SANG KIEN KINH NGHIEM TOAN 9

Söû duïng hôïp lyù vaø linh hoaït caùc böôùc treân laø moät trong nhöõng bieän phaùp raát hieäu quaû nhaèm phaùt huy tính tích cöïc, chuû ñoäng, saùng taïo cuûa hoïc sinh ñoái vôùi vieäc[r]

MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHỨNG MINH MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC



I- ĐẶT VẤN ĐỀ :

Nhìn chung, trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS, việc

chứng minh một bài toán hình học là vấn đề khá trừu tượng đối với mỗi học

sinh Đồng thời, việc hướng dẫn học sinh thực hiện cũng khá phức tạp Chính vì lẽ đó, thực trạng giảng dạy cho thấy, nếu chúng ta khảo sát ở các em học sinh bằng cách lấy ngẫu nhiên một lớp học (khoảng 50 em) và ra một đề kiểm tra về

dạng chứng minh một bài toán hình học, ta sẽ thấy không quá 3 em làm hoàn

thành bài toán ấy

Thực ra, việc chứng minh một bài toán hình học có nhiều bài toán không

có thuật toán để giải Đối với những bài toán ấy, giáo viên chỉ có thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải Đây là cơ hội để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức, phương pháp nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học Giáo viên phải biết đặt ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong

chừng mực nào đó các em sử dụng khéo léo và linh hoạt theo lược đồ chứng

minh một bài toán hình học (sẽ trình bày trong phần nội dung dưới đây) là thể

hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình giảng dạy Đây là lời khuyên chứ không phải là bằng chỉ dẫn có tính chất thuật toán Tiếp thu những lời khuyên này, mỗi giáo viên chúng ta có thể thực hiện khác nhau cả về cách thức lẫn thời gian để đi đến kết quả và có thể không đi đến kết quả Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm dạy toán chứ không hề phủ nhận vai trò quan trọng của việc này Không có một thuật toán tổng quát nào để giải cho mọi bài toán, chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm để tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ tìm tòi cách chứng minh một bài toán hình học Trong quá trình giảng dạy, tôi xin mạnh dạn đưa ra khía cạch nhỏ về phương pháp dạy học

chứng minh một bài toán hình học để giúp học sinh cải thiện năng lực chứng

minh của mình đồng thời, phát triển nó ở một mức độ nhất định

II- NHỮNG BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :

Để hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình học, chúng ta nên

thực hiện theo trình tự các bước sau :

1 Tìm hiểu nội dung của bài toán :

Để giải được một bài toán nói chung cũng như chứng minh một bài toán hình

học nói riêng, trước hết phải hiểu đề bài và phải có hứng thú chứng minh bài

toán ấy Chúng ta dễ dàng nhận thấy các em sự thụ động và thiếu tự tin ở

những dạng toán “Chứng minh” Điều này cũng dễ hiểu vì khi đọc đề bài, các

em không hiểu bài toán nói gì và yêu cầu thực hiện điều gì Vì thế, giáo viên cần hết sức chú ý khâu quan trọng này và tìm cách gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú ở học sinh, giúp các em hiểu vấn đề phải chứng minh và cần thiết chứng minh Đối với bước này, ta có thể tiến hành như sau :

 Cho ít nhất hai học sinh đọc đề, cả lớp theo dõi

 Cho cả lớp nhẩm thầm đề bài trong ít phút và tự xác định cách vẽ hình Tự đặt và trả lời các câu sau trong tư duy :

 Hình vẽ cần vẽ cái gì trước, cái gì sau ?

 Cách xác định các điểm của đề (nếu có)

 Cách vẽ góc, đoạn (nếu có)

2 Rèn kỹ năng vẽ hình và tóm tắt bài toán :

a) Hình vẽ :

Sau khi đã đọc kỹ bài toán, tưởng tượng một cách khái quát và sơ bộ một hình phác thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài, giáo viên vừa hướng dẫn, vừa thực hiện các thao tác vẽ hình cho học sinh nắm Khi vẽ hình cần lưu ý các điểm sau đây :

 Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt Ở khía cạnh này học sinh thường không chú ý và hay mắc phải sai lầm nên giáo viên phải nhắc nhở để tránh tình trạng ngộ nhận khi chứng minh Chẳng hạn : Đối với các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, đối với tam giác không nên vẽ cân hay vuông nếu như bài toán không đòi hỏi

 Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt nhau, vuông góc ) và tính chất hình học (đường trung trực, phân giác, tam giác cân, tam giác vuông ) mà bài toán đã cho Có những trường hợp còn phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽ các phần tử hình trong bài

 Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường, các hình, trong hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng màu khác nhau Điều này cũng quyết định đến việc quan sát hình vẽ của học sinh rất nhiều Giáo viên cần lưu ý học sinh vẽ hình to, rõ ràng để tập cho các em quan sát hình vẽ được tốt hơn

 Luôn yêu cầu học sinh thao tác nhanh nhưng cẩn thận, chính xác, thể hiện gần đúng các quan hệ về độ lớn của các góc và các đoạn thẳng trong đề bài

Ví dụ : “Vẽ tia phân giác Oz của góc xOy bằng 1200” ; Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh như sau :

Dùng thước đo góc vẽ góc xOy bằng 1200 Vẽ tia phân giác của góc xOy theo một trong các cách sau :

Cách 1 : Dùng thước đo góc (Hình 1)

Cách 2 : Dùng thước hai mặt (Hình 2)

Cách 3 : Dùng compa (Hình 3)

b) Ký hiệu :

 Thông qua hình đã vẽ, giáo viên tập cho học sinh tóm tắt đề bài bằng

cách ghi giả thiết, kết luận Lưu ý học sinh : “Việc ghi giả thiết, kết luận

là chúng ta đã mã hóa ngôn ngữ bằng kí hiệu” nên phải sử dụng kí hiệu

thật chính xác trong phạm vi cho phép, không nên sử dụng một cách tùy tiện Việc kí hiệu giúp chúng ta nhìn bài toán một cách tổng quát hơn Mặt khác, tạo điều kiện cho các em liên tưởng đến thứ tự và sự tương quan giữa các đối tượng

 Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn kí hiệu và đưa kí hiệu vào một cách thích hợp Dùng các kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tượng và mối kiên quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp

chúng ta hiểu được đề toán “Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả

công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhằm tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn” (J Pôlya – Sách đã dẫn).

 Khi chọn các kí hiệu cần chú ý :

600

O

y

O

y

O

y

 Mỗi kí hiệu có nội dung dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nước đôi

 Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đến kí tự và quan hệ giữa các đại lượng tương ứng

 Không dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau Các kí hiệu cùng loại để chỉ các đối tượng cùng loại Chẳng hạn : Với tam giác ABC : A, B, C chỉ các đỉnh ; a, b, c chỉ các cạnh tương ứng đối diện với các đỉnh A, B, C ; ha, hb, hc chỉ các đường cao tương ứng vuông góc với các cạnh a, b, c Hoặc kí hiệu ABC = DEF tương ứng với quan hệ các cạnh AB = DE, AC = DF, BC = EF

3 Xây dựng chương trình giải :

Tiếp theo giáo viên đi vào phân tích bài toán : Cái gì đã cho, cái gì chưa biết, có mối quan hệ nào giữa điều phải chứng minh với các yếu tố đã cho trong giả thiết Điều này nhằm gạt sang một bên những cái không bản chất, chỉ giữ lại những quan hệ hình học trong đề bài để có thể nhận dạng được bài toán

Ở bước này, giáo viên phải chú ý chia nhỏ bài toán cần chứng minh thành nhiều bước chứng minh đơn giản hơn và phải huy động được toàn bộ kiến thức (định nghĩa, định lí, tính chất, ) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề bài rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán Mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng kể cả trường hợp đặc biệt, liên hệ một bài toán tương tự hoặc một bài toán đã chứng minh (tính kế thừa trong toán học)

a) Dựa vào các bài toán đã giải :

Có thể có nhiều bài toán liên quan tới bài toán đang xét Do đó, cần thiết phải nhớ lại một bài toán đã được giải gần giống với bài toán đang xét để lợi dụng vào phương pháp giải, kinh nghiệm,

b) Biến đổi bài toán :

Tạo ra những mối liên hệ mới, khả năng mới dẫn đến liên hệ lại kiến thức liên quan tới bài toán

c) Biến bài toán thành bài toán đơn giản hơn :

Điều này chủ yếu dựa vào kinh ngiệm : “Một bài toán khó thường được tạo ra từ sự kết hợp những bài toán đơn giản hơn” Cho nên, để giải bài toán cần thiết phải phân tích bài toán đang xét thành những bài toán nhỏ dễ giải

d) Có thể mò mẫm, dự đoán kết quả bằng cách thử một số trường hợp đặc biệt, tổng quát dẫn đến lời giải bài toán đang xét Chẳng hạn với những bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp

e) Sử dụng phương pháp đặt vấn đề bằng hệ thống câu hỏi :

 Gặp bài toán này lần nào chưa ? Đã gặp ở môït dạng khác ? Có bài toán nào liên quan ? Có thể sử dụng định lí nào để giải ?

