Gäi K lµ trung ®iÓm cña MN.[r]
Trang 1Dạng 1 : Dựng vectơ và tính độ dài của vectơ
A Phơng pháp
- Sử dụng quy tắc hình bình hành : Đa về tổng của hai vectơ chung gốc
- Để tính độ dài vectơ ta tính độ dài đoạn thẳng bằng cách đa về các cạnh của các tam giác vuông , đều và dùng các hệ thức lợng trong tam giác vuông
B Bài tập
Bài 1 : Cho tam giác vuông cân ABC đỉnh A , cạnh AB = AC = a Dựng và tính độ dài
các vectơ sau :
1/ d AB AC
2/ e AC BC 3/ f AB BC
Bài 2 : Cho tam giác đều ABC cạnh a Dựng và tính độ dài các vectơ sau :
1/ d AB AC
2/ e AB CB 3/ f AC BC
-Dạng 2 : Chứng minh hai vectơ bằng nhau
A Phơng pháp
Cách 1 : Dùng định nghĩa
Chứng minh a b ta chứng minh hai điều sau :
+ a ; b cùng hớng
+ a b
Cách 2 : Dùng tính chất hình bình hành
Tứ giác ABCD là hình bình hành
AB DC
và BC AD
Chú ý : Ta hay dùng cách 2 ( Để chúng minh hai véc tơ bằng nhau ta đa về chứng
minh tứ giác là hình bình hành )
B Bài tập
Bài 1 : Cho tam giác ABC Gọi M , N , E lần lợt là trung điểm của BC , CA , AB Hãy
chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau
Bài 2 : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M , N , P , Q lần lợt là trung điểm của AB , BC , CD ,
DA Chứng minh rằng : MN QP
và MQ NP
Bài 3 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi H là trực tâm của tam giác , gọi
A' là điểm đối xứng của A qua O Chứng minh rằng : CH A B'
và BH A C'
-Dạng 3 : Chứng minh một đẳng thức vectơ
A Phơng pháp
Để chứng minh một đẳng thức vectơ ta hay dùng các cách sau :
+ Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngợc lại
+ Biến đổi tơng đơng về một đẳng thức hiển nhiên đúng
Chú ý : Ta hay dùng quy tắc chèn điểm ( chèn điểm còn thiếu so với vế còn lại )
B Bài tập
Bài 1 : Cho 4 điểm A , B , C , D Chứng minh rằng : AB CD
= AD CB
Bài 2 : Cho 6 điểm A , B , C , D , E , F Chứng minh rằng :
1/ AB CD
= AC DB
2/ AD BE CF
= AE BF CD
3/ AB BC CD
= AE DE
Trang 2-Dạng 4 : Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức vectơ
A Phơng pháp
Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng
OM = a với điểm M và a cho trớc Khi
đó điểm M hoàn toàn xác định
aa
Chú ý
+ Với hai điểm A , B cho trớc thì : A và B cho trớc , AB BA;
cho trớc + Ta dùng quy tắc chèn điểm và chọn gốc là điểm A hoặc điểm B
B Bài tập
Cho tam giác ABC Hãy xác định vị trí của điểm M (có vẽ hình ) trong các trờng hợp sau :
1/ MA2MB0
3/ MA2MB CB
5/ MA MB 2MC 0
2/ 2MA 3MB 0
4/ MA MB MC 0
6/ MA2MB3MC 0
Dạng 5 : Chứng minh một đẳng thức vectơ không phụ thuộc
vào điểm M di động
A Phơng pháp : Biến đổi đẳng thức đã cho bằng một vectơ cho trớc
Chú ý
+ Với hai điểm A , B cho trớc thì : A và B cho trớc , AB BA; cho trớc
+ Ta dùng quy tắc chèn điểm và chọn gốc là điểm A hoặc điểm B
B Bài tập
Cho tam giác ABC và một điểm M di động Chứng minh rằng các biểu thức vectơ sau không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
1/ v = MA4MB 5MC
3/ v = MA MB 2MC
2/ v = MA2MB 3MC
Dạng 6 : Biểu diễn một vectơ
theo hai vectơ không cùng phơng
A Phơng pháp
Với hai vectơ a và b không cùng phơng Khi đó với vectơ x bất kỳ thì luôn tồn tại
duy nhất bộ số (m ; n ) sao cho : x = ma + nb
Để làm dạng toán này ta hay dùng các quy tắc sau :
+ Quy tắc trung điểm : Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì với điểm M bất kỳ ta luôn
có : MA MB 2MI
+ Quy tắc chèn điểm : AB AM MB
với mọi điểm M
B Bài tập
Bài 1 : Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của cạnh BC , G là trọng tâm tam giác
ABC , N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của MN Hãy biểu diễn các vectơ AM ; AG ; AK ; KM theo hai vectơ AB và AC
Bài 2 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G , H là điểm đối xứng của B qua G Hãy biểu
diễn các vectơ : AH
; CH và MH theo hai vectơ AB và AC
Bài 3 : Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 3MC Hãy biểu
diễn vectơ AM theo hai vectơ AB và AC
Dạng 7 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng
A Phơng pháp
M O
Trang 3Để chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB và AC cùng
phơng Tức là chỉ ra có số k sao cho AB = k AC.
