Bài 7. Một hộp có dựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra ba viên bi.Tìm xác suất của các biến cố sau:. a) Lấy được một viên bi mà[r]
Trang 1BÀI 1 HAI QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM
Ví dụ 1 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ Cần
chọn một đường để đi từ A đến B Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Có : 3 + 2 = 5 cách chọn
Ví dụ 2 Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt Thực
khách cần chọn đúng 1 loại thức uống Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Có : 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn
Vấn đề 1: Đếm số phần tử (cách chọn) dựa và quy tắc cộng :
* Quy tắc cộng : Nếu cơng việc 1 có m cách xảy ra, cơng việc 2 có n cách
xảy ra và hai cơng việc này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra cơng
việc này hay cơng việc kia là : m + n cách
* Quy tắc cộng dạng tổng :Chúng ta mở rộng quy tắc cộng tổng quát cĩ
nhiều hơn 2 cơng việc Giả sử các việc T1, T2, , Tm cĩ thể làm tương ứng
bằng n1, n2, , nm cách và giả sử khơng cĩ hai việc nào cĩ thể làm đồng
thời.Khi đĩ số cách làm một trong m việc đĩ là:
n1+ n2+ + nm
* Quy tắc nhân : Nếu cơng việc 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra
cơng việc1 rồitiếp đến cơng việc 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra cơng
việc1 “rồi”cơng việc 2 là : m × n
* Quy tắc nhân tổng quát: Chúng ta mở rộng quy tắc nhân tổng quát cĩ nhiều
hơn 2 cơng việc Giả sử các việc T1, T2, , Tm Nếu việc Ticĩ thể làm bằng nisau khi các việc T1, T2, , Ti-1 đã được làm, khi đĩ cĩ :
n1 n2 nmcách thi hành nhiệm vụ đã cho
Trang 2Có 15 cách chọn chủ tịch Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủtịch Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký
Vậy có : 15 14 × × 13 = 2730 cách chọn
Ví dụ Trong một lớp học, thầy giáo muốn biết trong ba môn Toán, Lý, Hóa
học sinh thích môn nào theo thứ tự giảm dần Số cách mà học sinh có thể ghi là
L T
L
H T
Sơ đồ cây
Bài tốn đếm cĩ thể được giải bằng biểu đồ cây
Một cây bao một gốc và các cành đi ra từ gốc, các cành phụ đi ra từ điểm
cuối cùng cành khác
Để sử dụng cây trong bài tốn đếm chúng ta dùng cành biểu diễn mỗi một
lựa chọn,các kết cục bằng các lá, đĩ là điểm cuối của cành khơng cĩ cành
khác bắt đầu trên nĩ
Người ta dùng sơ đồ cây để liệt kê các trường hợp xảy ra đối với các bài
toáncó ít hiện tượng liên tiếp và mỗi hiện tượng có ít trường hợp Chú ý
ta chỉ dùng sơ đồ cây để kiểm tra kết quả
Các dấu hiệu chia hết
– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276)
– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia
hết cho
4 (ví dụ : 1300, 2512, 708)
– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5
– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3
– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số
chia hết
cho 8 (ví dụ : 15000, 2016, 13824)
– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835)
– Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75
Trang 3Ví dụ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số
đôi một khác nhau không chia hết cho 9
Giải
Gọi : n = abc là số cần lập.
