Hình thành kỹ năng giải bài toán hình bằng phương pháp tam giác đồng dạng

Từ các tam giác đồng dạng ta có mối liên hệ giữa các đoạn thẳng, các góc, các tam giác,…Từ đó có thể tính được độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi hay diện tích của một số hình.. Ngoài

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

I Tên đề tài: “Hình thành kỹ năng giải bài toán hình bằng phương pháp tam giác đồng dạng.”

II Lý do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học quan trọng Nó có mặt

trong rất nhiều lĩnh vực của đời sống và là cầu nối của các ngành khoa học Học toán giúp chúng ta rèn luyện kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực tư duy; phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thông minh sáng tạo, hình thành và xây dựng thế giới quan khoa học cho mỗi học sinh, đặc biệt hơn nữa là rèn luyện tính kiên trì Điều này thể hiện rất rõ trong quá trình giải các bài tập toán Là giáo viên giảng dạy bộ môn toán trong nhiều năm tôi nhận thấy học sinh thường ngại học toán hình; chương trình hình học lớp 8, kiến thức

về các trường hợp đồng dạng của tam giác rất quan trọng Từ các tam giác đồng dạng ta có mối liên hệ giữa các đoạn thẳng, các góc, các tam giác,…Từ đó có thể tính được độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi hay diện tích của một số hình Ngoài

ra, từ các tam giác đồng dạng ta có thể chứng minh được một số các quan hệ hình học khác như song song, vuông góc, các hệ thức hình học, các điểm thẳng hàng, các đường đồng quy hay bài toán cực trị hình học Hơn nữa, lớp 8 còn là nguồn để bồi dưỡng tham dự kì thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện, cấp thành phố Trong điều kiện dịch bệnh Covid-19 diễn ra, chương trình học giảm tải và học sinh học bài qua Ti vi vì thế nhiều em tự học sẽ gặp những khó khăn nhất là khi gặp bài toán mà đề bài không đề cập đến tam giác đồng dạng thì lại không nghĩ đến điều này Đây là điều làm tôi suy nghĩ, trăn trở, băn khoăn

Qua quá trình giảng dạy và theo sát quá trình dạy-học qua Ti vi, tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này và lại nâng cao năng lực giải toán góp phần bồi dưỡng khả năng tư duy cho học sinh, chúng ta cần trang bị cho học sinh một số phương pháp thường dùng Từ đó khi các em làm một bài toán các em tự tin hơn

và tìm ra được cách giải phù hợp Vì thế tôi đã đi sâu vào nghiên cứu và xây

dựng chuyên đề: " Hình thành kỹ năng giải bài toán hình bằng phương pháp tam giác đồng dạng "

III Phạm vi và thời gian thực hiện: Đề tài được thực hiện trong một chuyên

đề (6 tiết) ôn tập và bồi dưỡng bằng hình thức học trực tuyến cho học sinh lớp 8A năm học 2019-2020

Phần II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Khảo sát thực tế:

Khi nghiên cứu đề tài: "Hình thành kỹ năng giải bài toán hình bằng phương pháp tam giác đồng dạng" Để tìm hiểu kiến thức của học sinh về việc

vận dụng tam giác đồng dạng trong giải toán tôi đã tiến hành khảo sát thực tế bằng cách gửi đề bài cho học sinh, yêu cầu các em làm và hết giờ chụp qua Zalo nộp cho giáo viên

Đề bài: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Vẽ DE //AB, DF //

AC (EAC, FAB) Biết AB = 3cm, AC = 6cm

a) Chứng minh AEDF là hình thoi; b) Tính chu vi hình thoi AEDF

Đáp án và biểu điểm:

a

X

F

E

D

A

Vẽ hình , ghi giả thiết, kết luận đúng

Tứ giác AEDF có: DE //AF, DF // AE (GT)  AEDF là hình

bình hành

Hình bình hành AEDF có FAD EAD   (GT) AEDF là hình thoi

1 3

3

b Đặt AE = ED = x (cm) thì EC = 6 – x (cm) Vì DE //AB (GT) 

ABC∽EDC (định lí)  3 6

2

x   x   (cm) Chu vi hình thoi AEDF bằng 2.4 = 8 (cm)

