Baøi 28: Coù bao nhieâu caùch phaùt 10 phaàn thöôûng gioáng nhau cho 6 hoïc sinh sao cho moãi hoïc sinh coù ít nhaát moät phaàn thöôûng.. HD: Ñaàu tieân phaùt cho moãi hoïc sinh moät [r]
Trang 1LOẠI TOÁN ĐẾM
Bài 1: Với các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có tính chất:
1 Mỗi số gồm 3 chữ số trong đó chữ số 1 là chữ số duy nhất lập lại nhiều nhất 2 lần.
2 Mỗi số gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 1 và 3 xuất hiện một lần, chữ số 2 xuất hiện ba lần.
1 Đs: 12
2 Đs: 20
Bài 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số
không trùng nhau và dĩ nhiên không có chữ số 0 ở vị trí đầu trừ số không.
Đs:261
Bài 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số không trùng nhau sao
cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau.
Đs :72
Bài 4: Với các chữ số 1,2,3, ,n có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau trong đó chữ số
1 và 2 không đứng cạnh nhau.
Đs :n! - 2(n - 1)!
Bài 5: Với các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số lớn hơn 20.000 sao cho trong mỗi số các chữ số
2,3,4 có mặt một lần và chữ số 1 có mặt hai lần.
Đs :
! 4 3 2
Bài 6: Có tất cả bao nhiêu số đăng ký xe ôtô khác nhau có 5 chữ số nếu chữ số đầu tiên khác không.
Đs :9x104.
Bài 7: Các số 1,2, ,n được xếp thành hàng ngang Hỏi có mấy cách sắp xếp sao cho:
1 Hai chữ số 1 và 2
2 Ba chữ số 1,2,3
đứng cạnh nhau và theo thứ tự tăng dần.
1 Đs: (n - 1)!
2 Đs: (n - 2)!
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 sao cho các chữ số không lặp lại và
chữ số cuối cùng là chẵn.
Đs : A 3 65.
Bài 9: Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn.
Hd: - Có tất cả là 9x106 số nguyên dương có 7 chữ số.
- Trong 10 số nguyên dương có 7 chữ số sau:
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0 1
9
có 5 số có tổng các chữ số là chẵn và 5 số có tổng các chữ số là lẻ.
Vậy đáp số là: .
6
10 9
2
Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chỉ tạo bỡi các chữ số 1,2 và 3 với điều kiện chữ số 2 xuất hiện
hai lần trong mỗi số.
Trang 2HD: Vì số các chữ số dùng để lập một số như yêu cầu của bài toán là không kiểm soát được như vậy ta lại dựa vào vị trí, thứ mà ta kiểm soát được Cụ thể như sau:Ta sẽ chọn ra hai vị trí cho số 2: có C72 cách Còn lại 5 vị trí dành cho hai số 1 và 3: có 25 cách sắp Vậy đáp số là: 25C2
7.
Bài 11 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 104 viết dưới hệ cơ số thập phân có tất cả các chữ số khác nhau.
Đs: A104 A103 A102 A101 A93 A92 A19 A90
Bài 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 4 tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5 trong hai trường hợp
sau:
1 Các chữ số có thể trùng nhau.
2 Các chữ số khác nhau.
HD:
1 Các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,44,32,12,52 Như vậy ta chỉ còn hai vị trí còn lại cho năm số: 1,2,3,4,5: có 52 Đs: 5x52.
2 Nếu các chữ số khác nhau thì các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,32,12,52 Hai vị trí còn lại
ta sẽ chọn có thứ tự hai số trong ba số còn lại Đs: 4 A32
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số được viết bỡi các chữ số 1 và 2
Đs:210
Bài 14: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất
thiết phải có chữ số 1.
Đs: 204
Bài 15: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có tám chữ số trong đó chữ số 1 có
mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần.
