Hai hình ( ñoaïn thaúng, goùc, ..) ñoái xöùng nhau qua moät ñöôøng thaúng thì baèng nhau c) Moät hình H goïi laø coù truïc ñoái xöùng neáu ñieåm ñoái xöùng vôùi moät ñieåm thuoäc H cuûng[r]
Trang 1Equation Chapter 1 Section 1Buổi 1 : hằng đẳng thức
Ngày soạn: 27 – 9 - 2009
a mục tiêu:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức
* Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán
b hoạt động dạy học:
I nhắc lại nội dung bài học:
1 Nhân đa thức với đa thức:
II Bài tập áp dụng:
Biến đổi, rút gọn vế trái của câu a
áp dụng các H.đẳng thức nào để giải
HS ghi đề, thực hiện theo nhóm
HS cùng GV thực hiện lời giảia) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 +2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4
b) (x2 + x + 1)(x2 – x4 + x2 – x + 1) = …= x= x7 + x2 + 1
c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
= [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2
= (- 4)2 = 16
HS ghi đề bàigiải theo nhóm ít phút
áp dụng Hđt (2), (5), (7) để giải câu aa) (x – 3)3- (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x+1)2
=15
x3 – 9x2 + 27x – 27 – ( x3 - 27) + 9( x2
- 2x + 1) = 15 …= x. 9x = 6 x =
2 3
áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3)b) 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) =172
3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) = 172 …= x. 8x = 96 x = 12
a) x3 - y3 – 3xy = (x – y)(x2 + y2 + xy) – 3xy
= 1.(x2 + y2 - 2 xy) = (x – y)2 = 1b) x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) =
Trang 2x3 + y3 = 2.[10 – (- 3)] = 26c) Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 - 2ab + b2 = 0
(a – b)2 = 0 a – b = 0 a = b (®pcm)
c) Tõ : x + y + z = 0 (x + y + z)2 = 0
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0
x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0)
x = y = zd) Tõ a + b + c = 0 (a + b + c )2 = 0
b) V× 4 =
2
3 1 2
Trang 3- Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS
- tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao
b hoạt động dạy học:
I Nhắc lại một số kiến thức bài học:
1 Hình thang: Tứ giác ABCD là hình thang AB // CD (hoặc AD // BC )
2 Hình thang cân:
Tứ giác ABCD là hình thang cân
ABCD là hình thang (AB // CD) có AC = BDABCD là hình thang (AB // CD) có
Trang 4* Trong hình thang cân: hai cạnh bên bằng nhau, hai đờng chéo bằng nhau
3 Đờng trung bình của tam giác
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
gọi là đờng trung bình của tam giác
trung bình của ABC
- Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung
4 Đờng trung bình của hình thang:
thang gọi là đờng trung bình của hình thang
của hình thang ABCD
Cho ABC đều cạnh a Gọi M, N theo thứ
tự là trung điểm của AB và AC
a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao?
b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a
Cho HS tìm lời giải ít phút
Dự đoán dạng của tứ giác BCNM?
Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh
theo a là bao nhiêu?
Bài 2:
Cho ABC có ba góc đều nhọn; AB > AC
HS ghi đề bàiViết GT, KL, vẽ hình
HS suy nghĩ, tìm lời giải
HS dự đoánc/m: MN // BC và B = C
Từ GT MN là đờng trung bình của ABC
B A
Trang 5Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB,
AC, BC Vẽ đờng cao AH
Hoàn thành lời giải?
Khi MH PN thì MH AB? Vì sao?
AMH là tam giác gì? vì sao?
ABH là tam giác gì? vì sao?
Từ đó suy ra điều gì?