m = a'b'c' là số gồm 3 chữ số khác nhau
m′ = a b c1 1 1 là số gồm 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 9
Ta có : tập các số n = tập các số m – tập các số m′
* Tìm m : có 5 cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có 5 cách chọn b′ (vì 'b a' ), có 4
cách chọn (vì 'c a' và 'c b') Vậy có :
•Với {1, 3,5} : có 3! = 6 số m′
•Với {2,3,4} : có 3! = 6 số m′
Vậy có : 4 + 6 + 6 = 16 số m′
Suy ra có : 100 – 16 = 84 số n
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 Trong một lớp học cĩ 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ Hỏi cĩ bao nhiêu
cách chọn được:
a) Một bạn học sinh của lớp đĩ
b) Một đội song ca nam – nữ của lớp đĩ
Bài 2 Từ các số 3; 5; 7 cĩ thể viết được bao nhiêu số khác nhau cĩ các chữ số khác
Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy nếu số cách chọn thỏa tính chất p nào đó quá
nhiều, ta có thể làm như sau :
Số cách chọn thỏa p bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p.Người ta còn gọi cách làm này là dùng “phần bù”
Trang 4b) Nằm trong khoảng (2000,4000)
Bài 6 Trong một nhóm học sinh gồm có 8 học sinh có học lực trung bình, 7 học sinh
có học lực khá và 5 học sinh có học lực loại giỏi Có bao nhiêu cách để chọn được từ
nhóm đó:
a) Một học sinh có học lực thế nào cũng được
b) hai học sinh có học lực khác nhau
c) Ba học sinh có học lực khác nhau từng đôi một
Bài 7 Một công ty có 5 cổng ra vào Hỏi một người khách đến công ty thì có thể chọn
được:
a) Bao nhiêu cách vào ra cổng đó?
b) Bao nhiêu cách vào công ty đó bàng hai cổng khác nhau ( cổng ra khác cổngvào)
Bài 8 Số điện thoại của một huyện A gồm 6 chữ số và bắt đầu bởi hai số 85 Hỏi
huyện đó có tối đa bao nhiêu máy điện thoại?
Bài 9 Từ các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số
b) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau
c) Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000
d) Có bao nhiêu socos4 chữ số khác nhau,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5
Trang 5Theo qui tắc nhân, chỗ thứ nhất có n cách sắp (do có n vật), chỗ thứ nhì có
n– 1 cách sắp (do còn n – 1 vật), chỗ thứ ba có n – 2 cách sắp (do còn n – 2vật),…, chỗ thứ n có 1 cách sắp (do còn 1 vật)
Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn, là :
Pn = n(n – 1)(n – 2)… × 1 = n!
Trang 6(T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T).
Ví dụ 3 Có 2 sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau và 4 sách hóa khác
nhau Cần sắp xếp các sách thành một hàng sao cho các sách cùng môn đứng
kế nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp ?
Giải
Trước tiên, ta sắp theo môn thì có P3 = 3! = 6 cách
Tiếp đến, các sách từng môn đổi chỗ cho nhau, toán có P2 = 2! = 2 cách, lý có
P3 = 3! = 6 cách, hóa có P4 = 4! = 24 cách Vậy, theo qui tắc nhân, có :
6 × 2 × 6 × 24 = 1728 cách
Ví dụ 1 Một nhà hàng có 5 món ăn chủ lực, cần chọn 2 món ăn chủ lực khác
nhau cho mỗi ngày, một món buổi trưa và một món buổi chiều Hỏi có mấy
Ví dụ 2 Trong một trường đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự
chọn, sinh viên phải chọn ra 2 môn trong 3 môn đó, 1 môn chính và 1 môn phụ
Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1 ≤ k ≤ n), sắp vào k chỗ
khác nhau Mỗi cách chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phầntử
Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn
(do còn n – 1 vật), chỗ thứ 3 có n – 2 cách chọn (do còn n – 2 vật), …, chỗ
thứ k có n – (k – 1) cách chọn (do còn n – (k – 1) vật) Vậy, theo qui tắc
nhân, số cách chọn là :
n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – k + 1) =
! !
n
n kNếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k
n
A , ta có :
! !
k n
n A
n k
Trang 7
2 3
5!
5 2 !
A
=.5 = 20 số(Các số đó là : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51,
Trang 8Chọn mua 2 con heo trong 4 con heo là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử, có : 2
4
C cáchchọn
Vậy, theo qui tắc nhân, số cách chọn mua bò và heo là :
6 4
C 2 4
C = 6 × 5 × 3 = 90 cách chọn
Ví dụ 3 Trong một kì thi, mỗi sinh viên phải trả lời 3 trong 5 câu hỏi.
a) Có mấy cách chọn.
b) Có mấy cách chọn nếu trong 5 câu hỏi có 1 câu hỏi bắt buộc.
