T×m nguyªn hµm nãi chung vµ t×m nguyªn hµm tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tríc.. TÝnh tÝch ph©n.[r]
Trang 1Ngày 13 Tháng 3 Năm 2007
Bài soạn môn: giải tích - lớp 12
Tiết thứ : 85 , , 106 (22tiết) bài tập ôn cuối năm
I.mục đích yêu cầu :
Củng cố hệ thống hoá các kiến thức theo từng chủ đề để HS khắc sâu đợc các kiến thức cơ bản , các dạng bài tập thờng gặp trong từng chủ đề , rèn kĩ năng vận dụng linh hoạt lí thuyết vào thực hành , kĩ năng tính toán , lập luận lô gíc cho học sinh
II nội dung,tiến hành
Chủ đề i : đạo hàm và khảo sát hàm số
( Dự kiến 12 tiết : 85 , 86 , , 96 )
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1- Tập xác định , tập giá trị của hàm số Dấu nhị thức bậc nhất , dấu tam thức bậc hai Hàm số chẵn , hàm số lẻ , hàm số tuần hoàn Các qui tắc tính
đạo hàm Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản , đạo hàm các phía , đạo hàm trên khoảng , trên đoạn Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm
số ý nghĩa của đạo hàm cấp 1 (cơ học , vật lí , hình học) , Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 - Điểm tới hạn Điều kiện để hàm số ↑ , ↓ ; chiều biến thiên , các định
lí : Lagrăng , Fécma Qui tắc tìm cực đại và cực tiểu giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong 1 khoảng , trên 1 đoạn Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị , cách tìm các loại tiệm cận Tính đối xứng của đồ thị (tâm đối xứng và trục đối xứng)
3 - Qui tắc tính đạo hàm , bảng đạo hàm , đạo hàm bậc cao và vi phân , tính gần đúng nhờ vi phân
4 - Các dạng giới hạn cơ bản : Lim
x → 0
sinx
x ; Limx → 0 e
x
- 1
x ;
Lim
x → 0
ln(1 + x )
x ; Limx → ∞¿
5 -Qui tắc 4 bớc tìm cực trị của hàm số
6 - Qui tắc tìm max , min của hàm số trên đoạn [a ; b]
7 - Các công thức xác định các hệ số a , b của tiệm cận xiên y = ax + b của đồ thị y = f(x)
8 - Sơ đồ khảo sát hàm số ?
Các dạng toán cần luyện tập
1 - Các ứng dụng của đạo hàm : xét chiều biến thiên , tìm cực trị , tìm max , min Xét nghiệm của pt , bpt Lập pt tt tại điểm , qua điểm , tt biết hệ số góc , điều kiện tiếp xúc của 2 đờng cong - Không xét loại tt // 0y Các bài toán về tiếp xúc và cắt nhau của 2 đồ thị
2 - Khảo sát 4 loại hàm số cơ bản - không suy biến
3 - Các ứng dụng củađồ thị hàm số , miền mặt phẳng để giải bài toán biện luận nghiệm của pt , bpt , tìm giá trị max , min của hàm số hoặc biểu thức 2
ẩn Xét tính ↑ , ↓ tìm cực trị của hàm số thờng gặp cho ở dạng tham số
4 - Tìm giao điểm của 2 đờng
Bài tập vận dụng
Bài 1/ Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = - 3
2) Dựa vào đồ thị đã vẽ ở câu 1 , biện luận theo m số nghiệm của pt :
x3 + 3x2 -3x + m = 0 (*) và tìm điều kiện của m để pt (*) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm [ 0 ; 2 ]
3) Tìm tất cả các giá trị m để (Cm) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ nhỏ hơn 1
Trang 2H ớng dẫn và đáp số :
1) CĐ , CT : M1,2(−1 ±√2 ; 6 ∓ 4 √2)
2) ; - 5 - 4√2 < m < 0
3) - 5 < m <-15
4
Baì 2 / Cho hàm số y = x2 - x - 1
