Bài soạn DE_TAI_SO_NGUYEN_TO nop 2-1-2011

Việc giải bài toán toán học là một bộ phận không thể tách rời của quá trình tri thức.Nói trên và chuẩn bị cho hành động.Vì thế mà tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm về số nguyên tố, đ

Mục tiêu giáo dục nớc ta đã đợc khẳng định trong Điều 2- Luật Giáo dục là:

“Đào tạo con ngời Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, có tri thức, có sứckhoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tởng độc lập dân tộc và chủnghĩa xã hội, hình thành và bồi dỡng nhân cách, phẩm chất, năng lực công dân,

đáp ứng yêu cầu dân dựng và bảo vệ Tổ quốc”

Để đạt đợc mục tiêu phát triển giáo dục thì mỗi bậc học, cấp học lại có mụctiêu riêng của mình Mục tiêu phát triển của giáo dục tiểu học đã đợc Hội nghị lầnthứ 2 Ban chấp hành TW Đảng khoá VIII chỉ rõ: “ Nâng cao chất lợng giáo dụctoàn diện, đổi mới cơ cấu tổ chức, cơ chế quản lý, nội dung, phơng pháp, thực hiệnchuẩn hoá, hiện đại hoá, chấn hng nền giáo dục Viêt Nam”

Điều 24 - Luật Giáo dục đã chỉ rõ yêu cầu cụ thể về nội dung, phơng phápgiáo dục các bậc học là:“ Nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện bậc học yều cầu

về nội dung, phơng pháp giáo dục bậc học phải đảm bảo cho học sinh có kỹ năngcơ bản về nghe, nói, đọc, viết, tính toán, hiểu biết đơn giản, cần thiết về tự nhiên xãhội và con ngời”

Toán học có vai trò to lớn trong việc dạy và học và có ý nghĩa thiết thực đối với cuộc sống hàng ngày, bản thân tri thức là một quá trình có nội dung phong phú Tri thức với t cách là một quá trình là một giai đoạn chuẩn bị cho hành động

"Muốn cho chúng ta trở thành những con ngời thông minh, chúng ta phải dạy cho con ngời biết cách học, học không phải để học mà biết, biết không phải để mà biết,

mà để biết dùng đôi tay mà hành động" Quan điểm hiện đại về sách giáo khoa toán cũng nhấn mạnh vai trò của bài tập toán học theo đặc điểm về chức năng cơ bản bài tập toán học đợc chia làm 3 nhóm :

Nhóm 1: Nhằm củng cố tri thức,tái hiện những điều đã học, bớc đầu hệ thống hoá khái niệm, các sự kiện rèn luyện kỹ năng chuẩn bị tiếp thu kiến thức mới

Nhóm 2: Góp phần nắm vững trình độ lôgíc và t duy

Nhóm 3: Đòi hỏi việc vận dụng kiến thức vào thực tế (thực hiện các hành

động, hoàn thành công việc nắm kỹ sảo)

Việc giải bài toán toán học là một bộ phận không thể tách rời của quá trình tri thức.Nói trên và chuẩn bị cho hành động.

Vì thế mà tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm về số nguyên tố, đây là loạikiến thức hiểu biết về số học mà đôi khi học sinh học còn gặp nhiều khó khăn

Bài tập về số nguyên tố cũng có vai trò của bài tập toán học nói chung Tức

là chỉ ra sự áp dụng lý thuyết vào thực hành và đảm bảo hiểu lý thuyết Chỉ có trong quá trình áp dụng lý thuyết và những ví dụ cụ thể vào những bài tập thực hành mới có thể hiểu lý thuyết một cách đầy đủ