Giải a) Chọn 3 trong 5 câu hỏi là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.
Vậy có 3
5
5! 5.4 103!2! 2
Bài 2 Cĩ 5 quyển sách tham khảo mơn tốn, 4 quyển sách tham khảo mơn Lý và 6
quyển sách tham khảo mơn Hĩa Xếp những quyển sách đĩ vào một ngăn trên giá sáchtheo từng mơn Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
Bài 3 Trong một dám cưới, cơ dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành 1 hàng để
chụp ảnh với mình Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp
Trang 9c) Chia hết cho 3
Bài 7 Có một hộp trong đó đựng 7 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu màu xanh Lấy từ
trong hộp ra 3 quả cầu
a) Có bao nhiêu cách lấy như vậy
b) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có 2 quả cầu đỏ
c) Có bao nhiêu cách lấy để trong dó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ
d) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ?
Bài 8 Một lớp có 20 học sinh nữ trong đó có bạn Mai và 16 học sinh nam trong đó có
bạn Thắng
1 Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh của lớp?
a) Có bao nhiêu cách chọn như vậy
b) Có bao nhiêu cách để chọn được 3 học sinh cùng phái
c) Có bai nhiêu cách đêt có được 3 học sinh khác phái ?
2 Chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ có 9 học sinh
a) Có bao nhiêu cách chia như vậy?
b) Có bai nhiêu cách chia đẻ số học sinh nam và nữ ở các tổ đề nhau
3 Chọn một ban cán sự lớp gồm 5 em học sinh, ít nhất có 2 nam và 2 nữ
a) Có bao nhiêu cách chọn như vậy
b) Có bao nhiêu cách chọn nếu Thắng và Mai không chịu làm chung?
c) Có bao nhiêu cách chọn nếu Thắng và Mai không chịu rời nhau?
Bài 9 Trong một chương trình văn nghệ cần chọn 7 bài hát trong 10 baì hát và 3 tiết
mục múa trong 5 tiết mục rồi xếp thứ tự biểu diễn Hỏi có bao nhiêu cách khác nhaunếu các bài hát xếp kề nhau và tiết mục múa được xếp kề nhau?
Bài 10 Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn 3 người : 1 bí thư, 1 phó bí
thư, 1 ủy viên trong một chi đoàn có 20 đoàn viên
Bài 11 Từc các số 0,1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong đó không có
một chữ số nào lặp lại
Bài 12.Một tập thể nhà khoa học có: 2 nhà toán học và 10 nhà kinh tế học Lập một
đoàn 8 người đi công tác trong đó có ít nhất một nhà toán học
Bài 13 Một đội công nhân 15 người bao gồm 9 nam, 6 nữ.
