Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov

Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận án là nghiên cứu một số vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số trong không gian Besov bằng phương pháp khôi phục thích nghi và khôngthích nghi với hàm số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Mạnh Cường

XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHÔNG THÍCH NGHI TRONG

KHÔNG GIAN BESOV

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Mạnh Cường

XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHÔNG THÍCH NGHI TRONG

KHÔNG GIAN BESOV

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 9460101.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS.TSKH Đinh Dũng

2 TS Mai Xuân Thảo

HÀ NỘI - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướngdẫn của tập thể cán bộ hướng dẫn Các số liệu và kết quả là trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Mạnh Cường

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tựnhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học

và tập thể các thầy cô giáo tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốcgia Hà Nội, đặc biệt tại bộ môn Giải tích đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiệnthuận lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình họctập và nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo Trường Đại họcHồng Đức, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở Bộ môn Giải tích-KhoaKhoa học Tự nhiên đã luôn động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu

Xin chân thành cám ơn PGS.TS Ninh Văn Thu, TS Lê Huy Chuẩn, TS VũNhật Huy, PGS.TS Đỗ Đức Thuận , các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã gópnhiều ý kiến quý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina tại bộ môn Giảitích, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Xin cảm ơn tậpthể cán bộ Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán đã tạo điều kiện để tác giả làm việccùng GS.TSKH Đinh Dũng trong thời gian GS.TSKH Đinh Dũng làm việc tại đây.Cuối cùng, xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh và gia đình, bạn bè đã chia sẻ,động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU 13

1.1 Không gian Besov 13

1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu 16

1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu 29

1.4 Kết luận 35

Chương 2 KHÔI PHỤC HÀM SỐ KHÔNG TUẦN HOÀN CÓ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG 37 2.1 Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số 37

2.2 Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính 40

2.3 Khôi phục hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp thích nghi 45 2.3.1 Định nghĩa 45

2.3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi 46 2.4 Kết luận 58

Chương 3 KHÔI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ TUẦN HOÀN CÓ ĐỘ TRƠN HỖN HỢP 59 3.1 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong không gian Bap,θ 60

3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian BAp,θ 69

3.3 Kết luận 82

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 84

kxkX chuẩn của véc tơ x trong không gian X

A×B tích Descartes của hai tập A và B

|A| lực lượng của tập hữu hạn A

SX mặt cầu đơn vị trong không gian X

span(A) không gian tuyến tính sinh bởi tập A

Lp(D), 0< p< ∞ không gian các hàm p−khả tích trên tập D

L∞(D) không gian các hàm f với chuẩn sup

xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mô hình hóa như mộthàm số một biến hoặc nhiều biến.

Trước tiên chúng ta xét một số bài toán truyền thống về khôi phục hàm số từgiá trị lấy mẫu: Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khôi phục gần đúng tín hiệu nhiềuchiều f từ n giá trị lấy mẫu Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng mộtphương pháp để khôi phục Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin vềgiá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số, nghĩa

là các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn giống nhaucho mọi tín hiệu Các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số từgiá trị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu trong các công trình [9–11,27,28,32,36] docác tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina-Hoa

Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena-CHLB Đức, Các tác giả của các công trình này đãtính được tốc độ hội tụ của các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khôiphục không thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu Tuy nhiên, trong nhiều

trường hợp các phương pháp khôi phục không thích nghi không mềm dẻo linhhoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khác nhau.

Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu các phương pháp khôi phục tuyến tính khôngthích nghi từ giá trị lấy mẫu và một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tínhiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu

và phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu Cách tiếp cận này doGiáo sư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu [15, 16] có ý nghĩa quan trọng trongnén và lưu trữ tín hiệu Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phương pháp khôiphục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu Đề tài sẽtập trung nghiên cứu các phương pháp khôi phục thích nghi với tín hiệu từ giátrị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dung lượng hữuhạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) của chúng,hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từ một từđiển Giả chiều (pseudo-dimension) [15, 29] đóng một vai trò quan trọng trong

Lý thuyết nhận dạng, đánh giá hồi quy và Lý thuyết học máy [15, 30] Luận ánnghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục tối ưu có liên

quan đến e-entropy [24], độ dày phi tuyến [36] và xấp xỉ bằng n số hạng [6].

Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ và khôi phụckhông thích nghi tốt nhất, đó là phương pháp tuyến tính Để xây dựng phươngpháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối

ưu, chúng tôi xây dựng các biểu diễn B-spline giả nội suy và biểu diễn lượng giáccủa hàm số qua giá trị lấy mẫu Một biểu diễn hàm số như vậy sẽ được xây dựngdựa trên cơ sở toán tử giả nội suy [2, 4, 7] bằng B-spline và nhân lượng giác de laVallée Poussin Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấymẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khôiphục không thích nghi đã được nghiên cứu Tuy nhiên, độ phức tạp tính toán củaphương pháp thích nghi đôi khi lớn hơn các phương pháp không thích nghi, đặcbiệt là các phương pháp tuyến tính

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận án là nghiên cứu một số vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm

số trong không gian Besov bằng phương pháp khôi phục thích nghi và khôngthích nghi với hàm số, các phương pháp tuyến tính và phi tuyến

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu. Đề tài Luận án tập trung nghiên cứu khôi phục

và xấp xỉ hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các phương pháp thích nghi vàkhông thích nghi, cụ thể:

- Nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khôi phục thíchnghi và không thích nghi tốt nhất với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu

- Nghiên cứu các thuật toán (phương pháp) khôi phục thích nghi và khôngthích nghi với hàm số thuộc không gian Besov từ giá trị lấy mẫu tối ưu, nghiêncứu tốc độ hội tụ của thuật toán và tính ưu việt của chúng so với các phươngpháp khôi phục không thich nghi truyền thống

- Nghiên cứu các biểu diễn lượng giác và B-spline giả nội suy và biểu diễnlượng giác của hàm số một biến và nhiều biến thuộc không gian Besov và ứngdụng trong việc xây dựng các thuật toán (phương pháp) khôi phục thích nghi vàkhông thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu

- Nghiên cứu biểu diễn thuật toán tham lam của hàm số một biến và nhiềubiến và các bài toán xấp xỉ phi tuyến và tuyến tính có liên quan

3.2 Phạm vi nghiên cứu.Luận án tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:Khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc các không gian Besov bằng phương phápkhôi phục thích nghi, phương pháp phi tuyến, phương pháp tuyến tính

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các vấn đề nghiên cứu của Luận án về khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫubằng phương pháp không thích nghi và thích nghi là các hướng nghiên cứu mới,

sử dụng phương pháp mới trong lý thuyết xấp xỉ và ứng dụng Kết quả của Luận

án là một đóng góp mới cho hướng nghiên cứu này Vì thế đề tài Luận án có ýnghĩa khoa học, được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm

Đề tài Luận án có ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng các vấn đề xử lý tín hiệu, xử

lý ảnh, thị giác máy tính

5 Tổng quan

Như phần đặt vấn đề đã nêu, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán họcđược ứng dụng rất nhiều trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máytính Bài toán khôi phục tín hiệu và loại nhiễu là một bài toán hết sức quan trọng

trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực tế không có một loại máynào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu, cũng như nhiễu luôn xuất hiệntrong quá trình truyền tải, số hóa, nhiễu xuất hiện do điều kiện tự nhiên Sự phụthuộc của chất lượng tín hiệu và ảnh vào công nghệ xử lý thông tin đòi hỏi phảiphát triển rất mạnh và có hiệu quả các thuật toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh vàứng dụng của chúng Biểu diễn một cách hiệu quả tín hiệu là vấn đề trọng tâmcủa nhiều bài toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh như khôi phục, nén, khử nhiễu Việctìm kiếm các công cụ toán học cho các vấn đề xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, thị giácmáy tính đóng vai trò nền tảng Vấn đề này được nhiều nhà toán học trên thếgiới nghiên cứu, dựa trên các tính chất của tín hiệu thì tín hiệu được mô hình hóanhư một hàm số thuộc các không gian hàm Sobolev, Besov, H ¨older-Nikol’skii ,khi đó việc khôi phục tín hiệu được đưa về khôi phục và xấp xỉ hàm số trong cáckhông gian hàm Một trong những không gian thuận tiện cho việc khôi phục vàxấp xỉ hàm số là không gian Besov Độ trơn Besov của hàm số là một trong những

