Phép gần đúng eikonal cho các quá trình tán xạ năng lượng cao trong lý thuyết trường lượng tử

Lý do chọn đề tài Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ ở vùng năng lượng cao, tìm được trong cơ học lượng tử phi tương đối tính vào năm 1959 [40], sau đó trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Toàn Thắng

PHÉP GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO

TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội - 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Toàn Thắng

PHÉP GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO

TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 9440130.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

2 PGS.TS Nguyễn Như Xuân

XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ

CỦA HỘI ĐỒNG CẤP ĐHQG CHẤM LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Chủ tịch hội đồng cấp ĐHQG chấm

Luận án Tiến sĩ

Người hướng dẫn khoa học

GS.TS Hà Huy Bằng GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả,

số liệu, đồ thị, … được trình bày trong luận án là trung thực, đã được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Hà Nội, tháng 7 năm 2020

Tác giả luận án

Vũ Toàn Thắng

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người thầy đã hết lòng giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong suốt

quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án Tôi cũng xin gửi lời cám

ơn tới PGS.TS Nguyễn Như Xuân đã hướng dẫn và tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận án

Tôi xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, trong Khoa Vật lý và Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội

Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo, chỉ huy và đồng nghiệp Khoa Khoa học cơ bản, Trường Sĩ quan Công binh và Đoàn 871 - Tổng cục Chính trị đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cám ơn tới gia đình, người thân và bạn bè

đã động viên chia sẻ và giúp đỡ về mọi mặt để tôi được tập trung nghiên cứu

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC 1

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 3

DANH SÁCH CÁC TỪ KHÓA 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 Tán xạ năng lượng cao trong phương pháp chuẩn thế 12

1.1 Phương trình chuẩn thế dưới dạng toán tử 13

1.2 Lý thuyết nhiễu loạn cải biến 16

1.3 Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao 19

1.4 Biên độ tán xạ hai ―nucleon‖ trong trường hấp dẫn tuyến tính lượng tử 28

1.5 Kết luận chương 1 34

Chương 2 Tán xạ năng lượng cao của các hạt Dirac trên thế nhẵn 36

2.1 Phép biến đổi Foldy – Wouthuysen cho phương trình Dirac trong trường ngoài 37

2.2 Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ 41

2.3 Tiết diện tán xạ vi phân 46

2.3.1 Thế Yukawa 47

2.3.2 Thế Gauss 50

2.4 Kết luận chương 2 54

Chương 3 Tán xạ năng lượng cao của các hạt với moment từ dị thường và giao thoa Culomb – Hạt nhân 56

