Các bài toán về tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc, diện tích hình

Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là A , và E (đối nhau) nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI.. Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường kính IN.[r]

Mức độ 2: THÔNG HIỂU Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giácAHE

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp

2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn

3 Chứng minh ED = BC và DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

4 Tính độ dài đoạn thẳng DE biết DH 2cm AH; 6cm

Hướng dẫn giải

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp

Xét tứ giác CEHD , ta có: CEH 900; CDH 90

0

90

Do đó, tứ giác CEHD nội tiếp

2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn

90

BEABDA  E và D cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn

3 Chứng minh 1

2

ED  BCvà DE là tiếp tuyến của đường tròn  O + Tam giác ABC cân tại A nên D là trung điểm BC  ED là đường trung tuyến

của tam giác vuông BEC  1

2

ED  BC

+ Ta có 1

2

ED  BC DEDB DBE cân tại D  E3 B1  1

+ Dễ thấy: AOE cân tại O A1 E1 2

Mà A1 B1 (do cùng phụ với BCA)  3

Từ  1  2 và  3 , ta có: E1E3 0

Do đó: 0

90

DEO Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn  O

4 Tính độ dài đoạn thẳng DE biết DH 2cm AH; 6cm

Theo giả thiết AH6cm =>

OH OE cm DH  cmOD cm Áp dụng định lí

Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 OD2–OE2 

2 5 – 3  2 2

ED   ED4cm

Câu 2: Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA3R Qua A kẻ

2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O),với P và Q là 2 tiếp

điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ.Gọi N là giao điểm

thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K

2 1

H

1

3 2 1

1

O

E

B

A

1 Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh KA2 KN KP

3 Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc

PNM

4 Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK.Tính độ dài đoạn thẳng AG theo

bán kính R

Hướng dẫn giải

1 Xét tứ giác APOQ có

0

90

APO (Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P)

0

90

AQO (Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

0

180

APO AQO ,mà hai góc này là 2 góc đối nên tứ giác APOQ là tứ giác

nội tiếp

2 Xét ΔAKN và ΔPAK có AKP là góc chung

APN AMP ( Góc nt……cùng chắn cung NP)

Mà NAK AMP(so le trong của PM //AQ

 

~

3 Kẻ đường kính QS của đường tròn (O)

Ta có AQ QS (AQ là tt của (O) ở Q)

Mà PM//AQ (gt) nên PM QS

Đường kính QS PM nên QS đi qua điểm

chính giữa của cung PM nhỏ

sd PS sd SM PNS SNM (hai góc nt

chắn 2 cung bằng nhau)

Hay NS là tia phân giác của góc PNM

5 Chứng minh được ΔAQO vuông ở Q, có QG AO(theo Tính chất 2 tiếp tuyến cắt

nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

3

Do ΔKNQ ~ΔKQP (gg) KQ2 KN KP mà 2

AK NK KPnên AK=KQ Vậy ΔAPQ có các trung tuyến AI và PK cắt nhau ở G nên G là trọng tâm

Câu 3: Cho hình thang vuông ABCD    0

A D 90 có ABBC8, DC 12 Tính số đo

các góc B và C của hình thang ABCD

G

K

N

S

M I

Q

P

A

O

Hướng dẫn giải

Kẻ BK CD K CD 

Ta có: A D K 90   0 nên tứ giác ABKDlà hình chữ nhật DKAB8 Mà

CD 12 suy ra 1

2

cos C C 60

2

    Từ đó ta tính được

0

ABC 120 

Mức độ 3: VẬN DỤNG Câu 4: Cho hình thang cân ABCDAB CD có  0

60



C , DB là tia phân giác của ADC Biết AB4, tính chu vi và diện

tích hình thang ABCD

Hướng dẫn giải

Ta có: DB là tia phân giác của ADC  ADBBDC Mà  ABDBDC (so le

trong)

Do đó ABDADB ABDcân tại A AD4

Kẻ BE AD E CD Suy ra  ABED là hình thoi ABBEEDDA4

Tam giác BEC đều CEEBBC4 Từ đó tính được chu vi hình thang

ABCD là 20

Diện tích hình thang là 12 3dv td 

Câu 5: Cho tam giác ABCABACcó ba góc nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC

cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F Gọi H là giao điểm của BE và CF D là giao

điểm của AH và BC

a Chứng minh: ADBC và AH AD AE AC

b Chứng minh EFDO là tứ giác nội tiếp

c Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao choDL  DF Tính

số đo góc BLC

Hướng dẫn giải

a Do FC AB BE,  ACH trực tâm AHBC

Ta có tứ giác HDCE nội tiếp Xét 2 tam giác đồng dạng EAH và DAC (2 tam giác

vuông có A chung)