độ trơn quan trọng phổ biến và được sử dụng rất nhiều trong các bài toán khôiphục và xấp xỉ, khi hàm số có độ trơn càng cao thì tốc độ xấp xỉ cũng càng cao.Khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu là một trong những bài toán cơ bảncủa lý thuyết xấp xỉ, được nhiều nhà toán học quan tâm vì ý nghĩa lý thuyết cũngnhư ứng dụng của nó Bài toán tổng quát được phát biểu như sau: Giả sử f làmột hàm xác định trên miền D trong không gianRd và chúng ta biết được giá trịcủa hàm số này tại n điểm thuộc D Các vấn đề được đặt ra là xây dựng phươngpháp khôi phục f dựa trên thông tin n giá trị này của hàm số, đánh giá tốc độhội tụ của phương pháp theo n, nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp Đềtài Luận án nghiên cứu các vấn đề này của bài toán khôi phục hàm số, cụ thể lànghiên cứu các phương pháp không thích nghi (tuyến tính) và các phương phápthích nghi để khôi phục hàm số thuộc không gian Besov có độ trơn đẳng hướng

và hỗn hợp, đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp và nghiên cứu tính tối ưucủa phương pháp theo các đại lượng đặc trưng Khôi phục hàm số từ giá trị lấymẫu bằng phương pháp tuyến tính là cách tiếp cận truyền thống được nhiều nhàtoán học nghiên cứu, tuy nhiên cho đến nay nó vẫn không mất tính thời sự vì cónhiều ứng dụng Trong một số trường hợp, phương pháp này không mềm dẻo

do các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục được chọn giống nhau cho mọi

hàm số, dẫn đến sai số xấp xỉ của phương pháp không tốt Khi đó các phươngpháp thích nghi phi tuyến được xây dựng cho từng hàm số có ưu thế hơn, đặcbiệt trong các bài toán nén và lưu trữ tín hiệu Chính vì thế mà nội dung nghiêncứu cũng như các kết quả dự kiến của Luận án có khả năng ứng dụng trong cáclĩnh vực thực tế nêu trên.

Những điều nêu trên dẫn đến bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộccác không gian khác nhau, điển hình là các không gian Sobolev, Besov, H ¨older-Nikol’skii Cần chú ý rằng bài toán khôi phục và xấp xỉ là bài toán gồm các bướcliên tiếp nhau, trước hết là khôi phục một hàm số dựa trên các giá trị lấy mẫu, sau

đó là xấp xỉ hàm số đó từ phương pháp khôi phục Các nhà toán học Vladimir

N Temlyakov, Tino Ullrich nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc khônggian Sobolev Wpr bằng phương pháp khôi phục không thích nghi, đánh giá tiệmcận sai số của phương pháp trong các trường hợp đặc biệt (xem [20, Chương 5]).Trong [33,35], nhà toán học Vladimir N Temlyakov nghiên cứu khôi phục hàm sốtrong không gian Sobolev cho lớp hàm số tuần hoàn Ngoài ra trong [21, 22], nhàtoán học E M Galeev đã nghiên cứu khôi phục hàm số cho lớp hàm thuộc khônggian H ¨older-Nikol’skii Hrp GS Đinh Dũng nghiên cứu bài toán khôi phục và xấp

xỉ hàm số tuần hoàn với độ trơn không đẳng hướng thuộc không gian Sobolev

Wpr bằng phương pháp tuyến tính trên lưới Smolyak (xem [19]) Cụ thể, Giáo sư

đã xây dựng phương pháp tuyến tính và ước lượng được sai số của phương phápqua đại lượng đặc trưng cho lớp hàm số nêu trên So với các không gian khác thìkhông gian Besov thuận tiện cho biểu diễn qua giá trị thử và thích hợp cho xấp

xỉ và khôi phục thích nghi Vì vậy trong Luận án này chúng ta nghiên cứu khôiphục và xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov Khi đó dựa trên thông tin về giátrị lấy mẫu, một tín hiệu được mô hình hóa như một hàm số thỏa mãn một sốtính chất thuộc không gian Besov

Luận án nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng các phương phápkhông thích nghi và thích nghi, nhìn chung phương pháp thích nghi cho ta sai sốxấp xỉ là tốt hơn phương pháp không thích nghi nhưng độ phức tạp trong tínhtoán thì lớn hơn Chẳng hạn, từ các Định lý 2.1, 2.5 và 2.6 của Chương 2 chúng

ta nhận thấy khi p < q thì phương pháp thích nghi cho sai số tốt hơn phươngpháp không thích nghi (phương pháp tuyến tính) Ngược lại với p ≥ qthì sai số

của phương pháp thích nghi và phương pháp không thích nghi là như nhau và

do đó trong trường hợp này phương pháp không thích nghi lại có ưu điểm hơnphương pháp thích nghi vì độ phức tạp trong tính toán đơn giản hơn