Trong quá trình dạy toán, học toán về phần số nguyên tố một trong những vấn đề cần thiết để nâng cao chất lợng dạy và học là làm thế nào để đáp ứng đợc nhu cầu học tập đối tợng tiếp thu kiến thức học sinh, làm thế nào để cho học sinh làm nhanh, chính xác và có kỹ năng tính nhẩm Để từ đó tạo điều kiện cho học sinh có hứng thú, tự giác chủ động tìm tòi phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức, kỹ năng đã thu nhận đợc

tự điều khiển quá trình học tập

Trong quá dạy học ngời giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ năng thực hành, tính toán, đặc biệt cần phải đổi mới phơng pháp dạy học cho học sinh Để học sinh nắm vững kiến thức trong học toán ngời giáo viên mới tìm đợc các định hớng, các giải pháp, các phơng pháp phù hợp để rèn luyện cho học sinh

kỹ năng đó, đồng thời ngời giáo viên mới xây dựng đợc nội dung dạy học thích hợp cho học sinh nhằm nâng cao chất lợng dạy và học

Kỹ năng tính toán của học sinh có nhanh, chính xác hay không trong quá trình học, thì ngời giáo viên phải tìm hiểu đợc những nguyên nhân khách quan và chủ quan để các em có hứng thú trong việc tính nhẩm đối với môn học Qua đó phát huy yếu tố tích cực, giảm tới mức tối đa các tác động tiêu cực trong việc tính toán không chính xác, tạo cho ngời học có hứng thú và niềm tin say mê tìm tòi vậndụng làm bài tập

Nắm bắt các nguyên nhân tích cực và tiêu cực nảy sinh hứng thú trong học tập môn Toán nói chung và phần số nguyên tố nói riêng của học sinh, còn có tác dụng giúp giáo viên có cơ sở thực tế phối hợp tốt với các em học sinh trong quá trình học Nói tóm lại khi làm các bài tập về số nguyên tố ngoài rèn kỹ năng tính toán học sinh còn khắc phục những sai sót, nhầm lẫn mắc phải Trong cuộc sống

hàng ngày khi tính toán sử dụng về số nguyên tố học sinh phải sử dụng bất cứ lúc nào, chỗ nào Vậy làm thế nào để học sinh vận dụng đợc nhanh hơn đợc nhanh hơn, chính xác hơn Tạo cơ sở cho các em tiếp tục học môn Toán và các môn học khác về tự nhiên.Vì vậy rèn luyện cho học sinh phơng pháp học toán là việc làm cần thiết với mỗi học sinh, và rèn cho các em làm quen và làm tốt về phần số nguyên tố là điều hết sức cần thiết cho quá trình học toán và trong cuộc sống hàng ngày

II.Mục đích nghiên cứu

1 Tìm hiểu phân tích lý thuyết và bài tập về số nguyên tố liên quan đến quá trình học, phơng pháp dạy học toán

2 Nghiên cứu thực tiễn và các nguyên nhân của thực tiễn

3 Bớc đầu xây dựng các phơng pháp học và thực hành làm cho học sinh tự giác chủ động tìm tòi trong học toán về số nguyên tố

III Đối tợng - Phạm vi nghiên cứu:

1 Đối tợng nghiên cứu :

a Tài liệu chọn làm đề tài: Tài liệu nói về số nguyên tố

b Đối tợng tiếp thu chơng trình : Học sinh lớp 6

2 Phạm vi nghiên cứu:

IV Các phơng pháp nghiên cứu:

1 Nghiên cứu tài liệu : Thông qua các sách tham khảo và tài liệu cố gắng chắt lọc

xây dựng phần lý luận cho sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho phần giảng dạy thực nghiệm và triển khai dạy trên lớp

2 Phơng pháp điều tra :

* Phơng pháp lập phiếu: Thông qua các phiếu điều tra nắm đợc mức độ nắm đợc

kỹ năng vận dụng giải toán của học sinh

* Phơng pháp trò truyện : Tìm hiểu hứng thú của học sinh trong học toán để tìm ranguyên nhân của học sinh học yếu môn toán và học yếu về phần số nguyên tố

3.Phơng pháp thực nghiệm trong giảng dạy.

