nêu được cơ sở lý luận của việc sử dụng phương pháp và kiến thức toán học vào chứng minh bất đẳng thức

Cơ sở khoa học - Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t duy phân tích, tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí tởng tợng cao, phát

Trang 1

Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Mục lục

A – Phần mở đầu

I – Lý do chon đề tài

Trang 2

Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức

1 Cơ sở khoa học

- Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t duy phân tích, tổng hợp và có đợc sự

linh hoạt về phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí tởng tợng cao, phát huy tính tích cực, chủ độngtrong t duy, có tính sáng tạo trong khi giải toán

- Giải toán Bất đẳng thức là một nội dung hay và khó, các kiến thức vận dụng đòi hỏi phải có sự tinh tế, phải có cái nhìn khái quát, tổng hợp nhiều mặt, phải có hớng mục đích Nhng rõ ràng đây là một nội dung rất có ý nghĩa trong việc rèn các kĩ năng Toán học cho học sinh

- Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán này, tôi thấy đây là dạng toán khó, khi làm bài học sinhphải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toán quen thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn

- Khi đợc nghiên cứu sâu về dạng toán này, giáo viên sẽ nâng cao t duy và năng lực chuyên môn,

để từ đó truyền đạt cho các em những bài toán đợc dễ hiểu hơn

2 Cơ sở thực tiễn

- Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán “chứng minh Bất đẳng thức”thì các em thờng

lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng

- Qua thực tế giảng dạy học sinh về dạng toán “chứng minh Bất đẳng thức”, tôi đã phân rõ các

phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ đó các em đa ra cáccách làm cho phù hợp với mỗi bài để có cách giải nhanh nhất

- Với giáo viên khi nắm đợc các phơng pháp giải toán “chứng minh Bất đẳng thức” thì sẽ nâng

cao đợc năng lực t duy và năng lực chuyên môn

II – Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau để các em giải bàitập cụ thể một cách dễ ràng hơn Khi đó học sinh sẽ có đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toánhọc, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vợt khó để giải bài toán

- Khi nghiên cứu về dạng toán “chứng minh Bất đẳng thức” tôi nâng cao năng lực chuyên môn

và làm t liệu dạy học sinh giỏi

- Chọn lọc một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức.

III – Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nêu đợc cơ sở lý luận của việc sử dụng phơng pháp và kiến thức Toán học vào chứng minh Bất

đẳng thức.

IV – Phạm vi nghiên cứu

– Chơng trình toán lớp 10, 11, 12 THPT và chơng trình thi Đại học môn toán

V – Đối tợng nghiên cứu

– Các bài toán Bất đẳng thức.

Trang 3

VI – Phơng pháp nghiên cứu

– Phơng pháp tìm hiểu tài liệu

– Qua thực tế giảng dạy học sinh

– Tổng kết, đánh giá, so sánh qua một số bài toán cụ thể, từ đó rút ra đợc kinh nghiệm cho từng dạng toán

Trang 4

+ m > n > 0 và A > 1  Am > An + m > n > 0 và 0 <A < 1  Am < A

n +A < B và A.B > 0 

B A

1 1



3-một số hằng bất đẳng thức

+ A2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A = A

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

5 – Một số Bất đẳng thức Lợng giác hay dùng

Trang 5

Ngoài kiến thức về các công thức Lợng giác, phơng trình Lợng giác, chúng ta cần hết sức quantâm tới các Bất đẳng thức Lợng giác sau đây Những Bất đẳng thức này coi nh là những kết quả đã biết,

và sau này, trong tài lệu này, mọi sự dẫn ra chúng đều không chú thích gì thêm (trừ trờng hợp cần thiết).Chứng minh những Bất đẳng thức này là hiển nhiên hoặc có thể đợc tìm thấy trong

(1) | sinx|  1 hay – 1  | sinx |  1 ,x 

(2) | cosx|  1 hay – 1  | cosx |  1 ,x 

(3a) | tanx + cotx |  2, x

Tất nhiên chúng ta cũng phải nhớ lại các kiến thức về Bất đẳng thức đã nêu ở SGK lớp 10, vànhững Bất đẳng thức quen thuộc thờng sử dụng

6 – Một số lu ý khi vận dụng kiến thức vào chứng minh Bất đẳng thức

Trang 6

kcos γ vàcos  > 0

– Nếu giả thiết cho a + b = c ta có thể đặt ẩn phụ 2

aaa

a 2 n2 2

4 2 3a 2 2 2

Trang 7

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z)2  0 đúng với mọi x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2a2 b2 a2 abb2





Trang 8

NguyÔn V¨n X¸ Chøng minh BÊt d¼ng thøc

VËy

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

4 4

4

2 2 2

2 2

Trang 9

DÊu b»ng x¶y ra khi

02

m

q m

p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

Trang 10

b

a

 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y

Chứng minh

y x

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

z y x

1 1

1 1 1



 )=x+y+z - (111)  0

z y

1 1 1



 < x+y+z theo gt)  2 trong 3a số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợptrên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

Trang 11

Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

a a

3 2 1 3

2 1

2 1 2 2 2

2

2 a an x x n xa xa xan

a           4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 111 9

c b

2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4 ( 1  x)( 1  y)( 1  z)

3a)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:

b c b a

4)Cho x 0,y 0 thỏa mãn 2 x y  1 ;CMR: x+y

5 1



Trang 12

vÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ 2 2 2 1

c c a

b c b

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c

b

a

3

.

