skkn Hướng dẫn học sinh khai thác hướng giải các bài toán: “Giải phương trình nghiệm nguyên”. (50)

1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh khai thác hướng giải các bài toán: “Giải phương trình nghiệm nguyên”. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn toán lớp 8. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: ... 4. Thông tin về tác giả : Họ và tên : .... Năm sinh : ...

Trang 1

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

Hướng dẫn học sinh khai thác hướng giải các bài toán:

“Giải phương trình nghiệm nguyên”.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn toán lớp 8.

3 Thời gian áp dụng sáng kiến:

.

4 Thông tin về tác giả :

Họ và tên :

Năm sinh :

Trình Độ chuyên môn : Đại học.

Chức vụ công tác : Giáo viên.

Trang 2

MỤC LỤC

A ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN 3

B MÔ TẢ GIẢI PHÁP 3

I Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến 3

II Các giải pháp 4

1 Hệ thống một số kiến thức 4

2 Các biện pháp thực hiện đối với học sinh 7

3 Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 8

Chuyên đề 1: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết 9

Phương pháp 1: Phát hiện tính chất chia hết của một ẩn 9

Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số 22

Phương pháp 3: Phương pháp tách giá trị nguyên 34

Phương pháp 4: Phương pháp xét số dư từng vế 46

Chuyên đề 2: Phương pháp dùng bất đẳng thức 54

Phương pháp 1: Phương pháp sắp thứ tự của ẩn 54

Phương pháp 2: Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên 67

Phương pháp 3: Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai 70

Chuyên đề 3: Phương pháp dùng tính chất của số chính phương 75

Phương pháp 1: Phương pháp tạo ra bình phương đúng 75

Phương pháp 2: Phương pháp tạo ra tổng các bình phương 82

Phương pháp 3: Phương pháp dùng nguyên lí kẹp 93

C HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 106

D CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP, VI PHẠM BẢN QUYỀN 107

Trang 3

A ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Phương trình nghiệm nguyên là một kiến thức trọng tâm của phân mônđại số lớp 8 Việc giải các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên giúp họcsinh ghi nhớ, tổng hợp các kiến thức cơ bản Giải các bài toán phương trìnhnghiệm nguyên hay và khó sẽ giúp học sinh nâng cao được khả năng phân tích,tổng hợp kiến thức, đồng thời giúp các em phát huy tối đa trí thông minh củamình

Đối với học sinh lớp 8 nói chung và học sinh giỏi lớp8 nói riêng, tuy các

em đã có khả năng tự học nhưng nếu chỉ dựa vào khả năng tự học mà không có

sự hướng dẫn, gợi mở của giáo viên thì các em khó có thể “chinh phục” mọi bàitoán trong chuyên đề phương trình nghiệm nguyên một cách toàn diện

Là giáo viên bộ môn Toán của trường THCS Nguyễn Hiền, tôi đã bồidưỡng học sinh giỏi đội tuyển toán 8 của nhà trường đã gần 4 năm Thấy được ý

nghĩa và tầm quan trọng của chuyên đề “Giải phương trình nghiệm nguyên”,

tôi đã suy nghĩ, tìm tòi và dành tâm huyết của mình để viết đề tài này với mụcđích bồi dưỡng tư duy, phát triển trí thông minh, tính chủ động cho học sinhgóp phần nâng cao hiệu quả học tập, đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng như:Thi học sinh giỏi cấp huyện, thi tuyển sinh vào các trường chuyên trong nước vàcủa tỉnh Nam Định

Học sinh trường THCS Nguyễn Hiền nói chung và học sinh giỏi đội tuyểntoán nói riêng hầu hết có ý thức học tập nghiêm túc

Tài liệu tham khảo rất nhiều như: Báo toán học tuổi trẻ, báo toán tuổi thơ;các sách của các giáo sư đầu nghành toán và qua các trang mạng giáo dục

Trang 4

2 Khó khăn:

Tuy các sách viết về chuyên đề này rất nhiều xong hầu hết khi học sinh sửdụng các tài liệu đó các em chỉ biết được lời giải của bài toán mà không biết đượcđường lối suy nghĩ để tìm hướng giải cho bài toán Ở sáng kiến kinh nghiệm nàytôi giúp các em học sinh biết cách suy nghĩ để tìm ra hướng giải cho bài toán.Điều này đòi hỏi giáo viên không chỉ hiểu sâu sắc bản chất kiến thức, nhiều kinhnghiệm làm bài mà còn đòi hỏi có ngôn ngữ diễn đạt trong sáng, dễ hiểu Là mộtgiáo viên toán, đây là điều khiến tôi đã và đang phải rèn luyện và cố gắng rấtnhiều