Thực nghiệm trong giảng dạy giúp cho giáo viên tạo nên các tác động s phạm, từ

đó đánh giá kết quả của các tác động này.đặc trng của thực nghiệm giáo dục là nódiễn ra một cách tự phát mà dới sự điều khiển của Giáo viên Giáo viên tổ chứcquá trình giáo dục một cách có ý thức, có mục đích , có kế hoạch, tự giác thiết lập

và thay đổi những điều kiện thực nghiệm phù hợp với mục tiêu đã đề ra

Thực nghiệm giáo dục cho phép giáo viên một lần nữa, củng cố, điều chỉnh,thêm, bớt các điều kiện của giả thiết khoa học hoặc cũng có thể bác bỏ giả thiết

Thực nghiệm giáo dục là một phơng pháp nghiên cứu hiệu lực song tiếnhành rất công phu: Thực nghiệm đựoc tiến hành trên mẫu chọn lọc, rồi mở rộng,rồi lặp đi lặp lại nhiều lần Giả thiết đợc khẳng định sau những lần thực nghiệm ấy.Qua thực nghiệm phát hiện và bồi dỡng các nhân tố tích cực trong bộ môn

PHẦN II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I XÂY DỰNG KHÁI NIỆM VỀ SỐ NGUYÊN TỐ- HỢP SỐ

1 Định nghĩa và tính chất của số nguyên tố

a Định nghĩa: Ta đã biết trong tập hợp số tự nhiên lớn hơn 1, mọi số tự

nhiên khác 1 đều có ít nhất hai ước số là 1 và chính nó Nếu một số tự nhiên ngoàihai ước số 1 và chính nó còn có ước số khác Đó gọi là ước số thực của số tựnhiên

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước số thực nào

Số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố gọi là hợp số

Ví dụ: 2; 3; 5 là các số nguyên tố

4; 15 là hợp số

Từ định nghĩa trên ta thấy: Tập hợp số tự nhiên dương là hợp của ba tập hợp

Số 1; số nguyên tố; hợp số

b Định lí: ước số nhỏ nhất (ƯSNN) khác 1 của một hợp số là một số nguyên

tố và không lớn hơn căn bậc hai của một số ấy

Chứng minh: Giả sử a là hợp số và q\a; q≠1 và q nhỏ nhất, cần chứng minh

Ví dụ: ƯSNN khác 1 của 75 là số nguyên tố 3 và 3<

Ước số nguyên tố kgacs 1 của 49 là số nguyên tố 7 và 7= ;

* Hệ quả: Nếu một số tự nhiên M khác 1 và không chia hết cho mọi số

nguyên tố không lớn hơn căn bậc hai của nó thì số đó là số nguyên tố

Thật vậy: Giả sử M không phải là số nguyên tố thì theo định lý trên M lạichia hết cho số nguyên tố q ; điều này trái với giả thiết

đề ra: "Muốn tìm tất cả cá số nguyên tố không lơn hơn M thì viết tất cả các số đó

ra Sau đó bỏ đi số 1 và tất cả các bội số của số nguyên tố không lớn hơn (trừ bội

số là chính số đó), những số còn lại là những số nguyên tố

Thật vậy: Giả sử có một số A M chưa bị xóa là hợp số thì A phải có ước sốthực sự nhỏ nhất q 

Nói cách khác A là bội số của số nguyên tố q

Theo phương pháp trên thì A đã được xóa đi rồi

Cũng cần chú ý rằng: Khi đã xóa đi tất cả ác bội số của các số nguyên tố béhơn số nguyên tố p (trừ bội số là chính nó) thì tất cả các số nhỏ hơn p2 không bịxóa đều là số nguyên tố

Thật vậy: Giả sử A<p2 không bị xóa mà là hợp số thì A phải là ước số thực

sự nhỏ nhất q, mà q < p

Như vậy A là bội số của q mà q<p nên A đã được xóa đi rồi

Do vậy trong thực hành ta lần lượt bỏ đi bội số của các số nguyên tố lớn dần2; 3; 5; 7 ; p; Và khi bỏ đi các bội số của số nguyên tố nào thì chỉ câcf bỏ đicác bội số lớn hơn hay bằng bình phương của số nguyên tố đó thôi

Ví dụ: Tìm tất cả các số nguyên tố không lớn hơn 145

Muốn vậy: Ta viết tất cả các số từ 1 đến 145 Bỏ đi số 1 và tất cả các bội sốcủa các số nguyên tố không lớn hơn < 13 Cụ thể là bỏ đi các bội số của 2, 3, 5,