x + 1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2) Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của pt :
x2 - x - 1 = m.x + 1
3) viết pt tt với đồ thị hàm số biết tt đi qua điểm A ( 1/2 ; - 1)
H ớng dẫn và đáp số :
1) y = x - 2 + 1
x + 1 ; CĐ (-2;- 5) , CT (0 ;- 1)
2) * m < 0 → vô nghiệm
* m = 0 ; 1 < m < 1 → 2 nghiệm
* m = 1 ; m = 5 → 3 nghiệm
* 0 < m < 1 ; m > 5 → 4 nghiệm
3) (d) : y = - 1 ; (d') : 8x - 9y -13 = 0
Bài 3 / Cho hàm số : y = - x3/3 + (a-1)x2 + (a+3)x - 4
a) Khảo sát sự bt và vẽ đồ thị hàm số khi a = 0
b) Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số ↑ trong ( 0;1)
H ớng dẫn và đáp số :
a
¿ CT (1; -7
3) ; CĐ(3; - 1)¿b¿→ a ≥
x2
+ 2x 2x +1 ∀ x ∈(0;1) ĐS : a ≥ 1.¿
Bài 4 / Cho hàm số y = x4 - 6mx2 + m2
a) Khảo sát sự bt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tuỳ theo m tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên [ - 2 ; 1 ]
H ớng dẫn và đáp số :
a¿ CĐ ( 0 ; 1) ; CT (±√3 ; -8 ).
b
¿ Hàm số trung gian có Đồ thị lõm lên → max tại 1 trong 2 mút ¿Max f ( x)
[-2 ; 1]
=Max g (t)
[ 0 ; 4]
= Max {m2 ; 16 - 24m + m 2}→ kết quả ¿
Bài 5 / Cho hàm số y = x
2
x - 1 a) Khảo sát sự bt và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết pt Parabol đi qua 2 điểm c/trị của hs và t/xúc với đ/t y = - 4
c) Tìm 2 điểm 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách
giữa chúng là số nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu ?
H ớng dẫn và đáp số :
a) CĐ ( 0 ; 0) ; CT ( 2 ; 4)
b) PT (P) : y = - x 2 + 3x
c) 2 điểm cần tìm
M1,2( 1 ±41
√2 ; 2 ±
1
4
√2±
4
√2) dmin= 8 √2 - 8
Bài 6 / Cho hàm số : y = x
2
+ 3x - 2 4x - 3 a) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số Chứng minh rằng tích các
khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị tới 2 tiệm cậ là 1 số không đổi
không phụ thuộc vào điểm M
b) Tìm trên đồ thị tất cả các điểm có toạ đô nguyên
H ớng dẫn và đáp số :
Trang 3¿ 2 tiệm cận : y =x
4+
15
16 ; x =
3
4 Tích k/c =
43
16√17¿b¿ 16y = 4x + 15 +
17 4x - 3 → Điểm nguyên duy nhất A (1 ; 2) ¿
Bài 7 / Cho hàm số :
y =
√1 - 2x - 1
x nếu 0 < x ≤
1
2
ax + b nếu x ≤ 0
¿ { Tìm a , b để hàm số có đạo hàm trên ( - ∞ ; 1
2 ] Tìm đạo hàm đó
H ớng dẫn và đáp số :
* ĐK cần : hs liên tục → b = - 1
* ĐK đủ : lấy đạo hàm 2 phía → a = - 1
2
Đạo hàm :
y' =
√1 - 2x+ x - 1
x2
√1 −2x nếu 0 < x ≤
1
2
- 1
2 nếu x ≤ 0
¿ {
Bài 8 / Tìm đạo hàm cấp n của hàm số : y = x - 5
x2 - x - 2 + 2 sinx cos2x
H ớng dẫn và đáp số :
* y = 2
x + 1 -
1
x - 2 + sin3x - sinx
* y (n)
= ¿
¿
Bài 9 / Cho hàm số y = 2sinx + cosx - 3
sinx + cosx - 2 Tìm tập giá trị của hàm số a) Trên miền xác định
b) Trên miền x [/3 ; ]
H ớng dẫn và đáp số :
a) Đa về điều kiện có nghiệm của pt b1 với sin và cos → 1 y 2
b) * Xét x = → y = 4/3
* x [ /3 ; ) → đặt tg(x/2) = t → y = f(t).
f(t)= 4t
2
- 4t + 2 3t2 - 2t + 1 với t ∈¿
f ' (t)= 4t( t - 1)
¿ ¿
¿
Cả 2 trờng hợp → miền giá trị 1 ≤ y ≤4
3
Bài 10 / Không dùng bảng số và máy tính hãy tính gần đúng sin310 với 4 chữ
số đúng sau dấu phẩy
H ớng dẫn và đáp số :
sin31 0
= sin(π
6+
π
180) ≈ sin
π
6+( cos
π
6).