3.1 Xây dựng biên độ tán xạ hai hạt 56

3.2 Dạng tiệm cận của biên độ tán xạ năng lượng cao 64

3.3 Giao thoa Coulomb – hạt nhân 67

3.4 Tán xạ trên tổng hai trường thế ngoài 69

3.4.1 Phương pháp sóng riêng phần 69

3.4.2 Giao thoa Coulomb – hạt nhân 72

3.5 Kết luận chương 3 77

KẾT LUẬN 79

Danh mục các công trình khoa học 82

Tài liệu tham khảo 83

PHỤ LỤC A1

Phụ lục A A2 Phụ lục B A27 Phụ lục C A30 Phụ lục D A54

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

1 Hình 1.1 Giản đồ Feynman cho tán xạ hai ―nucleon‖ 18

2 Hình 1.2 Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào

3 Hình 2.1 Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào

xung lượng hạt tới trong trường thế Yukawa 49

4 Hình 2.2 Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào

góc tán xạ trong trường thế Yukawa 50

5 Hình 2.3 Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào

xung lượng hạt tới trong trường thế Gauss 53

6 Hình 2.4 Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào

góc tán xạ trong trường thế Gauss 54

DANH SÁCH CÁC TỪ KHÓA

1 Gần đúng Eikonal Eikonal Approximation

2 Biểu diễn Eikonal Eikonal Representation

3 Tán xạ năng lượng cao High Energy Scattering

6 Tiết diện tán xạ Scattering Cross-Section

7 Phương pháp sóng riêng phần Partial Wave Method

8 Phương pháp chuẩn thế Quasi-Potential Method

9 Phương pháp tích phân phiếm hàm Functional Integration Method

10 Phương trình chuẩn thế Quasi-Potential Equation

11 Lý thuyết nhiễu loạn cải biến Modified Perturbation Theory

13 Phép biến đổi Foldy-Wouthuysen Foldy-Wouthuysen Transformation

15 Moment từ dị thường Anomalous Magnetic Moment

16 Giao thoa Coulomb – Hạt nhân Coulomb – Nuclear Interference

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ ở vùng năng lượng cao,

tìm được trong cơ học lượng tử phi tương đối tính vào năm 1959 [40], sau đó trong cơ học lượng tử tương đối tính và đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm Tính từ những năm sáu mươi thế kỷ trước đến nay,

đã có nhiều thay đổi: i/ năng lượng tại các máy gia tốc đã đạt được mức TeV tương ứng với khoảng cách 10-16

cm, còn lý thuyết đang nghiên cứu vật lý với mức GeV thông qua khối lượng Planck M Planck  c G Newton

19

1, 2 10 GeV

  , ứng với khoảng cách 10-33 cm (được gọi là kích thước Planck); ii/ Việc hợp nhất bốn loại tương tác: điện từ, yếu, mạnh và hấp dẫn thành lý thuyết thống nhất vĩ đại [1] đang hiện hữu, khi phát hiện ra sóng hấp dẫn vào 2014 và chụp được ảnh ―lỗ đen‖ năm 2019; iii/ Năm 1987, t’Hooft sử dụng gần đúng Eikonal tìm được biên độ tán xạ Eikonal (leading term - số hạng ―chủ chốt‖) hai hạt vô hướng qua việc trao đổi các graviton giữa chúng

ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, song chưa tính được các số hạng bổ chính (corrections-non-leading) cho biên độ tán xạ này Mặt khác, ―hạt‖ ở vùng năng lượng cao có cấu trúc phức tạp, như spin, các loại moment…, cũng là rào cản rất lớn, song lại bức thiết để lý giải số liệu thực nghiệm thu được từ các máy gia tốc lớn như RHIC (Mỹ), LHC (Geneva) Việc hệ thống hóa và tổng quát hoá những kết quả đã thu được, sử dụng gần đúng Eikonal tìm biên độ tán xạ và các bổ chính của nó, hay hạt có cấu trúc nội tại ở vùng năng lượng cao trên cơ sở một lập luận chặt chẽ là một trong những xu hướng nghiên cứu chính thống cả lý thuyết lẫn thực nghiệm

2 Mục đích, đối tƣợng nghiên cứu

Mục đích của luận án là xem xét một số bài toán tán xạ nằm trong xu thế

đã nêu, trên một thế hay hai thế, sự giao thoa giữa các tương tác, tán xạ hai

hạt có xét đến cấu trúc nội tại, trên cơ sở xây dựng công cụ tính toán mới theo sát với thực nghiệm hơn Ví dụ, xây dựng lý thuyết nhiễu loạn cải biến để tính các số hạng chính và các số hạng bổ chính của nó, hay biểu diễn Foldy-Wouthuysen cho hạt có spin, moment trên cơ sở của các phương trình cơ học lượng tử tương đối tính ở trường ngoài – phương trình Klein- Gordon, phương trình Dirac, phương trình chuẩn thế nhằm lý giải các kết quả thu được trên thực nghiệm

3 Phương pháp nghiên cứu

Hiện nay, số hạng chủ chốt của biên độ tán xạ Eikonal năng lượng cao qua các cách tiếp cận khác nhau, thu được về cơ bản là trùng nhau Bài toán

cho luận án là tiếp tục sử dụng gần đúng Eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng

năng lượng cao hơn trong lý thuyết trường lượng tử kể cả hấp dẫn lượng tử,

và hạt tán xạ có cấu trúc nội tại, nên cách tiếp cận tổng hợp nhiều cách tiếp cận khác nhau và logic về cả toán học lẫn vật lý Một số cách tiếp cận đơn lẻ liên quan đến luận án:

Phương pháp thứ nhất là phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman

Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của từng giản đồ Feynman ở vùng động học nào đó và sau đó lấy tổng các đóng góp này cho biên độ tán xạ cần tìm

Phương pháp thứ hai là phương pháp tích phân quĩ đạo Phương pháp

này dựa trên khai triển Eikonal hàm Green tổng quát các hạt tán xạ trên mặt khối lượng để tìm biên độ tán xạ Về mặt nguyên tắc tích phân quĩ đạo tương đương với biểu diễn thông thường của cơ học sóng Cơ sở khoa học của

phương pháp này dựa trên nguyên lý sau: ―Biên độ xác suất của phép dời

chuyển lượng tử của hệ từ trạng thái đầu i đến trạng thái cuối f được xác định bởi tổng (hay tích phân) theo tất cả các quĩ đạo khả dĩ trong

  

dụng‖ Tuy phương pháp này không được thông dụng vì nó dựa trên nền tảng

toán học khá trừu tượng, song nó lại được sử dụng rất hiệu quả để xây dựng các công cụ tính toán trong cơ học lượng tử tương đối tính, cũng như lý thuyết trường lượng tử Thành tựu lớn nhất của phương pháp tích phân quĩ đạo là phát triển kỹ thuật giản đồ Feyman đã được sử dụng trong QED trước đây và lượng tử hoá các lý thuyết trường chuẩn sau này

Phương pháp thứ ba là phương pháp chuẩn thế Phương pháp này dựa

trên cơ sở phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze (gọi tắt là phương trình chuẩn thế) mà nó được coi là tổng quát hóa phương trình Lippmann - Schwinger Ở đây khái niệm ―thế năng‖ được đưa vào trong lý thuyết trường lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên cứu bài toán tán xạ Phương trình chuẩn thế có dạng tương tự như phương trình cho biên độ tán xạ của cơ học lượng tử phi tương đối tính được khởi nguồn từ phương trình Schrodinger Cơ sở chặt chẽ nhất cho biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng

tử được tìm thấy lần đầu tiên vào năm 1969, nhờ phương pháp chuẩn thế

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Việc hoàn thiện và phát triển lý thuyết nhiễu loạn cải biến giúp tìm được

số hạng chính (leading term) của biên độ tán xạ Eikonal và hệ thống các số hạng bổ chính (corrections-non-leading), đặc biệt đối với trường hợp hằng số tương tác hiệu dụng tăng theo năng lượng, mở ra khả năng áp dụng được cho hấp dẫn lượng tử, mà trước đây chưa làm được Việc sử dụng biểu diễn Foldy –Wouthuysen hay phương pháp tích phân phiếm hàm cho tán xạ năng lượng cao của hạt có cấu trúc nội tại, kết quả thu được ngoài biên độ tán xạ thông thường, còn chứa thêm thành phần mới của biên độ tán xạ diễn tả sự quay spin, mà ta sử dụng để lý giải một số lượng lớn số liệu thực nghiệm bức thiết hiện nay Mở rộng phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ một hay hai thế và sự giao thoa tương tác của chúng Ví dụ như tính đến giao thoa Coulomb - hạt nhân cho hai trường hợp cụ thể Gauss-Coulomb và Yukawa-Coulomb, cần thiết cho xử lý kết quả thực nghiệm hiện nay

5 Bố cục của luận án

Luận án bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Tán xạ năng lượng cao trong phương pháp chuẩn thế

Phát triển và hoàn thiện lý thuyết nhiễu loạn cải biến trên cơ sở phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze trên mặt khối lượng trong lý thuyết trường lượng tử Trong mục 1.1, toán tử giả vi phân được đưa vào để viết lại phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze dưới dạng toán tử trong biểu diễn tọa độ Dựa vào ý tưởng cốt lõi của phương pháp tích phân phiếm hàm 1

