SKKN nêu được cơ sở lý luận của việc sử dụng phương pháp và kiến thức toán học vào chứng minh bất đẳng thức

Cơ sở khoa học - Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t duy phân tích, tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí ởng tợng cao, phát

Chứng minh Bất dẳng thức

A – Phần mở đầu

I – Lý do chon đề tài

1 Cơ sở khoa học

- Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t duy phân tích,

tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí ởng tợng cao, phát huy tính tích cực, chủ động trong t duy, có tính sáng tạo trongkhi giải toán

t Giải toán Bất đẳng thức là một nội dung hay và khó, các kiến thức vận

dụng đòi hỏi phải có sự tinh tế, phải có cái nhìn khái quát, tổng hợp nhiều mặt,

phải có hớng mục đích Nhng rõ ràng đây là một nội dung rất có ý nghĩa trong việc rèn các kĩ năng Toán học cho học sinh

- Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán này, tôi thấy đây là dạng toánkhó, khi làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toánquen thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn

- Khi đợc nghiên cứu sâu về dạng toán này, giáo viên sẽ nâng cao t duy vànăng lực chuyên môn, để từ đó truyền đạt cho các em những bài toán đợc dễhiểu hơn

2 Cơ sở thực tiễn

- Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán “chứng minh Bất đẳng thức”thì các em thờng lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh

và đúng

Chứng minh Bất dẳng thức

- Qua thực tế giảng dạy học sinh về dạng toán “chứng minh Bất đẳng thức”, tôi đã phân rõ các phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đ-

ợc cách phân dạng Toán; từ đó các em đa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài

để có cách giải nhanh nhất

- Với giáo viên khi nắm đợc các phơng pháp giải toán “chứng minh Bất

đẳng thức” thì sẽ nâng cao đợc năng lực t duy và năng lực chuyên môn.

II – Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau

để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn Khi đó học sinh sẽ có đợcphơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và cónghị lực vợt khó để giải bài toán

- Khi nghiên cứu về dạng toán “chứng minh Bất đẳng thức” tôi nâng cao

năng lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi

- Chọn lọc một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức.

III – Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nêu đợc cơ sở lý luận của việc sử dụng phơng pháp và kiến thức Toán học vào chứng minh Bất đẳng thức.

IV – Phạm vi nghiên cứu

– Chơng trình toán lớp 10, 11, 12 THPT và chơng trình thi Đại học môn toán

V – Đối tợng nghiên cứu

– Các bài toán Bất đẳng thức.

VI – Phơng pháp nghiên cứu

– Phơng pháp tìm hiểu tài liệu

– Qua thực tế giảng dạy học sinh

Chứng minh Bất dẳng thức

– Tổng kết, đánh giá, so sánh qua một số bài toán cụ thể, từ đó rút ra đợc kinh nghiệm cho từng dạng toán

+ m > n > 0 và A > 1  Am >

An + m > n > 0 và 0 <A < 1  A

m < An +A < B và A.B > 0 

B A

11



3-một số hằng bất đẳng thức

Chứng minh Bất dẳng thức

+ A2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An � 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A = A

+ A B �A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

(a  b)4 =a4a3 + 6a3 b3  4ab3 +b4

5 – Một số Bất đẳng thức Lợng giác hay dùng

Ngoài kiến thức về các công thức Lợng giác, phơng trình Lợng giác, chúng tacần hết sức quan tâm tới các Bất đẳng thức Lợng giác sau đây Những Bất

đẳng thức này coi nh là những kết quả đã biết, và sau này, trong tài lệu này,mọi sự dẫn ra chúng đều không chú thích gì thêm (trừ trờng hợp cần thiết).Chứng minh những Bất đẳng thức này là hiển nhiên hoặc có thể đợc tìm thấytrong

(1)| sinx|  1 hay – 1  | sinx |  1 ,x 

(2)| cosx|  1 hay – 1  | cosx |  1 ,x 

Tất nhiên chúng ta cũng phải nhớ lại các kiến thức về Bất đẳng thức đã nêu

ở SGK lớp 10, và những Bất đẳng thức quen thuộc thờng sử dụng

6 – Một số lu ý khi vận dụng kiến thức vào chứng minh Bất đẳng thức

– Nếu x2 + y2 = k2 thì ta có thể đặt x = k.sin , y = k.cos ,  0;2 

a a a

k

a3  3 a n k x n

n

 – Với điều kiện x + y = k và y  l (hay x  n) thì đặt y = 1 + m với m 

0 (hay x = n m với m  0) Từ đó suy ra x = k l m (hay y = k n

-m) suy ra: x k l m hay x n m

=

2

1 (x y)2 (xz)2 (y z)20đúng với mọi x;y;z R� Vì (x-y)2 �0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 �0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 �0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z)2 0 đúng với mọi x;y;z R�

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R�

2 2

VËy

2 2

2 2

2 2

Chứng minh Bất dẳng thức

c)Tổng quát

2 2

1 2 2

a n

a a

44

4

2 2

2 2

2 2

22

2 2

2 2

m n

02

02

02

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng

Lu ý:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức

đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng

Chú ý các hằng đẳng thức sau:

Chøng minh BÊt d¼ng thøc

 2 2 2

2AB B A

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y

Chứng minh

y x

y x



 2 2

2 2Giải:

 x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- 2 )2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

z y x

111

1

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

111



 )=x+y+z - (11 1)  0

z y

z y x

111



 < x+y+ztheo gt)