Bài 3:
Cho ABC Gọi I là giao điểm của các tia
phân giác trong kẻ IM AB; IN BC và
IK AC Qua A vẽ đờng thẳng a // MN;
NH cùng bằngmột đoạn nào đó
MP là đờng Tbcủa ABC nên
AMH 90 và có MI vừa là trung tuyến vừa là
đờng cao MAH = AHM 45 0
ABH có AHB 90 0 mà AHM 45 0 nên
HBM 45 ABH vuông cân tại H Suy ra BH = AH
Mà BH = BP + PH = MN + PHVậy: MN + PH = AH
HS ghi đề, Vẽ hình,
H
I M
B
A
I
H P
N M
C B
A
Trang 6Bài 4:
Cho ABC có AB = c, BC = a, AC = b
Qua A vẽ đờng thẳng song song với BC
cắt các tia phân giác của góc B và góc C
tại D và E Từ A vẽ AP BD; AQ CE
PQ lần lợt cắt BE, CD tại M và N
Tính MN, PQ theo a, b, c
Dự đoán xem MN có tính chất gì?
Hãy C/m BCDE là hình thang
Dự đoán và c/m dạng của BAD
2 1
D E
C B
kẻ CH AB, Gọi giao điểm của AC và DH là E, giao điểm của BD và CH là F
a)Tứ giác ADCH là hình gì?
b) C/m AC BC
Trang 7Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo của hình thang thì song song
với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy
Buổi 3 – phân tích đa thức thành nhân tử (buổi 1)
Ngày soạn: 20 – 10 - 2009
a mục tiêu:
* Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử
* HS sử dụng thành thạo các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử
* Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị của biểu thức, của biến
b hoạt động dạy học:
I Nhắc lại kiến thức bài học:
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
* Phơng pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng hằng đẳng thức để viết đa thức thành tích
* Phơng pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để làm xuất hiện nhân
tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức
* Phơng pháp tách hạng tử :
Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta làm nh sau:
Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = …= xsau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b
* Phối hợp nhiều phơng pháp: sử dụng đồng thời nhiều phơng pháp để phân tích
II Bài tập vận dụng:
Trang 8Có thể tách nh thế nào khác nữa để xuất
hiện hằng đẳng thức rồi tiếp tục phân tích
= (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2)
b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y)
= (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1)c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x
Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nên ta có: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4)cách 2:
x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …= x?cách 3:
x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…= x?Cách 4:
x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =…= x?cách 5:
x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 =…= x?
HS về nhà tìm thêm cách khácb) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2
= (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1)c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3)
= (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10)
= (x5 – x4 + x3) – (x3 – x2 + x) – (x2 – x +1)
= x3 (x2 – x + 1) – x (x2 – x + 1) - (x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x3 – x – 1)a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
= (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*)
Trang 9 a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2) V× a + b + c = 0
a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
Trang 10* Tiếp tục nâng cao và rèn luyện kỹ năng giải bài toán dựng hình, Kỹ năng chứng minh hình học cho HS
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học tập môn Toán
