Giảng dạy các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình

Lí do chọn đề tài Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là bài toán bắt buộc trong các kì thi tốt nghiệp THPT, songsong với nó là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số như: viết phương trình

MỤC LỤC

Trang

A PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠN PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là bài toán bắt buộc trong các kì thi tốt nghiệp THPT, songsong với nó là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số như: viết phương trình tiếp tuyếncủa một đường cong, sự tương giao giữa hai đồ thị, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, tínhdiện tích và thể tích Đó là những kiến thức không thể thiếu được trong các kì thi tốt nghiệpTHPT, kể cả trong các kì thi Đại học, Cao đẳng

Với các học sinh có lực học trung bình trở xuống, các bài toán liên quan tới khảo sát hàm

số như đã nêu trên là những bài toán không đơn giản, nhiều em vẫn còn lúng túng trong khâuphân dạng và định hình phương pháp giải, kĩ năng trình bày lời giải còn hạn chế

Xuất phát từ thực tiễn học sinh đại trà của trường ta và yêu cầu của đề thi TN THPT đã

nêu trong cuốn “cấu trúc đề thi TN 2010” tôi đã mạnh dạn chọn đề tài này, đề tài về “giảng

dạy một số bài toán liên quan tới khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình”, nhằm tìm hiểu sâu thêm về các dạng bài này, về cách hướng dẫn học sinh tiếp cận với

cách dạng toán, về những sai lầm học sinh dễ mắc phải, giúp các em học sinh ôn tập tốt cho kìthi TN THPT sắp tới, rút ra bài học kinh nghiệm cho riêng mình về phương pháp dạy đốitượng học sinh trung bình, yếu, kém, về ôn thi TN THPT, …

Tôi cho rằng vấn đề lựa chọn nội dung và phương pháp phù hợp trong việc giảng dạy chohọc sinh trung bình, yếu, kém (nói trong phạm vi trường ta) không thể dừng lại ở mấy ý kiếnngắn ngủi của một cá nhân, mà cần phải tiếp tục được bàn bạc, trao đổi, rút kinh nghiệm rộngrãi, cần được đầu tư nghiên cứu, tìm hiểu, đánh giá một cách toàn diện hơn, cần tiếp tục đưa racác sáng kiến và giải pháp, đồng thời thực hành vận dụng chúng vào thực tế, kiên trì quanđiểm “vừa nghĩ  vừa làm  vừa rút kinh nghiệm”, tuyệt không thể chỉ nhờ lí thuyết mà đưa rađược phương án tối ưu giải quyết vấn đề này

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Đề xuất một số phương pháp hướng dẫn học sinh diện đại trà ôn tập phần các bài toánliên quan tới khảo sát hàm số

Chọn lọc một số ví dụ điểm hình và hệ thống một số bài tập tương tự (chủ yếu là đề thi

TN THPT các năm) làm tài liệu ôn tập Đề xuất việc phân chia bài tập thành các nhóm:

 Nhóm 1: Lập phương trình tiếp tuyến của một đường cong;

Giảng dạy các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 2

 Nhóm 2: Sự tương giao giữa hai đồ thị ;

3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nêu bật được phương pháp chủ yếu hướng dẫn học sinh trung bình ôn tập các bài toánliên quan tới khảo sát hàm số Làm rõ được rằng để dạy một cách có hiệu quả đối tượng họcsinh trung bình, yếu, kém thì phải đảm bảo hai yêu cầu sau đây:

 Về kiến thức, kĩ năng: đảm bảo cơ bản, phù hợp với đối tượng học sinh, phù hợp với kìthi tốt nghiệp THPT

 Về tiến trình ôn tập: phân loại các dạng bài tập, nêu phương pháp làm cụ thể và tỉ mỉ đốivới từng loại bài, lấy ví dụ minh hoạ, cung cấp hệ thống bài tập đề nghị học sinh làm, kiểm traviệc làm bài tập của học sinh

4 Phạm vi nghiên cứu

Chương trình giải tích 12 (cơ bản)

5 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số thường gặp trong các kì thi TN THPT

Các phương pháp dạy học môn toán

Tân lí lứa tuổi và nhận thức của học sinh THPT

6 Phương pháp nghiên cứu

Tổng kết, đánh giá, so sánh, rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, trao đối với các đồngnghiệp, nghiên cứu tài liệu

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của một đường cong

Để làm được các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong các emcần nắm được kết quả quan trọng sau đây

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) M0(x0,y0) là một điểm thuộc đồ thị (C) Phươngtrình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0,y0) là: y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*)

x0: hoành độ tiếp điểm

y0 = f(x0): tung độ tiếp điểm

M0(x0,y0): tiếp điểm

k = f’(x0): hệ số góc của tiếp tuyến

Từ đó ta có các bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) y = f(x) sauđây:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) thuộc

đồ thị hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính đạo hàm cấp một f’(x), tính f’(x0)

- Bước 2: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm

số có hoành độ x 0

Phương pháp :

- Bước 1: Thay x = x0 vào y = f(x) để tìm y0 (y0 = f(x0))

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp một f’(x), tính f’(x0);

- Bước 3: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm

số có tung độ là y 0

Phương pháp:

- Bước 1: Thay y = y0 vào y = f(x) để tìm x0

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp một f’(x), tính f’(x0)

- Bước 3: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b

Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng

y = ax + b.

