử S là toán tử Hermit bị chặn

trên không gian Hilbert H khi đó tồn tại toán tử mở rộng tự liên hợp

T ∈ L(H) của S thỏa mãn kT k = kSk Nếu R(S) trù mật thì mọi toán tử thác triển tự liên hợp của S là đơn ánh.

1.1.4 Định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc,

toán tử Hermit

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày về độ đo phổ và định lý phổ chotoán tử chuẩn tắc và toán tử Hermit Kết quả ngẫu nhiên hóa cho vấn đềnày trong trường hợp ngẫu nhiên sẽ được trình bày trong chương 2

Xét H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của H Khi đó với x ∈ H có biểu diễn duy nhất dạng x = u + v với u ∈ M và v ∈ M⊥.

Xét ánh xạ P với D(P ) = H và P x = u thì P là một toán tử tuyến tính trên H, và được gọi là toán tử chiếu trực giao trên M Nếu M = {0} thì

P = 0, còn nếu M 6= {0} thì kP k = 1 Vì P x = x ∀x ∈ M nên ta có

P2 = P P = P Ta lại có R(P ) = M, Ker(P ) = M⊥ Để đơn giản, ta gọi

toán tử chiếu trực giao là toán tử chiếu Ta có định nghĩa về độ đo phổnhư sau

Định nghĩa 1.1.11 (xem [11], Chương 5, độ đo phổ và tích phân, hoặc

xem [15, 18] ) Cho tập hợp S, và A là σ−đại số các tập con của S, và H

là không gian Hilbert, độ đo phổ trên (S, A, H) là ánh xạ E : A → L(H)

thỏa mãn các điều kiện sau;

(a) với mỗi M ∈ A, ánh xạ E(M ) là toán tử chiếu;

(b) E(∅) = 0 và E(S) = I;

(c) E(M ∩ N ) = E(M )E(N ) với M, N ∈ A;

(d) nếu {M n}∞n=1 là dãy các tập đôi một rời nhau trong A thì

E∪∞n=1 M n



=

∞ X

n=1

E(M n ).

Nếu E là độ đo phổ trên (S, A, H) và x, y ∈ H thì

E x,y (M ) = hE(M )x, yi

là một độ đo σ− cộng tính trên A với biến phân toàn phần không vượt quá kxkkyk Với ánh xạ f : S → K đo được bị chặn thì ta đã có định nghĩa

tích phân của hàm đo được bị chặn đối với độ đo phổ E được ký hiệu là

R

S f E(ds) (xem [11], trang 130) Định lý hội tụ bị chặn trong lý thuyết độ

đo là một kết quả kinh điển, nó là chìa khóa của các kết quả mở rộng vềsau Đối với độ đo phổ cũng có kết quả tương tự như vậy Kết quả dướiđây là định lý hội tụ bị chặn đối với độ đo phổ

Định lý 1.1.12 (xem [11], Định lý 2 trang 132) Giả sử E là độ đo phổ

trên (S, A, H) Giả sử rằng (f n ) là dãy các hàm trong B(S) thỏa mãn, tồn

tại M > 0 để kf n k 6 M với mọi n Nếu lim n→∞ f n = f, khi đó với mỗi

2 Giả sử T là một toán tử chuẩn tắc và tập phổ σ(T ) ⊂ C Khi đó σ(T )

là tập compact và tồn tại độ đo phổ E xác định trên các tập Borel của σ(T ) thỏa mãn

T =

Z

σ(T ) zE(dz).

3 Giả sử T là một toán tử Hermit và tập phổ σ(T ) ⊂ R Khi đó σ(T )

là tập compact và tồn tại độ đo phổ E xác định trên các tập Borel của σ(T ) thỏa mãn

T =

Z

σ(T ) λE(dλ).

