hàm số đơn điệu và ứng dụng để giải toán

Vận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình .... Học sinh ñược tiếp cận và củng cố từ ñầu lớp 10 các khái niệm hàm số ñồng biến, hàm số nghị

ðơn vị công tác: Tổ Toán - Trường THPT Yên Phong số 2

Bộ môn (Chuyên ngành): Toán

YÊN PHONG, THÁNG 12 NĂM 2013

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ðẦU 2

Chương 1: CƠ SỞ KHOA HỌC 3

Chương 2: THỰC TRẠNG VẤN ðỀ 5

Chương 3: NHỮNG GIẢI PHÁP CỤ THỂ 6

3.1 Khái niệm hàm số ñơn ñiệu 6

3.2 Một số tính chất của hàm số ñơn ñiệu 6

3.3 Liên hệ giữa tính ñơn ñiệu của hàm số và ñạo hàm 8

3.4 Vận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 8

3.5 Vận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất ñẳng thức 16

3.6 Một số bài tập áp dụng 20

Chương 4: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG 21

KẾT LUẬN 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

NHẬN XÉT, ðÁNH GIÁ CỦA HðKH 24

MỞ ðẦU

A MỤC ðÍCH CỦA SÁNG KIẾN

Hàm số ñơn ñiệu là nội dung quan trọng của môn Toán ở bậc THPT, có sự

kế thừa và phát triển các nội dung ở bậc THCS Học sinh ñược tiếp cận và củng cố

từ ñầu lớp 10 các khái niệm hàm số ñồng biến, hàm số nghịch biến, tập xác ñịnh, bảng biến thiên, ñồ thị của hàm số Ở chương 1 phân môn Giải tích 12, với công

cụ ñạo hàm, hàm số ñược nghiên cứu tổng thể và kĩ lưỡng hơn Các ñiều kiện cần

và các ñiều kiện ñủ ñể hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng ñược xây dựng, cung cấp phương pháp kiểm tra hữu hiệu tính ñơn ñiệu của hàm số thông qua việc xét dấu ñạo hàm của nó

Trong nội dung thi ðại học và thi Học sinh giỏi các cấp, ngày càng xuất hiện nhiều các bài toán, như giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, chứng minh bất ñẳng thức , mà việc giải quyết chúng ñược thực hiện một cách hiệu quả và sáng sủa thông qua vận dụng kiến thức về hàm số ñơn ñiệu Do ñó, việc ôn tập, củng cố cho học sinh, nhất là ñối tượng ñội tuyển HGS và lớp ôn thi ðH, các nội dung liên quan tới hàm số ñơn ñiệu cũng như những áp dụng ñể giải toán, ñã trở thành yêu cầu quan trong trong giáo dục toán học ở bậc THPT hiện nay

ðề tài này nhằm trình bày hệ thống các kiến thức liên quan tới hàm số ñồng biến, hàm số nghịch biến, phân tích việc áp dụng các tính chất này ñể giải quyết một số dạng toán ở bậc THPT

B ðÓNG GÓP CỦA SÁNG KIẾN ðỂ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY VÀ HỌC

Nâng cao nhận thức và kĩ năng cho cả người dạy và người học về nội dung

Vấn ñề vận dụng kiến thức về hàm số ñơn ñiệu ñể giải toán là nội dung khó, các thức thực hiện ñòi hỏ phải có cái nhìn tinh tế, khái quát nhiều mặt Nhưng rõ ràng ñây là một nội dung rất có ý nghĩa trong việc rèn các kĩ năng Toán học cho học sinh

Qua giảng dạy và tìm hiểu về nội dung này, tôi thấy bản thân mình cũng tự nhận thức thêm ñược nhiều ñiều, ñặc biệt là về mặt phương pháp ðiều ñó giúp ích cho tôi thực hiện tốt hơn nhiệm vụ chuyên môn ñược phân công, cũng như làm tăng thêm niềm ñam về ñối với Toán học