 Sử dụng phương pháp nào để giải ? Cần đưa thêm yếu tố phụ ?

f) Phân tích bài toán bằng sơ đồ  Giải quyết ngược lại :

Khó khăn lớn của học sinh trong bài toán hình học là các em không có khả năng xâu kết các chi tiết trong bài toán Từ đó, làm cho các em hoàn toàn mất phương hướng trong việc xây dựng chương trình giải (không biết bắt đầu từ đâu, giải quyết bằng công cụ nào ? )

Như vậy, phân tích bài toán bằng sơ đồ một mặt hướng dẫn học sinh khai thác dữ kiện, mặt khác học sinh có thể xác định rõ cách thức, trình tự giải quyết bài toán cũng như các em có thể xác định được cần phải sử dụng nội dung kiến thức nào để giải quyết bài toán

Vậy phân tích bài toán bằng sơ đồ là như thế nào ? Có thể minh hoạ bằng

sơ đồ sau:

Ví dụ 1 : Cho ABC vuông ở A, đường cao AH Chứng minh rằng:

AB 2 = BC.BH

 Phân tích : AB2 = BC.BH  AB.AB = BC.BH 

BC AB

 ABC HBA

Ngoài ra, đối với những bài toán nhiều nội dung kiến thức (có kiến thức không áp dụng được) thì bằng phương pháp nêu trên, học sinh cũng dễ dàng loại bỏ những phương pháp không phù hợp bằng việc đối chiếu với dữ kiện bài tập đã cho

Ví dụ 2 : Cho hình vẽ, tìm ẠH ?

AH2 = BH.CH

AH AB.AC = BC.AH (loại)

AH AB AC (loại)

A

A

B

C

D

E

F

G

A

 

A H 1V  

B chung

Và khi thực hiện tiến hành từ dữ kiện bài toán đã cho: A H 1V     và B

chung để kết luận các vấn đề liên quan

Ví dụ 3 : Bài tập 51 (SGK Toán 7 – Tập I – Trang 128).

Đối với câu a, trước khi so sánh hai góc ABD và ACE, để học sinh quan sát được dễ dàng hơn cũng như việc trình bày lời giải một cách ngắn gọn, giáo viên có thể đánh dấu : ABD B ; ACE C  1   1 Tiếp theo, giáo viên có thể đưa ra hệ thống các câu hỏi như sau :

+ Để so sánh hai góc nêu trên, có bao nhiêu khả năng xảy ra ?

Trả lời : Có ba khả năng : B 1  C ;B 1  1  C ; B 1  1  C1

+ Với giả thiết ABC cân tại A, lại có AD = AE, các em hãy dự đoán một trong ba khả năng đó, khả năng nào xảy ra nhiều hơn ?

Trả lời : B  1 C  1

+ Như vậy, để kiểm tra hai góc đó có bằng nhau hay không, ta thường dùng phương pháp nào ? Gợi ý : Hai góc đó nằm trong hai tam giác nào ?

Trả lời : Chứng minh cho ABD = ACE.

Khi đó, việc so sánh hai góc đã trở về bài toán quen thuộc mà học sinh

đã biết cách giải : “Chứng minh hai tam giác bằng nhau” Giáo viên có thể huy

động kiến thức để giúp học sinh giải được bài toán này bằng cách nhắc lại các trường hợp bằng nhau của hai tam giác kết hợp minh họa hai tam giác này ra bảng nháp (Hình 4)

Khi đó, tính trừu tượng của bài toán đã giảm nhẹ, học sinh dễ dàng chứng minh được hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh

Ví dụ 4 : “Dựng tam giác ABC biết 

0 AB 1

A 60 ;

và trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có độ dài m cho trước”

A

B

D

A

B

D

C E

Giáo viên có thể phân tích bài toán này thành hai bài toán như sau :

(1): Dựng AB’C’ biết 

0 AB 1

A 60 ;

AB' 2

(2): Dựng ABC AB’C’ ; BC // B’C’ và trung tuyến xuất phát từ A bằng độ dài m cho trước