HD: Để lập ra một số theo yêu cầu thì ta phải sắp xếp tám chữ số : 0,1,1,1,2,3,4,5 theo một thứ tự nào đó Có 8! Cách sắp xếp như thế Nhưng phải loại đi 7! Số có chữ số 0 đứng đầu Ngoài ra 3 chữ số 1 giống nhau không kể thứ tự nên tính theo cách trên sẽ dôi ra 3! lần Vậy đs:
! !
!
8 7
3
Bài 16 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 104 có các chữ số không trùng nhau, là bội số của 4 tạo bỡi các chữ số 0,1,2,3,5.
Đs: 31
Bài 17: Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số, trong đó nhiều nhất là hai chữ số trùng nhau.
Đs:576
Bài 18: Có bao nhiêu số nguyên dương có sáu chữ số, trong đó chỉ có đúng bốn chữ số khác nhau.
Bài 19: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 2 10 chia hết cho 3 có các chữ số là 0, 1, 2.8
Đs: 2 3 17
Bài 20: Người ta xếp 12 cuốn sách vào 6 hộc, mỗi hộc có 2 cuốn Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
C C C C C C2 2 2 2 2 2
12 10 8 6 4 2
!
!
6
12
2 6
Bài 21: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ta lập tất cả các số có 4 chữ số không trùng nhau Tìm tổng của các số
đó.
HD: Có A94 số có 4 chữ số khác nhau Trong đó ta có thể sắp thành các cặp số bù nhau, ví dụ: 3562 và 7548, tổng của cặp số này là 1000x10 + 100x10 + 10x10 +1x10 = 11110 Vậy tổng của các số phải tìm là: .
A4
9 11110
Trang 3Bài 22: Trong một giải cờ vua có cả nam và nữ vận động viên Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi
vận động viên còn lại Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván các vận động viên nam chơi với nhau nhiều hơn số ván mà họ chơi với 2 vận động viên nữ là 66 Hỏi có bao nhiêu vđv tham dự và có tất cả bao nhiêu ván cờ đã xảy ra.
ĐS: Có 13 vđv và 2C132 ván cờ.
Bài 23: Cho các số 3,5,7,11,13,17,19,23 Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu phân số nhỏ hơn đơn vị, trong
đó mỗi phân số được tạo thành bới hai số đã cho.
ĐS: C82
Bài24: Trong ba lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trường hợp:
1 Có hai lần lặp lại.
2 Có một lần lặp lại.
3 Không có lần nào lặp lại.
HD: 1 Chọn ba chữ số mà có hai lần lặp lại như vậy là thật ra ta chỉ chọn có một chữ số Vậy trong trường hợp này có 10 cách chọn.
2.Chọn ba chữ số mà có một lần lặp lại như vậy là thật ra ta chọn 2 chữ số rồi sau đó ta thêm vào một chữ số trùng với một trong hai số đã chọn ta được C 2 102 Sau đó ta thay đổi thứ tự của các chữ số trong số được lập, ta
được
!
.
!
C2
10
3
2
2 = 270.
3 A 103 720
Bài 25: Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90 Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2
phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp.
HD: Số cách rút 5 phiếu tuỳ ý là: C905 Gọi 1 a b c d e 90 là số thứ tự của 5 phiếu mà sao cho bất kỳ
hai phiếu nào cũng có hiệu số khác 1 Khi đó a, b - 1, c - 2,
d - 3, e - 4 là 5 số phân biệt nằm giữa 1 và 86 Đảo lại, với năm số bất kỳ a’,b’,c’,d’,e’ sao cho
' ' ' ' '
1 86 thì 5 số a’, b’ + 1, c’ + 2, d’ + 3, e’ + 4 sẽ có hiệu hai số bất kỳ khác 1 Vậy có C865
phiếu không thoả yêu cầu đề bài ĐS: C905 -C865 .
Bài 26: Người ta lập tích số của hai số nguyên khác nhau từ 1 đến 100 Hỏi có bao nhiêu tích số là bội số của
3.
ĐS: C 67 331 C332
Bài 27: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh.
Bài 28: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi học sinh có ít nhất một
phần thưởng?