1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về toán tử ngẫu nhiên tuyếntính Tương tự như trong trường hợp tất định, chúng tôi đưa ra khái niệmtoán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn theo nghĩa hầu chắc chắn, toán tửngẫu nhiên tuyến tính liên tục Định lý 1.2.15 chỉ ra một điều kiện cần và

đủ để toán tử ngẫu nhiên bị chặn được chứng minh bởi GS Đặng HùngThắng và TS Nguyễn Thịnh (xem bài báo [43])

1.2.1 Định nghĩa, các ví dụ

Giả sử X và Y là các không gian Banach khả ly và (Ω, F , P ) là không gian

xác suất đầy đủ L X0 (Ω) là tập hợp các biến ngẫu nhiên trên Ω nhận giá

trị trong X (X−giá trị).

Định nghĩa 1.2.1 (xem [38, 43]).

1 Một ánh xạ A từ X vào L Y0(Ω) được gọi là một ánh xạ ngẫu nhiên

từ X vào Y hay còn gọi là ánh xạ ngẫu nhiên Y −giá trị với miền xác định là X.

2 Ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vào Y được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính nếu với mỗi x1, x2 ∈ X và λ1, λ2 ∈ R ta có

A(λ1x1 + λ2x2) = λ1A(x1) + λ2A(x2) h.c.c (1.4)

Chú ý rằng, tập bỏ qua được nói chung phụ thuộc vào λ1, λ2 và x1, x2.

3 Ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vào Y được gọi là liên tục ngẫu nhiên tại

x0 ∈ X nếu

p − lim x→x

0Ax = Ax0. (1.5)

tức là

lim

x→x0P (kAx − Ax0k > t) = 0 ∀t > 0.

4 Ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến

tính từ X vào Y (hay còn gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Y − giá

trị với miền xác định là X) nếu nó tuyến tính và liên tục ngẫu nhiên.

5 Họ (u i , i ∈ I) các biến ngẫu nhiên Y −giá trị được gọi là bị chặn ngẫu nhiên (hay bị chặn theo xác suất) nếu

với tập ω thỏa mãn bất đẳng thức (1.7) phụ thuộc vào i ∈ I.

Dưới đây là ví dụ về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Các ví dụ này đãđược trình bày trong các tài liệu [3, 7],[38]-[45]

Ví dụ 1.2.2 Giả sử X là không gian Fréchet và Y là không gian Banach,

và B : Ω → L(X, Y ) là biến ngẫu nhiên bất kỳ Ánh xạ A : X → Y xác định như sau, với mỗi x ∈ X ta có

Ax(ω) = B(ω)x

là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Ví dụ 1.2.3 (Chuỗi ngẫu nhiên) Cho (f n)n>1 là một dãy các ánh xạ tuyến

tính tất định đo được từ X vào Y (với X, Y là các không gian Banach khả ly), và (α n)n>1 ⊂ L0(Ω) Giả sử với mỗi x ∈ X chuỗi P ∞

n=1 α n f n (x) hội tụ

theo xác suất Khi đó phép tương ứng

x 7−→

∞ X

n=1

α n f n (x)

xác định một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y

Ví dụ 1.2.4 (Tích phân ngẫu nhiên) Cho (W t , t ∈ [0, 1]) là chuyển động

Brown trên [0, 1] Với mỗi hàm x = x(t) ∈ L2([0, 1]) đặt

Ax(t) =

0 x(s)dW (s).

Khi đó Ax là một hàm ngẫu nhiên liên tục trên [0, 1], nên có thể xem

Ax(t) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên C[0, 1] Do đó, phép tương ứng

x 7−→ Ax cho ta một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L2([0, 1]) vào C[0, 1].

Định lý 1.2.6 ([38], Định lý 1.3b, Định lý đồ thị đóng cho toán tử ngẫu

nhiên tuyến tính) Giả sử A : X → L Y0 (Ω) là một ánh xạ ngẫu nhiên tuyến

tính Khi đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khi và chỉ khi với mọi dãy

(x n ) ⊂ X sao cho lim n x n = x và p-lim n Ax n = ϕ, ta có

Ax = ϕ h.c.c.