Đứng trước mỗi bài toán về phương trình nghiệm nguyên, học sinh chưa

có định hướng một cách chủ động trong việc lựa chọn phương pháp giải toán.Nhiều bước giải bài toán còn thiếu chính xác, thiếu chặt chẽ Nguyên nhân chính

là do học sinh chưa được hệ thống các kiến thức một cách đầy đủ, chưa biết tổnghợp kiến thức thành một công cụ cho bản thân để vận dụng trong giải toán.Đứng trước yêu cầu của bài toán, học sinh chưa biết xuất phát từ đâu Khi dựavào hướng dẫn giải toán trong các tài liệu SGK và sách tham khảo, học sinh chỉmới tiếp thu thụ động mà chưa chủ động tổng hợp các phương pháp giải Trướcthực trạng đó, tôi đã tìm những giải pháp tích cực nhằm đem lại hiệu quả tốtnhất cho hoạt động dạy và học, đồng thời trang bị thêm phương pháp giải toán

và các giải pháp để nâng cao hứng thú học tập, kích thích tính tự giác và tự họccủa học sinh

II CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN.

Trang 5

- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.

- Số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1

- Số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1

- Số chính phương chia cho 8 dư 0, dư 1 hoặc dư 4

- Số chính phương chia cho 5 dư 0, dư 1 hoặc dư 4

- Số chính phương lẻ chia cho 4 hoặc 8 thì số dư đều là 1

- Lập phương của một số nguyên chia cho 9 dư 0; 1 hoặc 8

- Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp

Trang 6

+ Dấu hiệu chia hết cho 2:

* Bất đẳng thức Bunhia :

Trang 7

    2

2 2 1 1 2 2

2

2 1 2 2

a x

1

1.8 Các phép biến đổi tương đương phương trình

- Nếu cộng vào hai vế của một phương trình với cùng một số hoặc mộtbiểu thức mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình đã cho, tađược phương trình mới tương đương

- Nếu nhân vào hai vế của một phương trình với cùng một số khác khônghoặc một biểu thức luôn khác không mà không làm thay đổi điều kiện xác địnhcủa phương trình đã cho, ta được phương trình mới tương đương

- Tính chất nâng lên lũy thừa cùng bậc ở hai vế:

a, AB A n B nvới n là số tự nhiên lẻ

b,AB A n B n với A 0 ;B 0 ;nN* và n chẵn

2 Các biện pháp thực hiện đối với học sinh

Trước khi dạy chuyên đề này tôi cho các em làm bài kiểm tra với các bàitập giải phương trình nghiệm nguyên Tôi chấm và phân tích chất lượng bàikiểm tra chi tiết với từng đối tượng học sinh và cụ thể từng học sinh

Khi dạy chuyên đề này tôi dạy phần cơ bản tương ứng với từng đơn vịkiến thức của chuyên đề cho tất cả các học sinh lớp 8 của trường THCS NguyễnHiền Phần những bài tập vận dụng ở cấp độ 1 tôi giảng dạy cho các em học sinhkhá, các bài tập vận dụng ở cấp độ cao tôi dành cho các em học sinh giỏi trongđội tuyển toán 8

Sau khi cung cấp các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên , tôicho các em tự rút ra kinh nghiệm cho mình Sau đó tôi bổ sung và chốt lại nhữngkinh nghiệm cần nhớ của chuyên đề

Trang 8

Cuối cùng tôi cho các em làm bài kiểm tra với các bài tập giải phươngtrình nghiệm nguyên Sau khi chấm trả và phân tích chất lượng chi tiết để sosánh với chất lượng của bài kiểm tra trước khi dạy chuyên đề

3 Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Chuyên đề 1: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết

Phương pháp 1: Phát hiện tính chất chia hết của một ẩn.

Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số.

Phương pháp 3: Phương pháp tách giá trị nguyên.

Phương pháp 4: Phương pháp xét số dư từng vế.

Chuyên đề 2: Phương pháp dùng bất đẳng thức

Phương pháp 1: Phương pháp sắp thứ tự của ẩn.

Phương pháp 2: Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên.

Phương pháp 3: Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai Chuyên đề 3: Phương pháp dùng tính chất của số chính phương

Phương pháp 1: Phương pháp tạo ra bình phương đúng.

Phương pháp 2: Phương pháp tạo ra tổng các bình phương.

