qua các điểm cực trị đó của hàm số.. Dễ dàng chứng minh tổng 4 khoảng cách không đổi, suy ra tích lớn nhất khi chúng bằng nhau, tức M là chân đường cao SH của hình chóp. Theo chương trì[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT HƯƠNG-SƠN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LẦN 2
Năm học 2008-2009 Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
CâuI (2điểm): Cho hàm số:
1 1
x y x
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số
2) I; J là 2 điểm thay đổi thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại I và J song song với nhau Chứng minh đường thẳng IJ luôn đi qua 1 điểm cố định
Câu II (2điểm): 1) Giải phương trình: 2 12
log ( os os2 ) log ( os os ) 0
2) Cho hệ phương trình: 2 2
1
x y
a) Giải hệ phương trình với m=1/3
b) Tìm m để hệ phương trình có đúng một nghiệm
Câu III (1điểm): Cho: I =
2
0 sin n x dx
a) Tính I với n=3
b) Tính I với n=2009
Câu IV (1điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp theo a
b) M là một điểm thay đổi thuộc miền trong đáy ABCD của hình chóp, xác định vị trí M để tích các khoảng cách từ M tới tất cả mặt bên hình chóp đạt giá trị lớn nhất
Câu V (1điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol y x 2 (P) A, B là 2 điểm thay đổi trên (P) sao cho AB=2 M là trung điểm AB Xác định tọa độ M khi khoảng cách từ M tới trục hoành là ngắn nhất
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần sau (phần 1 hoặc 2)
1 Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa (2điểm): 1) Trongkhông gian Oxyz, cho đường thẳng
:
x y z
và điểm M(1;1;-1) Tìm hình chiếu của M trên, Viết phương trình mặt phẳng qua M và
2) Trong mặt phẳng Oxy Viết phương trình đường tròn qua M(-1;2) và tiếp xúc 2 trục tọa độ
Câu VIIa (1điểm): Tìm hệ số lớn nhất của x trong khai triển (1 2 ) x 40
2 Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb(2điểm): 1) Trongkhông gian Oxyz, cho đường thẳng
:
x y z
và điểm M(1;1;-1) .Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho Elip
2 2
1
(E) có các tiêu điểm là F F1, 2 Tìm điểm M trên (E) sao
cho MF1MF2
Câu VIIb(1điểm): Chứng minh hàm số:
4 3 1
1 4
y x x x
có 3 cực trị. Viết phương trình Parabol đi qua các điểm cực trị đó của hàm số
Các thí sinh khối B và khối D không làm các câu b: II.2b; III.b và IV.b
Trang 2
TRƯỜNG THPT HƯƠNG-SƠN THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LẦN THỨ2
ĐÁP ÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7điểm)
CâuI(2điểm): 1)(1điểm) Đến bảng biến thiên đúng ½ điểm Vẽ đồ thị đúng: ½ điểm
2)(1điểm) Nên đổi trục đưa về hàm lẻ Y=-2/X Chứng minh tiếp tuyến song song suy ra I,J đối xứng qua giao 2 tiệm
cận K của (H) suy ra đ.thẳng IJ qua K(-1;1) (nếu lập luận không chặt hoặc tính toán kết quả cuối sai: 1/2đ)
Câu II(2điểm): 1) (1điểm)Ta có ph.tr cos2x=cosx với đk cos2x cosx
Ta có x k 2 / 3(1/2đ) tách ra
x k x k x k Đối chiếu đk: cos2x cosx
ta có x2 / 3 k4 (1/2đ)
2) (1điểm) a) Với m=1/3 ta có (x;y)=(-1; 0) hay (3/5; 4/5) (1/2đ)
b) H.ph.trình có đúng một nghiệm khi m=1 hay m=0 (có thể dùng tương giao đường tròn và đường thẳng,
hệ có 1 nghiệm khi kh.cách từ tâm O tới đường thẳng bằng bán kính) (1/2đ)
Câu III(1điểm): a)Tính: I=
2
0 sinn xdx
Với n=3 ta có I=0 (1/2đ)
b) Với n=2009 đặt t=x- ta có I=0 ( tích phân hàm lẻ trên [-a;a] )(1/2đ)
Câu IV(1điểm): a) Tính diện tích đáy, đường cao, thay vào công thức ta có V=1/3Bh=
3 2 6
a
(1/2đ)
b) Từ M nối các đỉnh , chia hình chóp thành 4 hình chóp chung đỉnh M có các đáy là các tam giác đều cạnh a (là các mặt bên hình chóp) Dễ dàng chứng minh tổng 4 khoảng cách không đổi, suy ra tích lớn nhất khi chúng bằng nhau, tức M là chân đường cao SH của hình chóp.(1/2đ)
Câu V(1điểm): Gọi M(x,y) tìm tập hợp M ta có tập hợp đó là đường
1 2 2
1 4 x
y x
(1/2đ) Khảo sát hàm số này có giá trị nhỏ nhất là: y= ¾ khi x=1/2 Vậy các điểm cần tìm là I(-1/2;3/4) và J(1/2;3/4)(1/2đ)
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần sau (phần 1 hoặc 2)
1 Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa(2điểm):
1)(1điểm) Hình chiếu của M trênlà H(2;-1/2;-1/2) (1/2đ) Phương trình mf qua M vàlà: x+2y+4z+1=0 (1/2đ)
2)(1điểm) Lập luận để tâm đ.tròn thuộc y=-x ph.tr có dạng (x a )2(y a )2 a2(1/2đ) Thay M(-1;2)vào, giải ra a=1; a=5 ta có 2 đường tròn là(x1)2(y1)2 1 và (x5)2(y 5)2 25(1/2đ)
Câu VIIa(1điểm): Viết khai triển (1+2x)40, chỉ ra số hạng tổng quát thứ i+1 là: C40i 2i x i (1/2đ).
Giả sử: C40i 2i C40i12i1 Giải ra: i<82/3 hệ số max ứng với i=27 Hệ số cần tìm là C4027227(1/2đ).
1 Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb(2điểm):
1)(1điểm)Hình chiếu của M trênlà H(2;-1/2;-1/2) (Có thể dùng công thức khoảng cách tính MH) (1/2đ)
Phương trình mặt cầu tâm M bán kính MH là(x1)2(y1)2(z1)2 7 / 2(1/2đ)
2)(1điểm) Điểm cần tìm là giao của (E) và đường tròn tâm O bán kính R= 3 (1/2đ)
Giải ra ta có 4 điểm với tọa độ x1,2 2 63 ;y1,2 33
(1/2đ)
Câu VIIb(1điểm): Chứng minh y,=0 có3 nghiệm ph biệt (khảo sát hàm bậc 3)suy ra hàm số có 3 điểm cực trị(1/2đ) Chứng minh tọa độ CĐ,CT thỏa mãn biểu thức dư củay y/ , ta có ph.tr cần tìm là:y 34x2 34x54
(1/2đ)