HD: Đầu tiên phát cho mỗi học sinh một phần thưởng Như vậy có một cách Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học sinh ( phát tuỳ ý ) Vì ta phát tất cả 4 phần thưởng cho 6 học sinh nên ta chỉ cần xét cách phân phối cho 5 học sinh, học sinh thứ 6 nhận số phần thưởng còn lại Bỡi vì có thể xảy ra trường hợp có 5 học sinh không nhận phần thưởng nào trong 4 phần thưởng còn lại, cho nên ta thêm vào 4 phần thưởng đó 5 phần thưởng ảo tượng trưng cho không có phần thưởng Vì các học sinh nhận là khác nhau nên ta có thể xem các phần thưởng là khác nhau Như vậy ta sẽ lấy 5 phần thưởng trong 9 phần thưởng ra để phát cho 5 học sinh Số còn lại học sinh thứ 6 sẽ nhận Vậy có C94 cách phát thưởng cho học sinh.
Bài 29: Giả sử có n viên bi giống nhau và m cái hộp khác nhau Ta xếp bi vào các hộp Tìm số cách xếp:
1, Xếp tuỳ ý.
2, Tất cả các hộp đều phải có bi.
Trang 4HD:
1, Ta biểu diễn m hộp bỡi các khoảng ở giữa m + 1 gạch thẳng đứng, còn các viên bi biểu diễn bằng các ngôi sao Ví dụ: |**|*| |****|….|*|.
Như vậy ở ngoài cùng luôn lấcc vạch thẳng đứng, còn lại m – 1 vạch đứng và n ngôi sao được xếp theo thứ tự tuỳ ý Như vậy số cách chọn n phần tử trong m-1+n phần tử, nó cũng là số cách chọn m-1 phần tử trong m-1+n phần tử: 11 1
2, Trường hợp mội hộp có chứa ít nhất một viên bitương ứng với cách biểu diễn mỗi gạch phải bao gồm giữa hai ngôi sao Nhưng có tất cả n-1 khoảng trống giữa n ngôi sao Vậy thì phải xếp m-1 vạch vào n-1 khoảng trống đó Vậy có: Cn m 11
Hoặc có thể giải cách khác bằng cách trước tiên ta phân cho mỗi hộp một viên bi cái đã rồi sau đó số viên bi còn lại ta phân phối tuỳ ý như câu 1,
Bài toán có thể phát biểu dưới dạng khác như sau:
1, Tìm số các nghiệm tự nhiên của pt: x1 x2 x3 xm n
2, Tìm số các nghiệm nguyên dương của pt: x1 x2 x3 xm n
Bài 30: Có 5 cuốn sách khác nhau đặt trên giá sách Rút lần lượt không hoàn lại ba cuốn sách Có bao nhiêu
cách rút được cuốn A; có bao nhiêu cách rút không được cuốn A?
LOẠI TOÁN GIẢI PT, BPT,…:
Lưu ý: Đặt đk, dùng các công thức, khử giai thừa, giải pt, bpt,…
Vì giải trong tập hợp số tự nhiên nên có thể thử nghiệm nếu cần.
1
1
4
3
1
1
2
1
2 1
1
2,
4,3 4
6,
2
8,
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C C
A
C
C
C
1
2
2
1
3
3
5
5
4
14,
5
x
x
x
x
x x
C
x
C
P
A P
Trang 52
17,
18,
5
4
4
1
3 3
1
1
4
1
4
4
1
2 5
3
1
1
24 24,
23 143 25,
2 ! 4
!
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
k n
n
A
P
C
A C
A
A
P
A
n k
1 6 : 5 : 2
y
LOẠI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập1:
1
1
1
2
1 1
1 0
2
1
2
n
n
k
k
k
n
r
n n
2 2
3 1
4
1
2
n n n n
C C
Bài tập2: Chọn các số nguyên dương n và k như thế nào để: Cn k1, C Cn k, n k1
theo thứ tự là các số hạng của một cấp số cộng.