Phương pháp 3: Phương pháp dùng nguyên lí kẹp để giải phương

trình nghiệm nguyên

Trang 9

Chuyên đề 1: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết

§1 Phương pháp phát hiện tính chất chia hết

I Cơ sở lí luận của phương pháp

Đây là phương pháp học sinh nghĩ tới đầu tiên khi gặp bài toán phương

trình nghiệm nguyên dạng ax by c  Nhưng để làm theo phương pháp này taphải giúp học sinh hiểu được bản chất kiến thức của phương pháp Đó là muốn

tìm được nghiệm nguyên của phương trình ta kiểm tra tính chia hết của c và ax (hoặc c và by) cho cùng 1 số k nguyên nào đó, từ đó ta phải lập luận để by cũng phải chia hết cho số k, đặt y theo k và thế vào phương trình ban đầu tìm x Muốn kiểm tra tính chia hết của c và ax cần sử dụng những kiến thức sau:

1 Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11.

Trang 10

* Phân tích tìm lời giải:

- Học sinh nhận thấy ngay muốn tìm nghiệm nguyên (x; y) ở phương trình

(1) ta phải kiểm tra tính chia hết của 159; 3 và 17

- Ta thấy 159 3 nên 3x7 3y mà 3 3x  x nên 17 3y

- Ta có 17 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên y phải chia hết cho 3.

- Đặt y = 3k (k  ) Thay vào phương trình (1) tìm x Do vậy ta có lời

giải như sau:

* Lời giải:

Giả sử tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn (1).

Vì x 3 3x Mà 159 3 do đó 17y3 y3(do 17 và 3 là hai số nguyên tốcùng nhau)

Đặt y = 3k ( k ) Thay vào phương trình ban đầu ta có:

  vào phương trình ban đầu thì thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên (x;y) được biểu thị bởi công

Trang 11

2 3 x  2 y  10 (2)

* Phân tích hướng giải:

- Tương tự như PT(1) muốn tìm (x;y) ở phương trình (2) ta phải xét tính

chia hết của 10, 3 và 2

* Lời giải:

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn đề bài.

Ta thấy 10 và 2y đều chia hết cho 2 nên 3 2x  x2(do 2 và 3 là hai số nguyên

   vào phương trình ban đầu thì thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên(x;y) được biểu thị bởi

Giả sử tồn tại x, y nguyên thỏa mãn phương trình (3).

Ta thấy 18y và 120 đều chia hết cho 6 nên 11 6x  x6(vì 11 và 6 là hai sốnguyên tố cùng nhau)

Đặt x6 (k k) Thay vào phương trình ban đầu ta có:

Trang 12

Khi đó x6k 6(3 1) 18t  t6và y 7 4(3 1)t 3t 7 12t 4 t 3 11t

t

          Thử lại: 11(18t6) 18(3 11 ) 198 66 54 198  t  t   t120(đúng)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên (x;y) được biểu thị bởi công

* Lời bình: GV cần chú ý nhắc HS ghi nhớ: y20 113 k với k là số nguyên thì

y chưa chắc đã có giá trị nguyên nên nếu đem kết quả này thay vào phương trình

để tìm x rồi kết luận nghiệm là sai Ta cần phải biến đổi tiếp đưa y về dạng

3 11 ( )

y  t t Lúc này với mọi giá trị t là số nguyên thì giá trị của y cũng là

số nguyên Khi đó ta mới thay vào phương trình tìm x theo t rồi kết luận nghiệm

của phương trình

III Bài tập vận dụng:

Bài 1 Gải phương trình nghiệm nguyên 3 x  19 y  168.

Bài 2 Giải phương trình nghiệm nguyên 7x8y200

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x3y 11

(Chuyên tỉnh Hậu Giang năm 2016 – 2017).

Bài 4 Tìm tập hợp nghiệm nguyên của phương trình 4x7y 15

Trang 13

(Chuyên tỉnh Quảng Ngãi năm 2016 – 2017)

Bài 5 Tìm các số tự nhiên m, n thỏa mãn phương trình 19m94n1994

(Chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2015 – 2016)

Bài 6 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 11x18y 120

(HSG tỉnh Tiền Giang năm 2015 – 2016)

Bài 7 Tồn tại hay không các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn 5x2 2016y 1 2017 z

(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 434)

Bài 8 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình19x2 28y2 729

(Đề thi HSG Tỉnh Hà Nam năm 2015 – 2016)

Bài 9 Tồn tại hay không các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn2016x 2017y 2018 z

Bài 10 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x3y11

Bài 11 Tìm cập số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình6x2 5y2 74

Bài 12 Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên

Bài 14 Giải phương trình nghiệm nguyên 7x2 13y2 1820

Bài 15 Chứng minh rằng không tồn tại x, y là các số nguyên thỏa mãn biểu thức

2012x 2013y 2015

Bài 16 Giải phương trình nghiệm nguyên x3 y3 95(x2y2)

(Chuyên Khoa học tự nhiên 2016 -2017)

Bài 17 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 6x15y10z3

(Chuyên Tỉnh Quảng Ninh năm 2016 – 2017)

Bài 18 Tìm x, y là các số tự nhiên thỏa mãn 5x  y4  4 y  1

Trang 14

- Học sinh nhận thấy ngay muốn tìm nghiệm nguyên (x; y) ở phương trình

(1) ta phải kiểm tra tính chia hết của 168; 3 và 19

- Ta thấy 168 3 nên 3x19 3y mà 3 3x  x nên 19 3y

- Ta có 19 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên y phải chia hết cho 3.