Giảng dạy các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 4

Phương pháp:

- Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = ax + b nên nó có hệ số góc là a

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp một f’(x), giải pt f’(x0) = a để tìm x0

Bài toán 6: Viết PT tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.

Phương pháp: (Bài toán này khái quát bài toán 4 và bài toán 5)

- Bước 1: Giải hệ phương trình y f (x)

 , nghiệm của hệ này sẽ là toạ độ tiếp điểm

- Bước 2: Quay trở về thực hiện như bài toán 1

Bài toán 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M 1 (x 1 ;y 1 ).

Phương pháp:

- Bước 1: Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, và tiếp tuyến có PT y = f’(x0)(x - x0) + f(x0)

- Bước 2: Do M1 thuộc tiếp tuyến nên y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0) Từ đó tìm ra x0 và thay vàophương trình nêu ở bước 1 để được tiếp tuyến cần tìm

Bài toán 7: Tiếp tuyến “ĐI QUA” một điểm, điểm đó có thể nằm trên hay không nằm trên

đường cong (có thể ra nhiều đáp số) nên cần chú ý hai từ “ TẠI” hoặc “ĐI QUA” để lựa chọn

bài toán 1 hoặc bài toán 7

Ví dụ áp dụng:

 Ví dụ 1 Cho hàm số y = 4x3 -6x 2 +4x -1 có đồ thị là (C).

a Viết phương trình tiếp tuyến của (C) TẠI điểm M 0 (0; 1).

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là 2;

c Viết PT tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x – 1.

d Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm mà các tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.

 Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0)

a Đề bài cho x0 = 0, y0 = 1, và y’ = 12x2 - 12x + 4, y’(0) = 4, nên tiếp tuyến cần tìm cóphương trình y = 4(x  0)  1  y = 4x  1

b Thay x0 = 2 và phương trình của (C) ta được y0 = 15

Ta có y’ = 12x2 - 12x + 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y’(2) = 28

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2; 15) là y = 28x – 41

c Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 4, ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại A(0, -1) là y = 4x – 1 (loại vì trùng với (d))

Phương trình tiếp tuyến tại B(1, 1) là y = 4x – 3 (thoả mãn)

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 4x – 3

d Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là 12x2 - 12x0 + 4 > 0 với mọi x0, do đó không thể tồn tại haiđiểm x1, x2 để y’(x1).y’(x2) = -1, nghĩa là trên (C) không tồn tại hai điểm mà các tiếp tuyếnvuông tại đó góc với nhau

 Ví dụ 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C): ( ) 12

a Tiếptuyến có hệ số góc k = 1/9.

b Tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

c Đi qua điểm (0, -2).

 Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0)

Giảng dạy các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 6

a Với x 1, ta có y’ = 2

1(x 1) Xét hệ phương trình 2

x 4, y9

b Vì tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc

phần tư thứ hai là y = -x nên ta có: (-1).f’(x0) = -1  f’(x0) = 1  2

0

1

1(x  1)  

Vậy có hai tiếp tuyến là y = x + 2 và y = x – 2

c Giả sử M0(x0; y0) là tiếp điểm với 0 0 0 0

0 2

 Trong ví dụ 1 ý d hơi khó so với một số học sinh GV cần dẫn dắt học sinh từng bước một

 Cần lưu ý học sinh, để viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số ta cố gắng tìm tiếp điểm và hệ sốgóc của tiếp tuyến

 Chú ý học sinh không được viết PTTT như sau y = 4(x  0)  1 = 4x  1

 Hai tiếp tuyến ở ý a ví dụ 2 có thể viết là x 9y 2 0, x 9y 14 0.     

− Cho hai đường thẳng 1: y a x b ;  1  1 2: y a x b  2  2 Khi đó

Dạng 2: Sự tương giao giữa 2 đồ thị

Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của PT g(x,m) = 0 theo tham số m.

- Bước 3: Dựa vào đồ thị để biện luận (sử dụng các điểm cực đại, cực tiểu)

* Chú ý: Bài toán có thể chỉ hỏi một trường hợp: chẳng hạn dựa vào đồ thị để tìm m đểphương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 2 : Biện luận theo tham số số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng

có hệ số góc k ≠ 0

Phương pháp:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm

- Đưa phương trình hoành độ về những pt quen thuộc đã biết cách giải như pt bậc nhất,phương trình bậc hai, phương trình bậc bốn trùng phương,

-Biện luận

 Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x3 + 3x + 1 (C).

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của PT x 3 – 3x + m = 0 theo m.