1,5 1 0,5

Sau khi nhận bài qua Zalo tôi đã chấm và thu được kết quả:

Đây là một bài toán cần vận dụng tính chất của cặp tam giác đồng dạng vào việc tính độ dài, tính chu vi của hình nhưng qua bài kiểm tra tôi thấy được là

có nhiều em không biết vận dụng để tính độ dài cạnh hình thoi từ đó tính chu vi hình thoi

II Số liệu điều tra trước khi thực hiện:

Qua khảo sát thực tế tôi thấy: Học sinh biết vận dụng kiến thức trong giải toán, tuy nhiên có nhiều em không biết vận dụng linh hoạt kiến thức, từ đó thấy

1 Cơ sở lí luận:

Tam giác đồng dạng và các trường hợp đồng dạng của tam giác được sử dụng nhiều trong giải toán, đặc biệt là những bài toán có liên quan đến góc, đoạn thẳng, tỉ số hai đoạn thẳng Trong thực tế, không phải bài toán nào cũng đề cập đến việc chứng minh tam giác đồng dạng ngay ở đề bài mà đòi hỏi người học phải tự tìm ra những tam giác đồng dạng để giải quyết vấn đề bài toán đưa ra Qua đó tư duy giải toán, phân tích, suy luận, tổng hợp,… thường xuyên được rèn luyện và phát triển

2.Thực trạng vấn đề:

Các trường hợp đồng dạng của tam giác không phải là phần kiến thức quá khó, hơn nữa nó có sự tương đồng với các trường hợp bằng nhau của tam giác nên học sinh có phần hứng thú khi tìm hiểu Dù vậy, khi đề bài toán yêu cầu tính toán, chứng minh,… mà không đề cập đến tam giác đồng dạng thì nhiều em học sinh lại không nghĩ đến câu hỏi: Liệu có đưa về bài toán chứng minh tam giác đồng dạng được hay không? Trong khi có rất nhiều bài, sử dụng cách ấy lại cho

ta một lời giải nhanh, dễ hiểu, thậm chí còn là cách duy nhất để giải bài tập đó

Việc học tập qua truyền hình và ôn tập ở nhà đòi hỏi tính tự giác cao của người học Một số em thiếu tập trung nên việc làm bài tập giáo viên giao trên truyền hình và trên trang Web nhà trường còn khó khăn và chưa đầy đủ

3.Các biện pháp giải quyết vấn đề:

Xuất phát từ thực tế, để giúp học sinh học và thành thạo trong quá trình vận dụng kiến thức linh hoạt trong giải toán, tôi tổng hợp và giới thiệu phương pháp tam giác đồng dạng áp dụng trong các dạng bài tập:

1 Tính (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi, diện tích,…)

2 Chứng minh hệ thức, đẳng thức

3 Chứng minh quan hệ song song

4 Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau

5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh các đường đồng quy

6 Giải bài toán cực trị hình học

3.1 Tính (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi, diện tích,…)

Ví dụ 1: Cho ABC có AB = 4,8cm; BC = 3,6cm; AC = 6,4cm Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE – 2,4cm, trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm a) Tính DE;

b) Gọi giao điểm của CB và ED là F Tính FD

D

A

E

F

GT ABC AB = 4,8cm; BC = 3,6cm;

AC = 6,4cm E AC, AE = 2,4cm;

D AB, AD = 3,2cm

KL a) DE = ?

b) CB cắt ED tại F, FD = ?

Hướng dẫn: DE là cạnh của ADE có AD = 3,2cm, AE = 2,4cm Nếu chứng minh được ADE đặc biệt, ta tính được DE Ta còn thấy ABC có ba cạnh đã biết, nếu tìm được mối liên hệ đồng dạng giữa hai tam giác ta cũng tính được

DE Suy nghĩ tương tự như vậy với câu b, ta tính được FD

Giải: a)Ta có: ( 3)

4

AC AD   AE AD Do đóABC∽AED (c.g.c)

 BC AC

DE AD hay 3,6 6, 4 1,8

3, 2 DE

DE    (cm) b) ABC∽AED  C  ADE Lại có ADE BDF  ( đối đỉnh) nên C BDF  

FC FE CE    FC 

FD

Mặt khác FB =2

5 FE = 2

5(FD + DE) = 2

5(FD + 1,8) (2)

Từ (1)(2)  FD 2,1 (cm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A 90 0, đường cao AH Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BH, AH AP giao với CQ tại K Tính góc AKC?

