Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC. b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M và N.. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đ[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
Đề chính thức
Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/11/2012
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu 1: (4,0 điểm)
1 Cho biểu thức: P=15√x − 11
x +2√x − 3+
3√x − 2
1 −√x −
2√x +3
√x +3 .
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm m để có x thỏa mãn P(√x +3) =m.
2 Cho hàm số: f ( x )=(x3+6 x −7)2012 Tìm f ( a) với a=3
√3+√17+√33−√17
Câu 2: (4,0 điểm)
1 Giải phương trình: x2
+5 x +9=( x+5)√x2
+ 9
2 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: 2 xy 2
+x+ y+1=x2
+2 y2
+ xy
Câu 3: (4,0 điểm)
1 Tìm các số thực x sao cho x +√2012 và 13x −√2012 đều là số nguyên
2 Cho ba số thực x , y , zthoả mãn xyz=1 Chứng minh rằng:
Nếu x + y +z>1
x+
1
y+
1
z thì trong ba số x , y , z có duy nhất một số lớn hơn 1
Câu 4: (6,0 điểm)
1 Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.
a) Giả sử BPC = 1350 Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2
b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M và
N Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN Chứng minh rằng khi
P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D
2 Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh
AC Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1
Chứng minh rằng SABC
1
√3 (SABC là diện tích tam giác ABC)
Câu 5: (2,0 điểm)
Với x, y là những số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=√ x3
x3
+8 y3 +√ 4 y3
y3
+( x + y )3
- Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Năm học 2012 - 2013
Trang 2Hướng dẫn chấm
Đề chính thức
Môn thi: Toán 9 Lớp: 9 THCS
Ngày thi: 28/11/2012 (Đáp án có 04 trang, gồm 05 câu)
1
(4,0đ)
1 a) ĐKXĐ: x 0; x 1
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
3 2 1
2 3 3 1
11 15
x
x x
x x
x x
=
1 3
1 3
2 3 2
3 11 15
x x
x x
x x
x
2 7 5 3
1
3 2
6 7 3 11 15
x x
x x x
x
x x x
x x
=
5 2 3 1
5 2 1
x
x x
x
x x
b) Với x 0; x 1 ta có P= 2 −5√x
√x +3
P(√x +3) =m 2 5 x m 5√x=2− m √x= 2− m
5 m ≤2 Lại có: x 1 2− m5 ≠1 m≠ − 3
Vậy m ≤2 ;m≠ −3
0,5
0,75 0,75 0,5
0,25 0,25
2 Ta có: a=√3 3+√17+√33−√17 a3=6 −6(√33+√17+√33 −√17)
a3+6 a −6=0
Từ đó: f ( a)=(a3+6 a −7)2012=(a3+6 a − 6 −1)2012=1
0,5 0,5
2
(4,0đ)
1 Đặt √x2
+9= y (với y ≥3) Khi đó, ta có: y2+5 x=( x+5) y
⇔ ( y −5 )( y − x )=0 ⇔
¿
¿
¿
Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x=± 4
0,5 1,25 0,75
2 Ta có: 2 xy2+x+ y+1=x2+2 y2+ xy
⇔2 y2 (x −1) − x (x −1) − y ( x − 1)+1=0 (1)
Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1) Chia cả 2 vế của phương
trình cho x – 1, ta được:
2 y2− x − y + 1
x − 1=0 (2)
PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra x −11 nguyên nên x – 1 thuộc {−1 ;1}
x – 1 = -1 x = 0
0,25 0,25
0,25
Trang 3 x – 1 = 1 x = 2
Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2 y2− y −1=0⇔ y =1; y=−1
2
Thay x = 2 vào PT(2) ta được: 2 y2− y −1=0 ⇔ y=1; y=−1
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên ( x , y ) ∈{(0,1); (2,1)}
0,25 0,25 0,25
3
(4,0đ)
1 ĐK: x ≠ 0
Đặt a=x+√2012, b=13
x −√2012
Thay x=a −√2012 vào biểu thức b, ta được:
b=13
a −√2012−√2012⇔ab −2025=(b − a)√2012
Để a , b ∈ Z thì a=b, do đó ab − 2025=0
Từ đó, suy ra a=b=± 45 ⇒ x=± 45 −√2012
Thử lại với x=± 45 −√2012 thì thấy a , b là số nguyên
0,25 0,25
0,5 0,25 0,25
2 Xét tích:
(x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1
= x + y + z -
z y x
1 1 1
(vì xyz = 1)
1 1 1
(x –1)(y – 1)(z – 1) >0 Nếu cả 3 thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) đều dương xyz > 1 (loại)
Nếu cả 3 thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) đều âm (x –1)(y – 1)(z – 1)<0 (loại)
Nếu 2 thừa số dương, 1 thừa số âm (x –1)(y – 1)(z – 1)<0 (loại)
Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dương trong 3 số x, y, z có hai số bé hơn 1
Còn một số lớn hơn 1
Vậy trong 3 số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1.