- Đặt y = 3k ( k   ) Thay y = 3k vào PT(1) tìm x Do vậy ta có lời giải

như sau:

* Lời giải:

Vì x 3 3x Mà 168 3 do đó 19y3  y3 (do 19 và 3 là hai số nguyên tố

  vào phương trình ban đầu thì thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên (x; y) được biểu thị bởi công

Trang 15

- Tương tự như PT(1) muốn tìm (x; y) ở phương trình (2) ta phải xét tính

chia hết của 7, 8 và 200

* Lời giải:

Ta thấy 200 và 8y đều chia hết cho 8 nên 7 8x  x8 (do 7 và 8 là hai sốnguyên tố cùng nhau)

Đặt x8 (k k) Thay x8 (k k) vào phương trình ban đầu ta có:7.8k8y200 y7k 25

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên(x; y) được biểu thị bởi công

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x3y 11 (3)

(Chuyên tỉnh Hậu Giang năm 2016 – 2017)

* Lời giải:

Ta thấy 11 không chia hết cho 2 mà 2x chia hết cho 2 nên 3y là số lẻ suy ra y lẻ

Trang 16

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên(x;y) được biểu thị bởi công

Trang 17

Bài 4 Tìm tập hợp nghiệm nguyên của phương trình 4x7y15 (4)

( Chuyên tỉnh Quảng Ngãi năm 2016 – 2017)

- Nhận thấy 4x là số chẵn, 15 là số lẻ Lại có 4 x7y 15 nên 7y là số lẻ

mà 7 là số lẻ nên y là số lẻ.

- Đặt y = 2k+1 ( k  ) Thay y = 2k+1 vào phương trình (4) tìm được x.

Do đó ta có lời giải như sau:

* Lời giải:

Vì x 4 2x Lại có 15 không chia hết cho 2 do đó 7y không chia hết cho 2 hay y là số lẻ.

Đặt y = 2k+1 ( k   ) Thay y = 2k+1 vào phương trình ban đầu ta có:

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên (x; y) được biểu thị bởi công

vào phương trình tìm x theo t rồi kết luận nghiệm của phương trình.

Trang 18

Bài 5 Tìm các số tự nhiên m, n thỏa mãn phương trình

19m94n1994.(5)

(Chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2015 – 2016)

- Vì m, n là các số tự nhiên do đó ta có 94n < 1994 suy ra n < 21 và ta tìm

được số tự nhiên (m, n) là: (100;1), (6;20).

Bài 6 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 11x18y120.(6)

(HSG tỉnh Tiền Giang năm 2015 – 2016)

- Cùng mạch suy nghĩ như phương trình (1), (2) Ta có nghiệm nguyên

(x; y) được biểu thị bởi công thức:

- Nhận thấy phương trình có 3 ẩn x, y, z trong đó chỉ có ẩn x đóng vai trò

là cơ số Do vậy ta nghĩ tới việc xét tính chia hết đối với 5x2

- Trước hết ta có 2017 chia 3 dư 1 do đó2017zchia 3 dư 1 hay

2017z 3n 1

  (n là số nguyên) Lại có 2016 chia hết cho 3 nên 2016y1 cũng

chia hết cho 3 Do vậy 5x2 không chia hết cho 3 Vậy 5x2  3t 1

- Để có thể giải quyết tiếp bài toán HS cần xét tích sau:

T 3k r 3h s  3 3kh ks hr  sr.Xét t kh ks hr  và sr = 1 ta có nếu s = r = 0 thì T = 3t( chia hết cho 3)

Nếu r = s= 1 thì T = 3t+1(chia 3 dư 1)

Trang 19

Theo đó x2 phải chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1nên 5x2 chia hết cho 3hoặc chia cho 3 dư 2 Điều này mâu thuẫn với bài toán Do vậy ta có lời giải nhưsau:

Ta có 2017 chia 3 dư 1 do đó 2017z chia 3 dư 1 hay 2017z = 3n+1 (n là số

nguyên) Lại có 2016 chia hết cho 3 nên 2016y+1 cũng chia hết cho 3 hay 2016y+1

= 3m Do vậy 5x2 không chia hết cho 3 hay 5x2 phải có dạng 3k+1

Theo bài toán xét lúc đầu suy ra x2 phải có dạng 3m hoặc 3n+1 nên 5x2

phải có dạng 3k hoặc 3k +2 (mâu thuẫn với 5x2 phải có dạng 3k+1.)

