a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.. b/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.[r]
Trang 1đại số tổ hợp
I/ Các bài toán vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ;định nghĩa của hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp
1.1 Các bài toán chọn số:
*Phơng pháp:
Gọi số cần tìm có n-chữ số có dạng a a a a1 2 k n
Trong đó chữ số ak
(vị trí thứ k ) có m-cách chọn (k =1,2, ,n) Vì các chữ số trên chọn đồng thời nên dùng quy tắc nhân ta có số các số có thể chọn đợc
+ Chữ số phải chọn a1 0.
+ Trờng hợp các chữ số chọn đợc đôi một khác nhau
+ Trờng hợp số chữ số đợc chọn có thể lặp lại một số lần
+ Trong một số điều kiện nào đó ta phải chia các trờng hợp cụ thể để tìm số các số Khi đó ta dùng quy tắc cộng để gộp các trờng hợp lại
+ Có thể dùng phơng pháp loại trừ để tìm số các số
+ Có thể dùng các công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong một số trờng hợp
* Ví dụ 1:Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc:
a/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau
c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt của số 5
* Ví dụ 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a/ Gồm 8 chữ số từ các số trên
b/ Gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng
1 lần
* Ví dụ 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau, trong đó có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau
* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác
nhau sao cho :
a/ Số đó chia hết cho 5
b/ Trong các chữ số đó có mặt của chữ số 0 và 1
c/ Nhỏ hơn 600000
* Ví dụ 5: Xét các hoán vị của 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 Tính tổng S của tất cả các số tạo thành
bởi các hoán vị này
* Ví dụ 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau và
trong đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị
Bài tập
* Bài 1: Từ các chữ số 1,2,5,6,7,8 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5
chữ số trên sao cho:
a/ Số tạo thành là một số chẵn
b/ Số tạo thành không có mặt của chữ số 7
c/ Số tạo thành phải có mặt của chữ số 1 và 5
d/ Số tạo thành nhỏ hơn 278
*Bài 2: Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 4 chữ số khác nhau
Trang 2*Bài 3: Cho tập A1, 2,3, 4,5,6,7,8
a/ Có bao nhiêu tập con X của A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi số 123
*Bài 4: Cho tập A0,1,2,3, 4,5,6,7
có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A sao cho:
a/ Số tạo thành là một số chẵn
b/ Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1
*Bài 5: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại chọn từ
2,3,4,5 Hỏi có bao nhiêu số nh vậy nếu
a/ 5 chữ số 1 xếp kề nhau
b/ Các chữ số đợc xếp tuỳ ý
*Bài 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.
a/ Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên
b/ Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5
*Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số a a a1 2 7
thoả các điều kiện chữ số a3 là số chẵn , a7 không chia hết cho 5, các chữ số a ;a ;a4 5 6 đôi một khác nhau
*Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số :
a/ Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần b/ Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3
*Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 Trong đó mỗi số đợc viết có
một chữ số đợc xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần Hỏi có bao nhiêu số
nh vậy
* Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã
cho Chứng minh rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9
1.2 Các bài toán chọn các đối tợng thực tế:
*Phơng pháp:
Ta xét hai dạng toán sau đây:
* Ví dụ 1: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem
nh đôi 1 khác nhau) ngời ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông
a/ Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa đợc chọn tuỳ ý
b/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ
c/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ
* Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, ngời ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để
ghép thành 3 cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn
* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học
sinh trên đi trực tuần sao cho trong 3 em đợc chọn luôn có 1 cán sự lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn
* Ví dụ 4:Một trờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi
Ng-ời ta cần chọn 3 học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào đợc chọn Hỏi có bao nhiêu cách chọn
* Ví dụ 5:Trong một môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu
trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ không ít hơn 2
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét các tam giác có 3 đỉnh đ ợc
lấy từ các đỉnh của H
a/ Có bao nhiêu tam giác nh vậy
Trang 3b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
c/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H
d/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H
* Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho
a/ Bạn C ngồi chính giữa
b/ Bạn A và E ngồi hai đầu ghế
* Ví dụ 8: Trong một phòng học có 2 dãy bàn dài, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi Ngời ta muốn xếp
chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
a/ Các học sinh ngồi tuỳ ý
b/ Các học sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nớc : Việt Nam 3 ngời, Lào 5 ngời, Thái
Lan 3 ngời và Trung Quốc 4 ngời Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho ngời cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau
* Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế Ngời ta muốn sắp
xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trờng A và 4 học sinh trờng B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:
a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng với nhau
b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau
1.3 Một số bài toỏn tổ hợp thường gặp:
Loại 1 Chọn phần tử từ cỏc tập.