ðối với học sinh, khi nội dung này ñược các em lĩnh hội một cách chủ ñộng

và biết áp dụng linh hoạt, sáng tạo, nó sẽ góp phần nâng cao nhận thức và kĩ năng Toán học của các em, giúp môn Toán trở nên gần gũi hơn

1.2 CƠ SỞ THỰC TIẾN

Trong chương trình môn Toán hiện hành, chủ ñề hàm số có một vị trí vô cùng quan trọng Ở bậc THPT, kĩ năng vận dụng kiến thức của hàm số ñơn ñiệu ñể

giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, chứng minh bất ñẳng thức ngày càng trở thành một kĩ năng ñược ưu tiên phát triển Trong nhiều năm gần ñây, trong các kì thi ðH và HSG, xuất hiện ngày một nhiều các bài toán dạng này Nó ñòi hỏi người dạy và người học phải thay ñổi nhận thức và thái ñộ, phải có sự quan tâm xứng ñáng ñến dạng toán này

Trong thời gian giảng dạy tại trường THPT Yên Phong số 2, tiền thân là trường THPT Yên Phong số 3, tôi ñã chú ý ñến mảng kiến thức này, dành thời gian

tự trau dồi các kiến thức liên quan cho bản thân mình, dành thời gian hợp lí cho học sinh học tập, rèn luyện, ñặc biệt là học sinh các lớp chọn, lớn luyện thi ðH, lớp bồi dưỡng HSG Và thực tế cho thấy, công việc ñó ñã giúp ích rất nhiều cho học sinh ở các ñối tượng vừa kể trên, giúp họ vượt qua các kì thi quan trọng một cách hiệu quả nhất trong khả năng có thể

CHƯƠNG 2

THỰC TRẠNG VẤN ðỀ

Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy việc dạy và học nội dung hàm số ñơn ñiệu và áp dụng ñể giải toán hiện nay có một số ñiều ñáng bàn sau ñây

1) Giáo viên còn hạn chế về nhiều kiến thức toán cao cấp liên quan tới hàm

số, do ñó cái nhìm tổng quan về hàm số có phần nào chưa thực sự ñầy ñủ, ñiều ñó dẫn tới việc áp dụng các kiến thức về hàm số vào giải toán cũng có phần nào hạn chế, có lúc vẫn còn thiếu ñi sự linh hoạt, tinh tế

2) ðây là chủ ñề khó, rất dễ gây sự nản lòng ở học sinh

3) Việc hình thành kĩ năng áp dụng cho học sinh là công việc phải ñược tiến hành thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng Tuy nhiên một số giáo viên chưa chú trọng việc bồi dưỡng kĩ năng này ngay từ lớp 10, dẫn tới tạo ra ñộ ì lớn khi học sinh lên lớp 11, 12

4) Nhiều học sinh học tập một cách thụ ñộng, trông chờ thầy cô cung cấp kiến thức, chỉ làm bài theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo

CHƯƠNG 3

NHỮNG GIẢI PHÁP CỤ THỂ

3.1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ ðƠN ðIỆU

Cho các tập con khác rỗng X Y, ⊂ ℝ Cho hàm số f X: →Y. Giả sử D⊂ X.

1) Ta nói f là hàm số ñồng biến trên tập D nếu với mọi , a b∈D mà a<b ta ñều có ( )f a < f b( )

2) Ta nói f là hàm số nghịch biến trên tập D nếu với mọi , a b∈D mà a<b

- Hàm f nghịch biến trên D⇔ H < ∀0, x x1, 2∈D x, 1 ≠ x2.