Vậy không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn đề bài.

Bài 8 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình19 x2  28 y2  729.(8)

* Hướng dẫn giải: Phương trình có nghiệm nguyên (x, y, z) là: (0;1;1).

Bài 10 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x3y11

Trang 20

Bài 11 Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình

* Hướng dẫn giải: Cặp số (x, y)nguyên dương cần tìm là (3, 2).

Bài 12 Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên

x  y  z 

- Nhận thấy x y z đều là các số chính phương Trong đó số chính2, ,2 2

phương chẵn thì chia hết cho 4 còn số chính phương lẻ chia 4 dư 1 Lại có 199

là số lẻ nên trong 3 sốx y z sẽ có 1 số lẻ, hai số chẵn hoặc cả 3 số lẻ.2, ,2 2

- Do vậy ta sẽ xét hai trường hợp và có lời giải như sau:

* Lời giải:

Ta thấy 199 là số lẻ nên x2y2z2 là số lẻ Mà với x, y, z nguyên thì

2, ,2 2

x y z đều là các số chính phương Trong đó số chính phương chẵn thì chia

hết cho 4 còn số chính phương lẻ chia 4 dư 1 nên trong 3 sốx y z sẽ có 1 số2, ,2 2

lẻ, hai số chẵn hoặc cả 3 số lẻ

TH1: Có 1 số lẻ và 2 số chẵn

Ta có x2y2z2 chia cho 4 dư 1 mà 199 chia 4 dư 3 nên không thỏa mãn

TH2: Cả 3 số lẻ

Ta có x2y2z2 chia cho 8 dư 3 còn 199 chia 8 dư 7 không thỏa mãn

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Bài 13 Tìm tất cả các nghiệm nguyên x;y thỏa mãn 2 2

3 7

Trang 21

Dễ thấy p0; 3(p23 ) 3q2  suy ra p = 3k Khi đó 28k 3(3k2q2).

Vậy k chia hết cho 3 suy ra k = 3m.

- Thay k = 3m ta có 28m 27m 2q2suy ra 28m 27m 2 q 2 Mà q 02

nên m = 0 hoặc m = 1.

- Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là (4; 5) và (5; 4)

Bài 14 Giải phương trình nghiệm nguyên 7 x2  13 y2  1820.

- Để giải phương trình ta sẽ xét tính chia hết của 2012, 2013 và 2015

- Nhận thấy 2012 là số chẵn, 2015 là số lẻ nên 2013y2018 là số lẻ Mà 2013

là số lẻ nên y2018 là số chẵn Khi đó ta xét 2 tường hợp đối với y.

+TH1: y chẵn suy ra VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên loại.

+TH2: y lẻ suy ra y1009 là số lẻ

Đặt y1009 = 2n + 1 với n nguyên Khi đó

2013.y 2013.(2n1) 2013(4n 4n1) 4.2013( n n) 2013Nên 2012x2015  2013y2018chia 4 dư 1 mà 2015 chia 4 dư 3( Vô lí)

Vậy không có số nguyên nào thỏa mãn đề bài

Trang 22

Bài 16 Giải phương trình nghiệm nguyên :x3 y3  95( x2 y2).

(Đề thi Chuyên Khoa học tự nhiên 2016 -2017)

* Hướng dẫn giải:

- Nhận thấy x3 y3 (x y x )( 2xy y 2)

- Xét bài toán sau: x2xy y 25 x y, 5.

Thật vậy, vì x2xy y 25suy ra x3 – y3chia hết cho 5

Ta có x3 chia 5 dư 0, 1, 2, 3 hoặc 4nên thử lần lượt các cặp số dư ta thấy

chi có x và y chia cho 5 có cùng số dư thỏa mãn Vậy bài toán được chứng minh.

- Quay trở lại bài toán ta đặt d = (x,y) suy ra x = da và y = db; (a,b) = 1.

Bài 17 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 6x15y10z3.

(Chuyên Tỉnh Quảng Ninh năm 2016 – 2017)

* Hướng dẫn giải: Nghiệm của phương tình là (5t - 5k -2; 1- 2t; 3k).

Bài 18 Tìm x, y là các số tự nhiên thỏa mãn: 5x y44y1

- Nghiệm tự nhiên của phương trình là (0; 0); (2; 2)

Bài 19 Tìm x, y, z là các số tự nhiên thỏa mãn x2y3z4 90.