C

B

A

F

E

L

R

S

D O

Q

N

H

AH AE

  AH AD AE AC (đpcm)

b Do AD là phân giác của FDE nên FDE2FBE2FCEFOE

Vậy tứ giác EFDO nội tiếp (cùng chắn cung EF )

c Vì AD là phân giác FDE

 DB là phân giác FDL

 F, L đối xứng qua BC  L đường tròn tâm O

Vậy BLC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O 0

90

BLC

Câu 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB2R Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến

của đường tròn  O tại hai điểm A và B Gọi I là trung điểm của OA và E là

điểm thuộc đường tròn  O (E không trùng với A và B) Đường thẳng d đi qua điểm

E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại M, N

a Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh ENIEBI và góc 0

c Chứng minh AM.BNAI.BI

d Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O) Hãy tính

diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là A , và E (đối nhau) nên chúng

nội tiếp trong đường tròn đường kính MI

b Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường kính IN

Vậy góc ENIEBI (vì cùng chắn EI)

Tương tự EMI EAI (vì cùng chắn EI)

c Xét 2 tam giác vuông MAI và IBN Ta có NIBIMA (góc có cạnh

thẳng góc)

 MAI ∽IBN

 AM AI

IB BN  AM.BNAI.BI (1)

d Gọi G là điểm đối xứng của F qua AB Ta có AM BN 2OG 2  (Vì tứ giác AMNB

là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AM và BN)

Ta có: AI R, BI 3R

Từ (1) và (2)  AM + BN = 2R và AM.BN =

2

3R 4

M E

I

F

G

N

Vậy AM, BN là nghiệm của phương trình

2

4

R

2

 hay

3

2

 Vậy ta có 2 tam giác vuông cân là MAI cân tại A và NBI cân tại B

 MI = R 2 R

2  2 và NI = 3R 2 3R

 S(MIN) =

2

1 R 3R 3R

2 2 2  4

Mức độ 4: VẬN DỤNG CAO Câu 7: Cho ABC nhọn có 0 

A70 CACB nội tiếp đường tròn  O Các đường cao

AE, CFcắt nhau tại H Vẽ đường thẳng d vuông góc với OF tại F, d cắt CA tại Q Tính số đo của FHQ

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của d và  O là M, N (Mthuộc

cung AC không chứa B), CF kéo dài cắt  O tại

I, BI cắt MN tại K

Theo bài toán con bướm ta chứng minh được Flà

trung điểm KQ

Chứng minh Hvà I đối xứng nhau qua ABnên

HKIQ là hình bình hành

Suy ra FHQFIK mà 0

FIKCAB70 Vậy

0

FHQ70

Câu 8: Cho đường tròn O; R có đường kính BC 10cm  Lấy A O sao cho AB 6cm

Tia phân giác của BAC cắt BC tại D và cắt  O tại E Tính độ dài AD, AE

Hướng dẫn giải

Ta có: BAC900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

ABC vuông tại A suy ra AC 8cm

Tính DB, DC:

Có DB AB

DC AC (tính chất phân giác)



Từ DF DC

AB BC tính được DF 30

7



Rồi suy ra AD DF 2 24 2

7

Ta có: ADB ∽ACEvà AD AB

AC AE, ta tính được A 7 2

Câu 9: Cho tam giác ABC , M là điểm nằm trong tam giác ABC Gọi A' AMBC,

'

B BMAC, C' CMAB Tính AM' BM' CM'

Hướng dẫn giải

Kẻ AH và MK cùng vuông góc với BC H, KBC

Ta có:

'

' '

MBC '

ABC

A M MK

S

A M

A A AH S

AH S











Tương tự:

1

Mặt khác:

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

LOẠI 1: TÍNH SỐ ĐO GÓC

Bài 1 Cho hình thang ABCD có

2

  Gọi M

là điểm trên cạnh AB, qua M kẻ tia Mx

vuông góc với MD, Mxcắt BC tại N Tính số đo của các góc MDN và MND

Bài 2 Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BMCN Trung trực của đoạn MN cắt tia phân giác của BAC tại I Tính

số đo của AIC

Bài 3 Cho O; R và tam giác ABC nội tiếp đường tròn, gọi BE, CF là các đường cao 

của ABC Cho biết EF R 3

2

 , tính số đo của BAC

LOẠI 2: TÍNH ĐỘ DÀI VÀ DIỆN TÍCH

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A ABAC Tia phân giác của ABC cắt AC tại

M Đường tròn đường kính MC cắt tia BM tại điểm thứ hai là H, AB cắt CH tại D Biết AB 3 và CD4 5 Tính độ dài BC

Bài 2 Cho tứ giác ABCD nội đường tròn (O;R) đường kính AC.Gọi AC cắt BD tại E,, gọi K,M là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống BD ( biết K thuộc đoạn BE,

E K B

K  ;  ).Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt AC tại P

1.Cứng minh tứ giác AKPD nội tiếp

2.Chứng minh KPPM

3 Biết 0

ABD60 và AKx.Tính BD theo R và x

BAC60 , BC 10cm Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E Tính diện tích phần mặt phẳng giới

hạn bởi dây DE và DE

LOẠI 3: TÍNH CÁC TỈ SỐ

Bài 1 Cho hình vuông ABCD, E là điểm thuộc cạnh CD Tia AE cắt BC tại F, vẽ tia

Axvuông góc với AE cắt CD tại K Gọi I là trung điểm của KF Tính tỉ số ID

CF

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn có 0

A60 và AB AC Vẽ các đường cao BF, CF của tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của EF Tính tỉ số

AK

AI

Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp  O , các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC lần lượt cắt  O tại ' ' '

A , B , C Tính