Vớ dụ 1: Tổ một cú 10 học sinh, tổ hai cú 9 học sinh Hỏi cú nhiờu cỏch chọn một nhúm gồm
8 học sinh sao cho mỗi tổ cú ớt nhất 2 học sinh
Lời giải:
Giả sử ta chọn k học sinh của tổ 1 và 8-k học sinh từ tổ 2 Vỡ mỗi tổ cú ớt nhất 2 học sinh nờn 2 k 6
Số cỏch chọn k học sinh trong 10 học sinh là: 10
k
C ứng với mỗi cỏch chọn trờn ta cú số cỏch
chọn 8-k trong 9 học sinh của tổ 2 là
8 9
k
Theo quy tắc nhõn ta cú số cỏch chọn 8 học sinh như trờn là: 10
k
9
k
Cho k lần lượt cỏc giỏ trị 2,3,4,5,6 ta cú số cỏch chọn là:
: S=
2
10
9
10 9 10 9 10 9 10 9
Vớ dụ 2: Người ta sử dụng 3 loại sỏch gồm 8 cuốn sỏch toỏn, 6 cuốn vật lý, 5 cuốn húa học Mỗi loại gồm cỏc quyển sỏch khỏc nhau Cú bao nhiờu cỏch chọn 7 cuốn sỏch sao cho mỗi loại cú ớt nhất một quyển
Lời giải:
Số cỏch chọn 7 quyển trong 19 quyển là
7 19
C
Cỏc cỏch chọn khụng đủ cả ba loại sỏch là:
1 Chọn 7 trong số 11 cuốn lý và húa là:
7 11
C
2 Chọn 7 cuốn trong 13 cuốn sỏch húa và toỏn là:
7 13
C
3 Chọn 7 cuốn trong 14 cuốn sỏch toỏn và lý là:
7 14
C
4 Chon 7 cuốn trong 8 cuốn sỏch toỏn là:
7 8
C
Trang 4Vì mỗi cách chọn không có sách LÝ và sách Hóa thuộc cả hai phép chọn không có sách lý
và không có sách hóa nên số cachs chọn là:
7
19
11
13
14
8
C = 44918 cách chọn.
Loại 2: Sắp xếp các vật từ họ các vật.
Ví dụ 3: Có 5 viên bi xanh giống nhau 4 viên bi trắng giống nhau và ba viên bi đỏ đôi một khác nhau Có bao nhiêu cách sắp xếp chúng vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi
Lời giải:
Nếu tất cả 12 viên bi đều khác nhau thì có 12! Cách sắp xếp Nhưng do bi xanh giống hệt nhau và 4 viên bi trắng giống hệt nhau nên các hoạn vị của chúng chỉ cho cùng một cách sắp xếp đối với 12 viên bi nên số cách sắp xếp cân tìm là:
12!
166320 5!.4!
Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.(Hai cách sắp xếp khác nhau về vị trí nhưng cùng thứ tự được coi là một)
Lời giải:
Giả sử đã xếp chô 5 học sinh nam Vì ba học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 3 trong 5 vị trí xen kẽ với học sinh nam Vậy số cách chọn cho 3 học sinh nữ là:
3 5
Vì hai cách xếp vị trí cho 8 người trong một bàn tròn cùng thứ tự coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó số hoán vị của 4 học sinh nam còn lại là 4! Vậy số cách chọn là:
3
5.4! 1440
Loại 3: Phân chia các vật từ một họ các vật:
Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 học sinh mà mỗi học sinh được
ít nhất một đồ vật
Lời giải:
Giả sử có 100 đồ vật được xếp nằm ngang, giữa chúng có 99 khe hở Đặt một cách bất kì 3 vạch vào 99 khoảng trống đó ta được một cách chia 100 đồ vật thành 4 phần sao cho mỗi phần có ít nhất một đồ vật.Mà tổng số đồ vật là 100 Vậy số cách là:
3 99
C
Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho ba người sao cho có một người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người có 3 đồ vật
Lời giải:
Có ba cách chọn cho một người được 2 được hai đồ vật còn lại hai người được 3 đồ vật Mỗi cách chọn đó ta có:
1 Số cách chọn 2 trong 8 đồ vật cho người được hai đồ vật là :
2 8
C sau đó số cách chọn
3 trong 6 đồ vật còn lại là:
3 6
C còn lại 3 đồ vật cho người thứ 3
2 Theo quy tắc nhân ta có : 3
3 6
8
C =1680
Chú ý một số học sinh quan niệm nhầm
3 6
8
6
8
vai trò người được 2 đò vật và 3 đồ vật là như nhau, trường hợp 2 nhầm vì coi vai trò của
2 người được 3 đò vật là khác nhau.