- Nghiệm tự nhiên của phương trình là: (9; 2; 1), (1; 2; 3), (5;4;1)

Trang 23

§2.Phương pháp đưa về phương trình ước số

I Cơ sở lí luận của phương pháp

Ta gọi phương trình ước số là phương trình có vế trái là một tích các biểuthức có giá trị nguyên, vế phải là một hằng số nguyên Bằng cách tìm ước số củahằng số nguyên đó, ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình Hoặc ta có thểđưa phương trình về phương trình ước số bằng cách biến đổi phương trình vềdạng:

Dạng 1 A.B.C=0 (*)

Phương trình (*) xảy ra

0 0 0

A B C

* Phân tích tìm hướng giải:

- Ta thấy phương trình này có 2 ẩn x, y Việc sử dụng phương pháp phát

hiện tính chia hết của ẩn là rất khó khăn

- Do vậy ta không thể giải bằng phương pháp phát hiện tính chất chia hếtcủa ẩn Mặt khác, ta thấy sau khi nhóm 2 hạng tử xy và x cho ta biểu thức

x y 1 , ta thêm 1 vào vế phải và nhóm với hạng tử  y còn lại được biểu thức

– y 1 , phương trình sẽ xuất hiện nhân tử chung ở vế trái và có thể đưa vế trái

về dạng tích x 1 y 1      Do đó ta có lời giải sau:

* Lời giải:

Biến đổi phương trình (1) thành:

Trang 24

Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn

Vậy phương trình (1) có nghiệm (x; y) là: (-2; 0), (0; -2), (2; 4), (4; 2).

* Lời bình:

- Với phương trình trên ta cũng có thể sử dụng máy tính Casio kết hợp với

các bước giải để giúp các em phân tích khá nhanh phương trình này

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử vế phải sang vế trái ta có xy x y 2 0    vàđặt A xy x y 2.   

Bước 2: Thay y = 1000 vào biểu thức A ta được: A 999x 1002. 

Trang 25

 

2 2xy x y 3 2  

- Vì khi nhóm 2 hạng tử đầu tiên 2xy và –x ta được x 2y 1    Do vậy ta

cần thêm bớt hạng tử y còn lại để có (2y – 1)

- Tuy nhiên phương trình chỉ có y nên ta nghĩ tới việc nhân cả hai vế với

2 Do vậy ta có lời giải như sau:

* Lời giải:

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên x, y thỏa mãn phương trình (2).

Biến đổi phương trình (2) ta được:

Vậy phương trình (1) có nghiệm (x; y) là: (-3; 0), (-1; -2), (0; 3), (2; 1).

3 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3 x2 10 xy  8 y2  96 (3)

- Nếu ta nhóm 2 hạng tử đầu hoặc 2 hạng tử sau của vế trái thì nhân tử thu

được chứa cả x và y Mà hạng tử còn lại không thể thêm bớt để có được nhân

trử chung giống với biểu thức nhóm trước đó Do vậy phương trình (3) khôngthể làm tương tự như phương trình (2) để phân tích thành phương trình ước số

Trang 26

- Nhận thấy nếu tách hạng tử 10xy 4xy 6xy  ta thấy:

2

3x 6xy3 (x x2 )y và 4xy8y2 4 (y x2 )y

Do đó ta sẽ đưa phương trình (3) về phương trình ước số một cách dễ dàng

* Lời giải:

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn PT (3).

Biến đổi phương trình (3) ta được:

Vì x, y nguyên dương nên 3x 4y và x 2y cũng nguyên dương

Mà 96 = 16.6 = 12.8 = 24.4và 3x+4y > x+2y với x, y nguyên dương.

Nên xét các trường hợp sau

Vậy phương trình (3) có nghiệm (x; y) là: (4; 1); (-4; 6); (16; -6).

* Lời bình: - Ta thấy nếu tìm ước của 96 thì ước của 96 có rất nhiều giá trị, việc

sử dụng ước của 96 để giải phương trình (3) thì rất phức tạp

- Nhận thấy khi đánh giá được 3x+4 > x+2y thì hạn chế được rất nhiều

trường hợp không cho nghiệm nguyên của phương trình Khi đó việc giải bàitoán trở lên đơn giản hơn rất nhiều

Trang 27

4 Tìm nghiệm x,y nguyên của phương trình x2x y(3 1) 2 y2 5 0.

(HSG TP Hồ Chí Minh năm 2016 – 2017)

- Nhận thấy đây là 1 phương trình khá phức tạp Việc sử dụng phươngpháp phát hiện tính chia hết để giải bài toán là một điều rất khó khăn

- Nhận thấy đây là phương trình 2 ẩn có bậc cao nhất là 2, vậy ta có thểđưa phương trình về dạng tích

- Để thuận tiện hơn trong quá trình phân tích ta có thể phân tích thànhnhân tử bằng cách sử dụng máy tính casio theo các bước như sau:

Trang 28

Bài1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 2xy y x  83.