a) Có bao nhiêu cách thành lập một tổ công tác 4 nam,2 nữ từ độ công tác trên.b) Trong đó có vợ chồng anh Thu và chị Chi có con nhỏ nên không cùng đi được.Vậy có thể thành lập được bao nhiêu cách trong tình hình trên
Bài 14 Tìm số đường chéo đa giác ( n – giác: đa giác có n cạnh )
Trang 10x x
Thay các biểu thức dó vào phương trình, bất phương trình hay hệ
phương trình đã cho rồi thực hiện biến đổi và rút gọn các biểu thức đểđưa về các dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đã
k n
n
n k n
Trang 14BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 Cho khai triển 1 2x 12
a) Tìm tổng 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển
b) Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển trên
(Thứ tự các số hạng tính từ trái sang phải)
Bài 2 Cho khai triển
12
3 3
x x
a) Tìm hệ số của số hạng x4 trong khai triển
b) Tìm số hạng trong khai triển không chứa x ( độ lập với x)
Bài 3 Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trongkhai triển 1
Tìm số hạng ở giữa khai triển
Bài 4 Cho khai triển
3 2
1 nx
x
a) Xác định số hạng 1; 2; 3 trong khai triển
b) Biết tổng của ba hệ số của ba số hạng nói trên là 11 TÌm hệ số của số hạngchứa x2
Bài 5 Tìm số hạng của khai triển 9
3 2 là một số nguyên
Bài 6 Cho khai triển
13 3
1
a a
a) Tìm số hạng thứ 4, thứ 5 của khai triển
b) Tìm số hạng của khai triển chứa a với số mũ tự nhiên
Bài 7 Tìm số hạng x8 trong khai triển 13 5
x x
không phụ thuộcvào x
Bài 9 Xác định số n sao cho trong khai triển 2n
x số hạng thứ 11 là số hạng thứ
Trang 15Bài 10 Tìm số nguyên dương x nếu biết trong khai triển 3
3
1 2 3
tỉ số của sốhạng thứ 17 kể từ số hạng đầu và số hạng thứ 7 kể từ số hạng cuối là 1
6
Ví dụ 1:
dụa vào nhị thức Newton
Chú ý: Trong khai triển nhị thức Newton
1 Số các số hạng của sự khai triển a b n lớn hơn số mũ n một đơn vị
n1
2 Tổng của số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng n:
n k k n
3 Số hạng tổng quát kí hiệu T k1C a n k n k k b
4 Các hệ số cuả nhị thức Newton cách đều hai đầu của sự khai triển
bằng nhau,điều này suy ra tù quy tắc đối xứng: C n k C n n k nên
Trang 16Ví dụ 2:
Giải:
Ví dụ 3:
Giải:
Trang 17Bài 12 Tính giá trị của biểu thức :S C 116 C117 C118 C119 C1110
Bài 13 Với n là số nguyên dương chứng minh hệ thức
Trang 18Bài 3 Trong một hộp có chứa ba vien bi đỏ,2 viên bi xanh.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra
hai bi Mô tả không gian mẫu của phép thử đó Không gian đôcs bao nhiêu phần tử
Bài 4 Gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất 3 lần và quan sát sự xuất hiện của mạt
sấp (S) và mặt ngửa (N) của đồng xu ấy Xây dựng không gian mẫu
Vấn đề 1: Tìm không gian mẫu của một phép thử:
Trang 19BÀI 5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Bài 1 Sắp xếp ngẫu nhiên ba bạn nam – trong đó có bạn Nguyên và 2 bạn nữ - trong
đó có bạn Mai ngồi vào một ghế có 5 chỗ Tìm xác xuất để :
a) Xếp được các học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ nhau
b) Xếp được các học sinh nam ngồi vào một phía và học sinh nữ ngồi vào mộtphía
c) Xếp các học sinh sao cho Nguyên và Mai luôn được ngồi cạnh nhau
Bài 2 Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất như nhau và quan sát số chấm xuất
hiện trên mặt hai con xúc xắc dó Tìm xác suất để
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 8
b) Số chấm xuất hiện trên hai mặt con xúc xắc bằng nhau
c) Tích số chấm xuất hiện trên hai con xuc xắc là chẵn, lẻ
Bài 3 Gieo ba đồng xu cân đối và đồng chất nhuw nhau Tìm xác suất của các biến cố
sau:
a) Có dúng hai mạt sấp xuất hiện
b) Có ít nhất một mặt sấp xuất hiện
c) Có nhiều nhất 1 mặt sấp xuất hiện
Bài 4 Một hộp có đựng 9 chiếc thẻ có đánh số 1, 2, 3, , 9 trên đó.
