Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử

Trong phương pháp này, hàm Green của hạt vô hướng trong trường ngoài đã tìm được dưới dạng tổng của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác g.. Hàm Green thu được theo phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-  -

NGUYỄN NHƯ XUÂN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA

LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội - 2008

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-  -

NGUYỄN NHƯ XUÂN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Giáo sư – Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội – 2008

MỤC LỤC

Trang

A MỞ ĐẦU

 Phương pháp phân tích phiếm hàm

 Cấu trúc của luận văn

4

4

9

1.1 Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài 13 1.2 Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngoài

dưới dạng tích phân phiếm hàm

16

CHƯƠNG II: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK

TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM

21

2.1 Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

2.1.1 Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

2.1.2 Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

21

21

25 2.2 Tán xạ năng lượng cao

2.2.1 Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

trong

trường vô hướng

2.2.2 Tính chất tiệm cận của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng ở

năng lượng cao

2.3 Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng

Planck

2.3.1 Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn

2.3.2 Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt trong tương tác hấp

năng lượng Planck

CHƯƠNG III: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK

TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ

50

3.1 Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán

xạ hai hạt vô hướng

51

3.2 Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao

3.3 Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa

56

60 3.4 Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích

phân quỹ đạo Feynman

65

CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HOÁ HÀM GREEN

TRONG MÔ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED3 VÀ

trong QED 3

77

KẾT LUẬN

CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN

Tài liệu tham khảo

HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày cách tìm hàm Green trong mô hình tự tương tác của các “nucleon” vô hướng Sau đó, kết quả thu được trong mô hình này sẽ được tổng quát hoá cho trường hợp điện động lực học vô hướng, trong đó “nucleon” vô hướng phức tương tác với trường điện từ (trường véc tơ) và tương tác của “nucleon” vô hướng với trường hấp dẫn (trường tenxơ) Kết thúc chương này chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm hàm Green lượng tử của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ

Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm

Phương trình cho hàm Green trong trường ngoài của mô hình tự tương tác giữa các

“nucleon” vô hướng mô tả bởi trường  ( )x có Lagrangian tương tác: 3

int

L g , có dạng: i2 2   g x ( ) m2  ( , | )G x y    4 (x y ) (1.1)

Lời giải của phương trình (1.1) đã được tìm bằng nhiều phương pháp khác nhau

Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến Trong phương pháp này, hàm

Green của hạt vô hướng trong trường ngoài đã tìm được dưới dạng tổng của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác g Tuy nhiên kết quả tính toán mới chỉ đưa ra được số hạng gần đúng bậc nhất và bậc hai của lý thuyết nhiễu loạn Quá trình tính toán các bậc nhiễu loạn tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu thức, nếu thu được, cũng rất phức tạp (vì nó chứa các

toán tử trường bậc cao) Điều này gây khó khăn cho việc tìm hàm Green lượng tử khi lấy trung bình phiếm hàm hàm Green G x y( , | )  theo các trường ngoài

Cách thứ hai là thêm tương tác bổ sung với nguồn ngoài t  Hàm Green thu được

theo phương pháp này chứa các toán tử trường có dạng bậc nhất mà ưu điểm của nó là: Phép

lấy trung bình phiếm hàm theo các trường ngoài (khi tìm hàm Green lượng tử cũng như phiếm hàm sinh) sẽ tiến hành đơn giản hơn vì trường ngoài cổ điển  ( )x có trong hàm luỹ thừa dưới dạng tuyến tính Cần chú ý rằng, khi chuyển sang biểu diễn xung lượng trong

không gian phiếm hàm t, thì hàm Green G x y( , | )  được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm

hàm, mà nó được xem xét như là phép biến đổi Lagrange đã được Feynman tổng quát hoá cho phương trình Klein-Gordon đối với hàm Green của phương trình này Hơn nữa, bằng lời giải toán tử sau đó khai triển nhiễu loạn thông thường theo hằng số tương tác, hàm Green

( , | )

G x y  sẽ tìm lại được theo lý thuyết nhiễu loạn cải biến Tuy vậy, biểu thức của hàm

Green lại chứa tích phân phiếm hàm của nguồn tương tác ở dạng bậc hai Hàm Green tuy

thu được là kín nhưng kết quả tính toán là rất phức tạp

Với cách viết (1.2), thừa số mũ, mà trong đó hệ số có các đại lượng không giao hoán như      , x,  theo Feynman, được coi như T exponent (T-tích) Biến số  có ý nghĩa thời gian riêng chia cho khối lượng của hạt và đóng vai trò tích thứ tự trong (1.2) Chỉ số s có nghĩa là thời gian riêng Tất cả các toán tử được xem như là hàm giao hoán của biến 