π
180 =
1
2+√
3
2 .
π
180
do 3,141 1,732
360 = 0,0151 .<
√3
2 .
π
180 <
3,142 1,733
360 = 0,0151 . nên có kết quả : sin310≈ 0,5151
Trang 4Bài 11 / Cho hàm số y = x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m2 - 3m)x + 2m3 - 3m2 + 1 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị Viết phơng trình đ-ờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó
H ớng dẫn và đáp số :
* y' phải có > 0 ⇔ m 2 - m - 1 < 0 → kết quả
* ĐT qua 2 điểm cực trị : (d) y = ( 2m 2 + 2m - 2)x + 1 - m
Bài 12 / Cho hàm số y = 2x
2
- (m + 2)x + m+ 4m +2
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị Viết phơng trình đ-ờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó
H ớng dẫn và đáp số :
* y = 2x - m + m
2
+ 3m + 2
x - 1 ; y' Phải có > 0 ⇔ - 2 < m < - 1
* ĐT qua 2 điểm cực trị : (d) y = 4x - m - 2 /.
Bài 13 / Cho đờng cong (c) có phơng trình : y = 2x
2
- 3x + 4
x - 2 a) Cmr (c) có tâm đối xứng
b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng với nhau qua điểm A( 3 ; 5) c) Viết phong trình các đờng cong (c1) ; (c2) ; (c3) lần lợt đối xứng với (c) * qua A( 3 ; 5 )
* qua đờng thẳng y = 2
* qua đờng thẳng x = 1
H ớng dẫn và đáp số :
a ) Tâm đối xứng I( 2 ; 5)
b) 2 điểm M( 5 ; 13 ) ; N ( 1 ; - 3 )
c) (c1 ) : y = 2x
2
- 11x + 18
(c2 ) : y = 2x
2
- 7x + 4
2 - x
(c3 ) : y = - 2x
2
- 5x + 6
Bài 14 / Tìm các tiệm cận của đờng cong :
y = x2+ x - 1 + x√x2 - 2x - 8
x - 1
H ớng dẫn và đáp số :
* Khi x → + ∞ có tiệm cận xiên ; y = 2x + 2
* Khi x → - ∞ có tiệm cận ngang y = 2
* Không có tiệm cận đứng
Bài 15 / Chứng minh rằng ∀ a , b , c , d phơng trình sau luôn có nghiệm : a.cosx + b.cos2x + c.cos3x + d.cos4x + sinx = 0
H ớng dẫn và đáp số :
Cách 1 : Dùng định lý Rol :
f(x)= a sinx + b
2 sin2x +
c
3 sin3x +
d
4 sin4x - cosx .