Định lý 1.2.7 ([38], Định lý 1.3c, Nguyên lý bị chặn đều cho toán tử

ngẫu nhiên tuyến tính) Giả sử A i : X → Y, i ∈ I là họ các toán tử ngẫu

nhiên tuyến tính thỏa mãn:

Định lý 1.2.8 ([38], Định lý 1.3d, Định lý Banach-Steinhaus cho toán tử

ngẫu nhiên tuyến tính) Giả sử A n : X → Y, n = 1, 2, là dãy các toán

tử ngẫu nhiên tuyến tính sao cho với mỗi x ∈ X ta có (A n x) hội tụ trong

LY0 (Ω) Khi đó ánh xạ A : X → L Y0(Ω) xác định bởi

Ax = p - lim n→∞ A n x,

là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính.

1.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn

Trong mục này, chúng tôi sẽ nhắc lại hai khái niệm bị chặn của toán tửngẫu nhiên tuyến tính và một số kết quả liên quan tới hai khái niệm này

Định nghĩa 1.2.9. 1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ X vào Y được gọi là bị chặn ngẫu nhiên nếu họ biến ngẫu nhiên Y − giá trị {Ax, x ∈ B} bị chặn ngẫu nhiên, tức là

Ví dụ 1.2.10 Cho T1, T2, , T n ∈ L(X, Y ) và α1, , α n là các biến ngẫu

nhiên thực Khi đó ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính A xác định bởi

là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ X vào Y.

Ví dụ 1.2.11 Cho K(s, t, ω) là hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo mẫu xác

định và liên tục trên [0, 1] × [0, 1] Với mỗi x(t) ∈ C[0, 1] ta đặt

Trong trường hợp toán tử tuyến tính tất định, ta đã có kết quả tínhliên tục tương đương với tính bị chặn Trong môi trường ngẫu nhiên thìkết quả đó vẫn đúng Định lý dưới đây sẽ chỉ ra điều đó

Định lý 1.2.12 ([43], Mệnh đề 2.2) Nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến

tính thì tính liên tục ngẫu nhiên của A tương đương với tính bị chặn ngẫu nhiên.

Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không nhất thiết bị chặn Ví dụ dướiđây cho ta một minh họa về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không bị chặn

Ví dụ 1.2.13 (xem [43], Ví dụ 2) Xét ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính A

từ L2[0, 1] vào C[0, 1] xác định như sau

Ax(t) = Z t

0 x(s)dW (s).

Ta sẽ chỉ ra toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không bị chặn Thật vậy, dễ

thấy A tuyến tính Trước hết ta chứng minh A liên tục ngẫu nhiên Thật

vậy theo bất đẳng thức martingale ta có

0 x(s)dW (s)

với Q là tập số hữu tỉ Nếu A bị chặn, thì tồn tại biến ngẫu nhiên không

âm k(ω) sao cho

kAx h (ω)k 6 k(ω)kx hk h.c.c

Vì vậy tồn tại tập D có xác suất một sao cho với mỗi ω ∈ D và h ∈ Q ta

có

kAx h (ω)k 6 k(ω)kx h k → 0 khi h → 0. (1.12)

Do (1.10), (1.11) và (1.12) mâu thuẫn nhau nên A không bị chặn.

Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn thì bị chặn ngẫu nhiên Dưới đâychỉ ra ví dụ về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn ngẫu nhiên nhưngkhông bị chặn

Ví dụ 1.2.14 (xem [43], Ví dụ 3) Ta xác định toán tử ngẫu nhiên tuyến

tính A từ L2[0, 1] vào L2[0, 1] xác định như sau:

0 x(s)dW (s)

0 x(s)dW (s)

Theo Định lý 1.2.12 thì A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L2[0, 1] vào L2[0, 1].

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng A không bị chặn Thật vậy, với mỗi 0 < h < 1/e

Do (1.13), (1.14) và (1.15) mâu thuẫn nhau nên A không bị chặn.