Sử dụng phép biến đổi Weierstrass trong không gian hàm số 4-chiều, toán tử vi phân bậc cao có thể biểu diễn thành tích các toán tử bậc thấp hơn Sau đó tiến hành gỡ rối toán tử theo quy tắc Feynman, thực hiện phép thay biến:  ( )   ( ) p , nghiệm của phương trình (1.1) được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lượng:

Khi g = 0, tức là khi không có tương tác, chúng ta suy ra hàm Green của hạt tự do Khai triển biểu thức hàm Green này theo hằng số tương tác g thì nó tương ứng với tập hợp các giản đồ Feynman sau:

(a) (b) (c)

Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm Green của electron theo hằng số tương

tác

a) Giản đồ bậc không ứng với quá trình không tương tác

b) Giản đồ đỉnh bậc một c) Giản đồ đỉnh bậc hai d) Giản đồ đỉnh bậc ba

Phần cuối của mục này, chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm hàm Green lượng tử của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ Trường này lý thú ở chỗ là hàm Green ( , | )

G x y A của hạt có thể tính được một cách chính xác Trường sóng phẳng điện từ có dạng: ( ) ( )kx

A x a , trong đó a( )kx là thế năng của trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng đẳng hướng k2  0 Giả thiết rằng trường sóng phẳng là sóng ngang k a ( ) 0kx  Thay trường sóng

phẳng vào biểu thức tương ứng cho hàm Green, Kết quả thu được là:

2 2

4 ( ) ( ) 4

Một tính chất quan trọng của trường sóng phẳng điện từ là các bổ chính phân cực thu được sẽ giống với kết quả nhận được bởi Schwinger nếu như sóng phẳng là biểu diễn chồng

chập của các véc tơ sóng k

Hàm Green thu được trong trường sóng phẳng hoàn toàn giống với kết quả mà Volkov thu được

Chương 2:

TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM

Trong chương này biên độ tán xạ của hai hạt vô hướng trong mô hình đơn giản  3 sẽ được tìm Ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ này có dạng biểu diễn Glauber (hay biểu diễn eikonal) Các kết quả cho tương tác phức tạp có thể dễ dàng thu được bằng cách tổng quát hoá những biểu thức thu được ở đây Cuối cùng chúng ta sẽ tìm các số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Eikonal ở vùng năng lượng cao

Ở đây, chúng ta không xét đến vấn đề tái chuẩn hoá Chúng ta cần tách các số hạng cực điểm dạng (p i2 m2 )  1 và (q i2 m2 )  1 trong công thức (2.2), để chúng triệt tiêu các nhân tử

2 2 ; 2 2 ; 1, 2

p m q m i trong trường hợp tổng quát có vai trò hết sức quan trọng Rất nhiều phương pháp gần đúng có thể hợp lý về quan điểm vật lý khi chuyển tới mặt khối lượng nhưng vị trí các cực điểm của hàm Green ở phần còn lại của biên độ tán xạ tìm được về mặt toán học là bị sai lệch Ở đây chúng ta tổng quát hoá phương pháp tách cực điểm của hàm

Green đã được đề xướng và vận dụng để tìm biên độ tán xạ trong mô hình tương tác giữa

“nucleon” vô hướng với trường meson vô hướng trong gần đúng bỏ qua các loop “nucleon”

Từ công thức (2.2) và biểu thức của hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng sau một số phép biến đổi phiếm hàm, chúng ta thu được biểu thức cuối cùng của biên độ tán xạ hai “nucleon” Biên độ tán xạ này có thể coi là phiếm hàm của tổng tất cả các quỹ đạo khả dĩ của “nucleon” trong quá trình tán xạ

2.2 Tán xạ năng lượng cao

Biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hai hạt với nhau đã tìm được dưới dạng tích phân phiếm hàm Để tính các tích phân này theo các biến số () không phải đơn giản Các biến

số () ở trên được đưa vào để nhận được biểu thức tổng quát cho hàm Green ở trên, có ý nghĩa mô tả sự lệch khỏi quĩ đạo thẳng của hạt Ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ, hạt có thể coi là chuyển động theo quĩ đạo thẳng, do đó việc tính các tích phân theo biến

số () có thể áp dụng cách tính gần đúng các tích phân phiếm hàm do B.M Barbashov đề xướng khi nghiên cứu kì dị hồng ngoại của hàm Green trong QED Sử dụng phép gần đúng này chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán tán xạ hai hạt ở trên