Bài tập3: Chứng minh rằng với số nguyên dương n cho trước, có không quá hai số nguyên dương k sao cho
C C C
theo thứ tự là các số hạng của một cấp số cộng.
Trang 6Bài tập4: Chứng minh số 2
1 1
m m C
m là một số nguyên dương.
Bài tập5: Tìm số nguyên dương bé nhất k sao cho 1 2
m n n
k C
n m
là một số nguyên với mọi số nguyên
dương n m
Hd: đkc: n = m, suy ra k = 2m + 1.
Đkđ: thử lại với n = m.
Bài tập6: Tìm số nguyên dương n sao cho:
Cn0
+ 2Cn1
+ 4 Cn2+ +2nCn n=243
Bài tập7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:
C2n1 + C2 n3 +C2 n5 + +C2 n 2 n− 1=C2 n0 + C2 n2 +C2 n4 + +C2 n 2 n
Bài tập8: Chứng minh rằng: C201 +C203 + C205 + +C2017+C2019=219
Bài tập9: Tính tổng: P=C100 − 3 C101 + 32C102 − 33C103 +34C104 −35C105 +36C106 −37C107 +38C108 − 39C109 +310C1010
Bài tập10: CMR: 2n 1 1 2 2 3 3 n
Bài tập11: CMR: 1 2 n 2 1.2 2 2.3 3 3.4 4 1 n
Bài tập12: Tính tổng: S=Cn0+ 1
2 Cn
1
+ 1
3 Cn
2
+ + 1
n+1 Cn
n
biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
Cn n+ Cn n −1+Cn n −2=79
Bài tập13: Chứng minh rằng: 1 C2 n1 +3 C2 n3 + +(2 n −1) C2 n 2 n −1=2C2 n2 + 4 C2 n4 + .+2 nC2 n 2 n
Bài tập14: CMR: 0 1 1 2 2 1 n 1 n 1 0
Bài tập15: Chứng tỏ rằng:
1 − Cn
1
3 +
Cn2
5 −
Cn3
7 + +
(−1)nCn n
2 n+1 =
2 4 6 (2 n −2) 2 n
1 3 5 (2 n+1)
Bài tập16: Chứng minh rằng: C20Cn −2 k +C21Cn −2 k −1+ C22Cn− 2 k− 2=Cn k
(n k+2 ; và là các số nguyên dương, Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Bài tập17: CMR: 0 2 1 2 2 2 2
2
LOẠI TOÁN TÌM HỆ SỐ CỦA NHỊ THỨC NEWTON Bài tập18: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của nhị thức 2 x 2007
Bài tập19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
2007
2
x x
Bài tập20: Tìm hệ số của x2 trong khai triển của nhị thức 2 x x 22007
Bài tập21: Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển của nhị thức: 1 x n
Bài tập22: Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển của nhị thức:
15
1 2
3 3 x
LUYỆN TẬP Bài tập23: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2002
Trang 7Cho khai triển nhị thức:
( 2
x −1
2 +2
− x
3 )n=Cn0( 2
x− 1
2 )n+ Cn0( 2
x− 1
2 )n− 1( 2
− x
3 ) + +Cn n −1( 2
x −1
2 )( 2
− x
3 )n− 1+ Cn n( 2
− x
3 )n
(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó Cn3=5 Cn1 và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x
ĐS: n = 7, x = 4
Bài tập24: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2002
Cho đa giác đều A1A2 A2 n(n ≥2 , n nguyên ) nội tiếp đường tròn (O) Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,
A2, , A2n, tìm n
ĐS: n = 8
Bài tập25: ĐH, CĐ – Dự Bị 1 – Năm 2002
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và
5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn
ĐS: 41811 cách
Bài tập26: ĐH, CĐ – Dự Bị 2 – Năm 2002
Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình: An3+2 Cn n− 2≤ 9 n, trong đó An kvà Cn k lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử
ĐS: n = 3 hoặc n = 4
Bài tập27: ĐH, CĐ – Dự Bị 4 – Năm 2002
Giả sử n là số nguyên dương và (1+ x )n=a0+ a1x+a2x2+ +akxk+ +anxn Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n −1) sao cho: ak − 1
ak
9 =
ak+1
24 Hãy tính n
ĐS: n = 10