có f(0) = f(2) = -1 → kết quả
Cách 2 : Dùng tính chất hàm số liên tục :
Đặt f(x) = a.cosx + b.cos2x + c.cos3x + d.cos4x + sinx
có f(0) + f( /2 ) + f() + f(3 /2 ) + 2.f( /4 ) + 2 f(5 /4 ) = 0 →
∃ 2 số trái dấu → pt có nghiệm
Bài 16 / Chứng minh rằng nếu a , b , c , d là các số phân biệt tuỳ ý thì phơng
trình sau luôn có 3 nghiệm phân biệt :
Trang 51
x - a +
1
x - b +
1
x - c +
1
x - d = 0
H ớng dẫn và đáp số :
Giả sử a < b < c < d Xét hàm số F(x) = (x-a) (x-b) (x-c) (x-d)
F(a) = F(b) = F(c) = F(d) = 0 LaGơRăng → pt F '(x) = 0 có nghiệm
Bài 17 / Tìm giá trị Max , min của các hàm số sau trên miền tơng ứng
a) y = x.ex - 1 trên [ - 2 ; 2 ]
b) y = sin4x - cos4x + sinx.cosx trên [/4 ; /3]
c) y = x3 + x2 - 2x + x - 1 trên miền [- 1 ; 3 ]
d) y = ❑
√ 1 + sinx +√ 1 + cosx trên R e) y = 1 + 2sinx + 1 + 2cosx trên R
H ớng dẫn và đáp số :
a) y ' = ( x + 1).e x - 1 → tập điểm tới hạn
→ max = 2
e ; min = -
1
e2
b) Cách 1: Đặt tgx = t → y = f(t) = 1 + t - 2
t2+ 1
f '(t) = - t2+ 4t + 1
¿ ¿ > 0 ∀ t [ 1 ; √3]
→ min = f(1) = 1
2 ; max = f(√3)
2 +√3
4
Cách 2 : → dạng y = √5
2 sin(2x - )
→ y ' = > 0 → kết quả
c) min = - 1 ; max = 32
d) y 2 = f(t) = =2 + t + √2. t + 1 fá gttđ
→ min = f(- 1) =1 ; max = f (√2.) = 4 + 2√2.
chú ý :có thể dùng bunhiacốp xki và cô si để → kết quả e) y 2 = f(t) = 6 + 4t + 2.2t 2 + 2t - 1
với t = sinx + cosx [-√2;√2]
Tập điểm tới hạn { ±√2; 0 ; - 1 ±√3
2 }
* y min = √3 −1 đạt đợc ⇔ t = - 1 −√3
2 ⇔ x = ?
* y max = 2(√2 + 1) đạt đợc ⇔ t = √2⇔ x = ?
Bài 18 / Tìm m để bpt sau thoả mãn ∀ x [-2 ; 3]
x3 + 2x + x2 - m 3
H ớng dẫn và đáp số :
HD : bpt ⇔x 2 - m 3 - x 3 - 2x
* Nếu VP < 0 thì (1) đúng
→ chỉ cần xét trên miền có VP 0
* đa về dạng ¿¿
* ĐS : m 19 ; m - 11
Bài 19 / Tìm các điểm uốn của đờng cong sau và chứng minh các điểm uốn
đó thẳng hàng :
y = x2- 5 x +6
x2 -4x + 5
H ớng dẫn và đáp số :
* y ' =
Trang 6*y " =
* 3 Điểm uốn là A( 3 ; 0) ; B(-√3 ; 3 +√3
4 ) ; C(√3 ;
3 −√3
4 )
* Xét 2 véc tơ ⃗ ab ; ⃗ ac→ cùng phơng → 3 điểm thẳng hàng
Bài 20 / Tìm max , min của biểu thức S = x2 + y2 biết chúng thoả mãn hệ
3x - 2y + 6 ≤ 0
x - 2y + 6 ≥ 0
x + 2y + 2 ≥ 0
¿ { {
¿
¿
H ớng dẫn và đáp số :
Hd : Xét miền phẳng → miền trong của tam giác ABC
với A( - 4 ; 1) ; B( 0 ; 3) ; C( - 2 ; 0)
→ min = OH ( Đờng cao của OBC hạ từ O) = 6 √13
13
max = OA = √17
Bài 21 / Cho các số x , y , z , t thay đổi nhng luôn thoả mãn thoả mãn :
x2 + y2 4 và ( z - 3)2 + ( t + 4)2 1
Tìm max , min của biểu thức S = (x - z)2 + ( y - t)2
H ớng dẫn và đáp số :
HD : → khoảng cách giữa 2 hình tròn
hình tròn tâm O(0;0) bán kính R 1 = 2
và hình tròn tâm I ( 3 ; - 4) bán kính R 2 = 1
khoảng cách giữa 2 tâm là OI = 5
→ Max = 5 - ( 2 + 1) = 2 ; min = 5 + ( 2 + 1) = 8
Bài 22 / Trong các nghiệm (x ; y) thoả mãn bpt : log x2
+ y 2
.