Kết quả dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ để một toán tử ngẫu nhiêntuyến tính là bị chặn

Định lý 1.2.15 ([43], Định lý 3.1) Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ

X vào Y bị chặn khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ T A : Ω → L(X, Y ) thỏa mãn

Ax(ω) = T A (ω)x h.c.c. (1.16)

Nhận xét 1.2.16 Theo Định lý 1.2.15, mỗi toán tử ngẫu nhiên tuyến

tính bị chặn A từ X vào Y có thể xem như một họ các toán tử bị chặn từ

X vào Y được tham số hóa bởi tập Ω, ta ký hiệu là A = {A(ω) : ω ∈ Ω}

trong đó, mỗi ω ∈ Ω thì A(ω) ∈ L(X, Y ).

Định lý 1.2.17 Xét A : X → Y là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.

Xác định ánh xạ ˜ A trên L X0 (Ω) như sau

˜

Au(ω) = T A (ω)(u(ω)).

Khi đó ˜ A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ L X0 (Ω) vào L Y0(Ω).

Kết quả trên chỉ ra rằng với mỗi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn

A : X → L Y0 (Ω) có thể thác triển thành toán tử ngẫu nhiên tuyến tínhliên tục ˜A : L X0 (Ω) → LY0 (Ω) bằng cách đặt

˜

Au(ω) = T A (ω)(u(ω)) với mỗi u ∈ L X0 (Ω).

Như vậy, nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn thì ta sẽ coi A

chính là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn ˜A từ L X0 (Ω) vào LY0(Ω).Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm hợp thành của hai toán tử ngẫunhiên tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.2.18 Giả sử A, B là các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị

chặn từ X vào X, khi đó hợp thành AB : X → L X0 (Ω) được xác định nhưsau

(AB)(x) = ˜ A(Bx).

Từ phần sau của luận án, để rút gọn thì ˜A của A cũng sẽ được ký hiệu

là A Khi đó ta viết (AB)(x) = A(Bx)

Bổ đề 1.2.19 Nếu A, B là các toán tử nhẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ

X vào X thì AB cũng là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn và thỏa mãn

T AB (ω) = T A (ω)T B (ω) h.c.c. (1.17)

1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp

Giả sử H là không gian Hilbert khả ly, với tích trong là h., i Từ phần này trở đi, ta sẽ gọi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ H vào H là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên H.

Định nghĩa 1.2.20 Cho A, B là các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên

H Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính B được gọi là liên hợp của A nếu với

mọi x, y ∈ H ta có

hAx, yi = hx, Byi h.c.c

Đặt A∗ = B, trong phần sau của luận án, ta sẽ sử dụng ký hiệu A∗ là toán

tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A

nếu tồn tại

Trong trường hợp tổng quát, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không nhấtthiết phải có liên hợp (xem [39]) Dễ dàng chỉ ra rằng, liên hợp của mộttoán tử ngẫu nhiên tuyến tính nếu tồn tại là duy nhất

Kết quả trình bày tiếp theo chỉ ra điều kiện cần và đủ để toán tử ngẫunhiên tuyến tính có liên hợp

Định lý 1.2.21 ([39], Định lý 3.5) Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A có

liên hợp khi và chỉ khi với mỗi cơ sở (e n ) trong H ta có

∞ X

n=1

|hAe n , yi|2 < ∞ h.c.c., với mọi y ∈ H.

Ví dụ 1.2.22 Xét (ξ n) là dãy các biến ngẫu nhiên phức độc lập cùng phân

bố thỏa mãn Eξ n = 0, E|ξ n|2 = 1 Với mỗi x ∈ H ta có

∞ X

k=1

E|hx, e k iξ k|2 =

∞ X

k=1

hx, e k iξ k

Khi đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Ta có

hAe k , e1i = haξ k , e1i = ξ k ha, e1i.