Bµi tËp
Trang 5* Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Có bao nhiêu cách chọn 4 học
sinh sao cho :
a/ Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý
b/ Phải có 2 nam và 2 nữ
c/ Phải có ít nhất 1 nữ
d/ Số học sinh nam không vợt quá 2
* Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1 lớp tr ởng, 1 lớp phó và 3
uỷ viên Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp
* Bài 3: Gia đình ông A có 11 ngời bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng ông muốn mời 5 ngời
đến dự tiệc, trong đó có cặp vợ chồng có thể cùng đợc mời hoặc không cùng đợc mời Hỏi
ông A có bao nhiêu cách mời
* Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh
có 4 nam và 1 nữ
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6
học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em đợc chọn
* Bài 6: Cho hai đờng thẳng song song Trên đờng thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đờng
thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt Có bao nhiêu tam giác đợc tạo bởi các điểm đã cho
* Bài 7: Cho đa giác đều A A A (n 2,n1 2 2n )nội tiếp đờng tròn tâm O Biết rằng số các tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A ;A ; ;A1 2 2n nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật
có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A ;A ; ;A1 2 2n Hãy tìm n.
*Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F đợc xếp vào 6 chỗ ngồi đã đợc ghi số thứ tự trên
một bàn dài Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:
a/ A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại
b/ A và B không ngồi cạnh nhau
*Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán,
4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách này đợc xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế Ngời ta muốn sắp
xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:
a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng với nhau
b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau
II/ Nhị thức Newton và các ứng dụng:
2.1 Tính tổng hữu hạn:
* Phơng pháp:Từ công thức khai triển
0
( )n n n n n n n k n k .k
k
a b C a C a b C a b C b C a b
Ta có thể biến đổi nh sau:
+ Thay cụ thể a,b bởi số nguyên nào đó
+ Giả sử S1 a b n
và S2 a b n
( với a,b là số nguyên cụ thể) Ta có thể tính
đ-ợc các tổng A S 1S ; B S2 1 S2
+ Có thể thay cụ thể a,b bởi số nguyên nào đó với số mũ 2n,3n,
+ Thay b bởi x ta có biểu thức a x n F(x)
Có thể đạo hàm hai vế ( cấp 1, cấp 2)
và thay bởi x x 0
cụ thể nào đó ta sẽ thu đợc một tổng tơng ứng
Trang 6+ Thay b bởi x ta có biểu thức a x n F(x)
Có thể tích phân xác định hai vế theo một cận nào đó ta sẽ thu đợc một tổng tơng ứng
* Ví dụ 1:Tìm các tổng sau:
1/ A = C + 2C + 2 C + + 2 C 0 n 1 n 2 n 2 n n n
2/ B = 3 C - 4 3 C + 4 3 C - 4 3 C + - 4 C 17 17 0 1 16 1 17 2 15 17 2 3 14 3 17 17 17 17
3/
C = 1.C + 2C + 3C + + nC + (n + 1)C
(1) 4/
5/
E = nC + (n - 1)C + + C
2
n 0
(x 1) dx
b/ Tính
* Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
1/
n(n - 1)2 = n(n - 1)C + (n - 1)(n - 2)C + + 2C
2/
(C ) + (C ) + + (C ) = C
Bài tập
1/ Tìm các tổng sau:
A = 1 - 2C + 2 C - 2 C + + (-1) 2 C
B = 2 C + 2 C + 2 C + + C
2/ Chứng minh:
C 2C 3C 2006C 2 2007 3/ Tìm số n sao cho:
2 n
0
a/ I = (1 - x) dx.