(Chuyên Tỉnh Thái Nguyên năm 2016 – 2017)

Bài 2 Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 3xy 2y2 7

(HSG Toán 8 huyện Nam Trực - Tỉnh Nam Định Năm 2015-2016)

Bài 3 Tìm các số nguyên a, b biết rằng 1 1

(Chuyên Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016)

Bài 4 Tìm số tự nhiên x, y sao cho: (2x1)(y2  5) 12.

Bài 5 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn

Trang 29

Bài 7 Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình x2  4xy x 4y5.

(Tạp chí Toán tuổi thơ 6/2017 phần đề thi dành cho nữ sinh)

Bài 12 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

(Chuyên Hưng Yên 2016 -2017)

Hướng dẫn tìm lời giảiBài1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 2xy y x  83

(Đề thi Chuyên Tỉnh Thái Nguyên năm 2016 – 2017)

- Ta thấy phương trình này có 2 ẩn x, y Việc sử dụng phương pháp phát

hiện tính chia hết của ẩn là rất khó khăn

- Do vậy ta không thể giải bằng phương pháp phát hiện tính chất chia hếtcủa ẩn

Trang 30

- Mặt khác, ta thấy sau khi nhóm 2 hạng tử 2xy và x cho ta biểu thức

x 2y 1 Sẽ khó khăn khi chỉ còn lại y.

- Nhận thấy nếu nhân thêm 2 vào cả 2 vế của phương trình ta sẽ cóphương trình mới có dạng 2x 1 2y 1     167 Không giảm tính tổng quát tagiải sử x y  2x  1 2y 1

- Do vậy tiến hành xét các trường hợp ta được nghiệm của phương trìnhlà: (0; 8), (83; 0),(-84; -1),(-1; -84)

Bài 3 Tìm các số nguyên a, b biết rằng 1 1

(Chuyên Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016)

- Nhận thấy bài toán sẽ khó giải quyết khi chưa quy đồng mẫu ở 2 vế Khiquy đồng ta có 2a 7 b 3 14.    

- Khi này chỉ cần áp dụng phương pháp giải phương trình ước số ta sẽ cókết quả

-Ta tìm được (a, b) thỏa mãn là: (0; -5),(3; -17), (4; 11), (7; -1).

Bài 4 Tìm số tự nhiên x, y sao cho (2x1)(y2  5) 12.

* Hướng dẫn giải: Vậy x = 1 và y = 3.

Bài 5 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn

3 2y

x   và 3x  1 4 z

* Phân tích hướng giải

- Nhiều HS hiểu trên đây là 2 bài toán nhỏ do vậy khi giải các em giảiđộc lập khi đó giải bài toán sẽ rất phức tạp Nhiều HS đã bị tắc với hướng giảinày

- Nhận thấy 2 phương trình đều có mối quan hệ trung gian là x Do vậy ta

có thể sử dụng cầu nối này để giải quyết bài toán

Trang 31

- Ta thấy x nguyên dương nên 3x   1 x 3 4z 22z 2y.

Suy ra 4 2z y  3x 1 3(x3) 8 x3 Do vậyx  thuộc ước của 8.3

Mà x 3 4(x ) x 3 4;8 x 1;5 

       

Với x = 1 suy ra y = 2; z = 1.

Với x = 5 suy ra y = 3; z = 2.

- Vậy nghiệm nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn đề bài là (1; 2; 1),(5; 3; 2)

Bài 6 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

- Vì 2x-1 là số lẻ nên ta sẽ giới hạn được các TH có thể xảy ra.

- Khi đó phương trình có nghiệm nguyên (x,y) là:

Trang 32

Bước 5: Ta có Bx 1002 2x 1      2x 1 x y 2     .

Bước 6: Khi đó

=2x2 2005x1019 2 x2 2005x1002 17  B 17 (2 x 1)(x y  2) 17 Bước 7: A = 0 suy ra (2x 1)(x y  2)17

- Như vậy ta phân tích PT về dạng (2x 1)(x y  2)17

Bài 7 Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình x2  4xy x 4y 5

(Chuyên Đồng Nai 2017 – 2018)

* Phân tích hướng giải :

- Cũng phân tích như phương trình (6) ta có

x  xy x  y   x x y 

- Xét các trường hợp và kết luận phương trình vô nghiệm

Bài 8 Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2  2y2  5xy x  2y 7 0

(HSG Tỉnh Bình Phước2016 - 2017)