Bài tập28: ĐH, CĐ – Dự Bị 6 – Năm 2002
Gọi a1, a2, , a11 là các số hạng trong khai triển sau:
( x +1)10 ( x+2 )=x11+a1x10+a2x9+ +a11 Hãy tính hệ số a5
ĐS: a5=C105 +2 C104= 672
Bài tập29: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2003
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của ( x 13+ √ x5)n, biết rằng
Cn+4 n+1−Cn +3 n =7 (n+3 )
(n là số nguyên dương, x > 0, Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS: C124 =495
Bài tập30: ĐH, CĐ – Khối A – Dự Bị 1 – Năm 2003
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau
ĐS: 952
Bài tập31: ĐH, CĐ – Khối A – Dự Bị 2 – Năm 2003
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3
Bài tập32: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2003
Cho n là số nguyên dương Tính tổng
Cn0+ 22−1
2 Cn
1
+ 23−1
3 Cn
2
+ + 2
n+1−1 n+1 Cn
n
(Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Trang 8Bài tập33: ĐH, CĐ – Khối B – Dự Bị 1 – Năm 2003
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
Bài tập34: ĐH, CĐ – Khối B – Dự Bị 2 – Năm 2003
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em, trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách như vậy
Bài tập35: ĐH, CĐ – Khối D – Năm 2003
Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của ( x2+ 1 )n(x +2)n Tìm n để a3n-3 = 26n
Bài tập36: ĐH, CĐ – Khối D – Dự Bị 1 – Năm 2003
Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau
Bài tập37: ĐH, CĐ – Khối D – Dự Bị 2 – Năm 2003
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
Cn2Cn n −2+2 Cn2Cn3+Cn3Cn n −3=100
Trong đó Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử
Bài tập38: CĐSP – Khối A – Năm 2002
Tìm số giao điểm tối đa của:
1 10 đường thẳng phân biệt
2 6 đường tròn phân biệt
3 số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng và 6 đường tròn
ĐS: 1 45 điểm ; 2 30 điểm ; 3 120 điểm
Bài tập39: CĐSP – Khối A – Dự Bị – Năm 2002
Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh
Bài tập40: CĐSP TD TW II – Năm 2002
Cho các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên
ĐS: 60 (số)
Bài tập41: CĐXD số 3 – Năm 2002
1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:
C2n1
+ C2 n3 +C2 n5 + +C2 n 2 n− 1=C2 n0
+ C2 n2 +C2 n4 + +C2 n 2 n
2 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245
ĐS: 20 (số)
Bài tập42: CĐSP Quảng Ngãi – Năm 2002
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau
ĐS: 54 số lẻ
Bài tập43: CĐSP Bến Tre – Khối A – Năm 2002
1 Giải phương trình: Cx1
+ 6 C2x
+ 6 C3x=9 x2−14 x
2 Chứng minh rằng: C201 +C203
+ C205 + +C2017+C2019=219
Bài tập44: CĐ Khối A, D – Năm 2003
Trang 9Chứng minh rằng : P1+2 P2+3 P3+ + nPn=Pn +1−1
Trong đó n là số nguyên dương và Pn là số hoán vị của n phần tử
Bài tập45: CĐGT II – Dự Bị – Năm 2003
Tính tổng: S=Cn1−2 Cn2+3 Cn3− 4 Cn4+ + (− 1)n −1 Cn n
Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử
Bài tập46: CĐGT III – Năm 2003
Tính tổng: S=Cn0
+ 1
2 Cn
1
+ 1
3 Cn
2+ + 1
n+1 Cn
n
biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
Cn n+ Cn n −1+Cn n −2=79
(Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS: S= 213− 1
Bài tập47: CĐ Tài Chính Kế Toán IV – Năm 2003