1
2 n
0
a/ I = x(1 - x ) dx
2.2 Các PT,BPT, HPT chứa công thức nhị thức Newton:
*Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau:
*Ví dụ 2: Tìm k sao cho các số
k k 1 k 2
7 7 7
C ;C ;C
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
Trang 7*Ví dụ 3: Giải các bất phơng trình sau:
1/
n 1 n 1 n 2
5
4
2/
3 n 2
*Ví dụ 4: Giải các hệ phơng trình sau:
1/
2/
y y 1 y 1
C : C : C 6 : 5 : 2
Bài tập
*Bài 1 :
3/ 2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149 4/ C1x 6C2x 6C3x 9x2 14x
*Bài 2 : Giải các bất phơng trình sau:
1/
x 3
x 1 4
x 1 x 1 x 2
5
4
3/
2 x 4/ C22x C42x C 2x2x 22003 1
*Bài 3 : Giải các PT và hệ PT sau:
1/
y y 1
y y 1
2/
m 1 m m 1
n 1 n 1 n 1
C : C : C 5 : 5 : 3
2.3 Các số hạng trong khai triển của nhị thức Newton:
Trong phần này ta sẽ xét hai dạng chính nh sau:
+ Tìm số hạng thứ k - của khai triển x y n
khi đã biết một số điều kiện của n hoặc vài phần tử trong khai triển
+ Tìm n - của khai triển x y n
khi đã biết một số điều kiện của vài số hạng trong khai triển
* Ví dụ 1: Cho đa thức : P(x) 1 x91 x 10 1 x 14
có dạng khai triển là
P(x) a a x a x a x Hãy tính hệ số của 9
x
1 x x x a a x a x a x a/ Tính hệ số a10.
b/ Tính tổng T a 0a1a2 a 15 và S a 0 a1a2 a 15
1 2x a a x a x a x
a a a a 729 Tìm n và tìm số lớn nhất trong các số a ;a ;a ; ;a0 1 2 n.
Trang 8* Ví dụ 4: Xác định n để trong khai triển nhị thức x 2 n
hạng tử thứ 11 là số hạng có
hệ số lớn nhất
* Ví dụ 5: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển
n
3 x
x x
x
tìm số hạng thứ 7
* Ví dụ 6: Tìm hạng tử của khai triển 3 3 29
là một số nguyên
* Ví dụ 7: Cho khai triển :
6 1
n
4 n
4
2 2
4
Tìm n sao cho hạng tử thứ 5 của khai triển bằng 240
* Ví dụ 8: Trong khai triển nhị thức
n 28
x x x
Tìm hạng tử không chứa x, biết rằng
n n 1 n 2
* Ví dụ 9: Cho khai triển nhị thức:
(với n nguyên dơng) Biết rằng trong khai triển đó
C 5C và số hạng thứ t bằng 20n Hãy tìm n và x
* Ví dụ 10: Tìm các giá trị của x sao cho hạng tử thứ t trong khai triển của
6 1
lg x 1 12
Bài tập
* Bài 1: Cho khai triển : 100 2 100
x 2 a a x a x a x a/ Tính hệ số a97.
b/ Tính tổng S a 12a2 100a 100.
* Bài 2: Cho khai triển : 22004 2 4008
1 x x a a x a x a x a/ Tính hệ số của x 4
b/ Chứng minh rằng
4008
a 2a 4a 2 a chia hết cho 2401.
1 2x a a x a x a x
Tìm max a ;a ; ;a 1 2 12
* Bài 4: Tìm hệ số khai triển của x trong khai triển của nhị thức 8 1 x (1 x) 2 8
Trang 9
*Bài 5: Tìm hệ số khai triển của x trong khai triển của nhị thức 7 2 3x 2n Trong đó n là
số nguyên dơng thoả mãn:
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
*Bài 6: Cho khai triển nhị thức x21nx 2 n
và a3n 3 là hệ số của x3n 3
Tìm n để
3n 3
a 26n.
*Bài 7: Giả sử n là số nguyên dơng và n 2 n
1 x a a x a x a x
Biết rằng tồn tại
số k nguyên 1 k n 1
sao cho
k 1 k k 1
Hãy tính n
* Bài 8: Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển
10 3 5
1 x x
* Bài 9: Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 8
n 5 3
1 x x
n 1 n
n 4 n 3
* Bài 10: Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức
3n 2
1 2nx 2nx
Tìm hạng tử không chứa x
* Bài 11: Tìm các giá trị của x sao cho trong khai triển của
m x
x 1
1 2
2
hạng tử thứ 3 và thứ 5 là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22
* Bài 12: Cho khai triển :
m
4 2 3
2
4.2 2
gọi T ,T3 5 là các hạng tử thứ 3 và thứ 5 của
khai triển và
3 1
m m
C ;C là các hệ số của hạng tử thứ t và thứ hai
Tìm x sao cho
3 1
3 5