Đầu tiên, Luận án nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ lớp hàm số không tuầnhoàn thuộc không gian Besov có độ trơn đẳng hướng bằng phương pháp thíchnghi và không thích nghi (phương pháp tuyến tính) Khôi phục và xấp xỉ hàm sốbằng phương pháp tuyến tính đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đã cónhiều công trình được công bố Trong [14] các tác giả đã nghiên cứu khôi phục

và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính cho lớp hàm số tuần hoàn thuộckhông gian Besov Bω

p,θ với modul trơn đẳng hướng, các tác giả đã xây dựng đượcphương pháp tuyến tính và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp đó.Trong [17, 18] GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm sốcho lớp hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp tuyến tính trong các khônggian Besov Bα

p,θ và Bα p,θ ,β với modul trơn không đẳng hướng, Giáo sư đã xây dựngcác phương pháp tuyến tính và đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ của phương pháp.Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm sốkhông tuần hoàn bằng phương pháp tuyến tính trong không gian Besov BΩp,θ vớimodul trơn đẳng hướng, chúng tôi xây dựng được phương pháp tuyến tính quacác B-spline và đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp Chúng tanhận thấy rằng kết quả này là mở rộng các kết quả trong [17, 18], đây là kết quảmới của luận án đã được đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (xem[CT2])

Trong [15, 16], GS.TSKH Đinh Dũng đã xây dựng và đánh giá sự hội tụ củaphương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu cho hàm số thuộckhông gian Besov Bα

p,θ bằng lực lượng hoặc giả chiều của một tập hợp hữu hạn.Một trong những kết quả của luận án là tổng quát và mở rộng kết quả này cho lớphàm số một biến thuộc không gian Besov-type BΩp,θ với modul trơn đẳng hướng

Ở đây, chúng tôi xây dựng các phương pháp khôi phục thích nghi dựa trên thuậttoán lấy trội n phần tử lớn nhất gọi là thuật toán tham lam Vấn đề đặt ra tiếptheo đối với hàm số nhiều biến, để giải quyết vấn đề này chúng tôi mở rộng vàchứng minh định lý biểu diễn trong [18] cho lớp hàm nhiều biến không tuầnhoàn có độ trơn đẳng hướng xác định trênId := [0, 1]d thuộc không gian Besov

BΩp,θ, 0 < p, θ ≤ ∞, qua đó chúng tôi tổng quát và mở rộng kết quả trên chotrường hợp nhiều biến Mặt khác, nhờ định lý biểu diễn B-spline giả nội suychúng tôi xây dựng và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp tuyến tính để khôiphục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov BΩp,θvới modul trơn đẳng hướng, đâycũng là một trong những kết quả chính của luận án.

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu về khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn

có độ trơn hỗn hợp bằng phương pháp phi tuyến Phương pháp phi tuyến có thểkhông thích nghi, nhưng trong luận án này chúng ta chỉ nghiên cứu phương phápphi tuyến thích nghi Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp phi tuyếnđược nhiều nhà toán học nghiên cứu, chúng ta sẽ nghiên cứu sai số của phương

pháp phi tuyến qua các đại lượng đặc trưng entropy en và độ dày phi tuyến ρn.Nhà toán học V N Temlyakov đã có những công trình nghiên cứu về đại lượng

entropy en(xem [34,37]) Trong [15], GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu phươngpháp phi tuyến cho bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn bằngB-spline trong không gian Besov Bα

p,θ với modul trơn đẳng hướng Trong [13],Giáo sư nghiên cứu cho lớp hàm số tuần hoàn trong không gian Besov Brp,θ vớimodul trơn hỗn hợp không đẳng hướng Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiêncứu khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn bằng phương pháp phi tuyến cho lớphàm số xác định trênTd := [0, 2π]d thuộc không gian Besov Bp,θA với modul trơnhỗn hợp, trong đó A là tập con hữu hạn củaRd

+ Chúng tôi đạt được các kết quảmới cho trường hợp A= {a}và A là tập con hữu hạn bất kỳ củaRd

+, cụ thể đó làxây dựng được phương pháp phi tuyến để khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàntrong không gian Besov BAp,θ, 0 < p, θ ≤ ∞ bởi lực lượng hoặc giả chiều của mộttập hợp hữu hạn, đánh giá được sai số, tốc độ hội tụ thông qua các đại lượng đặctrưng

Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mụccông trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận

án Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suyqua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác

Chương 2: Nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn có độtrơn đẳng hướng

Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn có độtrơn hỗn hợp.

Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại:

- Xêmina tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

- Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán

- Xêmina tại Bộ môn Toán giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức.Các kết quả chính của luận án đã được đăng trong 04 bài báo trên các tạp chí

Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU

Chương này trình bày những kết quả mới của luận án, đó là các định lý biểudiễn qua giá trị lấy mẫu một hàm số thuộc không gian Besov thành chuỗi bởi cácB-spline và đa thức lượng giác và chứng minh các tương đương chuẩn Đây là cơ

sở để chúng ta xây dựng được phương pháp khôi phục và xấp xỉ hàm số, đánhgiá tiệm cận sai số của phương pháp đó qua các đại lượng đặc trưng ở các chươngtiếp theo Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày các khái niệm về không gian Besovcủa lớp các hàm số có độ trơn đẳng hướng và độ trơn hỗn hợp Trong Mục 1.2,chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn giả nội suy bởi các B-splinecho lớp các hàm số không tuần hoàn có độ trơn đẳng hướng, đây là một phần

của bài báo [CT2] được công bố trên tạp chí Acta Math Vietnamica Trong Mục 1.3

chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn tương đương chuẩn bởi các

đa thức lượng giác cho lớp các hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp, trình bày

trên cơ sở bài báo [CT4] được chấp nhận đăng trên tạp chí Southeast Asian Bulletin

1.1 Không gian Besov

Cho 0 < p ≤ ∞ và D là một miền nào đó trong Rd Để đơn giản ta ký hiệuchuẩn trong Lp(D) là k.kp,D

Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ Lp(Id) và l ∈ N Toán tử sai phân cấp l được định

được gọi là modul trơn cấp l của f , ở đâyId(lh):=nx : x, x+lh ∈ Ido.

Các Định nghĩa 1.1, 1.2 có thể xem trong [5]

Cho hàm sốΩ : R+ → R+ thỏa mãn các điều kiện

(ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t0), ∀t, t0 ∈ R+, t ≤t0,

(iii) ∀γ ≥1, ∃C0 = C0(γ)sao choΩ(γt) ≤ C0.Ω(t), t∈ R+

Chú ý rằng điều kiện (iii) chỉ cần thỏa mãn với một số γ >1 cố định (chẳng hạn

số có độ trơn đẳng hướng Kí hiệu Up,θΩ là hình cầu đơn vị của không gian BΩp,θ

Định nghĩa 1.4. Hàm số tuần hoàn trên Rd có chu kỳ 2π theo từng biến được

định nghĩa như hàm số trên hình xuyến d chiềuTd := [0, 2π]d với các điểm mútđồng nhất

Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm số tuần hoàn thuộc không gian Lq(Td), e làtập con bất kỳ của[d]:= {1, 2, , d}, toán tử sai phân bậc(l, e)của hàm số nhiềubiến xác định trênTd kí hiệu là ∆l,e

p,θ của hàm số f ∈ Lp(Td)như sau:

t1, t2, , td nên không gian Besov BAp,θ gọi là không gian các hàm có độ trơn hỗnhợp (không đẳng hướng) Kí hiệu Up,θA là hình cầu đơn vị của BAp,θ

Định nghĩa trên có thể xem trong [18]

Ví dụ 1.1 Chúng ta có thể lấy các ví dụ về hàm số thuộc không gian Besov như sau:

f(x) = 0, ∀x ∈ I; g(x) = x, ∀x ∈ I; h(x) = sin x, ∀x ∈ T.

1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu

Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Nr là B-spline chuẩn tắc bậc r với các nút tại các điểm

0, 1, , r được xác định như sau: N1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng[0, 1); với

r≥ 2, Nr được định nghĩa bởi tích chập

Nr(x) :=

∞ Z

− ∞

Nr−1(x−y)N1(y)dy

Mr(x) := Nr(x+r/2)được gọi là B-spline trung tâm bậc r

Định nghĩa 1.6 có thể xem trong các tài liệu [3, 5]