2 2 2 2

2 2

=2

3 3

1

=2 1

VËy

2

1 3 3 3

b c

b

3 1

vÝ dô 4:

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

      10

2 2 2 2

2

1 1

ab c

ac ab ab

Trang 13

d c a





b c a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1





 Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0

 ac+bc-ab 

2

1( a2+b2+c2)

1 1 1

Trang 14

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)

=1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

(§iÒu ph¶i chøng minh)

c a b

a





Trang 15

c a b

a



 2)NÕu b,d >0 th× tõ

d

c d b

c a b

a d

c b

d a d c

c d c b

b c b

d a c b a

a c

b a

a



 <

d c b a

d a



 (3a) T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d c b

c b a d c

c d c b

c d b a d

d d c b

d a d c

c d c b

b c

cd ab





2 2

cd d b

cd ab b

cd ab





2

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c a



Trang 16

gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

 Tõ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

a

 =

d c

999 1

 §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a

999

1khi a=d=1; c=b=999

2 2

n a

a a

a a a

2

1 1

1 2

n

Gi¶i:

Ta cã

n n n k

1 1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

n

Trang 17

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 1

3

1 2

1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

Trang 18

Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

Lu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

c a b

c b a

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2 2

Ví dụ2: (404 – 1001)

1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác

ca bc ab c

b a ca bc

b c b

a

(1)Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

y 

; b =

2

y x

z 

; c =

2

z y

x 

ta có (1) 

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

x y

z y

x x

z x y

Trang 19

 (  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

y y

12

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111 9

z y

b c b a

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

 m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

1

Trang 20

2

2 2

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

Trang 21

3a- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến

đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

n n

12

1

1    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

k k

k



k  k k

k

1 1

1 ) 1 (

1

2 2

1 1

k k k

b a b

Trang 22

 Vế trái (2) 

2 4

2

1 1 1

1 1

a    a k  b k.a b 0 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  k k k k

b a b

a     a k  b k.a b 0 Vậy BĐT (3a)luôn đúng ta có (đpcm)

Phơng pháp 11: Chứng minh phản chứng

Lu ý:

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợpvới các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ng ợcnhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K”

phép toán mệnh đề cho ta :

Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó

Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : K  G

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Trang 23

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a2 4b

 , c2 4d

 Giải :

Giả sử 2 bất đẳng thức : a2  4b , c2  4d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc

1 1 1



 thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

1 1 1



 ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1 1



nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3a số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

III.các bài tập nâng cao

a 3abc

Trang 24

12

36 3







y x

Trang 25

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

Giải :

Ta có

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1

2 2

y xy xy

x

x xy



)(1

.1

)(

y x y xy

x

x y x

1  .1 .1  0

12 2

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

1 1

3

1 2 2

c c

b a

b c

a b a

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ   2

x

y y

Trang 26

a

c b c

b

2 3

3

2 3

Trang 27

Trang 28

- NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3a| + |x-4|  1+3a = 4

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 4

(2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

729 khi x=y=z=

13

VÝ dô 3a : Cho xy+yz+zx = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4y4z4

Trang 29



Ví dụ 4 :

Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất

Giải :

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

2 x y h a h a h   a xy Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất  xy

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất

Trang 30

DÊu (=) x¶y ra khi x = 1

x y

1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n

x2y2z2 xy3y2z 3

Gi¶i : V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn

Trang 31

x y

y z z

x y z

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

Trang 32

Ta có x x  y  x x y2  x y2 x0

Đặt x k (k nguyên dơng vì x nguyên dơng Ta có k k.( 1)y2

Nhng k2 k k 1  k12  k y k 1

Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn tại một số nguyên dơng nào cả

Nên không có cặp số nguyên dơng nào thoả mãn phơng trình

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : 0

0

x y

từ đâu và đi theo hơng nào Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biếtvận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác Rèn kĩ năng giải toan Bất đẳng thức là nộidung quan trọng trong chơng trình toán THPT Học sinh cần dành nhiều thời gian hợp lí và vận dụngnhiều phơng pháp để giải quyết

Trang 33

Tài liệu tham khảo

1 Các bài giảng luyện thi môn toán

2 Các chuyên đề bất đẳng thức của Trần Văn Hạo

3 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

4 SGK lớp 10, 11, 12 cơ bản và nâng cao

Tiêu đề	Nêu được cơ sở lý luận của việc sử dụng phương pháp và kiến thức toán học vào chứng minh bất đẳng thức
Tác giả	Nguyễn Văn Xá
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1,32 MB