( x + y) ≥ 1 Tìm nghiệm có
a) Giá trị y lớn nhất
b) Biểu thức S = x + 2y lớn nhất
H ớng dẫn và đáp số :
HD : Dùng miền trên mf
a) ⇔ Điểm có tung độ " cao nhất " ⇔ M( 1
2 ;
1+√2
2 )
b) ⇔ đờng thẳng (d) : x + 2y - S = 0 tiếp xúc với đờng tròn → S max = 3 +√10
2 đạt đợc ⇔ N(5 +√10
2 ;
5 + 2√10
Bài 23 / Tìm m để hàm số sau ↑ trên (1 ; +∞ ) :
y = x
2 - 2mx + m + 2
H ớng dẫn và đáp số :
HD : y ' = x
2
- 2mx + 2m2 - m - 2
¿ ¿ và xác định ∀ x > 1 → x = m (1 ; + ∞ ) và
ttb2 ở tử số có ' 0 hoặc có 2 nghiệm thoả mãn x 1 < x 2 1 → kết quả m (- ∞ ; 1] [ 3 −√17
4 ; 1 )
Bài 24 / Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt có hoàmh độ lập thành cấp số cộng
y = x4 - 2( m + 1)x2 + 2m + 1
H ớng dẫn và đáp số :
Trang 7HD : Pt trung gian phải có 2 nghiệm dơng thoả mãn t 1 = 9t 2 → đk cần là có 1 nghiệm t 2 = m+1
5
thay vào pt → 9m 2 - 32m - 16 = 0 → m = 4 ; m = − 4
9
Thử lại → cả 2 trờng hợp đều thoả mãn
→ ĐS : m = 4 ; m = − 4
9
Bài 25 / Tìm điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số
y = √3sinx + cosx + 2x + 3
2
H ớng dẫn và đáp số :
ĐS : ( dấu hiệu 2) họ cực đại ( π
2 + 2k ;
3 + 2√3
2 +
(4k + 1) π
2 )
Họ cực tiểu ( 7 π
6 + 2k ;
3 − 2√3
2 +
(12k +7) π
6 )
Bài 26 / Tìm các giới hạn sau :
a) Lim
x →6
√ x - 2 - 2
x - 6 b) x → 0 Lim
3
√ x + 1 - 1
√ x + 4 - 2 c) Lim
x →± ∞
(√ x2+ 3x + 1 - x ) d) Limx → 0 xcosx + x
2sinx cos 2 x
2 e) Lim
x → 0
x 2
sin3x - sinx f) Limx → ∞( x x + 1 )x
g) Lim
x → 0 ( 1 + sinx )
1
x
h) Lim
x → 0 ( xsin1
x )
H ớng dẫn và đáp số :
a) 1/4 b) 4/3
c) khi x → - ∞ gh = + ∞ ; khi x → + ∞ gh = 3/2 d) 1 e) 0 f) 1/e
g) e h) 0 .
Bài 27 / Xét tính liên tục và khả vi của hàm số sau
x cos1
x nếu x ≠ 0
0 nếu x = 0
¿ f (x)={
¿
¿
H ớng dẫn và đáp số :
HD : Dùng bđt - x x cos1
x x gới hạn kẹp
- → liên tục trên R
- Khả vi trên R* vì luôn có f '(x) = .