P H

A

K

GT ABC  0

90

A  , AH  BC(H  BC)

PBH, PB = PH; QAH, AQ = QH

AP  CQ = {K}

Hướng dẫn:Dự đoán qua hình vẽ góc AKC vuông Ta tính số đo trực tiếp hoặc

thông qua tính tổng hai góc KAC và KCA Nhận thấy   0

90

KAC KAB  nên ta tìm cách chứng minh KAB KCA  , từ đây ta lại nghĩ đến hai tam giác đồng dạng

Giải: ABH ∽ CAH (g.g)  2

2

AB BH BP BP

CA AH  AQ AQ

Mà ABH CAH  hay ABP CAQ  nên ABP ∽CAQ(c.g.c)  BAP ACQ 

Lại có BAP PAC    90 0  ACQ PAC   90 0  CAK  90 0 Vậy AKC=900

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, trong đó diện tích tam giác ABC bằng 11cm2 Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD và DC lần lượt tại M và N Tính diện tích tam giác MND

C

M

A

B

GT Tứ giác ABCD,

2 36

ABCD

S  cm , S ABC 11cm2

BMN, MN // AC, MAD,

NDC

Hướng dẫn: Với giả thiết ta biết diện tích của các tam giác, không biết độ dài

đoạn thẳng nào nên ta tìm các diện tích bằng nhau dựa vào MN // AC Khi đó ta biết thêm S MDC và để tính S MDN ta đi tính S MCN hoặc dùng tính chất của hai tam giác đồng dạng DAC và DMN

Giải: SADC  SABCD  SABC  36 11 25(cm )   2

AC //MN(GT)  MDN ∽ADC (định lí) 

2

MDN

ADC

MAC và ABC có chung đáy AC và chiều cao bằng nhau (Do AC //MN) nên diện tích bằng nhau Vậy S MAC 11cm2, do đó S MDC S ADC S MAC 36(cm2)

ADC và MDC có chung chiều cao là khoảng cách từ C xuống MD nên:

36 (2) 25

MDC

ADC

S

MD

Từ (1)(2) 

2

2

36

25 51,84( ) 25

MDN

S     cm

 

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và điểm O bất kì bên trong tam giác Nối OA, OB,

OC Trên OA lấy điểm P sao cho 2

3

OP

OA Từ P kẻ đường thẳng song song với

AB cắt OB tại Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt OC tại R Biết chu

vi tam giác ABC bằng 45cm Tính chu vi tam giác PQR

R Q

A

O P

GT O nằm trong ABC POA,

2 3

OP

OA ; PQ // AB, QOB; QR//BC,ROC;

AB+BC+CA = 45cm

KL Chu vi PQR = ?

Hướng dẫn: Để tính chu vi PQR khi biết chu vi ABC ta tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hai tam giác hoặc liên hệ giữa hai tam giác từ giả thiết PQ //

AB và QR//BC

Giải: Ta chứng minh được ( 2)

3

PQ QR

AB BC  và PQR ABC   nên PQR ∽ABC (c.g.c) với tỉ số đồng dạng là k = 2

3 Gọi p là chu vi ABC, p’ là chu vi PQR, khi đóPQR∽ABC nên:

p

Bài tập:

Bài 1: Tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm M là trung điểm của

BC, D là trung điểm của BM Tính độ dài AD

Bài 2: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 , P là một điểm thuộc cạnh AB;

N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP; M là giao điểm của BN và DP a) Tính góc BMD b) Chứng minh: PA PB = PD PM

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH Gọi D và E theo thứ

tự là các điểm đối xứng của điểm H qua các cạnh AB, AC

a) Chứng minh:

2

.