Tồn tại e m thỏa mãn ha, e mi 6= 0

∞ X

n=1

|hAe n , e mi|2 = |ha, e mi|2

∞ X

n=1

|ξ n|2 = ∞ h.c.c

Theo Định lý 1.2.21, thì toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A không có liên

hợp

Ví dụ 1.2.23 Xét (T n) là dãy các toán tử tuyến tính liên tục tất định trên

H và (ξ n) là dãy các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập cùng phân bố với kỳ

vọng 0 và phương sai 1 Giả sử với mỗi x ∈ H ta có

∞ X

n=1

kT n xk2 < ∞.

Khi đó với mỗi x ∈ H thì chuỗi

∞ X

toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A có liên hợp khi và chỉ khi với mỗi x ∈ H

thì chuỗi

∞ X

n=1

kT n∗xk2 < ∞.

Bổ đề 1.2.24 Giả sử toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A bị chặn Khi đó A

có liên hợp A∗ Hơn nữa A∗ bị chặn và thỏa mãn

1.

T A∗(ω) = T A (ω)∗ h.c.c., (1.18)

2 Với mỗi u, v ∈ L H0 (Ω) ta có

hAu(ω), v(ω)i = hu(ω), A∗v(ω)i h.c.c.

Định nghĩa 1.2.25 Giả sử A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không

1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính

Khái niệm toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính được GS Đặng HùngThắng và TS Nguyễn Thịnh đưa ra và chứng minh định lý phổ cho toán

tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính chuẩn tắc và toán tử ngẫu nhiên tuyếnsuy rộng tuyến tính tự liên hợp trong bài báo [47]

Định nghĩa 1.2.26 ([47], Định nghĩa 2.1).

1 Tập con M của LH0 (Ω) được gọi là không gian tuyến tính ngẫu nhiên

nếu u1, u2 ∈ M, ξ1, ξ2 ∈ L0(Ω) thì ξ1u1 + ξ2u2 ∈ M.

2 Giả sử M là không gian tuyến tính ngẫu nhiên Ánh xạ Φ : M →

Nhận xét 1.2.27 Giả sử A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Khi đó A có

thể thác triển thành toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Thật vậy,

xét [H] là tập các biến ngẫu nhiên u nhận giá trị trong H có dạng

với ξ i ∈ L0, x i ∈ H Dễ thấy [H] là không gian ngẫu nhiên tuyến tính.

Xác định toán tử ΦA : [H] → L H0 (Ω) như sau

Ta có ΦA là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính và ΦA là một thác

triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A.

Giả sử Φ : D(Φ) → LH

0 (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính vớimiền xác định trù mật D(Φ) Xét M∗ là tập hợp các phần tử v ∈ L H0 (Ω),

tồn tại g ∈ L H0 (Ω) sao cho với mọi u ∈ D(Φ) có

hΦu, vi = hu, gi.

Ta có biến ngẫu nhiên g xác định duy nhất với mỗi v Đặt g = Φ∗v Ta thu

được ánh xạ Φ∗ : M∗ → LH

0 (Ω), với miền xác định M∗, ký hiệu là D(Φ∗)

Ta có D(Φ∗) là không gian tuyến tính ngẫu nhiên và Φ∗ là toán tử ngẫunhiên tuyến tính suy rộng

Định nghĩa 1.2.28 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ∗ : D(Φ∗) −→

2 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được gọi là bị chặn nếu tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mỗi u ∈D(Φ) ta có

kΦu(ω)k 6 k(ω)ku(ω)k h.c.c.

3 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật

D(Φ) được gọi là đối xứng nếu Φ ⊂ Φ∗, nghĩa là

hΦu, vi = hu, Φvi ∀u, v ∈ D(Φ).

4 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được gọi là chuẩn tắc nếu

nó bị chặn và ΦΦ∗ = Φ∗Φ.

5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật

D(Φ) được gọi là tự liên hợp nếu Φ = Φ∗

Ví dụ 1.2.30 Giả sử toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A đối xứng Khi đó

toán tử mở rộng ΦA : [H] → L H0 (Ω) của A cũng đối xứng.