Chương 2: Tán xạ năng lượng cao của các hạt Dirac trên thế nhẵn

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tán xạ cho các hạt với spin 1/2 trên các thế ngoài nhẵn ở năng lượng cao của các hạt tới trong khuôn khổ của phương trình Dirac ở trường ngoài được viết trong biểu diễn Foldy – Wouthuysen Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày cách tìm phương trình Dirac cho hạt ở trường điện từ ngoài trong biểu diễn Foldy – Wouthuysen Sử dụng

tính nhẵn của các thế ngoài và Hamiltonian của phương trình Dirac trong biểu diễn Foldy – Wouthuysen, chúng ta giới thiệu cách tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ cho hạt có spin bằng ½ ở vùng năng lượng cao ở mục 2.2 Áp dụng cho 2 trường hợp cụ thể là thế Yukawa và thế Gauss, chúng tôi thảo luận đóng góp của các số hạng trong toán tử Hamiltonian của bài toán và tìm tiết diện tán xạ vi phân, xem xét sự phụ thuộc của chúng theo góc tán xạ và xung lượng của hạt tới ở mục 2.3

Chương 3: Tán xạ năng lượng cao của các hạt với moment từ dị thường và giao thoa Coulomb – Hạt nhân

Chúng tôi xét bài toán tán xạ của hạt với moment từ dị thường ở trường ngoài trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm ở mục 3.1 và 3.2 Lưu ý, khi xét với moment từ, khó khăn lớn nhất ở đây liên quan đến ma trận Dirac  Sử dụng gần đúng Eikonal cho bài toán tán xạ ―pion-nucleon‖ N , khó khăn liên quan đến ma trận Dirac  đã được khắc phục, kết quả ta tìm

được biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ N ở vùng năng lượng cao

,

tương ứng với mô tả không quay spin và có quay spin trong quá trình tán xạ

Giao thoa Coulomb của hạt hadron tích điện N cũng được xem xét trong mục 3.3 Bài toán tán xạ của hạt nhanh lên tổng hai thế ngoài ít được nghiên cứu, song bài toán này lại gặp nhiều trong thực tế Ví dụ như hai hạt hadron tích điện, chúng tham gia vào hai loại tương tác: tương tác điện từ được mô tả bằng thế Coulomb và tương tác mạnh, được mô tả bằng thế Yukawa (hay thế Gauss) Bài toán tán xạ trên tổng hai thế Coulomb - Yukawa hay Coulomb - Gauss được nghiên cứu bằng phương pháp sóng riêng phần ở mục 3.4 Lưu ý, các kỳ dị liên quan đến giao thoa Coulomb-hạt nhân tại các điểm r0 và

r  đã được nghiên cứu kỹ để loại bỏ

Những kết quả của luận án đã được báo cáo trong các Hội nghị khoa học của trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc

và công bố trong 05 bài báo đăng trên các tạp chí quốc tế và trong nước:

 ―High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in

Quantum Field Theory‖, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics

30(3), pp 37-48

 ―Coulomb-nuclear Interference and Partial Wave Method‖, VNU Journal of

Science: Mathematics – Physics 31(1S), pp 108-114

 ―High Energy Scattering of Dirac Particles on Smooth Potentials‖,

International Journal of Modern Physics A 31(23), pp 1650126-1(18

pages)

 ―Applying the Modified Pertubation Theory to High Energy Scattering in

the Quasipotential Approach‖, Journal of Physical Science and Application

7(4), pp 47-58

 ―The Corrections to the High Energy Scattering in the Framework of

Modified Pertubation Theory‖, Scientific Journal of Hanoi Metropolitan

University 35, pp 72-82

Trong luận án, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự nhiên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử, trong đó hằng số Planck 1; vận tốc ánh sáng c1 Khi đó, khối lượng và năng lượng có cùng thứ nguyên; chiều dài có thứ nguyên là nghịch đảo của năng lượng Luận án sử dụng metric giả Euclide (metric

Ta có: x  g x ; x  g x , trong đó, ten xơ metric:

Chương 1 TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG PHƯƠNG PHÁP CHUẨN THẾ

Việc tìm biên độ tán xạ năng lượng cao cho tất cả các loại tương tác

(gồm cả tương tác hấp dẫn) đã được xem xét bởi nhiều tác giả

[48-50,71,105] và đã cho thấy rằng trong giới hạn của tiệm cận năng lượng cao,

tại xung lượng truyền cố định, biên độ tán xạ đàn hồi của hai hạt nucleon có

dạng gần đúng Glauber cùng với hàm pha Eikonal phụ thuộc vào năng

lượng Phương pháp được sử dụng nhiều trong lý thuyết trường lượng tử là

dựa vào lý thuyết nhiễu loạn Tuy nhiên phương pháp này sẽ phù hợp khi

năng lượng của các hạt riêng lẻ không cao và hằng số tương tác hiệu dụng là

không lớn Nhưng trên thực tế, khi năng lượng tăng lên, hằng số tương tác

hiệu dụng cũng tăng, do đó các số hạng bổ chính (tính toán trong lý thuyết

nhiễu loạn) sẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình xác định biên độ

tán xạ cũng như tiết diện tán xạ vi phân của chúng Ví dụ như trong tán xạ

hấp dẫn được mô tả bằng lý thuyết trường hiệu dụng thì hằng số tương tác

hiệu dụng G Gs 1 (với s là tổng năng lượng trong hệ khối tâm, G là

hằng số hấp dẫn) tăng theo năng lượng đã làm cho các lý thuyết nhiễu loạn

đơn giản mở rộng không cho kết quả như mong muốn Việc xác định các số

hạng bổ chính cho số hạng chủ chốt đối với bài toán tán xạ hấp dẫn hiện vẫn

là một vấn đề mở chưa có lời giải

Trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm, lý thuyết nhiễu

loạn cải biến được khởi xướng bởi Fradkin trong [37,38] dẫn đến kết quả vượt

xa mong đợi, so với lý thuyết nhiễu loạn thông thường Phương pháp này đặc

biệt hiệu quả trong điện động lực học lượng tử, vì ngay cả trong gần đúng bậc

nhất của lý thuyết nhiễu loạn cải biến, sự đóng góp của cả photon mềm ảo và

thực, đã có thể hoàn toàn được lấy tổng Cụ thể, người ta đã chứng minh rằng,

gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn cải biến là đủ để có được dáng

điệu tiệm cận chính xác cho các hàm Green và các tiết diện tán xạ của các quá trình trong QED Mục đích của chương này là phát triển một sơ đồ tính toán

hệ thống, dựa trên lý thuyết nhiễu loạn cải biến, để tìm các bổ chính cho biên

độ tán xạ Eikonal chủ chốt bằng cách giải phương trình chuẩn thế Tavkhelidze [71] Mặc dù thiếu tính hiệp biến tương đối tính rõ ràng, song phương pháp chuẩn thế vẫn giữ lại tất cả thông tin các tính chất của biên độ tán xạ, mà chúng có thể nhận được từ các nguyên lý chung của lý thuyết trường lượng tử Do đó, ở năng lượng cao, người ta có thể kiểm tra các đặc tính giải tích của biên độ tán xạ, dáng điệu tiệm cận của nó và một số tính chất quy luật của tán xạ thế, v.v., như đã được thực hiện trong lý thuyết ma

Logunov-trận S thông thường

1.1 Phương trình chuẩn thế dưới dạng toán tử

Phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze là cơ sở của phương pháp chuẩn thế trong lý thuyết trường lượng tử Trong hình thức luận không-thời gian 4-chiều, phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze được tổng quát hoá từ phương trình Schrodinger trên cơ sở hàm Green hai hạt 2-thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử

Trong biểu diễn xung lượng phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze cho tán xạ hai hạt vô hướng có dạng [63]:

Trong các trường hợp khác nhau với việc chọn nhân thích hợp chúng ta sẽ thu được các dạng phương trình chuẩn thế như đã biết:

