[r]
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn
Kỳ thi chọn đội tuyển
dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
đề bài Bài 1 ( 4 điểm): Cho biểu thức:
A = (x√x − 4 x √x −
6
3√x −6+
1
√x +2):(√x −2+ 10 − x
√x +2)
a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b, Rút gọn A
c, Tìm x để A < 2
Bài 2 (3 điểm): Giải phơng trình sau:
√( x −2008 )2+√(2009 − x )2+√(x −2010 )2=2.
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với a > 0 ta có:
a
a2 +1+
7(a2
+ 1)
15 2
Bài 4 (3 điểm): Cho hai số dơng x và y thoả mãn x + y = 2 Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức M = x2y2(x2 + y2)
Bài 5 (4.5điểm): Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M di động trên đờng tròn
đó ( M khác A, B) Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với
đờng kính AB tại N Đờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là D và C
a, Chứng minh CD // AB
b, Chứng minh MN là phân giác của góc AMB
c, Gọi giao điểm thứ hai của MN với đờng tròn (O) là K Chứng minh tích
KM.KN không đổi
Bài 6 (2.5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm I bất kỳ
a, Hãy nêu cách xác định điểm M trên đờng thẳng AB, điểm N trên đờng thẳng
AC sao cho I là trung điểm của MN
b, Cho biết IA = 6 cm; BC = 10 cm, hãy tính chu vi tam giác AMN
hớng dẫn chấm
Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh
năm học 2009 – 2010 Môn thi: Toán
1
A = (x√x − 4 x √x −
6
3√x −6+
1
√x +2):(√x −2+ 10 − x
√x +2)
= [√x(√x − 2 x)(√x +2)− 6
3(√x − 2)+
1
√x+2]:x − 4+10 − x
0.5
Trang 2= √x − 2(√x +2)+√x − 2
(√x − 2)(√x +2) : 6
√x +2
(√x −2) (√x+2) √x +2
1
2−√x
0.5
c
Ta có A < 2 ⇔ 1
2−√x<2 và x 0; x 4
2−√x − 2<0 ⇔ 2√x −3
+ Trờng hợp 1:
¿
2√x −3>0
2−√x <0
⇔
¿x >9
4
x >4
⇔ x>4
¿ {
¿
0.5
+ Trờng hợp 2:
¿
2√x −3<0
2−√x >0
⇔
¿x <9
4
x <4
⇔ x < 9
4
¿ {
¿
0.5
Kết hợp với điều kiện ta có x > 4 hoặc 0 ≤ x < 9
4 thì A < 2.
0.5
2
3đ Ta có: |a| + |b|≥|a+b|
Thật vậy: |a| + |b|≥|a+b| ⇔(|a| + |b|)2≥(|a+b|)2
⇔ a2
+ 2 | ab | +b2≥ a2+2 ab+b2 ⇔| ab |≥ ab luôn đúng, dấu “=” xảy ra
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
|x − 2008| + |x −2009| + |2010− x| =2
áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh trên ta đợc:
|x − 2008| + |2010 − x|≥|x − 2008+2010 − x| =2 (1) Dấu “=” xảy ra khi (x – 2008)(2010-x) 0
⇔2008 ≤ x ≤ 2010
Luôn có: |x − 2009|≥0 (2)
Dấu bằng xảy ra khi x = 2009
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc:
|x − 2008| + |x −2009| + |2010− x|≥ 2
Dấu bằng xảy ra khi x = 2009
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2009
1
1 0.5
Trang 3a2 +1+
7(a2
+ 1)
15 2
Biến đổi vế trái ta đợc:
a
a2 +1+
7(a2 +1)
a
a2 +1+
14(a2 +1)
a
a2 +1
a2+1
13(a2 +1)
4 a
0.5
áp dụng BĐT Côsi ta có:
a
a2 +1+
a2
+ 1
a2 +1.
a2 +1
Và a2 + 1 2a ⇒13(a
2
+ 1)
13 2 a
13
2 ( a > 0)
1
1
Vậy a
a2 +1+
7(a2 +1)
13
15
4
3đ Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta đợc:
xy (x + y )
2
4 =1 ( vì x + y = 2)
Suy ra M xy (x2+y2)⇔2 M ≤ 2 xy (x2+y2)
0.75 0.5
áp dụng BĐT Côsi ta lại có: 2 xy(x2+y2)≤(2 xy +x
2
+y2)
( vì x + y = 2)
Suy ra M ≤ 2
Vậy giá trị lớn nhất của M là 2 khi x = y = 1
0.75 0.5 0.5 5
4.5đ a Ta có AMB = 90Hay DMC = 9000 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
DC là đờng kính của (E)
Do (E) và (O) tiếp xúc nhau tại M
nên ba điểm O, E, M thẳng hàng
Xét hai tam giác cân OMA và EMD
có chung góc M nên suy ra
OAM = EDM suy ra DC // AB
( có cặp góc đồng vị bằng nhau)
0.5 0.5
0.5
b Theo chứng minh câu (a) ta có DC // AB nên hai cung DN và CN
bằng nhau suy ra DMN = CMN
suy ra MN là phân giác của AMB
0.5 0.5 0.5
c Ta có MN hay MK là phân giác của AMB ( Theo câu b )
suy ra hai cung AK và BK bằng nhau
suy ra OK AB
Kẻ đờng kính KH ta có KMH = 900
Xét hai tam giác KON và KMH có góc K chung, KON = KMH =900
suy ra hai tam giác KON và KMH đồng dạng
⇒KO
KN
KH ⇒KM KN=KO KH=2 R2
không đổi (với R là bán kính của đờng tròn tâm O)
0.5
0.5 0.5
6
2.5đ a Giả sử xác định đợc M, N thoả mãn yêu cầu bài toán, khi đó tam giác AMN
vuông tại A có IM = IN nên
AI là trung tuyến ứng với cạnh
H
K O
M
N
D
C E
A M
Trang 4I cố định, AI không đổi
nên M, N nằm trên
đờng tròn (I, IA)
Cách xác định điểm M và N:
- Vẽ đờng tròn (I, IA)
- Giao điểm của (I, IA) và AB là điểm M
- Giao điểm của (I, IA) và AC là điểm N 0.5
b Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC tại H (giải sử AM <
AN )
Ta có MHB = ACB (đồng vị) mà ACB = ABC (gt)
MHB = ABC ⇒ Δ MBH cân tại M MB = MH (1)
Δ MIH = Δ NIC (g-c-g) CN = MH (2)
Từ (1) và (2) suy ra CN = BM
áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông tại A ta đợc:
AB2 + AC2 = BC2 2AB2 = BC2 = 102 = 100
AB = 10√2
MN = 2AI = 12
Chu vi tam giác AMN là: AM + AN + MN
= AM + MB + AC + 2AI
= 2AB + 2AI = 12 + 10 √2 (cm)
0.5
0.5
0.5
M
N I
H