Chú ý : Để chứng minh AB và AC cùng phơng ta thờng qua hai bớc sau :
+ Bớc 1 : Biểu diễn AB và AC theo hai vectơ u , v nào đó
+ Bớc 2 : Từ các đẳng thức ở bớc 1 ta suy ra mối quan hệ giữa AB và AC
B Bài tập
Bài 1 : Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm là điểm đối xứng của B qua C
1/ Tính AM theo hai vectơ AB và AC
2/ Gọi Q , R là hai điểm lần lợt trên cạnh AC và AB sao cho AQ =
1
2AC và
AR =
1
3AB Tính RM và RQ
theo theo hai vectơ AB và AC
3/ Chứng minh rằng 3 điểm M , Q , R thẳng hàng
Bài 2 : Cho tam giác ABC Lấy các điểm M , N , E trên các cạnh BC , CA , AB sao cho
: MB 2MC 0
; NB2NC 0
; EA EC 0
1/ Tính EM ; EN theo AB và AC
2/ Chứng minh rằng : M , N , E thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC Điểm I trên cạnh AC sao cho CA = 4CI , gọi J là điểm sao
cho :
BJ AC AB
1/ Tính BI theo AB và AC
2/ Chứng minh rằng : B , I , J thẳng hàng
3/ Hãy dựng điểm J
Phần hai : Toạ độ
A Lý thuyết
1/ Toạ độ của vectơ
a) Toạ độ của vectơ : Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của u ta viết nh sau : u(x ; y) hoặc
u=(x ; y) Khi đó u=(x ; y) u = x.i + y.j
Trong đó :
+ x : đọc là hoành độ của vectơ
+ y : đọc là tung độ của vectơ
b) Tính chất : Cho u(x1 ; y1) và v(x2 ; y2)
+ u v = (x1 x2 ; y1 y2)
+ ku = (kx1 ; ky1) với k là một số bất kì
+ Hai véctơ bằng nhau :
2/ Điểm
* Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của điểm M ta viết nh sau : M(x ; y) hoặc M = (x ; y)
u = v
1 2
1 2
x x
y y
Trang 4* Toạ độ của Vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút :
Cho điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB) Khi đó : (Toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu)
3/ Các công thức cơ bản trong hệ toạ độ Oxy
*/ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB :
(Trung bình cộng toạ độ hai đầu mút )
*/ Toạ độ trọng tâm G(x ; y) của tam giác ABC :
B Bài tập
Bài 1 : Cho các vectơ : a(1 ; -3) ; b(4 ; - 5) và c2i 5j
1/ Tìm toạ độ các vectơ sau : a + b ; 2b - 3c ; 3a + 5b - c
2/ Tìm m để d(m ; 2m - 1) và a cùng phơng
3/ Hãy biểu diễn vectơ e(5 ; - 2) qua a và b
Bài 2 : Cho ba điểm A(1 ; 1) ; B(- 1 ; - 3) ; C(4 ; 7)
1/ CMR ba điểm A , B , C thẳng hàng
2/ Tìm toạ độ điểm D sao cho B là trọng tâm tam giác ACD
Bài 3: Cho ba điểm A(2 ; 3) ; B(- 1 ; - 3) ; C(3 ; 4)
1/ CMR ba điểm A , B , C tạo thành ba đỉnh của một tam giác Tìm trọng tâm
2/ Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành
Bài 4 : Cho tam giác ABC Các điểm M(1;1) ; N(2;3) ; P(0;-4) lần lợt là trung điểm của
các cạnh BC , CA , AB Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 5 : Tìm m để ba điểm A(1;1) ; B(3;2) và C(m + 4 ; 2m + 1) thẳng hàng
AB (x - x ;y - y )
x =
x + x
2 ; y =
A B
y +y 2
x =
x + x + x
3 ; y =
y + y + y 3