Nói chung, chuẩn thế V là hàm phức của năng lượng và xung lượng

tương đối của hai hạt Phương trình chuẩn thế sẽ trở nên đơn giản hơn nếu

chuẩn thế V là ―nhẵn‖ hay nói cách khác chuẩn thế V là hàm của hiệu xung

lượng tương đối giữa hai hạt p p và năng lượng toàn phần (được gọi là

chuẩn thế định xứ) [42] Sự tồn tại của chuẩn thế định xứ đã được chứng minh chặt chẽ trong trường hợp tương tác yếu và đây cũng là cách để chúng ta xây dựng chuẩn thế Nghiệm của phương trình (1.1) được xem như là biên độ vật

lý của quá trình tán xạ hai hạt trên mặt khối lượng

Thực hiện các phép biến đổi Fourier:

tự bậc thấp nhất của chuẩn thế Sử dụng phương pháp này biểu thức Eikonal tương đối tính của biên độ tán xạ đàn tính đã được tìm ra trong lý thuyết trường lượng tử với năng lượng lớn và xung lượng truyền nhỏ [41]

1.2 Lý thuyết nhiễu loạn cải biến

Trong lý thuyết trường lượng tử, hai phương pháp thường được sử dụng

để tìm biên độ tán xạ là lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và phương pháp tích phân phiếm hàm Phương pháp nhiễu loạn thông thường dựa trên việc khai triển nhiễu loạn theo hằng số tương tác Phương pháp tích phân phiếm hàm sử dụng biểu diễn toán tử nghịch đảo theo đề xuất của Fock và Feynman [35]: 1

triển mà nó có tên gọi phương pháp nhiễu loạn cải biến được đề xuất bởi

Fradkin [38,50,64], là phương pháp kết hợp phương pháp tích phân phiếm

hàm và lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

Trong mục này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp nhiễu loạn cải biến để

giải phương trình (1.7) Theo phương pháp này, nghiệm của phương trình (1.7) sẽ được tìm dưới dạng hình thức:

, ; 3

1, ;

rút ra, phép gần đúng của chúng ta trong trường hợp phương trình Schwinger trùng với phép gần đúng q q i j 0 khi nghiên cứu dáng điệu hồng ngoại của hàm Green lượng tử hay biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài trong QED, hay các số hạng q q i j 0i j trong hàm truyền của ―nucleon‖, hay gần đúng quỹ đạo thẳng trong phương pháp tích phân phiếm hàm Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman cho tán xạ hai ―nucleon‖ biên độ tán xạ hai hạt có dạng Eikonal ở vùng s  ,t fixed khi ta lấy tổng các giản đồ thang:

Lippmann-Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ hai “nucleon”

1.3 Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lƣợng cao

Sử dụng kết quả thu được ở trên, chúng ta tìm dạng tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao, xung lượng truyền cố định

Từ (1.2), (1.4), (1.8), ta có:

, ; 3

Giới hạn biểu thức của W r k s ở ba số hạng gần đúng đầu tiên theo biểu  , ; 

thức (1.11), đồng thời sử dụng các kết quả (1.18), (1.21), (1.22), chúng ta có:

2 3 11

1

W g

3 2

2 1

W g

g

W W

2

W g

Thay (1.36) vào (1.35), ta thu được:

Ta thấy rằng, biểu thức (1.37), (1.38) là tương đương với kết quả bổ chính bậc

một theo phương pháp khai triển của Wallace [105] (xem phụ lục C)

W g

W g





Thực hiện các tính toán chi tiết theo phụ lục A.4, chúng ta thu được:

Thế tương tác hiệu dụng giữa hai ―nucleon‖ thông qua việc trao đổi graviton khối lượng , trong hấp dẫn tuyến tính được mô tả bằng chuẩn thế Yukawa tăng theo năng lượng [50]:

s graviton

.2

32

0 9

12

( )2

s graviton

giữ lại số hạng chứa F t 1 

s graviton

1 6

3

;