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C)

là phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m + 1 Số nghiệmcủa phương trình bằng số giao điểm của (C) và (d)

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Không nên trình bày lời giải theo cách dưới đây.

+ Nếu m + 1 < -3 hoặc m + 1 > 3 tức là m < -4 hoặc m > 2 thì (c) cắt (d) tại 1 điểm do đó phương trình có một nghiệm duy nhất.

+ Nếu m + 1 = -3 hoặc m + 1 = 3 tức là m = - 4 hoặc m =2 thì phương trình có 2 nghiệm + Nếu -3 < m + 1 < 3  - 4 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Bài toán 1: Tìm tham số để hàm số y = f(x) có cực trị (có đúng một cực đại và một cực tiểu)

(xét những bài toán mà y’ là tam thức bậc hai hoặc y’ là hàm phân thức mà tử thức là tam thức bậc hai).

Phương pháp: Tính y’, y = f(x) có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, giải

bất phương trình  > 0 tìm được giá trị của tham số

Bài toán 2: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số.

Phương pháp: Tính y’, tính  và khẳng định  > 0 với mọi giá trị của tham số, từ đó suy rađiều phải chứng minh

Bài toán 3: Tìm tham số để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x = x 0 (chỉ luyện những hàm số bậc 3 và hàm trùng phương).

 Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x2 - 2mx - 2, có  = m2 + 6 > 0 với mọi m Do đó y’ luôn

có hai nghiệm phân biệt với mọi m Vậy hàm số có hai cực trị: một cực đại và một cực tiểu.

Giảng dạy các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 10

 Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m + 1)x4 - 2(m - 1)x 2 Tìm m để hàm số đạt 3 cực trị Tại gốc toạ

độ là điểm cực đại hay cực tiểu ?

 Hướng dẫn giải Ta có y’ = 4(m + 1)x3 - 4(m - 1)x = 4x[(m + 1)x2 - (m - 1)], và y’ = 0 

0 1

0 1

m m

 Vậy với m < -1 hoặc m > 1 thì hàm số có 3 cực trị

Khi đó hoành độ các điểm cực trị là: x1= 0 , x2,3=

Nếu m > 1 thì y’’(0) < 0 do đó gốc toạ độ là điểm cực đại

Nếu m < 1 thì y’’(0) > 0 do đó gốc toạ độ là điểm cực tiểu

 Ví dụ 4: Cho hàm số y = 1 3 2

( 1) ( 2) ( 3) (m 1)

3 m x  m x  m x  Tìm m để đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu.

 Hướng dẫn giải Ta có y’ = (m +1)x2 - 2(m + 2)x + m + 3, y’’= 2(m + 1)x - 2(m + 2).Hàm số đạt cực tiểu tại O(0,0) khi và chỉ khi:





 0 ) 0 ( '

0 ) 0 ( '

y y

m m

 m3.Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f(x) (C), y = g(x) (C’), và các

Có nhiều cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như: Dựa vào đồ thị, chia khoảng lập bảng

xét dấu Tuy nhiên đối với học sinh yếu kém thì phương pháp tối ưu nhất là:

Giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 trên đoạn a b; 

Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi đó f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn a c; , ; c d , ;d b khi đó:

 Hướng dẫn giải:

1

3 2 1

Bài toán 1:Thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (D) giới hạn bởi các

đường y =f(x) (C), y = 0 (trục hoành Ox), và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung quanh Ox là    ( )2 (1)

b

a

Bài toán 2: Thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (D) giới hạn bởi các

đường y =f(x) (C), y = g(x) (C’), và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh

 Hướng dẫn giải Thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành là :

y có đồ thị (C) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay

hình phẳng giới hạn bởi các đường xung 11

y và hai trục Ox , Oy quanh trục hoành.

 Hướng dẫn giải Ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại điểm có hoành độ là x = -1 Bài

toán trở thành tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

B.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Cho hàm số y =-x3 + 3x2 - 3x + 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại A

3 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d)

Bài 2: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2

1 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Một đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m Biện luận số giao điểm của (C) và dtheo m

3 Khi d tiếp xúc với (C) tại một điểm khác gốc toạ độ, hãy tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi (C) và d

Bài 3: Cho hàm số y = x(3 - x)2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = 2, x = 4

3 Một đường thẳng đi qua gốc toạ có hệ số góc k Với giá trị nào của k thì d cắt (C) tại bađiểm phân biệt

Bài 4: Cho hàm số y = x3 - mx + m – 2 , m là tham số

1 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 - 3x – k + 1 = 0

Bài 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3mx + 3m + 4

1 Xác định m để hàm số có cực trị

2 Xác định m để (Cm) nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng

3 Xác định m để trục hoành là tiếp tuyến của đường cong (Cm)

Bài 6: Cho hàm số y = 2x2-x4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 - 2x2 + m = 0

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

Bài 7: Cho hàm số y = x4/2 – ax2+b

1 Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C) với giá trị a và b tìm được ở câu a

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

Bài 8: Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1, m là tham số (Cm)

Giảng dạy các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 14