Cho một số nguyên dương r, gọi M là một B - spline trung tâm bậc 2r với giá

[−r, r]và các nốt là các điểm nguyên −r, , 0, , r Định nghĩa d-biến B-splinenhư sau

tuyến tính Q tác động lên hàm f xác định trênRd được định nghĩa bởi

trong đókΛk = ∑

j ∈ P d (µ)

|λ(j)|

Ký hiệuP2r−1là tập hợp các đa thức đại số có bậc không vượt quá 2r−1 Toán

tử Q được xác định từ(1.2−1.3)được gọi là toán tử giả nội suy trong C(Rd)nếutoán tử này tái tạo lạiP2r−1, tức là

Q(p) = p, p ∈ P2r−1

Ví dụ 1.2 Chúng ta có thể lấy một số ví dụ về toán tử giả nội suy như sau:

Cho một số nguyên không âm k, đặt xj = j2−k, j ∈ Z Với f là một hàm số

trênI, ký hiệu Uk(f)và Vk(f)lần lượt là các đa thức nội suy Lagrange tại 2r điểmbên trái x0, x1, , x2r−1 và 2r điểm bên phải x2k − 2r + 1, x2k − 2r + 3, , x2k trên đoạn

Nếu f liên tục trênI thì fk liên tục trên R Giả sử Q là một toán tử giả nội suy

(1.2−1.3)trên C(R) Xây dựng toán tử Qkxác định bởi

ak,s(f) := Λ fk, s; 2−k

| |≤µ

Chúng ta nhận thấy Qk cũng là toán tử giả nội suy trên C(I)

Cho f là hàm số trênId Giả sử Q là một toán tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3)xác định trên C(Rd) Xây dựng toán tử nhiều biến Qk được xác định bởi

là tập hợp các giá trị của s sao cho Mk,s không đồng nhất bằng 0 trên Id Chú ýrằng

ak,s(f) = ak,s1((ak,s2( ak,sd(f))), (1.4)

ở đây các hàm hệ số ak,si được áp dụng tương tự cho hàm số một biến khi xem f

là hàm số một biến xi với các biến còn lại cố định

Tương tự như toán tử Q và Q(.; h), thì toán tử Qk là tuyến tính bị chặn trên

C(Id)và tái tạo P2r−1 Đặc biệt, ta có:

Qk(f) C(Rd ) ≤ CkΛkkfkC(Rd ), (1.5)với mỗi f ∈ C(Id), với hằng số C không phụ thuộc k và

chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞(Id), ở đây ck,slà các phiếm hàm hệ số của f ,được xác định như dưới đây Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số một biến (d =1).

với vế phải thay bằng supremum khi p= ∞

Từ (1.9), với hàm số liên tục f trênId, các nửa chuẩn sau đây tương đương với

Từ (1.10), (1.11), chúng ta nhận được

2−kZ

Chúng ta cần bất đẳng thức về chuẩn trong Lp(D) như sau: Nếu τ là số thỏa

mãn 0< τ ≤ min(p, 1)thì với dãy hàm bất kỳ{fk} ⊂ Lp(D)thỏa mãn bất đẳngthức

(ii) Nếu ρ <min(2r, 2r−1+ 1p)và g là một hàm số được biểu diễn bởi

chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞Id

Cố định τ ≤ min(p, 1) Nếu k ≥ 1 thì từ Bổ đề 2.4 trong [16], chúng ta nhậnđược

Lấy k ∈ Z+, xác định các dãy {ak},{bk}như sau

Đặt ψ(k) = φ(k) −dk/p, k ∈ Z+ Từ bất đẳng thức µ > d/p và (1.16), dễ dàngnhận thấy rằng

−εk0+log2C1; k ≤k0, k, k0 ∈ Z+, (1.21)với 0< ε < µ−d/p

Do vế phải của (1.20) càng lớn khi τ càng nhỏ, nên có thể giả sử τ < θ Lấy các

số ε0, θ0 thỏa mãn các điều kiện 0 < ε0 < ε , 1/θ +1/θ0 = 1/τ, tương ứng Áp

∆

Từ (1.34), (1.38) và (1.40), ta có

bθ φ  k{ak}k

bθ φ.Hơn nữa, k{ak}k

Ví dụ 1.3 Ngoài hàm sốΩ(t) = tα , α > 0, thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1, chúng ta

có thể lấy các hàm số sau đây:

Hệ quả 1.1 Cho 0 < p, θ ≤ ∞, Ω được định nghĩa trong Mục 1.1 và thỏa mãn giả

Ω(2−k), g ∈ Σ(k)