- Hàm f ñơn ñiệu tăng trên D⇔ H ≥ ∀0, x x1, 2∈D x, 1 ≠ x2

- Hàm f ñơn ñiệu giảm trên D⇔ H ≤ ∀0, x x1, 2∈D x, 1≠ x2

2) Không có hàm số nào vừa ñồng biến vừa nghịch biến trên D Hàm số vừa

ñơn ñiệu tăng vừa ñơn ñiệu giảm trên D khi và chỉ khi nó là hàm hằng trên D

3) Tổng hai hàm ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu tăng, ñơn ñiệu giảm) là một hàm ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu tăng, ñơn ñiệu giảm, tương ứng) Tích một hàm ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu tăng, ñơn ñiệu giảm) với một số thực dương là một hàm ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu tăng, ñơn ñiệu giảm, tương ứng) Hiệu của một hàm ñồng biến và một hàm nghịch biến là một hàm ñồng biến Tất cả cùng xét trên chung một tập hợp D⊂ X.

4) Nếu hàm f ñồng biến hoặc nghịch biến trên D thì với mọi , a b∈D ta có

7) Nếu ∅ ≠M ⊂D và hàm f ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu tăng, ñơn

ñiệu giảm) trên D thì f ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu tăng, ñơn ñiệu giảm,

tương ứng) trên M

8) Nếu f là hàm liên tục trên ñoạn [ ]a b; và ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu tăng, ñơn ñiệu giảm) trên khoảng ( )a b thì f ñồng biến (nghịch biến, ñơn ñiệu ;tăng, ñơn ñiệu giảm, tương ứng) trên ñoạn [ ]a b ;

9) Nếu hàm f ñồng biến trên D, hàm g nghịch biến trên D và m là hằng số thì mỗi phương trình sau ñây có không quá 1 nghiệm trên tập D

( ) ( ),( ) ,( )

3.3 LIÊN HỆ GIỮA TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ðẠO HÀM

Kí hiệu K là một khoảng hoặc ñoạn hoặc nửa khoảng trong ℝ

1) Nếu hàm f ñồng biến và có ñạo hàm trên K thì f x'( )≥ ∀ ∈0, x K Nếu hàm f nghịch biến và có ñạo hàm trên K thì f x'( )≤ ∀ ∈0, x K

2) Nếu f x'( )> ∀ ∈0, x K, thì hàm f ñồng biến K Nếu f x'( )< ∀ ∈0, x K, thì

3) Hàm f có ñạo hàm trên K Khi ñó f ñơnn ñiệu tăng (ñơn ñiệu giảm) trên K

khi và chỉ khi f x'( )≥ ∀ ∈0, x K ( f x'( )≤ ∀ ∈0, x K, tương ứng)

Những kết luận trên không còn ñúng nữa nếu thay K bởi tập D bất kì

3.4 VẬN DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ ðỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Vận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải ph−¬ng tr×nh

VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh x+1- 4 x− = 1 (1)

Gi¶i: ðiÒu kiÖn -1≤ x≤ 4 Lúc này (1) ⇔ x+1 = 1+ 4 x− Phương trình này

có không quá 1 nghiệm trên ñoạn [− 1; 4] vì hàm số tương ứng ở vế trái ñồng biến và

hàm số tương ứng ở vế phải nghịch biến trên ñoạn ñó Hơn nữa, ta thấy x = 3 lµ

nghiÖm cña (1) Vậy (1) có nghiệm duy nhất x= 3.

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x= 1.

VÝ dô 4: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ( 2 3) ( 2 3) 2

Ví dụ 5: Giải phương trình x + log(x 2 -x -6) = 4 +log(x +2) (5)

Giải: Điều kiện x +2>0, x 2 - x -6 >0 ⇒x>3

Vậy (5) ⇔ x + lg(x +2) +lg(x -3) = 4 +lg(x +2) ⇒ lg(x -3) = 4 -x (*) Phương trình này có nghiệm x =4 vì khi đó ta có log1 = 0 đúng

Vì vế trái đồng biến (cơ số lôgarit lớn hơn 1), vế phải nghịch biến (đạo

hàm âm) nên (*) có nghiệm duy nhất x = 4 ( thoả mãn điều kiện x > 3)

Vậy (5) cú nghiệm duy nhất x= 4.