- Tại x = 0 có Lim
Δxx → 0
Δxy Δxx = =LimΔxx → 0 (cos 1
Δxx) không tồn
tại ( vì ? ) → không khả vi
Bài 28 / Cho hàm số :
Trang 8
√ 1 - x - 1
x nếu x < 0
ax + b nếu x ≥ 0
¿ f(x )={
¿
¿
a) Tìm a , b để hàm số liên tục tại x = 0
b) Tìm a , b để hàm số có đạo hàm tại x = 0
H ớng dẫn và đáp số :
ĐS : a ) b = -1/2 ; a tuỳ ý
b) a = b = - 1/2
Bài 29 / Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x - ln( 1 + x)
H ớng dẫn và đáp số :
ĐS : f '(x) = x
1 +|x| ∀ x R
Bài 30 / CMR ∀ x ( 0 ; π
4 ) thì ta luôn có :
cosx
sin2x (cosx - sinx ) > 8
H ớng dẫn và đáp số :
HD : Đặt tgx = t → cm f(t) = 8t 3 - 7t 2 + 1 > 0 ∀ t ( 0 ; 1)
Dùng đạo hàm → f(t) có min = f(7/12) > 0 → đfcm
Bài 31 / CM các bất đẳng thức sau :
a) x - 1
x lnx x - 1 với mọi x > 0 b) Nếu có 0 < π
2 và n là số nguyên dơng bất kì thì ta luôn có : sinn α - sin n β ≥sin
n + 1
α - sinn + 1β
H ớng dẫn và đáp số :
HD :a) Dùng đạo hàm
b) Xét hàm số f(t) = 2t n - t n + 1 trong ( 0 ; 1]
dùng đạo hàm → f(t) ↑ có sin sin → kết quả
Bài 32 / Cho hàm số y = x
2
+ 3x + 1
x 2 - x + 1 (1) a) Lập bảng biến thiên của hàm số (1) , từ đó biện luận theo m số giao
điểm của đồ thị hàm số (1) và đờng thẳng (d) có pt : y = m
b) Gọi A và B là 2 giao điểm của 2 đồ thị nói trên và M là trung điểm của AB Tìm quĩ tích của M khi m thay đổi
H ớng dẫn và đáp số :
a) Khi x → ± ∞ thì y → 1 ; CĐ( 1 ;5 ) ; CT( -1 ; -1/3 )
* m (- ∞ ; - 1/3) {1} ( 5 ; + ∞ ) → vô nghiệm
* m = - 1/3 ; 1 ; 5 → nghiệm duy nhất
* m ( - 1/3 ; 5 )\{1} → 2 nghiệm phân biệt
b) Toạ độ giao điểm
M
x = m + 3
m - 1
y = m
¿ {
( - 1/3 < m < 5 và m ≠ 1 ) → y =x + 3
x - 1
Trang 9Với điều kiện - 1/3 < y < 5 ; y 1 ( hoặc chuyển đk cho x là x> 2)
Bài 33 / Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x +4
x và M là các điểm trên mặt phẳng
toạ độ sao cho từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau Chứng minh rằng M thay đổi trên 1 đờng tròn
H ớng dẫn và đáp số :
Giả sử M(a ; b) → các tt qua M có pt dạng y = k(x- a) + b (d)
ĐT (d) tx với (C) → hệ sau thoả mãn :
x +4
x= k (x - a)+ b (1)
1 - 4
x2 = k (2)
¿ {
¿
¿
thế (2) vào (1) và đặt 2/x = t → pt at 2 - 4t + b - a = 0 (*)
Vì có 2 tt qua M → có 2 giá trị k 1 ; k 2 từ hệ sao cho tích = - 1
→ pt (*) phải có 2 nghiệm thoả mãn (1 - t 1 ).(1 - t 2 ) = - 1
dùng Vi ét → a 2 + b 2 = 16
→ M đừơng tròn tâm O(0 ; 0) bán kính R = 4
chủ đề ii : nguyên hàm - tích phân và ứng dụng
( Dự kiến 6 tiết : 96 , 97 , 98 , 99 , 100 , 101 )
A Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1 Định nghĩa , tính chất và bảng các nguyên hàm
2 Định nghĩa tích phân và công thức Niu Tơn - Laibơnít
3 Các tính chát của tích phân
