Tài liệu Phương pháp Diện Tích BDHSG Toan 8

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌCA – KIẾN THỨC CẦN NHỚ: aDiện tích hình chữ nhật: SABCD = a.b; Đường chéo d = bDiện tích hình vuông: SABCD = a2 ; Đường chéo d = a; SABCD = d2 *Trong c

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC

A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

a)Diện tích hình chữ nhật:

SABCD = a.b; Đường chéo d = b)Diện tích hình vuông:

SABCD = a2 ; Đường chéo d = a; SABCD = d2

*Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

c)Diện tích hình thang:

SABCD=(a+b).h; Nếu m là độ dài đường trung bình thì SABCD= m.h d)Diện tích hình bình hành:

SABCD = a.h e)Diện tích hình thoi:

SABCD = d1d2 = a.h; d12 +d22 = a2

f)Diện tích tam giác:

SABC = a.h; SABC = p.r

Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính được diện tích hình đó bằng những công thức mà ta đã biết Ngược lại các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ

về độ dài của các đoạn thẳng Sử dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh

độ dài các đoạn thẳng

Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó bằng phương pháp diện tích, ta chú ý các điểm sau: 1) Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

2) Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

3) Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích ta cần nắm vững:

+Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích của các hình.

+Sử dụng các tính chất:

-Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích.

-Nếu hai tam giác có chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy.

-Đường trung bình trong tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1:

3

-Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau.

-Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích bằng nhau.

-Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.

B – BÀI TẬP:

Bài 1: Cho tam giác đều ABC và một điểm M nằm trong tam giác đó Chứng minh tổng các

khoảng cách từ điểm M đến các cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

2 1

E A

C

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M di chuyển trên cạnh BC Chứng minh tổng

các khoảng cách từ điểm M đến các cạnh AB, AC của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

Bài 3: Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó Lấy điểm A cố định trên tia Ox, điểm B cố định

trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot Tia Ot cắt AB tại M

Chứng minh rằng SAOC = SBOC khi và chỉ khi M là trung điểm của AB

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân ghiác AD Vẽ DH vuông góc với AB Đặt

DH = d, AB = c, AC = b Chứng minh: = +

Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong hoặc ở trên một cạnh của tam giác, sao cho

SMBC = SMAB + SMAC Chứng minh rằng M di động trên một đoạn thẳng cố định

Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích S Gọi M, N là các trung điểm của AC và BC Chứng

minh SABNM = 3

4S

Bài 7: Cho tam giác ABC các đường cao BH,CK Gọi D và E là hình chiếu của B và C trên

HK Chứng minh:

a) DK=HE b) S BKC S BHC S BCED

Bài 8: Cho ABC cân tại A Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CA Tia phân

giác của góc A cắt BM tại N, cho biết: SNBC=10 Tính SABM

Bài 9: Cho tam giác ABC trung tuyến AD và phân giác BE vuông góc với nhau cắt nhau tại F.

Cho biết SEFD = 1 Tính SABC

Giải: Gọi x = SABC

1

 

4 ABC 3 ABC 4 3

 x 12

Bài 10: Chứng minh định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông bình phương của cạnh huyền

bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông

Chứng minh:

Lấy các cạnh của tam giác ABC có Â=900 làm cạnh dựng ra ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ABFG, ACMN lần lượt có diện tích là: SBCDE=BC2=a2,

SABFG=AB2=c2, SACMN=AC2=b2

Ta phải chứng minh SBCDE = SABFG + SACMN hay a2 = b2 + c2

Kẻ đường cao AH của ABC kéo dài cắt DE tại K

+ Ta chứng minh SABFG = SBHKE

Nối AE và CF: ABE = CBF (c-g-c) => SABE = SCBF (1)

FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là bằng AB

=> SCBF = SABFG (2)

ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này bằng

BH => SABE = SBHKE (3)

Từ (1), (2) và (3) => SABFG = SBHKE (*)

+Ta chứng minh SACMN = SCDKH

Nối BM và AD thì BCM = DCA (c-g-c) => SBCM = SDCA (4)

BCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao bằng nhau và bằng AC

=> SBCM = SACMN (5)

ACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao bằng nhau và bằng

KD => SACD = SCDKH (6) Từ (4), (5) và (6) => SACMN = SCDKH (**)

Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta được: SBHKE = SABFG

SCDKH= SACMN

SBCDE= SABFG + SACMN

Hay a2 = b2 + c2

Bài 11: Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E,

F (B nằm giữa A và D; C nằm giữa B và E ; A nằm giữa C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC

và AF = AC Gọi s là diện tích của ABC Tính diện tích DEF theo s

Giải:

Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích Xét ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) =>

SABC = SACE = s

=> SABE = SABC + SACE = 2s AED có EB là trung tuyến (AB = BD) =>

SABE = SBED = 2s

=> SAED = SABE + SBED = 4s BCF có BA là trung tuyến (AC = AF) =>

SABC = SBAF = s CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) =>

SACE = SAEF = s => SCEF = SACE + SAEF = 2s AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) =>

SDBF = SBAF = s => SAFD = SDBF + SBAF = 2s

SDEF = SAED + SAFE + SAFD = 4s + s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s

Cách 2:

Kẻ BI  AC và EH  CF

Chứng minh vuông BIC =  vuông EHC (Cạnh huyền và góc nhọn) => BI = EH

Ta có AC = AF và AC + AF = CF => CF = 2AC

=> SCEF = 2SABC = 2s (hai tam giác có cùng đường cao nhưng cạnh đáy CF của CEF gấp hai lần cạnh đáy AC của ABC)

Tương tự ta cũng chứng minh được: SADF = 2SABC = 2s và SBDE = 2SABC = 2s

Mà SDEF = SABC + SBED + SCFE + SAFD = s + 2s + 2s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s

Bài 12: Chứng minh rằng nếu một tam giác có số đo các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác

nhỏ hơn

Phương pháp:

*Nếu tam giác đều có cạnh bằng 1 thì diện tích là

* Nếu tam giác đều có cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích nhỏ hơn

Chứng minh: Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất, AB< 1 Trên nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác đều ABC’ có cạnh AB<1

=> SABC’ < và AC ≤ AC’, BC ≤ BC’

Từ C và C’ của ABC và ABC’ kẻ hai đường cao tương ứng có chiều dài là h và h’ => h≤ h’

=> SABC = AB.h và SABC’ = AB.h’, do h ≤ h’ => SABC ≤ SABC’

Mà SABC’< (vì cạnh AB của tam giác đều ABC’ nhỏ hơn 1) Vậy SABC <

B

C A

D

E F

Bài 13: Chứng minh định lý: “Trong một tam giác chân đường phân giác trong của một góc

chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.”

H

F E

D

A

Kẻ đường cao AH ( AH  BC) và từ D kẻ DE  AB , DF  AC Theo tính chất tia phân giác của góc ta có DE = DF (DE và DF là khoảng cách từ điểm D trên tia phân giác AD của góc A đến hai cạnh AB và AC )

Ta có SABD = AH.BD = AB.DE

SADC = AH.DC = AC.DF

=> =

DF AC

DE AB

CD AH

BD AH

2 1

2 1

.

2

1

.

2

1

 = = (vì DE = DF) Vậy =

Bài 14: Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh

đối Chứng minh rằng: AOD BOC

1

S +S =

2S ABCD

Bài 15: Cho hình vuông ABCD tâm O có diện tích S Một góc vuông xOy có Ox xắt AB tại E,

Oy cắt BC tại F Tính diện tích tứ giác OEBF theo S

Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a M, N là trung điểm của AD và CD Nối BN và CM cắt

nhau tại E Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp 5 lần diện tích tam giác BEC

Cách 1:

Để chứng minh SHV/ABCD = 5SBEC Ta chuyển về tính

SBEC = a2

Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a

+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE

=> PQ là đường trung bình của tam giác BEC

=> PQ = CE (1)và PQ // CE

Có CM  BN tại E; BQP = CEN (gcg)

=> PQ = NE

=> 2NE = BQ và BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ =

QE = CE = 2EN

Ta có: BN = BQ + QE + EN = 5NE => NE = BN => CE

= BN hay =

ECH ~ BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a

SBEC = BC.EH = a.a = a2 Mà SABCD = a2 Vậy SBEC=S HV/ABCD hay SABCD= 5SBEC

H P

Q

E

M

N

Cách 2:

+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE Chứng minh: CM  BN tại E

BQP = CEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE

Ta có BE = BQ + QE = CE + CE = 2CE

Trong  vuông BEC có BC2 = BE2 + CE2 = (2CE)2 + CE2 = 5CE2

=> CE =

5

2

BC

=

5

2

a

= a5 => BE = 2CE = 2 a5

BEC vuông tại E: SBEC = CE.BE =

5

a

.2

5

a

= a2 Mà SABCD = a2 , nên SABCD = 5.SBEC

Bài 17: Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC,

CD, AD Tính diện tích tứ giác MNPQ theo S

Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S Kẻ AE vuông góc với BC và AF vuông góc

với CD

a) Chứng minh:

AF

BC

 b) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB, AD Tính diện tích tứ giác AMCN theo S

Bài 19: Cho tứ giác ABCD có góc A, góc C bằng 900 Vẽ CH vuông góc với AB Biết rằng đường chéo AC là đường phân giác của góc A và CH = a Tính diện tích tứ giác ABCD theo a

Bài 20: Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O

a) Chứng minh: SAOD SBOC

b) Cho biết SAOB 9; SCOD 25 Tính SABCD

Bài 21: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M; N lần lượt là trung điểm của 2 đáy BC và

AD Một đường thẳng song song với hai đáy và cắt AB; MN và CD lần lượt tại E, O, F Chứng minh: O là trung điểm của EF Hướng dẫn: Chứng minh SMEN=SMFN

Bài 22: Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD Chứng minh: SAOBSCOD SAODSBOC

Bài 23: Các điểm M và N nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho

AN=CM Gọi I là giao điểm của AN và CM Chứng minh ID là tia phân giác của góc AIC

Bài 24: Gọi O là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là a; b Tính

tổng diện tích tam giác OAB và OCD theo a và b

Bài 25: Nối các đỉnh B và C thuộc đáy của tam giác ABC cân với

trung điềm O của đường cao AH Các đường thẳng này cắt các cạnh

bên AC và AB lần lượt ở D và E Tính diện tích tứ giac AEOD theo

SABC

Hướng dẫn: Do O là trung điểm của AH nên kẻ đường trung bình

Gọi N là trung điểm của DC suy ra HN là đường trung bình của tam

giác AHN AD=DN=NC=1/3AC; SAHC=1/2SABC; SAOC=1/2SAHC

Bài 26: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng: SABG  SACG  SBCG

Bài 27: Cho ABC Trên các tia AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P theo thứ tự sao cho BM=AC, CN=AB, AP=BC CMR: SAPB.SBMC.SCNA=(SABC)3

E

N D

H

A

Kẻ đường cao BH, AK, CF của ABC Ta cĩ:

 

2

APB

APB ABC ABC

S BH AP S AP

S AC

S BH AC

Tương tự và











Nhân từng vế của 3 đẳng thức   1 ,   2 ,   3 ta cĩ:

Bài 28: Cho hình thang ABCD (AB//CD) khoảng cách từ trung điểm M của AD đến BC là

MH Chứng minh: SABCD=MH.BC

Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh DC lấy điểm F sao

cho AE=CF M là điểm tùy ý trên cạnh AD Gọi G, H lần lượt là giao điểm của EF với MB,

MC Chứng minh: SAEGM+SMHFD=SGBCH

Bài 30: Cho tam giác ABC đường cao AH và tam giác DBC đường cao DK Biết 1

2

AH  DK Chứng minh: SDBC=2SABC

Bài 31: Cho tam giác ABC trung tuyến AM gọi I là trung điểm của AM, tia CI cắt AB tại E.

Gọi F là trung điểm của EB Biết SABC=36 cm2 Tính SBFC

Bài 32: Cĩ tam giác nào cĩ độ dài ba đường cao là 3cm, 4cm,7cm khơng?

Bài 33: Chứng minh rằng nếu các đường cao ha, hb, hc của tam giác thỏa mãn

1

   

   

    thì tam giác đĩ là tam giác vuơng

Bài 34: Tam giác cĩ các cạnh và các đường cao tương ứng thỏa mãn a+ha=b+hb thì tam giác

đĩ là tam giác gì?

Bài 35: Cho ABC các đường cao AA’; BB’; CC’ trực tâm H CMR: ' ' ' 1

AA  BB HH 

Bài 36: Cho điểm O nằm trong tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác

tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng:

A B B C C A

A C B A C B 

OA OB OC

OA OB OC 

Hướng dẫn: Phần d,e sử dụng các BĐT: a b 2

ba  và a b 2 4ab Xảy ra dấu bằng khi a=b

Bài 37: Cho tứ giác ABCD cĩ các cạnh là a, b, c, d và diện tích S C/minh:

4

Bài 38: Cho tam giác ABC cĩ diện tích là s, các đường trung tuyến AD, BE và CF Gọi s’ là

diện tích tam giác cĩ độ dài các cạnh bằng AD, BE và CF Chứng minh rằng s’ = s

H

C

A

B

P

N

M