2

DE

BD CE  

  b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm Tính S DHE

3.2 Chứng minh hệ thức, đẳng thức:

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, AB = a, BC = b Qua D kẻ đường thẳng

cắt AC, BC, AB lần lượt ở I, N, M Chứng minh:

a) AM.CN = ab

b) DI2 = IN.IM

N I M

A

D

GT Hình bình hành ABCD,

AB = a, BC = b Đường thẳng qua D cắt AB ở M, cắt BC ở

N, cắt AC ở I

b) DI2 = IN.IM

Hướng dẫn: Khi gặp bài toán chứng minh đẳng thức về tích các đoạn thẳng, ta

nghĩ đến định lý Talet, hệ quả định lý Talet, tam giác đồng dạng (khi đề bài có yếu tố song song) hoặc tính chất đường phân giác của tam giác (khi có yếu tố góc bằng nhau) ABCD là hình bình hành nên các cạnh đối song song vì vậy tam giác đồng dạng là điều ta nghĩ đến trong bài này

Giải: a) Ta có: DAM  NCD(hai góc đối của hình bình hành ABCD)

AMD CDN  (so le trong do AM // CD)

 ADM ∽CND (g.g) AM AD AM CN. AD DC ab.

DC CN

b) CN // AD (do CB//AD) nên AID∽CIN (g.g) DI AD (1)

IN CN

DC // AB nên CID ∽AIM (g.g) DI CD (2)

IM AM

Từ (1)(2) 

2

2

DI DI AD CD DI ab

DI IN IM

IN IM CN MA IM IN ab   

Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H.

Chứng minh rằng BC2 = BH.BD + CH.CE

K

H

A

GT ABC nhọn, BDAC,

CE AB, BDCE = {H}

KL BC2 = BH.BD + CH.CE

Hướng dẫn: Để xuất hiện các tích BH.BD và CH.CE khi đề bài đã cho những

đường vuông góc ta nghĩ đến tam giác đồng dạng Tuy nhiên cặp tam giác đồng dạng tìm được lại chưa tạo được mối liên hệ với BC Vì thế xuất hiện nhu cầu kẻ đường phụ vuông góc với BC để có cặp tam giác đồng dạng và có liên hệ với

BC nhằm giải quyết bài toán

Giải: Kẻ HKBC: BKH ∽BDC (g.g) BH BK BH BD BK BC (1)

BC BD

CKH ∽CEB (g.g) CK CH CK.CB CE.CH (2)

CE CB

Từ (1)(2) BH.BD + CH.CE = BC(BK+CK) = BC2

Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A Kẻ đường cao AH Chứng

minh hệ thức:

a) AB2 = BH.BC; b) AH2 = BH.CH; c) 1  1  1

Bài 2: Cho hình vuông ABCD, cạnh có độ dài là a Một đường thẳng d bất kì đi

qua đỉnh C, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F

a) Chứng minh rằng tích BE.DF có một giá trị không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d

b) Chứng minh hệ thức: BE AE22

DF AF

c) Xác định vị trí của đường thẳng d để có hệ thức: DF = 4.BE

d) Giả sử S AEF = 8 2

3

a

Tính độ dài các đoạn BE và DF theo a

3.3 Chứng minh quan hệ song song

Ví dụ : Cho tam giác đều ABC, các đường phân giác góc B và góc C cắt nhau

tại O Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với trung điểm của nó Vẽ DE vuông góc với AB cắt OB tại M; vẽ DF vuông góc với AC cắt OC tại N Chứng minh rằng: MN // EF

M

N

O

F E

A

GT ABC đều Phân giác góc B và C cắt nhau tại O DBC (DBDC)

DE AB, DEOB = {M}

DF AC, DFOC = {N}

KL MN//EF

Hướng dẫn: Có rất nhiều cách để chứng minh hai đường thẳng song song Với

bài toán này, từ giả thiết ABC đều ta biết được số đo của các góc trong các tam giác: BMD, DNC, BED, CFD và tìm được các cặp tam giác đồng dạng Từ

đó có những cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chứng tỏ được MN//EF

Giải: Ta cóABC đều, phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O nên BO, CO vừa là đường phân giác vừa là đường cao

 OBC OBA OCB OCA     30 0và BO//DF (cùng  AC), CO//DE (cùng  AB)

 MBD NDC MDB NCD  ,    MBD ∽NDC (g.g) DM DB (1)

DN DC

EBD∽FCD (g.g)  DE DB (2)