Ví dụ 6: Giải phương trình 2log 3 cotgx = log 2 cosx

Giải: Điều kiện cosx > 0,sinx > 0

Đặt log 2 cosx = y ⇒ cosx = 2 y ⇒ log 3 cotg 2 x = log 2 cosx = y

⇒ cotg 2 x = 3 y Vì cotg 2 x =

2 2

 

= +

 

  có nghiệm duy nhất y = -1

Vì vế trái cơ số 3/4 <1 là hàm nghịch biến ,vế phải cơ số 3>1 là hàm đồng biến

Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 x2- 2x3 = log2(x2 + 1) - log2x (6)

Giải: Điều kiện x > 0 Với điều kiện ấy

Ta có x 2 (3-2x) = x.x.(3-2x) là tích của 3 số dương, có tổng không đổi bằng

3, nên nó đạt giá trị lớn nhất bằng 1, khi x = 3 -2x = 1

Như vậy là VT ≤1 ,đạt dấu = khi x = 1 ,

Nếu y 2 = 3 - x = 2 x , ta có x = 1 là nghiệm duy nhất , vì khi đó 3 -1 = 2

đúng, và vì vế trái là hàm nghịch biến (có đạo hàm âm), vế phải là hàm

đồng biến (cơ số hàm mũ lớn hơn 1)

Vậy PT ủó cho cú hai nghiệm x= 1,x= ư log 3.2

B Vận dụng tớnh ủơn ủiệu của hàm số ủể giải bất phương trỡnh

Ví dụ 1 Giải bất phương trình x+9 > 5 - 2x+4 (1)

Giải: Điều kiện x≥2 Do vế trái là hàm đồng biến( đạo hàm dương), vế phải la hàm nghịch biến(đạo hàm âm) nên nghiệm của (2) là giao của x ≥ 2 và x > x0với x0 là nghiệm của phương trình x+9 = 5 - 2x+4 ; phương trình cuối

có nghiệm duy nhất x = 0, vì khi đó ta có 9 =5- 4 (đúng) và vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến

Vậy nghiệm của (1) là x ≥2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình x+ +1 35xư +7 47xư +5 513xư <7 8

Gi¶i: §iÒu kiÖn x≥5/7 Xét f(x) = x+ +1 35x− +7 47x− +5 513x−7

u

v u v

u

v u

Từ đó u = x+ =2 1⇒x= −1

Vậy nghiệm của (3) là 2− ≤ ≤ −x 1

Ví dụ 6: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trỡnh sau có nghiệm

2 x− +m m + − ≤m 1 0 ?

Giải: Đặt t = x m− ≥0 ⇒ t 2 = x 2 -2mx +m 2 , khi đó

BPT ⇔ y = t 2 +2t +2mx +m -1 ≤0

Ta cã y' = 2t +2 ⇒ y' = 0 ⇔ t = -1 Nªn y min = y (0) = 2mx +m -1 = 2m 2 +m -1 0≤ ⇒ -1 1

2

m

≤ ≤ ðây là các giá trị cần tìm của m

C Vận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải hÖ phương trình

VÝ dô 1: T×m c¸c sè x ∈( )0; π ,y ∈( )0; π tho¶ m·n hÖ cot - coty x -y (1)

VÝ dô 3: Chøng tá r»ng víi 0a ≠ hÖ

2 2

2 2

cã nghiÖm duy nhÊt

Gi¶i: §iÒu kiÖn : x 0≠ , y 0≠ Do x vµ

//

Ví dụ 3: Chứng minh rằng log 1999 2000 > log 2000 2001

Giải: Xét hàm số f(x) = log x (x +1) với x > 1

Khi đó bất đẳng thức đã cho có dạng tương đương sau :

f( 1999) > f(2000)

Ta có f(x) = log x (x +1) =ln( 1)

ln

x x

ln( 1)

0( 1)ln

x

x

x x

++ + -

+ ư+ > 0

⇒ f t¨ng trªn [ 0 ,+∞) ⇒ f(x) > f(0) =0 ⇒ x > ln(x+1) víi x > 0

VÝ dô 6: Chøng minh r»ng : lnx > 2( 1)