B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
I Nhắc lại một số kiến thức bài học
1 Bài toán dựng hình đã biết:
2 Đối xứng trục:
a) Hai điểm A và B gọi là đối xứng nhau qua một đường
thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AB Khi A
thuộc d thì B A
b) Hai hình H và H gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d
nếu mỗi điểm thuộc H có một điểm đối xứng với nó qua dù thuộc H và ngược lạiHai hình ( đoạn thẳng, góc, ) đối xứng nhau qua một đường thẳng thì bằng nhauc) Một hình H gọi là có trục đối xứng nếu điểm đối xứng với một điểm thuộc H củngthuộc H (Tam giác cân, tam giác đều, Hình thang cân, )
d) Một số định lí:
+ Một góc có trục đối xứng là đường phân giác của nó
+ Đoạn thẳng có trục đối xứng là đường trung trực của nó
+ Tam giác cân có trục đối xứng là đường trung trực của cạnh đáy
+ Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đáy
II Bài tập vận dụng, Nâng cao
Bài 1:
Dựng hình thang cân ABCD biết đáy
CD = a, AB = b (a > b), góc nhọn kề
với đáy lớn băng
HS tiếp cận đề bài
HS vẽ phác hình để phân tích từ đó tìmcách dựng
b) Dựng góc bằng góc cho trước
c) Dựng đường trung trực của đoạn
thẳng cho trước, trung điểm của đoạn
thẳng
d) Dựng tia phân giác của moat góc cho
trước
e) Qua một điểm cho trước, dựng đường
thẳng vuông góc với đ/ thẳng cho trước
f) Qua một điểm name ngoài mộtđường thẳngcho trước, dựng đườngthẳng song song với đường thẳng ấyg) Dựng một tam giác biết ba yếu tố:Hai cạnh và một góc xen giữa, mộtcạnh và hai góc kề với nó, biết ba cạnhh) Dựng tam giác vuông biết cạnhhuyền và một góc nhọn, cạnh huyềnvà một cạnh góc vuông
Trang 11Hãy vẽ phác
Cho xOy = 54 0 Hãy chia góc đó thành
ba phần bằng nhau
Hãy vẽ phác hình để phân tích và tìm
cách dựng hình để chia góc xOy = 54 0
thành ba phần bằng nhau
O
C
Bài 3:
Cho ABC có ba góc nhọn, đường
cao AH Gọi D và E là các điểm đối
xứng của H qua AB và AC, DE cắt
AB và AC lần lượt tại F và G
Chứng minh: FC // DH, GB // EH
* Cách dựng:
- Dựng ADE biết DE = a – b, D = E =
- Trên tia DE dựng điểm C sao cho DC = a
- Dựng Az // DC, Cy // AE cắt nhau tại B
Ta có hình thang cân ABCD cần dựng
HS trình bày bước chứng minhBài toán có một nghiệm hình
HS tiếp cận đề bài
HS vẽ phác hình, phân tích để tìm cáchdựng
* Cách dựng:
- Dựng tia OC Ox ta được COy = 36 0
- Dựng tia OD sao cho COy = DOy = 36 0
Ta được DOx = 18 0
- Dựng tia phân giác OE của DOy = 36 0
Ta được DOE = 18 0Vậy xOy = 54 0 được chia thành ba góc
xOE = DOE = DOx = 18
HS ghi đề bàiVẽ hình và tiến hành giải ít phútXét FHG:
D, H đối xứng nhau qua AB nên ta có AB làđường phân giác của góc ngoài tại F
E, H đối xứng nhau qua AC nên ta có AC làđường phân giác của góc ngoài tại G
Suy ra HA là tia phân giác của FHG
AHBC nên AC và BC là hai tia phân giáccủa góc ngoài tại G và H nên FC là tia phângiác của HFG
AB và FC là hai tia phân giác của hai góckề bù tại đỉnh F nên ABFC mà DH ABnên FC // DH
D A
Trang 12D, H đối xứng nhau qua AB nên ta có
điều gì ?
Tương tự E, H đối xứng nhau qua AC
nên ta có Kl gì ?
Từ đó suy ra điều gì ?
AHBC nên AC và BC là hai tia
phân giác của góc ngoài tại đỉnh nào
AB và FC thì sao ? ta suy ra điều gì ?
Tương tự hãy chứng minh BG // EH
Nếu gọi giao điểm của BG và FC là
O thi O có tính chất gì ?
Bài 4:
Tính góc tạo bởi hai gương phẳng biết
rằng: một tia sáng bất kỳ sau bốn lần
chiếu vào cả hai gương thì đi theo
hướng ngược lại hướng ban đầu
Để vẽ hình của bài toán ta phải vận
dụng kiến thức nào?
Vẽ tia Ox’đối xứng với Ox qua Oy, D’
đối xứng với D qua Oy Ba điểm B, C,
D’ như thế nào? Vì sao?