Đối với toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính thì cũng có các kết quảtương tự như toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Kết quả dưới đấy được tríchdẫn trong bài báo [47]

Định lý 1.2.31 ([47], Định lý 2.5).

1 Giả sử Φ : D(Φ) → L H0 (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính

bị chặn Khi đó Φ có thể thác triển duy nhất thành một toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính liên tục bị chặn ˆΦ : LH0 (Ω) → LH0 (Ω) Vì

vậy không giảm tính tổng quát, giả sử miền xác định của toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn là toàn bộ không gian L H0 (Ω).

2 Nếu Φ : L H0 (Ω) → LH0 (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị

chặn thì tồn tại duy nhất (h.c.c.) ánh xạ T : Ω → L(H) thỏa mãn

4 Nếu Φ : L H0 (Ω) → LH0 (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính

bị chặn thì Φ∗ : LH0 (Ω) → LH0 (Ω) cũng là toán tử ngẫu nhiên suy rộng

tuyến tính bị chặn và thỏa mãn đẳng thức sau

Φ∗u(ω) = T∗(ω)u(ω) h.c.c.

Chương 2

Độ đo phổ ngẫu nhiên và định lý phổ cho toán tử

ngẫu nhiên tuyến tính

Trong Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày phiên bản ngẫu nhiên của định

lý biểu diễn phổ Trong Mục 2.1 trình bày về độ đo phổ ngẫu nhiên, định

lý biểu diễn phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc và toán tửngẫu nhiên tuyến tính Hermit

Định lý 2.1.2 chỉ ra được rằng giới hạn của tích phân của hàm đo được

bị chặn ứng với độ đo phổ ngẫu nhiên là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính.Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Định

lý 2.2.8 là phiên bản ngẫu nhiên hóa định lý hội tụ bị chặn đối với độ đophổ ngẫu nhiên suy rộng

Trong Mục 2.2, Định lý 2.2.9 chỉ ra mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộngtrên C, B(C) có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên

Các kết quả trình bày trong chương này được đã được đăng trong cácbài báo "Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên" (đã được nhận đăng ở tạp

chí "Southeast Asia Bulletin for Mathematics" 2014) và "Độ đo phổ ngẫunhiên suy rộng" (đã đăng trên tạp chí "Journal of Theoretical Probability",2014) Kết quả chính ở chương này tập trung trong bài báo thứ hai.

2.1 Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến

tính chuẩn tắc và toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit

Định nghĩa 2.1.1 Cho H là không gian Hilbert, (S, A) là không gian đo

được và (Ω, F , P ) là không gian xác suất đầy đủ Một họ U = {U (ω), ω ∈ Ω} các độ đo phổ tất định với tập chỉ số là Ω thỏa mãn với mỗi x ∈ H, M ∈

A ánh xạ ω 7→ U (ω)(M )x là biến ngẫu nhiên H−giá trị được gọi là độ đo phổ ngẫu nhiên U trên (S, A, H).

Tương tự như định lý phổ cho toán tử tuyến tính chuẩn tắc và toán

tử Hermit trong trường hợp tất định, chúng tôi chứng minh được kết quảtương ứng trong trường hợp ngẫu nhiên như sau

Định lý 2.1.2. 1 Giả sử A = {A(ω), ω ∈ Ω} là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc Khi đó tồn tại độ đo phổ ngẫu nhiên U =

{U (ω), ω ∈ Ω} xác định trên (C, B(C), H) sao cho với mỗi x ∈ H

trên (R, B(R), H) sao cho với mỗi x ∈ H ta có

Trước tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 2.1.3 Với mỗi M ∈ B(C), x ∈ H, ánh xạ ω 7→ U (ω)(M )x đo

được.