2.2.1 Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường vô hướng

Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng được giải thích như là phần dư của hàm Green hai hạt tại các cực điểm tương ứng với các nucleon cuối

Biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vô hướng có thể được biểu diễn dưới dạng:

1 1

2

( ) 4

S(n 0)scalar  expi g 2  ( )   expi g 2  4    (2.5)

 

2 ( 1)

0 2

Trong phép gần đúng gần đúng quỹ đạo thẳng hàm truyền của nucleon không chứa các

số hạng dạng tích (kikj) với ki và kj là các xung lượng của các meson khác nhau tương tác với các “nucleon” Hình thức luận này làm cho khái niệm vật lý trở nên rõ ràng và phù hợp với hạt năng lượng cao chuyển động dọc theo các quỹ đạo Feynman, các quỹ đạo gần như là thẳng

Với việc bỏ qua các số hạng kikj ở mẫu số hàm truyền “nucleon” thì các giản đồ thang thông thường sẽ thu được bởi sự lặp lại của các giản đồ trao đổi đơn meson Sự trao đổi này không ảnh hưởng tới trạng thái tiệm cận ở năng lượng cao của hạt

Như chúng ta đã biết trạng thái tiệm cận năng lượng cao chỉ có thể chứa chuỗi các tích phân loga của s Ở đây, chúng ta nhận thấy khi lấy tích phân biểu thức (2.7) của S theo d dẫn đến sự biến mất các hệ số trong chuỗi bán nguyên của s Trái lại, chấp nhận các số hạng

mà chúng chứa chuỗi bán nguyên của s sẽ là cần thiết cho việc tính toán các bổ chính bức xạ tiếp theo trong biên độ tán xạ Thật thú vị khi thấy rằng sự xuất hiện trongcác biểu thức bổ chính các số hạng phụ thuộc vào x0 và xz (x x0x z), đây chính là hiệu ứng trễ, hiệu ứng này vắng mặt trong số hạng tiệm cận chính tắc

Thực hiện các tính toán tương tự, tất cả các số hạng tiếp theo của khai triển (2.7) giảm

đủ nhanh khi so sánh với những số hạng mà chúng ta đã viết Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng điều đó không có nghĩa là đã là căn cứ cho biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ được trình bày trong mục này Hàm hệ số trong khai triển tiệm cận, những hàm được biểu diễn bởi hàm MacDonald, là đơn trị ở khoảng cách ngắn và sự đơn trị này trở nên mạnh hơn theo tốc độ tăng với sự giảm tương ứng của các số hạng ở s lớn Vì thế, tích phân của S khi xác định biên độ tán xạ có thể dẫn đến xuất hiện các số hạng vi phạm vào chuỗi eikonal ở thứ tự bậc cao hơn g2 Khảo sát cấu trúc của các đóng góp không eikonal đối với biên độ tán xạ hai nucleon chỉ ra rằng tổng tất cả các giản đồ thang từ thứ tự bậc 8 trong mô hình vô hướng chứa các số hạng, những số hạng này vắng mặt trong các phương trình eikonal chính thống

và biến mất khi lấy giới hạn m0 với  và m là khối lượng meson và nucleon tương ứng Những số hạng này tương ứng với sự đóng góp cho các thế chuẩn hiệu dụng kết quả từ việc trao đổi cặp nucleon và phản nucleon

Để kết thúc mục này, chúng ta quan tâm tới trạng thái tiệm cận của biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vô hướng ở năng lượng siêu cao Thực hiện lấy tích phân theo

Ở đây, chúng ta chỉ xét đến số hạng bổ chính bậc nhất (2.8) Ở vùng năng lượng siêu cao

có thể được xác định bởi biểu thức:

2.3 Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng Planck

Trong mục này ta xét bài toán tán xạ hai hạt trong lý thuyết hấp dẫn tuyến tính Trong vùng năng lượng cao xung lượng nhỏ, chúng ta thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán

xạ Biểu thức này hoàn toàn trùng với các kết quả tìm được bằng phương pháp khác như: phương pháp sóng xung kích (shock-wave method) của t’Hoop, phương pháp lý thuyết topo

hiệu dụng ở giới hạn năng lượng bậc Planck của Verlinder E và Verlinder H, cũng như phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman trong gần đúng Eikonal