Chứng minh Bất dẳng thức

 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộcphải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

a

2)Bất đẳng thức Cô sy: n n a a a a n

n

a a

a a

3 2 1 3

2

1     Với a i 0 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

2 2 1 1 2 2

2

2 1 2 2

c b a



3

.33

C B A c b a cC bB

c b a



3

.33

C B A c b a cC bB

c b a

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 111 9

c b

a (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z4(1 x)(1 y)(1 z)

b c b a

4)Cho x0,y0 tháa m·n 2 x y 1 ;CMR: x+y

c c a

b c b

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

2 2 2 2

2

2

3.3

1

=21

VËy

2

1

3 3

b c b

a

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

31

vÝ dô 4:

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

2 2 2

2 b c d a bc b cd d ca 

a

Gi¶i:

Ta cã a2 b2 2ab

11

ab c

ac ab

d c a

d c a

a

Chøng minh

abc c b a

1111





 Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0

 ac+bc-ab 

2

1( a2+b2+c2)

111

(§iÒu ph¶i chøng minh)

Ph¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè

c a b

c a b

a





 2)NÕu b,d >0 th× tõ

d

c d b

c a b

a d

c b

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d a c

b a

a c

a c

b a

a



 <

d c b a

d a

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

c b a

d c

c d

c b a

c d b

a d

d d

c b a

d a

d c

c d

c b

b c

cd ab







2 2

cd d

b

cd ab b

cd ab







2

2 điều phải chứng minh

ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dơng thỏa mãn : a+b = c+d =1000

tìm giá trị lớn nhất của

d

b c

b

 Từ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

a

d c

9991

 Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999

Vậy giá trị lớn nhất của

d

b c

a

999

1khi a=d=1; c=b=999

Phơng pháp 6: Phơng pháplàm trội

Lu ý:

Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính

đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

2 2

n

a

a a

a a

a a a

2

11

12

n

Giải:

Ta có

n n n k

111

1

2

12

1

2

11

n n

1

22

21

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 > 2 2  1

11

1

1

3

121

11

11

3

12

13

1

2

112

1

2 2

2 2

Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

Lu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

c a b

c b a

)(

)(

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

b c b

a

(1)Gi¶i :

§Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a=

2

x z

; b =

2

y x

; c =

2

z y

ta cã (1) 

z

z y x y

y x z x

x z y

22



Chứng minh Bất dẳng thức

  1   1   13

z

y z

x y

z y

x x

z x y

 (  )(  )(  )6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (  2;

y

x x

y

 2

z

x x

z

;  2

z

y y

12

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

111

Mà x+y+z < 1

Vậy 111 9

z y

b c b a

2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0

CMR

 m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

Chứng minh Bất dẳng thức

 1 1 0

365144

2

2 2

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giảthiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐTcần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

n n

12

1

2

11

1

2 2

2      nN; n 1 (1)

Giải :

Chứng minh Bất dẳng thức

Với n =2 ta có

2

124

1

1   (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

11

2

11

1

2 2

112)1(

11

2

11

1

2 2

2 2



k  k k

k

11

11

1)

1(

1

1

1

2 2

 2 1 ( 2) ( 1)2

)1(

11

k k k

b a b

2

.2

1 1 1

Chứng minh Bất dẳng thức

42

1 1

1 1

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất

đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý cóthể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Ví dụ 1:

Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau

Ví dụ 3:

Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

Nếu x+y+z >

z y x

111



 thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

111



 ) vì xyz = 1

Chứng minh Bất dẳng thức

theo giả thiết x+y +z >

z y x

111



 nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

III.các bài tập nâng cao





y x

y x

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

2) Cho xy  1 Chứng minh rằng

xy y

21

11

1

2 2

Giải :

Chứng minh Bất dẳng thức

Ta có

xy y

21

11

1

2 2

1

11

11

11

1

2 2

y xy xy

x

x xy

     1 .1  0

)(1

.1

)(

y x y xy

x

x y x

    

1 .1 .1  0

1

2 2

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

3

1

2 2

a (vì a+b+c =1 )(đpcm)

c c

b a

b c

a b a

b a

c c

a a

b b a

Chøng minh BÊt d¼ng thøc

¸p dông B§T phô  2

x

y y

a

c b c

b

2 3

3

2 3

- NÕu f(x) � A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x) � B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

Ta cã tõ (1) � DÊu b»ng x¶y ra khi 1� �x 4

(2) � DÊu b»ng x¶y ra khi 2� �x 3

Chøng minh BÊt d¼ng thøc

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2� �x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

729 khi x=y=z=1

3

VÝ dô 3 : Cho xy+yz+zx = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4y4z4

Chứng minh Bất dẳng thức

Giải :

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =1   2

Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất � x y

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tíchlớn nhất

x y

VÝ dô 4 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau

2 2

4 82

Tõ ph¬ng tr×nh (2)

� � �x22 2 x  22 � �0 (x  2)2� �0 x  2 �x�2 NÕu x = 2 th× y = 2 2 NÕu x = - 2 th× y = -2 2

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2

2

x y

x y

y z z

x y z

Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ : 0

0

x y

Chứng minh Bất dẳng thức

hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất

đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác Rèn kĩ năng giải toan Bất đẳngthức là nội dung quan trọng trong chơng trình toán THPT Học sinh cần dànhnhiều thời gian hợp lí và vận dụng nhiều phơng pháp để giải quyết

Chứng minh Bất dẳng thức

Tài liệu tham khảo

1 Các bài giảng luyện thi môn toán

2 Các chuyên đề bất đẳng thức của Trần Văn Hạo

3 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

4 SGK lớp 10, 11, 12 cơ bản và nâng cao