- Ta có: 3x2  2y2  5xy x  2y 7 0  (x 2 )(3y x y 1) 7

- Ta xét các trường hợp và kết luận phương trình vô nghiệm

Bài 9 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x2 xy3x2y1

Trang 33

- Ta có:

2 2 2 2

Trang 34

2 2 2

Bài 13 Tìm tất cả nghiệm nguyên dương x, y, z của phương trình

Trang 35

§3 Phương pháp tách giá trị riêng

I Cơ sở lý luận của phương pháp:

- Rất nhiều phương trình nghiệm nguyên nếu dùng phương pháp phát hiệntính chất chia hết không đi đến được kết quả cuối cùng của bài toán, thậm tríkhông giải quyết được vấn đề Và rất nhiều phương trình nghiệm nguyên takhông thể giải quyết được bằng phương pháp đưa về phương trình ước số

- Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp tách giá trị riêng là

cách biểu thị một ẩn (ẩn x) theo ẩn còn lại (ẩn y) rồi dùng phép chia hết để tìm giá trị nguyên của y, từ đó tím giá trị nguyên của x.

II Các ví dụ:

1 Giải các phương trình nghiệm nguyên sau xy x y  2 (1)

Với phương trình này ta có hai cách giải như sau:

Cách 1: Giả sử tồn tại x, y nguyên thỏa mãn phương trình (1).

Biến đổi phương trình (1) thành:

Trang 36

Giả sử phương trình có nghiệm x,y nguyên thỏa mãn phương trình (1).

Biến đổi phương trình (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm (x; y) là: (-2; 0), (0; -2), (2; 4), (4; 2).

* Lời bình:

- Ta thấy có thể giải phương trình (1) bằng cách đưa về phương trình ước

số Nhưng ta cũng có thể chuyển vế, biến đổi ẩn x theo ẩn y rồi áp dụng tính chất

về chia hết để tìm nghiệm nguyên của phương trình

- Như vậy có những phương trình nghiệm nguyên có thể giải được bằngnhiều phương pháp Trong trường hợp này hai phương pháp giải đều cho lời giảiđơn giản do vậy học sinh có thể làm theo cách nào cũng được Nhưng ở một sốphương trình khác nếu có nhiều cách làm thì ta nên chọn cách làm đơn giảnnhất

2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình (y2)x2 1 y2

(HSG Tỉnh Bình Định năm 2015 – 2016)

Trang 37

- Nếu ta dùng phương pháp đưa về phương trình ước số thì rất khó khăn

và giải phương trình này rất phức tạp

- Nếu ta chyển 1 sang vế phải (y2)x2 y21 ta sẽ giải được phươngtrình (2) bằng cách tách giá trị nguyên

y y

x

y y

1 5

y y

3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2 2x2)(y2 1)x x( 2) 7.

- Ta không được nghĩ tới phương pháp đưa về phương trình ước số vì theophương pháp này ta phải bỏ ngoặc, chuyển vế và phân tích từ đầu khiến bài toántrở lên quá phức tạp

- Ta không sử dụng phương pháp phát hiện tính chia hết để giải phươngtrình này được

- Nhận thấy ở phương trình có vế trái là tích của 2 biểu thức chỉ có biến x hoặc chỉ có biến y, vế phải là một biểu thức chỉ có biến x Do đó ta nghĩ tới phương pháp tách giá trị nguyên, biểu diễn y theo x rồi dựa vào tính chất chia

Trang 39

- Ta thấy rằng ở phương trình trên y có bậc cao nhất là 1 Nên ta có thể rút

y và tách giá trị nguyên của phương trình.

* Lời giải:

Giả sử phương trình có nghiệm x, y nguyên.

Ta có:

2 2 2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x; y) là: (-3; 3); (1; -5); (3; 3); (7; -5).

* Lời bình:

- Với những phương trình bậc 2, có một ẩn nào đó chỉ xuất hiện bậc nhất

Ta có thể rút ẩn đó theo ẩn còn lại để tách giá trị nguyên Ví dụ ở bài toán trên

nhận thấy rằng y có bậc cao nhất là một nên từ đó rút y theo x từ phương trình đã

Trang 40

Bài 3 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 5x 3y2xy 11

Bài 4 Tìm các số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình

(Chuyên Toán Hòa Bình 2016 – 2017)

Bài 7 Tìm tất cả các số nguyên ( , )x y thỏa mãn:

(HSG Tỉnh Quảng Nam năm 2016 – 2017)

Bài 9 Tìm các số nguyên ( , )x y thỏa mãn phương trình

2xy 3x   y 3 2y xy3 x

(Chuyên Yên Bái 2017 – 2018)

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	2,97 MB