Vấn đề 1: Tìm xác suất của biến cố
* Phương pháp:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa
Tìm số các khả năng có thể của một phép thử: n ( số phàn tử của
không gian mẫu)
Tìm số khả năng thuận lợi cho biến cố A: m
Chú ý: A và B là hai biến cố xung khắc ( tức là hai biến cố không xảy ra
đồng thời trong kết quả của một phép thử)
Trang 20a) Học sinh dó thích ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Lý.
b) Học sinh đó không thích môn nào trong hai môn đó
Bài 7 Một hộp có dựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh hoàn toàn giống nhau về hình
thức Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra ba viên bi.Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Lấy được một viên bi màu đỏ
b) Lấy được ít nhất một vien bi màu đỏ
c) Lấy được ít nhất mỗi màu một viên bi
d) Lấy được các viên bi cùng màu
Bài 8 Trong một lớp có 20 học sinh nữ, trong đó coa bạn Mai và 16 học sinh nam
trong đó có bạn Thắng
1 Chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ 9 học sinh Tìm xác suất để học sinh nam và họcsinh nữ các tổ là đều nhau
2 Chọn một ban cán sự lớp gồm 5 học sinh để có ít nhất 2 nam và 2 nữ
a) Tìm xác suất của biến cố chọn được từ ban cán sự lớp mà Mai và Thắng luôn
được làm việc chung trong ban cán sự
b) Tìm xác suất của biến cố chọn được ban cán sự mà Mai với Thắng không làmviệc chung
Bài 9 Một đội văn nghệ của trường gồm có 10 học sinh trong đó lớp 11A có 4 em,lớp
11B có 3 em, lớp 11 C có 3 em.Gặp ngẫu nhiên 3 học sinh trong nhóm đó.Tìm Xácsuất để:
a) Ba học sinh ở ba lớp khác nhau
b) Trong đó có 2 học sinh của lớp 11A
c) Có ba em đề là học sinh của lớp 11A
Bài 10 Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số từ 0 đến 9 Tìm xác suất để số trên
vé không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 5
Bài 1 Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần Tính xác xuất của biến cô
tổng số chấm trong 2 lần gieo không bé hơn 10 nếu:
a) Lần gieo thứ nhất xuất hiện 5 lần
b) Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần
Bài 2 Mỗi cỗ bài tú lu khơ gồm 52 con.Rút liên tiếp không hoàn trả lại hai con bài.
Tìm xác suất để lần thứ 2 rút được con Át với điều kiện lần thứ nhất cũng rút được conÁt
Vấn đề 2: Tính xác suất có điều kiện
* Phương pháp: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
Trang 21Bài 1 Một hộp đựng 4 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản
phẩm một, không bỏ trở lại để kiểm tra cho tới khi lấy ra hai phế phẩm thì thôi Tínhxác xuất của biến cố việc kiểm tra chỉ dừng lại ở sản phẩm thứ 2
Bài 2 Lấy một hộp gồm 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ
1 Lấy ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại hai bi từ hộp.Tìm xác suất để 2 bi lấy
được đều đỏ
2 Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi,nếu là xanh thì bỏ nó lại và thêm 3 bi xanh nữa,nếu là bi đỏ thì bỏ nó vào lại và thêm một bi đỏ nữa.Sau đó, lần thứ 2 lấy ngẫunhiên ra một viên bi
a) Tìm xác suất để hai viên bi lấy được đều màu xanh
b) Tìm xác suất để 2 viên bi lấy được khác màu
Bài 3 Hộp 1 có đựng 7 viên bi trong đó có 3 bi đỏ và 4 bi xanh Hộp 2 có đựng 7 viên
bi trong đó có 2 bi đỏ và 5 bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi Tìm xác
suất của các biến cố sau:
a) Hai bi lấy ra màu đều đỏ
b) Hai bi lấy ra cùng màu
Bài 4 Hai người độc lập cùng bắng mỗi người 1 viên đạn vào cùng một mục tiêu Xác
suất bắng trúng bia của người thứ nhất,thứ hai lần lượt là: 0,3; 0,5 Tính xác suất củabiến cố sau:
a) Cả hai đều bắng trúng
b) Có một người bắn trúng
c) Có ít nhất một người bắn trúng
Bài 5 Có hai hộp đựng bi hoàn toàn giống nhau về hình thức:
Hộp 1 có 7 viên bi trắng và ba viên bi đen
Hộp 2 có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen
Vấn đề 3 Tính xác suất của tích các biến cố.
* Phương pháp: Áp dụng các công thức xác suất