D’ đối xứng với D qua Oy nên CO có
Gọi giao điểm của BG và FC là O thi O làtrực tâm của ABC và là điểm cách đều bacạnh của DHF
HS ghi đề Vẽ hình
y '
x
y
F E
Vì D’ đối xứng với D qua Oy nên CO là tia phân giác của DCD Phap tuyến tại C của tia tới BC là tia phân giác của BCD vuông góc với CO nên DCD và BCD là hai góc kềbù, Suy ra : ba điểm B, C, D’ thẳng hàngTương tự: Ba điểm D’, E, F thẳng hàng
xOy = 900 suy ra xOy 45 0
HS ghi đề và vẽ hình
Trang 13Từ D BE + ABD =180 0 ta suy ra điều
gì ?
xOy =? Từ đó ta có xOy
Bài 5:
Cho ABC Vẽ các tia Ax, Ay nằm
trong góc A sao cho BAx = CAy , Vẽ
các tia Bz, Bt trong B sao cho
ABz = CBt Gọi E = Ax Bz, F = Ay
Bt
Chứng minh rằng ACE = BCF
Để chứng minh ACE = BCF ta gấp đôi
các góc trên Bằng cách nào ?
Ta cần C/m hai góc nào bằng nhau ?
Tức là C/m hai tam giác nào bằng
nhau?
Hai tam giác này đã có các cạnh nào
bằng nhau? Cần C/m yếu tố nào bằng
nhau ? bằng cách nào?
I
B
F E
H A
Vẽ H đối xứng với E qua AC, K đối xứng với F qua BC
Ta cần C/m HCE = ECK bằng cách C/m
HCF = ECK Vì đã có HC = EC, CF = CK
Nên ta cần c/m HF = EKVẽ I đối xứng với E qua AB ta C/m
FAH = FAI (c.g.c) FH = FI,
FBI = KBE(c.g.c) FI = EK
III Bài tập về nhà:
Bài 1:
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, D và E theo thứ tự đối xứng với H qua AB,
AC Chứng minh rằng
a) D, A, E thẳng hàng c) DHE 90 0
b) Tứ giác BCED là hình thang vuông d) DE = 2 AH
Bài 2:
Cho ba đường thẳng a, b, c cắt nhau tại O và điểm A thuộc a
Dựng tam giác ABC nhận a, b, c làm đường phân giác trong
Trang 14BUOÅI 5 - phân tích đa thức thành nhân tử (buổi 2)
Ngày soạn:
A MUẽC TIEÂU:
* Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử
* HS sử dụng thành thạo các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử
* Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị của biểu thức, của biến
b hoạt động dạy học:
I Boồ sung moọt soỏ phửụng phaựp phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ:
1) Phửụng phaựp tỡm nghieọm cuỷa ủa thửực:
x = a laứ nghieọm cuỷa f(x) neỏu f(a) = 0 neỏu f(x) chửựa nhaõn tửỷ x – a thỡ a laứ nghieọm cuỷa
ủa thửực f(x) Taựch f(x) thaứnh tửứng nhoựm coự nhaõn tửỷ laứ x – a ủeồ phaõn tớch:
Khi ủoự f(x) = (x – a) g(x)
ẹa thửực coự toồng caực heọ soỏ baống 0 thỡ coự nghieọm baống 1( nhaõn tửỷ laứ x - 1)
Toồng caực heọ soỏ cuỷa haùng tửỷ baọc chaỹn baống toồng caực heọ soỏ cuỷa haùng tửỷ baọc leỷ thỡ coự nghieọm laứ -1 (nhaõn tửỷ laứ x + 1)
Nghieọm hửựu tổ (neỏu coự) cuỷa moọt ủa thửực phaỷi coự daùng
II Baứi taọp vaọn duùng taùi lụựp:
Baứi 1: Phaõn tớch thaứnh nhaõn tửỷ
a) x4 + 5x3 – x2 – 4x + 1
Sửỷ duùng phửụng phaựp naứo ? Vỡ sao
Taựch, nhoựm caực haùng tửỷ naứo vụựi nhau
ủeồ laứm xuaỏt hieọn nhaõn tửỷ chung
b) 2x3 - 5x2 + 6x - 3
Dửù ủoaựn nghieọm cuỷa ủa thửực
x = 1 coự laứ nghieọm cuỷa ủa thửực
khoõng? Vỡ sao?