Chứng minh Bổ đề 2.1.3 Với mỗi n, đặt D n = {ω : kA(ω)k < n}, B n =

{z ∈ C : |z| 6 n} Từ bất đẳng thức r(A(ω)) 6 kA(ω)k, với r(A(ω))

là bán kính phổ của toán tử A(ω) và ω ∈ D n ta có σ (A(ω)) ⊂ B n Do

Với mỗi biến ngẫu nhiên u giá trị trong H, thì ánh xạ ω 7→ A(ω)u(ω)

đo được Bằng cách quy nạp với mỗi k thì ω 7→ A(ω) k x đo được Vì

vậy ánh xạ ω 7→ P (A(ω))x từ D n vào H đo được.

Bước 2 Nếu f (z) là hàm liên tục xác định trên B n thì ánh xạ ω 7→

f (A(ω))x từ D n vào H là đo được.

Thật vậy, theo định lý Weierstrass, tồn tại dãy đa thức P k (z) hội tụ

đều tới f (z) trên B n Do đó |P k (z)| bị chặn đều Vì σ(A(ω)) ⊂ B n với

ω ∈ D n theo Hệ quả 8 trong tài liệu ([18], trang 899), ta có

lim

k→∞ P k (A(ω))x = f (A(ω))x với mọi ω ∈ D n Vì vậy, từ Bước 1 ta có điều phải chứng minh.

Bước 3 Với mỗi tập đóng M của C và x ∈ H, ánh xạ ω 7→ E(ω)(M)x

từ Ω vào H đo được.

Thực vậy, với mỗi số tự nhiên n đặt M n = {s : d(s, M ) ≥ 1/n} khi

đó M n là tập đóng và M ∩ M n = ∅ Theo bổ đề Urysohn tồn tại hàm

liên tục f n thỏa mãn f n (z) = 1 với z ∈ M và f n (z) = 0 với z ∈ M n và

0 6 f n (z) 6 1 ∀z.

Nếu z / ∈ M thì tồn tại n0 sao cho d(z, M ) > 1/n0 > 1/n với n ≥ n0.

Vì vậy f n (z) = 0 với n > n0 Do đó lim n→∞ f n (z) = 1 M (z) Vì ánh xạ

M → E(ω)(M )x là biến ngẫu nhiên H−giá trị, theo Định lý 1 trong

tài tiệu ([16], trang 56) ta có, với mọi ω ∈ D n thì

và Ω = ∪n D n vì vậy ánh xạ ω 7→ E(ω)(M )x từ Ω vào H là đo được.

Bước cuối Giả sử M là lớp các tập Borel M sao cho ánh xạ ω 7→

U (ω)(M )x từ Ω vào H là đo được Khi đó M là một σ-đại số.

Thực vậy, theo định nghĩa độ đo phổ, với mỗi ω ta có

Từ điều kiện trên, thì M đóng với phép toán giao, hợp và nó là một

lớp đơn điệu Vì vậy M là một σ-đại số.

Từ Bước 3, thì M chứa các tập đóng Vậy M đồng nhất với lớp tất cả các tập Borel Do đó, với mọi x ∈ H, M ∈ B, ánh xạ ω 7→ U (ω)(M )x

là đo được

Tiếp theo, sử dụng Bổ đề 2.1.3 ta sẽ chứng minh khẳng định thứ nhất

trong đẳng thức (2.1) của định lý Thật vậy, cố định ω ∈ Ω Bởi vì

D n ↑ Ω nên tồn tại n0(ω) sao cho ω ∈ D n với mọi số tự nhiên n > n0(ω).

Do đó, nếu n > n0(ω) thì σ(A(ω)) ⊂ B n điều này suy ra

lý 2.2.8 phiên ngẫu nhiên hóa định lý hội tụ bị chặn độ đophổ ngẫu nhiên. .. trình bày độ đo phổ ngẫu nhiên, định

lý biểu diễn phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn t? ?ngẫu nhiên tuyến tính Hermit

Định lý 2.1.2 giới hạn tích phân hàm đo

bị... là tốn

tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A

nếu tồn

Trong trường hợp tổng quát, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng nhấtthiết phải