Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC và MN.[r]
Trang 1KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
MÔN : TOÁN LỚP 9
(Thời gian :120 phút không kể thời gian chép đề )
ĐỀ RA :
Bài 1 : (3điểm )
Cho đa thức P(x) = x4 + x3 - x2 + ax + b và Q(x) = x2 + x - 2 Xác định a và b để P(x) ⋮ Q(x)
Bài 2: ( 3 điểm )
Giải hệ phương trình sau :
x + y +z=1(1) x+2 y +4 z=8 (2)
x +3 y+9 z=27(3)
¿ { {
¿
¿
Bài 3 : (2điểm )
Giải phương trình : 2 x√y − 1+4 y√x −1=3 xy
Bài 4: (3điểm )
Tính giá trị của biểu thức : a) A = 1
2√1+1√2+
1
3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ +
1
25√24 +24√25 .
b) B = 3
√2−√5+√32+√5
Bài 5 : ( 1 điểm )
Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh : √(a+c )(b+d )≥√ab+√cd
Bài 6 : (4điểm )
Cho ΔABC ( AB AC ) Trên cạnh BA và CA , lấy hai điểm M
và N di động sao cho BM = CN Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC và MN Đường thẳng IJ cắt đường thẳng AB và AC tại E và F
Chứng minh : góc BEI bằng góc CFI
Bài 7 : (4điểm )
Cho ΔABC vuông tại A , đường cao AA’ ; E và F lần lượt là hình Chiếu của A’ trên AC và AB
Chứng minh : AC3
AB3=
CF BE
……….HEÁT ……….
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1: ( 3điểm )
Lấy P(x) : Q(x) = (x2 + 1) dư R(x) = ax - x + b + 2 (1đ)
Để P(x)⋮ Q(x) thì R(x) =0 (1đ)
R(x) = x ( a -1 ) + ( b + 2 ) = 0 ⇔
a −1=0 b+2=0
⇔
b=−2
¿ {
¿
¿
Bài 2 : ( 3 điểm )
Lấy (3) trừ (2) ta có : y + 5 z = 19 ( 0,5đ)
Ta có hệ phương trình :
y +3 z=7
y +5 z=19
¿ {
¿
¿
⇔
−2 z=− 12 y+3 z =7
¿ {
¿
¿
⇔
z=6 y=− 11
¿ {
¿
¿
(1đ)
Thay x = 6, y = -11 vào phương trình (1) của hệ ta có :
Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là : x = 6, y = - 11, z = 6 (0,5đ)
Bài 3 : ( 3 điểm )
2 x√y − 1+4 y√x −1=3 xy ( điều kiện : x ≥ 1 ; y ≥1)
⇔3 xy
2 − x√y − 1− 2 y√x −1=0 (0,5điểm)
⇔(xy
2 − x√y − 1)+(xy − 2 y√x − 1)=0 (0,5điểm)
⇔ x
2(y −1 −2√y − 1+1)+ y (x −1 −2√x −1+1)=0 (0,5điểm)
⇔ x
2¿ (0,5điểm)
⇔ x
2¿ (0,5điểm)
⇔√y −1=1 và √x −1=1 ⇔ x= y=2 ( Thỏa mãn ĐK ) (0,5 đ)
Bài 4: ( 4 điểm )
a) A= 1
√1−
1
√2+
1
√2−
1
√3+
1
√3−
1
√4+ +
1
√24−
1
√25=1 −
1
5=
4
5 ( 1.5 đ) b) B3 =2 −√5+2+√5+3 3
√ ¿ ¿ (0,5đ)
= 4 +3√34 − 5 B=4 −3 B (0,25đ)
⇔ B3
+3 B− 4=0⇔(B −1)(B2
Trang 3Bài 5: √(a+c )(b+d )≥√ab+√cd⇔(a+c )(b+d )≥¿
¿
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có ĐPCM ( 1 đ )
Bài 5 : (4điểm)
Nối MC và gọi K là trung điểm của MC Nối IK và KJ
Trong ΔCMB , IK là đường trung bình Suy ra IK // BE và IK = 12BM Trong ΔMCN , KJ là đường trung bình Suy ra KJ // CA và KJ = 12NC
Mà MB = NC ( gt) Suy ra ΔKIJ cân tại K ( KI = KJ)
⇒ góc KIJ bằng góc KJI góc KIJ bằng góc BEI ( so le trong ) góc KJI bằng góc CFI (( đồng vị ) Vậy góc BEI bằng góc CFI (đpcm)
Bài 6: (4điểm )
ΔABC vuông tại A , đường cao AA’
Ta có :
AC2 = CA’ BC
AB2 = BA’ BC
AB 2 =CA '
Vì EA’ // AB nên ta có :
CA '
BA '=
CE
Mặt khác ta có :
AC
AB=
A ' F
BF ⇒AC
AB=
EA
Từ (1), (2) và (3) ta có :
AC 3
AB 3 = CE
……… HEÁT ……….
\\\
x
//
//
/ /
K J
E
F
N M
C
B
I A
C
B F
A