0,75
0,75
0,25 0,25 0,25 0,25
4
(6,0đ)
1.a
0,75 0,75 0,75 0,75
1.b Trước hết ta chứng minh nhận xét sau:
Lấy điểm E khác phía với điểm P đối với
đường thẳng AB sao cho ΔBPE vuông cân
tại B
Ta có ΔBPC = ΔBEA (c.g.c)
⇒BEA = 1350
Do BEP = 450 nên PEA = 900
ΔAEP vuông tại E Theo định lí Py –Ta – go
ta có:
AP2 = AE2 + EP2
= CP2 + 2BP2
A D
E P
B C
A P B
M I N
Giả sử I là điểm nằm trong hình chữ nhật
ABCD Qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ
tương ứng song song với AB, AD Gọi diện
tích hình chữ nhật IPBN là S1, diện tích hình
Trang 4
Thật vậy: Giả sử I thuộc đường chéo AC Vì đường chéo của hình chữ nhật
chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau nên S1 = S2
Ngược lại, giả sử S1 = S2, suy ra:
IN.IP = IM.IQ => INIM= IQ
NC MA
Suy ra ΔMAI ΔNIC (c.g.c) => MIA = NIC
Do M, I, N thẳng hàng nên A, I, C thẳng hàng
0,25
0,25
Trở lại bài toán:
0,25
0,25
2.
=> SABC 1
2.1
2
√3=
1
√3 (1) TH2: Â 900=> AB BB1 1; CH CC1 1
=> SABC 1
2.1 1=
1
2<
1
√3 (2) Từ (1)&(2) suy ra SABC 1
√3
0,5
0,5
0,5 0,5
Ta chứng minh hai bất đẳng thức:
0,25
S
Dễ thấy tứ giác NBMQ là hình chữ nhật
Qua P và Q kẻ các đường thẳng song song
với các cạnh của hình vuông Do P thuộc
đường chéo AM của hình chữ nhật ABMR
nên SBLPK = SPIRS (1)
P thuộc đường chéo CN của hình chữ nhật
NBCH nên SBLPK = SPTHF (2)
Từ (1)&(2) suy ra: SPIRT = SPTHF
=> SFQRS = SQITH
Theo nhận xét trên, suy ra Q thuộc đường
chéo PD của hình chữ nhật SPTD, tức PQ
qua điểm D
A S R D
N F Q H
K P I T
B L M C
Không mất tính tổng quát, giả sử:
∠A ∠B ∠ C => Â 600
TH1: 600≤ Â < 900
Kẻ CH AB, BK AC
=> SABC = 12CH.AB
Mà CH CC1 1, ta có:
AB ¿ BK
sin A ≤
BB1
sin A ≤
1
sin A ≤
1 sin 600=
2
√3
A K H
B 1
C 1
B A 1 C
Trang 5(2,0đ)
√ x3
x3 +8 y 3≥ x
2
x2 +2 y 2 (1)
√ y3
y3
+( x + y )3≥ y
2
x2 +2 y 2 (2) Thật vậy BĐT (1) ⇔ x3
x3
4
(x2 +2 y 2)2 ⇔ x2
+y2≥ 2 xy (đúng với mọi x, y)
BĐT (2) ⇔ y3
y3
+( x+ y )3≥ y
4
(x2 +2 y 2)2 ⇔(x2+y2) (x2+3 y2)≥ y ( x + y )3
Do x2
+3 y2=x2+y2+2 y2≥ 2 y ( x + y )
Nên (x2
+y2
)(x2 +3 y 2
)≥1
2( x + y )
2 2 y ( x + y )= y ( x + y )3
Suy ra BĐT (2) luôn đúng
Từ (1) và (2) ta được Q ≥1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Vậy min P = 1 khi x = y
0,25 0,5
0,5
0,25 0,25
Chú ý:
1 Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2 Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết quả sai để làm bài ở các phần tiếp theo thì không tính điểm ở các
phần tiếp theo đó.