1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu

Trong phần này chúng ta sẽ biểu diễn một hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗnhợp thuộc không gian Besov Bp,θA thành chuỗi các đa thức lượng giác và chứngminh đẳng thức tương đương chuẩn

Định nghĩa sau đây có thể xem trong [13]

với chuẩn max khi p =∞

Ký hiệu Bmp là hình cầu đơn vị trong lmp vàE = {ek}mk=1 là một cơ sở chính tắctrong lmp

Cho f ∈ Lp(Td), như đã biết, bf(k)là hệ số Fourier thứ k của f với 1 ≤ p ≤ ∞.Cho k ∈ Zd

+ Đặt Pk := {s ∈ Zd : b2kj − 1c ≤ |sj| < 2kj, j = 1, , d}, ở đâyba làphần nguyên của a ∈ R+ Cho k ∈ Zd

+, ta định nghĩa toán tử δk như sau

trường hợp θ = ∞ thì vế phải đẳng thức trên được thay bằng supremum

Cho số nguyên không âm m, nhân de la Vallée Poussin Vm bậc m được xácđịnh như sau:

Cho hàm số một biến f ∈ Lp(T) Chúng ta định nghĩa hàm số Um(f)bởi

Vm(f , hk) = f(hk), k ∈ Pmd, (1.43)

ở đây h = (2π/3)(m−11, , m−d1), Pmd := {k ∈ Zd : 0 ≤ kj < 3mj, j = 1, , d}.Đẳng thức sau đây(xem [9]) thỏa mãn:

v0(f) := V1(f),

vk(f):=V2k(f) −V2k − 1(f), k= 1, 2, Cho k ∈ Zd

+, định nghĩa toán tử vk cho hàm nhiều biến trong Lp(Td) tương tựnhư toán tử Vm Toán tử uk, k ∈ Zd

+là tương tự khi thay Vm(f)bởi Um(f).Chú ý vk(f)và uk(f) là các đa thức lượng giác bậc không vượt quá 2kj + 1 −1

với biến xj, j =1, , d

Đặc biệt, bất đẳng thức sau đây đã được chứng minh cho f ∈ Lp(T)(xem Bổ

có thể được chứng minh theo cách tương tự với một sửa đổi rất nhỏ

Đầu tiên, ta xét cho trường hợp A = {a} và chứng minh bất đẳng thức sau

Như vậy định lý được chứng minh cho trường hợp A= {a}.

Bây giờ ta chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát của A Chúng ta có

1< q< ∞, ta có bất đẳng thức sau đây (có thể xem trong [13])

q,max { q,2 } ≤ kfkq ≤ kfkB

1.4 Kết luận

Trong chương này chúng tôi trình bày một trong những kết quả mới của Luận

án đó là các định lý biểu diễn qua giá trị lấy mẫu một hàm số thuộc không gianBesov bởi các B-spline hoặc đa thức lượng giác Các kết quả chính của Chươngnày là Định lý 1.1 và Định lý 1.2 Định lý 1.1 phát biểu cho lớp hàm số thuộckhông gian Besov BΩp,θ với modul trơn đẳng hướng, định lý là tổng quát của định

lý biểu diễn phát biểu trong không gian Besov Bα

p,θ (xem [16]) và là mở rộng củađịnh lý biểu diễn hàm số thuộc không gian Besov BΩp,θ với modul trơn hỗn hợp(xem [18]) Định lý 1.2 phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn trong khônggian Besov BAp,θ với modul trơn hỗn hợp, trong đó A là tập con hữu hạn củaRd

+

Trong [13], Định lý 1.2 đã được chứng minh cho trường hợp tập A chỉ gồm mộtvéc tơ có các thành phần bằng nhau, tức là A= {(r, , r)} Để chứng minh Định

lý này trong trường hợp tổng quát, chúng ta phải sử dụng nhiều kỹ thuật khácnhau, đầu tiên là chứng minh cho không gian Besov Bap,θ sau đó mới chứng minhcho không gian Bp,θA

lý biểu diễn phát biểu không gian Besov Bα... củađịnh lý biểu diễn hàm số thuộc không gian Besov BΩp,θ với modul trơn hỗn hợp(xem [18]) Định lý 1.2 phát biểu chứng minh định lý biểu diễn khônggian Besov BAp,θ...

1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu

Trong phần biểu diễn hàm số tuần hồn có độ trơn hỗnhợp thuộc không gian Besov Bp,θA thành chuỗi đa thức