2

s graviton

32

48

92

s graviton

92

32

92

Đồ thị sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào năng lượng toàn phần

Qua đồ thị chúng ta thấy rằng, trong trường hợp tương tác của hai hạt thông qua việc trao đổi các graviton, tiết diện tán xạ tăng theo năng lượng Sự đóng góp của bổ chính bậc một là nhỏ, không đáng kể

Trong trường hợp tham số va chạm là nhỏ so với bước sóng Compton

Hình 1.2: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân

vào năng lượng toàn phần

Cuối cùng chúng ta thu được tiết diện tán xạ vi phân:

Áp dụng kết quả tìm được ở trên cho trường hợp hấp dẫn tuyến tính với chuẩn thế Yukawa mô tả tương tác hai hạt vô hướng thông qua việc trao đổi các graviton với khối lượng , chúng tôi đã nhận được biểu thức của biên độ và tiết diện tán xạ vi phân tương ứng Kỳ dị liên quan đến hàm F t cần được 1 

nghiên cứu và làm rõ bản chất trong tương lai Mở rộng kết quả khi nghiên cứu tương tác điện từ và tương tác mạnh như đã nói ở trên, ta tìm được bán kính hiệu dụng cho tương tác hấp dẫn

21ln2

- ―Applying the Modified Pertubation Theory to High Energy Scattering in

the Quasipotential Approach‖, Journal of Physical Science and Application

7(4), pp 47-58

- ―The Corrections to the High Energy Scattering in the Framework of

Modified Pertubation Theory‖, Scientific Journal of Hanoi Metropolitan

University 35, pp 72-82

Chương 2 TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO CỦA CÁC HẠT DIRAC

TRÊN THẾ NHẴN

Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao đã được nhiều tác giả nghiên cứu trong nhiều năm Song, trong các nghiên cứu này, sự tồn tại cấu trúc spin chưa được chú ý, hoặc được chú ý, nhưng phương pháp nghiên cứu còn chưa hoàn chỉnh hay phương pháp được dùng lại khó áp dụng cho các thế ngoài tùy ý khác nhau [84,85] Mặt khác từ thực nghiệm đều biết các hiệu ứng spin có ý nghĩa trong nhiều quá trình vật lý, như thực nghiệm tại RHIC và LHC gần đây [103] Chính vì vậy mục đích của chương này là tổng quát hóa biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ cho các hạt có cấu trúc spin, cụ thể là thiết lập biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ các hạt với spin ½ trên các thế nhẵn ở vùng năng lượng cao trong khuôn khổ của phương trình Dirac

ở trường ngoài được viết trong biểu diễn Foldy – Wouthuysen (F – W) [36,86,91,92,95-99] Trong mục 2.1, chúng tôi trình bầy cách tìm phương trình Dirac cho hạt ở trường điện từ ngoài trong biểu diễn F – W Biểu diễn này có một vị trí đặc biệt trong cơ học lượng tử tương đối tính, vì những tính chất sau: i/ Các toán tử cơ học lượng tử để cho các hạt tương đối tính ở trường ngoài có dạng tương tự như trong cơ học lượng tử phi tương đối tính và đơn giản hơn so với các biểu diễn khác; ii/ Đảm bảo cho khả năng sử dụng thành công cho phép chuyển tới gần đúng chuẩn cổ điển và giới hạn cổ điển của cơ học lượng tử tương đối tính [91,92,95,96] Điều này là quan trọng vì hầu hết việc đo các hiệu ứng lượng tử được tiến hành nhờ các thiết bị cổ điển Sử dụng tính nhẵn của các thế ngoài và Hamiltonian của phương trình Dirac trong biểu diễn F – W, chúng tôi giới thiệu cách tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ cho hạt có spin bằng ½ ở vùng năng lượng cao ở mục 2.2 Trong mục 2.3, chúng tôi tính toán tiết diện tán xạ vi phân trong hai trường hợp cụ thể là thế Gauss và thế Yukawa và xem xét sự phụ thuộc của chúng theo góc tán xạ và xung lượng của hạt tới