1

x x

−+ víi x>1

Gi¶i: §Æt f(x) = lnx - 2( 1)

1

x x

−+ ( x>1) liªn tôc trªn [ 1 ; +∞)

−+ víi x>1

π

π =π ⇒ ®.p.c.m

VÝ dô 8: Cho 0 < α<

2

π Chøng minh r»ng: αsinα + cosα > 1

Gi¶i: XÐt hµm sè : f(x) = xsinx + cosx - 1 víi x ∈ 0,

VÝ dô 9: Chøng minh r»ng : sinx < x < tgx víi 0 < x <

sin6

CHƯƠNG 4

KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG

- Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, các em học sinh đã linh hoạt hơn trong việc dùng kiến thức về hàm số đơn điệu để để giải toán

- Tránh được việc biện luận theo tham số ở một số bài toán

- Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán

- Tránh phải áp dụng bất đẳng thức côsi ở một số bài toán

- Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót, thừa nghiệm và tránh việc giải phương trình bậc cao

KẾT LUẬN Qua đề tài này, tôi nhận thấy

1) ðõy là chủ ủề khú, giỏo viờn nờn cú bước chuẩn bị tốt về kiến thức, phương phỏp và tõm thế cho riờng mỡnh

2) Cỏc kiến thức lựa chọn ủể cung cấp cho học sinh cần ủược giỏo viờn cõn nhắc kĩ lưỡng, căn cứ vào nội dung chương trỡnh, chuẩn kiến thức - kĩ năng, căn cứ vào phạm vi cỏc ủề thi ðH - Cð và thi HSG, căn cứ vào ủối tượng học sinh Khụng nờn lựa chọn cỏc vấn ủề quỏ khú hoặc rất ớt gặp, gõy ra sự quỏ tải cho học sinh, cũng khụng nờn chỉ ủề cập tới cỏc vấn ủề ủơn giản ủể trỏnh sự nhàm chỏn và trỏnh thỏi ủộ chủ quan ở học sinh

3) Giỏo viờn nờn hướng dẫn và khớch lệ học sinh phương phỏp tự học, tự ủọc tài liệu tham khảo, tạo cho học sinh nhận thức rừ ủộng lực học tập của mỡnh, nõng cao sự tự giỏc, sự sỏng tạo trong học tập, cú như vậy việc học tập mới cú nhiều tiến

bộ Hiện nay, cỏc sỏch tham khảo về chủ ủề này rất nhiều, nếu giỏo viờn tạo ủược phong trào tự học, tự ủọc tài liệu tham khảo trong học sinh thỡ việc giảng dạy vừa

ủỡ vất vả hơn, lại vừa mang lại hiệu quả cao hơn

4) Ngay từ lớp 10, giỏo viờn nờn hỡnh thành cho học sinh phương phỏp ỏp dụng cỏc kiến thức về hàm số núi chung, về hàm số ủơn ủiệu núi riờng, ủể giải toỏn

Tụi chõn thành cảm ơn sự giỳp ủỡ của BGH, cỏc ủồng nghiệp và cỏc em học sinh trong suốt quỏ trỡnh tụi giảng dạy tại trường cũng như trong quỏ trỡnh hoàn thiện ủề tài này

Tỏc giả

NGUYỄN VĂN XÁ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12,

ban cơ bản, NXB Giáo dục, 2013

[2] đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12,

ban cơ bản, NXB Giáo dục, 2013

[3] Bộ Giáo dục và đào tạo, Tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến

thức, kĩ năng, NXB Giáo dục, 2013

[4] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), đổi mới phương pháp dạy học và

những vắ dụ minh họa, Toán 10, 11, 12, NXB Giáo dục, 2012

[5] Trần Thành Minh, Trần đức Huyên, Nguyễn Văn Minh, Giải toán

NHẬN XÉT, ðÁNH GIÁ CỦA HðKH