2.3.1 Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn

Từ hàm Green của "nucleon" vô hướng (x) tương tác với trường hấp dẫn g(x) trong

hệ toạ độ điều hoà thu được ở chương 1, suy ra biên độ tán xạ đàn tính dưới dạng:

sẽ ảnh hưởng rất lớn tới các đại lượng tương thích giữa các hạt trao đổi

2.3.2 Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn

Sự sinh ra hạt thứ cấp trong va chạm của hai “nucleon” được giải thích một cách tương

tự với các bức xạ hãm của các hạt mềm trong điện động lực học lượng tử có nghĩa là, bức xạ hãm của các “nucleon” va chạm, tương tác thông qua sự trao đổi các lượng tử ảo của trường

h, và bức xạ hạt thứ cấp là ở cùng thời điểm đó Biên độ tán xạ của quá trình không đàn tính có dạng:

1 1

( ) 4

1 0

( , ; , | , )

2 (2 )

i p q x

ikx

i i

0

( ) 1

2.3.3 Đóng góp bổ chính cho biên độ tán xạ đàn tính ở vùng năng lượng Planck

Với cách tương tự như đã thiết lập trong mô hình tự tương tác hạt vô hướng ở mục 2.2,

số hạng bổ chính bậc nhất trong trường hợp trường hấp dẫn lượng tử có dạng:

 

2 ( 1)

0 2

Sau khi lấy tích phân theo dx+, dx- và d cho biên độ tán xạ ở giới hạn năng lượng cao

Nội dung chương này, tìm biểu thức cho biên độ tán xạ bằng phương pháp nhiễu loạn cải biến từ phương trình chuẩn thế Logunov –Tavkhelidze Kết quả được tính tới số hạng gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác g, kết quả được tính trong giới hạn năng lượng cao và xung lượng truyền cố định Số hạng chính cho ta biểu diễn eikonal đã biết, còn các số hạng bổ chính bậc nhất có bậc nhỏ hơn số hạng chính là 

3.1 Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze cho tán xạ hai hạt vô hướng

Trong biểu diễn xung lượng phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán xạ hai hạt vô hướng có dạng

 , ';   ';   2 ;   ;   , '; 

s p m  p m là năng lượng khối tâm;

Nói chung, chuẩn thế U là hàm phức của năng lượng và xung lượng tương đối của hai hạt Phương trình chuẩn thế sẽ trở nên đơn giản hơn nếu chuẩn thế U là “nhẵn” hay nói cách

khác chuẩn thế U là hàm của hiệu xung lượng tương đối giữa hai hạt (p p ') và năng lượng toàn phần (được gọi là chuẩn thế định xứ) Sự tồn tại của chuẩn thế định xứ đã được chứng minh chặt chẽ trong trường hợp tương tác yếu và đây cũng là cách để chúng ta xây dưng chuẩn thế Chuẩn thế định xứ được xây dựng theo cách này sẽ đưa ra nghiệm của phương trình (3.1), nghiệm này đươc xem như là biên độ vật lý của quá trình tán xạ hai hạt trên mặt khối lượng

Trong khuôn khổ của cách tiếp cận chuẩn thế thì chuẩn thế được xác định bằng cách khai triển thành chuỗi vô hạn theo hằng số tương tác, nó tương ứng với việc khai triển nhiễu loạn biên độ tán xạ trên mặt khối lượng Nghiệm gần đúng thu được của phương trình trên (3.1) chỉ được tìm ở thứ tự bậc thấp nhất của chuẩn thế Để giải quyết được bài toán một cách thuận lợi thì ta phải cải tiến phương pháp này trong phép khai triển mà nó có tên gọi

phương pháp nhiễu loạn cải biến

3.2 Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao

Trong biểu thức tiệm cận của biên đô tán xạ chúng ta giữ lại hai số hạng gần đúng đầu tiên (số hạng chính tắc và số hạng gần đúng tiếp theo)

Số hạng thứ nhất mô tả dáng điệu eikonal cho biên độ tán xạ, còn các số hạng bổ chính tiếp có bậc nhỏ hơn số hạng chính cỡ ~ (1 s) Sự phụ thuộc vào năng lượng s của số hạng chính và số hạng bổ chính cũng tương tự như kết quả mà ta thu được bằng cách qua biểu diễn toạ độ