4 Hai phơng pháp cơ bản tính tích phân : Đổi biến số và từng phần
5 Diện tích S của hình thang Thể tích các vật thể tròn xoay
B Các dạng toán cần luyện tập :
1 Tìm nguyên hàm nói chung và tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trớc
2 Tính tích phân Các ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng (giới hạn bởi các đồ thị đã học) ; Tính thể tích vật thể tròn xoay theo công thức cơ bản
C Một số bài tập vận dụng
1/ Tìm các nguyên hàm sau :
a / ∫e3x x2dx (ĐS = e3x(x2
3 -
2x
9 +
2
9)+ C ) b/ ∫x3 ln4x dx (ĐS = x 4
( ln4x
4 -
1
16) + C ) c/ ∫e xsin2x dx (ĐS = ex(2sin2x - cos2x)/5 + C )
Tổng quát ∫eax sinbx dx (ĐS = eax
a2+ b2(b sinbx - a cosbx ) + C ) ∫eaxcosbx dx (ĐS = e
ax
a2
+ b 2 (a sinbx + b cosbx ) + C )
d¿∫ (x
3 - x)dx
x6+4x4+ 4x2+ 1
Cách 1 : chia cả tử số và mẫu số cho x2 và đặt x + 1/x = t →
I = ∫dtt (t2 +1) =∫( 1
t -
t
t2 +1)dt → kết quả - Phải chú ý khi x = 0 Cách 2 : Đặt x2 = t → I = 1
2∫ (t+ 12 -
2t+ 3
t2+ 3t + 1) dt
Trang 10= ln(x2 + 1) - ln(x4 + 3x2 + 1) + C
c¿ ∫¿ ¿1 ¿
HD : Đặt t =1+x
1-x thì ta có I =∫lnt dt =1+x
1-x ln
1+x
1-x -
1+ x
1-x + C
2/ Tính các tích phân sau
a¿∫
0
1
dx
¿ ¿¿ HD : Đặt x = tg t → kết quả : 3 π +8
32
b/ ∫
0
π
2
2sinx + 3cosx
2cosx + 3sinx dx
HD : I = ∫
0
π
2
(139 +
7
13.
3cosx - 2 sinx 2cosx + 3sinx ) dx = ln3
2+
❑
26
c / ∫
0
1
√3 - 2x -x 2 dx HD : Đặt x = 2 sint - 1 → ĐS : I = 2 π
3
d/ ∫
0
π
2
sin2x
1 + sin 4 x dx
HD : Đặt sin2x = t = tg2u → ĐS : /4
e/ ∫
0
π
| cosx | √sinx dx HD : Tách cận + đặt sinx = t → ĐS : 4/3
3) Dạng BT cho (p) : y = ax2 + bx + c và 2 điểm M, N (p) sao cho MN=
m (const) Xác định vị trí M, N sao cho diện tích chắn giữa MN và (p) đạt max
- Giải với bài tập cụ thể
y=x2 - 2x + 3 ; MN=2 ⇒ M( 0, 2) , N( 2, 2) - Khi đó MN // 0x
4) Chứng minh bđt sau : ∫
1
√ 3
e- x sin x
x2
+ 1 dx <
π
12e
HD : trên txđ thì 0 < sinx 1 ; 0 < e-x 1/e
→ ∫
1
√ 3
e- x sin x
x2+ 1 dx ≤ ∫
1
√ 3
1
e(x2+ 1) dx =
π
12e → đpcm 5) a/ Tìm S hình phẳng giới hạn bởi x2
a2+
y2
b2= 1 ( ĐS : ab )
b/ V vật thể giới hạn bởi x
2
a2 + y2
b2 +z2
c2 = 1 ( ĐS : 4
3 abc ) 6) Cho (p) : y= x2 và (d) : y = -2x- 3
a/ Chứng minh rằng (d) không cắt (p) và tìm trên (p) điểm M sao cho khoảng cách từ M tới (d) là số bé nhất
b/ Gọi A ; B là 2 điểm thay đổi trên (p) sao cho AB //
Tính S
SΔ MAB ( S diện tích giới hạn bởi P và (d) )
HD : a/ Tiếp tuyến tại M phải // (d) → M(-1 ; 1 ) - có thể tìm min trực tiếp theo tọa độ M (m ; -2m - 3)
b/ giả sử pt đt AB là y = -2x + m
→ tọa độ A ; B thỏa mãn pt x 2 + 2x - m = 0
Tính trực tiếp → S = (x B - x A )(2m + 2) ; S = (x B - x A )(m +1) /3 ĐS : 4/3
7) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x2 = 2ay ; y=8a3
x2+ 4a2 (a>0)