ẹa thửực coự nhaõn tửỷ laứ x – 1
Haừy taựch caực haùng tửỷ ủeồ coự nhaõn tửỷ
chung laứ x – 1
Ta coự theồ phaõn tớch ủa thửực naứy baống
HS ghi ủeà
HS phaựt bieồua) (x4 + x3 ) + (4x3 + 4x2)– (5x2 + 5x) + (x + 1) = x3(x + 1) + 4x2(x + 1) – 5x(x + 1) +(x + 1) = (x + 1)(x3 + 4x2 – 5x + 1)
HS ghi ủeà baứiDửù ủoaựn nghieọm
HS traỷ lụứi b) 2x3 - 5x2 + x – 3
= 2x3 – 2x2 – 3x2 +3x + 3x – 3
= x2(x – 1) – 3x(x – 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)(x2 – 3x + 3)
Trang 15phương pháp hệ số bất định Các em
về nhà tự giải tương tự như ví dụ sau
c) x4 +2x3 + 3x2 +2x + 1
Ta viết đa thức cần phân tích thành
tích của hai đa thức nào? Vì sao?
Hãy thực hiện các phép biến đổi để
phân tích
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
Tách c – a = c + b – b – a ta có đa
thức cân phân tích trở thành đa thức
Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu
thức A = n3 – 4n2 + 4n – 1 là một số
nguyên tố
Hãy phân tích biểu thức A thành
HS ghi nhớ để về nhà tự giải
HS ghi đềc) x4 +2x3 + 3x2 +2x + 1
HS ghi đề bàia) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
= bc(b + c) + ac(c +b – b - a) – ab(a + b)
= bc(b + c) + ac(b +c) - ac(a + b) – b(a + b)
= (b + c)(ac + bc) – (a + b)(ac + ab)
= c(b + c)(a + b) – a(a + b)(b + c)
= (b + c)(a + b)(c – a)Ghi đề
Trang 16nhân tử
Lần lượt cho n = 0; 1; 2; 3 tính giá
trị của A xem gí trị nào là ssố nguyên
tố
Với n 4 thì A ? Các giá trị này là
số nguyên tố hay hợp số ?
Bài 4:
Tìm số nguyên a sao cho đa thức
(x + a)(x - 5) + 2 phân tích được
thành (x + b)(x + c) với b, c là số
nguyên
Đa thức (x + a)(x - 5) + 2 phân tích
được thành (x + b)(x + c) có nghĩa là
gì?
Với x = 5 ta có biểu thức nào?
Số 2 phân tích thành tích nào?
Giả sử b c ta xét các trường hợp
Vậy chỉ có n = 3 thì A = 2 là số nguyên tố
HS ghi đề bàiTìm cách giải
Đa thức (x + a)(x - 5) + 2 phân tích được thành (x + b)(x + c) có nghĩa là :
(x + a)(x - 5) + 2 = (x + b)(x + c) (1) với xVới x = 5 thì : 2 = (5 + b)(5 + c)
2 = 1.2 = (-1).(-2)Giả sử b c ta xét các trường hợp :a)
5 1
5 2
b c
b c
(x – 2)(x – 5) = (x – 4)(x – 3)b)
b c
b c
(x – 8)(x – 5) = (x – 7)(x – 6)
Bài tập về nhà:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) x4 + 16 b) x3 + 8x2 + 17x + 10
c) x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1 d) a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
Bài 2: Tìm số tự nhiên a để giá trị của biểu thức B = a3 – 6a2 + 9a – 2 là số nguyên tố
Bài 3( Đội toán): Tìm số nguyên m sao cho đa thức (x + m)(x + 5) + 3 phân tích được
thành (x + a)(x + b) với a, b là số nguyên