Chứng minh rằng: C20Cn −2 k +C21Cn −2 k −1
+ C22Cn− 2 k− 2=Cn k
(n k+2 ; và là các số nguyên dương, Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Bài tập48: CĐ Tài Chính Kế Toán IV – Dự Bị – Năm 2003
Giải bất phương trình: (n ! )3.Cn n.C2 n n C3 n n ≤720
(Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
0 ≤ n ≤2
n ∈ Z
¿ {
¿
¿
Bài tập49: CĐ Công Nghiệp Hà Nội – Năm 2003
Cho đa thức: P ( x )=(16 x −15 )2003, khai triển đa thức đó dưới dạng
P ( x )=a0+ a1x +a2x2+ + a2003x2003 Tính tổng: S=a0+ a1+ a2+ +a2003
Bài tập50: CĐ Khí Tượng Thủy Văn – Khối A – Năm 2003
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức: An3+2 Cn2=16 n
(An3 là chỉnh hợp chập 3, Cn2 là số tổ hợp chập 2 của n phần tử)
Bài tập51: CĐ Nông Lâm – Năm 2003
Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Niutơn của ( 1 3 +
2
3 x )15
ĐS: a10=3003 2
10
315
Bài tập52: CĐSP Tây Ninh – Năm 2003
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5; mỗi số có 5 chữ số phân biệt
Bài tập53: CĐ Cộng Đồng Tiền Giang – Năm 2003
Hãy khai triển nhị thức Niutơn của (1 − x )2 n, với n là số nguyên dương Từ đó chứng minh rằng:
1 C2 n1 +3 C2 n3 + +(2 n −1) C2 n 2 n −1=2C2 n2 + 4 C2 n4 + .+2 nC2 n 2 n
(Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Trang 10Bài tập54: Tính ∫
0
1
( 1 − x2)ndx (n là số nguyên dương) Từ kết quả đó chứng tỏ rằng:
1 − Cn
1
3 +
Cn2
5 −
Cn3
7 + +
(−1)nCn n
2 n+1 =
2 4 6 (2 n −2) 2 n
1 3 5 (2 n+1)
Trong đó: Cn m
m!(n − m)!
Bài tập55: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên phải khác 0
Bài tập56: Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng 2004 chữ số mà tổng các chữ số bằng 4
Bài tập57: Trong khai triển (3
√ a b + √3b
√ a )21 Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau
Bài tập58: Tính tổng: S=C20030
+ 1
3 C2003
2
+ 1
5 C2003
4
+ + 1
2003 C2003
2002
Bài tập59: ĐH – Bộ Quốc Phòng – Khối A – Năm 2002
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng các chữ số này chia hết cho 3
Bài tập60: ĐH – Bộ Quốc Phòng – Khối D – Năm 2002
Đa thức P ( x )= ( 1+x+ x2
)10 được viết lại dưới dạng: P ( x )=a0+ a1x + +a20x20 Tìm hệ số a4 của x4
Bài tập61: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2004
Tìm hệ số x8 trong khai triển thành đa thức của [ 1+x2(1 − x ) ]8
Bài tập62: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2004
Trong một nôn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Bài tập63: ĐH, CĐ – Khối D – Năm 2004
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của (3
√ x +41
√ x )7với x > 0
Bài tập64: Để viết số đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ cái ( có 30 chữ cái được dùng ) và 4 chữ số ( có 10 chữ số được dùng ) Hỏi tối đa có bao nhiêu xe hơi đăng ký.
Đs: 30 103. 4
Bài tập65: Có m cuốn sách bìa đen và n cuốn sách bìa xanh, các cuốn sách này khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách đó lên giá sách sao cho các sách bìa đen được xếp cạnh nhau.
ĐS: (n + 1)!.m!
Bài tập66: Trong một buổi họp mặt có 5 nam sinh và 5 nữ sinh Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai nam sinh hay hai nữ sinh nào ngồi cạnh nhau.
ĐS: 2.5!.5!