Sau khi đã hướng dẫn học sinh tìm ra hướng chứng minh bài toán, giáo viên có thể tóm tắt quá trình thực hiện bằng một lược đồ (theo hướng phân tích

đi lên)

Ví dụ 5 : Sơ đồ để chứng minh Bài 52 (SGK Toán 7 – Tập I – Trang 128) có

thể phác thảo như sau :

(Hình vẽ của bài toán)

 Lược đồ :

4 Trình bày lời giải :

Sau khi đã phác thảo được lược đồ chứng minh bài toán, giáo viên sẽ trình bày lời giải ra bảng và lưu ý học sinh : Trong lược đồ, yếu tố nào thể hiện trước là điều phải chứng minh (thông thường chúng ta đi theo con đường này)

Do đó, ta phải trình bày từ dưới lên

Lúc này, nếu thời gian cho phép, giáo viên chỉ ghi những bước chứng minh chính ra bảng phụ rồi cho một em lên thực hiện, tất cả các em còn lại làm vào phiếu học tập có sẵn hướng dẫn Điều này góp phần tạo điều kiện cho hoạt động trên lớp được diễn ra đồng loạt

Cuối cùng, giáo viên tập cho học sinh thói quen kiểm tra lời giải bài toán bằng cách nhắc lại cách chứng minh bài toán trên nhằm khắc sâu kiến thức ở học sinh Ngoài ra, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến khích học

B

A x

1 2

2 đều

AOB= AOC

OA

sinh chứng minh theo nhiều cách, mỗi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện Vì vậy, việc tìm được nhiều cách giải là rèn luyện cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh Điều đó rất bổ ích trong việc phát triển năng lực tư duy của học sinh Mặt khác, chứng minh theo nhiều cách sẽ giúp học sinh lựa chọn được cách chứng minh ngắn nhất và hay nhất Sau đó, giáo viên liên hệ bài toán với thực tế (nếu có)

5 Kiểm tra, nghiên cứu lời giải.

Công việc này giúp học sinh:

 Phát hiện thiếu sót, nhầm lẫn  sửa chữa

 Có thể tìm thấy một giải pháp khác tốt hơn

 Làm phong phú hơn kinh nghiệm giải toán cho học sinh

III- KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ VIỆC PHỔ BIẾN ỨNG DỤNG :

Tóm lại, những bước để hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán

hình học thực chất tôi đã học hỏi được ở các thầy cô từ lúc còn học phổ thông

và sau này là học hỏi ở các đồng nghiệp Chính vì lẽ đó, những phương pháp này đã kế thừa có chọn lọc những mặt tích cực trong hệ thống các phương pháp dạy học truyền thống đồng thời, vận dụng các phương pháp mới một cách khoa học, phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện thực tế ở đơn vị nơi tôi đang công tác Sử dụng hợp lý và linh hoạt các bước trên là một trong những biện pháp rất hiệu quả nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh đối với

việc chứng minh một bài toán hình học nói riêng Nếu như mỗi tiết dạy giáo

viên hướng dẫn học sinh theo trình tự trên sẽ giúp các em hoạt động nhiều hơn, thực hành nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn và quan trọng là học sinh được suy nghĩ nhiều hơn để tự các em có thể chủ động chiếm lĩnh tri thức, góp phần bổ sung vào kho tàng toán học một dạng toán mà từ trước đến nay các em cảm thấy thiếu tự tin khi thực hiện

Trên đây là một số phương pháp dạy học chứng minh một bài toán

hình học mà tôi đã vận dụng có hiệu quả ở đơn vị nơi tôi đang công tác Kết

quả cho thấy số học sinh nắm vững bài được cải thiện đáng kể (Nếu tỷ lệ học sinh nắm được bài là 3/50 như tôi đã trình bày ở trên thì con số này đã lên đến 20/50)

Vì thời gian tương đối hạn hẹp nên tôi chỉ có thể trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong một chừng mực nhất định Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô để đề tài của tôi ngày một hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao tay nghề cho các giáo viên bậc trung học cơ sở trong quá trình dạy học, giúp ích cho ngành giáo dục của chung ta ngày một đi lên và hội nhập với các nước trên thế giới

Trình ký duyệt của Hiệu trưởng Thới Bình, ngày 24 tháng 02 năm 2007.

Người viết

Nguyễn Triều Dâng Hà Văn Vàng

Duyệt của phòng GD & ĐT Thới Bình