DF DC

Từ (1)(2)  DM DE DM DN

DN DF  DE DF  MN//EF (định lí Talet đảo)

Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác đều ABC, O là trọng tâm của tam giác M là một điểm trên

cạnh BC không trùng với trung điểm của BC Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC Các đường vuông góc này cắt OB và OC tương ứng ở I và K a) Chứng minh tứ giác MIOK là hình bình hành

b) Gọi R là giao điểm của PQ và OM Chứng minh R là trung điểm của PQ

Bài 2: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Lấy điểm G

thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho GOH  45 0 Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng:

a) HOD ∽ OGB b) MG song song với AH

3.4 Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN Biết ABM  ACN Chứng minh BM = CN

ABM  ACN

KL BM = CN

Hướng dẫn: Để chứng minh BM = CN ta thường nghĩ đến hai tam giác bằng

nhau Tuy nhiên với giả thiết bài toán ta thấy ngay ABM và CAN đồng dạng Từ đó dẫn đến suy luận chứng tỏ tỉ số đồng dạng bằng 1

Giải: ABM và ACN có: ABM  ACN (GT) và chung góc A

 ABM ∽ACN (g.g)  BM AB AM (1)

CN AC AN

Có BM và CN là các trung tuyến  AM = 1

2AC, AN = 1

2 AB nên:

1

1

2

AC

AB AC AB AC

AC  AB AB    

Từ (1)(2)  BM = CN

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường

thẳng CD tại M, tia DE cắt đường thẳng AB tại N Chứng minh rằng:

BCN CMB

M

B A

D

C E

EBC, AECD = {M};

DEAB = {N}

KL BCN CMB  

Hướng dẫn: Với suy luận ngược nếu BCN CMB  thì NBC ∽BCM Giả thiết cho NBC BCM   90 0nên ta tìm cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ABCD là hình vuông nên có những cặp đoạn thẳng bằng và song song giúp ta dễ dàng tìm được cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ cần thiết

Giải: AB // CM (do AB // CD) AB EB

CM EC (hệ quả định lí Talet) (1)

BN // CD (do AB // CD)  BN EB

CD EC (hệ quả định lí Talet) (2)

Từ (1)(2)  AB BN

CM CD Mặt khác AB = BC = CD = DA (ABCD là hình vuông) nên BC BN

CM CB Do đó NBC ∽BCM (c.g.c)  BCN CMB   (góc tương ứng)

Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 20cm Trên cạnh AC lấy điểm

D sao cho AD = 5cm Chứng minh: ABD ACB 

Bài 2: Cho điểm M nằm trong hình bình hành ABCD sao cho MAB MCB   Qua

M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB và CD theo thứ tự ở G và H Qua

M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC ở F Chứng minh rằng:

a) AGM∽CFM b) MBC MDC  

3.5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh các đường đồng quy

Ví dụ: Cho bốn điểm A, C’, D’, B theo thứ tự ấy nằm trên cùng một đường

thẳng a Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng a, ta vẽ các hình vuông ABCD và A’B’C’D’ Chứng minh bốn đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy

a

O

GT A, C’, D’, B a

ABCD, A’B’C’D’ là các hình vuông thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ a

KL AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy

Hướng dẫn: Với giả thiết đề bài cho, ta nghĩ đến đưa bài toán về chứng minh ba

điểm thẳng hàng và để chứng minh điều đó ta chứng minh góc có tổng bằng

1800 Như vậy là phải tìm được, quy được từ các góc đã có tổng 1800 về các góc cần tìm thông qua cặp tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng

Giải: Gọi O là giao điểm của AA’ và BB’

A’B’ // C’D’(A’B’C’D’ là hình vuông) nên A’B’ // AB

 OB' A B' '

OB  AB (hệ quả định lí Talet) hay OB' B'C'

OB BC (do A’B’=B’C’, AB=BC)

OB’C’ và OBC có: C B O CBO ' '   (so le trong, B’C’//BC)

OB' B'C'

OB BC (chứng minh trên)

 OB’C’∽OBC (c.g.c)  B 'OC'BOC (góc tương ứng)

Mà B OC' 'C OB ' 1800  BOC C OB  ' 1800hay C, O, C’ thẳng hàng