7, 11 trừ các số đó Khi bỏ đi các bội số của 2 sẽ bắt đầu bỏ đi từ 22 = 4 Khi bỏ đicác bội số của 2 sẽ bắt đầu bỏ đi từ 32 = 9 và cuối cùng bỏ đi các bội số của 2 sẽbắt đầu bỏ đi từ 112 = 121 trở đi Những số còn lại không bỏ đi là số nguyên tố

* Định lý: Dãy số các số nguyên tố là vô hạn

Giả sử các số hữu hạn các số nguyên tố: 2 3, 5, 7 , p ( p là số nguyên tố lớnnhất) ta chứng minh rằng: bao giờ cũng tìm được số nguyên tố q mà q > p

Thật vậy, ta để ý đến các số T, S thành lập như sau:

T = 2.3.5 p

và S = T + 1

Rõ ràng S ≠ 1 nên ta có hai trường hợp xảy ra:

1) Nếu S là số nguyên tố thì S = q > p, định lý đã được chứng minh

2) Nếu S là hợp số thì theo định lý ở mục 1.b ỨNN khác 1 của S là số nguyên

tố q không thể là số nguyên tố 2, 3, 5, , p Vì như vậy: q\ S; q\T nên q\1 Điều này

vô lý vì q≠ 1 Vậy số nguyên tố q > p.

II PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ:

1 Định lý: Một số tự nhiên a hoặc là bội số của số nguyên tố p hoặc nguyên

tố với p

Chứng minh: Theo giả thiết p là số nguyên tố nên p chỉ có 2 ước là 1 và chính

nó (p) Do đó, (a,p) = p hoặc 1 Cho nên hoặc a p hoặc (a,p) = 1

* Định lý: Nếu một số nguyên tố chia hết một tích các thừa số thì nó chia hết

ít nhất một trong các thừa số đó

Chứng minh: Theo giả thiết p là số nguyên tố và a1, a2, , an  p

Giả sử: Mọi ai (i = 1, 2, n) đều không chia hết cho, theo định lý trên (ai,p)

= 1 (i = 1, 2, n)

Và như vậy thì (a1, a2, , an ) = 1

Điều này trái với giả thiết a1, a2, , an  p

Vậy có ít nhất một ai  p

* Hệ quả: Nếu một số nguyên tố chia hết một tích các số nguyên tố thì nó

phải bằng một trong các thừa số nguyên tố đó

Thật vậy: Theo định lý trên, số nguyên tố phải chia hết ít nhất một số nguyên

tố khác Điều này chỉ xảy ra khi hai số nguyên tố đó bằng nhau

2 Định lý: Mỗi hợp số đều có thể phân tích được thành một tích những thừa

số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự của các thừa số thì kết quả của sự phântích là duy nhất

Chứng minh:

* Chứng minh sự phân tích được:

Gọi a là hợp số thì a có ước số nguyên tố p, khi đó a = p.a1

Nếu a1 là số nguyên tố thì việc phân tích là xong

Còn nếu a1 không là số nguyên tố thì a1 = p2.a2, p2 là số nguyên tố Và cũnglập luận tương tự như trên

Ta nhận thấy: a > a1 > a2 >

nên quá trình phân tích là hữu hạn Và cuối cùng ta được:

a = p1.p2.p3 pn

Trong đó, pi là các số nguyên tố có thể trùng nhau

* Chứng minh sự phân tích là duy nhất:

Do vậy, với một số tự nhiên chỉ có một dạng phân tích thành một tích cácthừa số nguyên tố Nếu ta hợp các thừa số trùng lại thì ta sẽ được dạng phân tíchtiêu chuẩn của a là:

a = p11 p22 pkk

(pi là các số nguyên tố, còn i là các số tự nhiên)

3 Phương pháp phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

Trong thực tế dựa vào tiêu chuẩn chia hết và có khi cả phép thử, người taphân tích một số ra thừa số nguyên tố như sau:

121 11

11 11 1 Vậy: 4116420 = 22.55.5.7.112

Trong cacs trường hợp đặc biệt, nếu một số là tích của hai số đã biết dạngphân tích thì áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cho nhanh

Ví dụ: 16000 = 16.1000 = 24.23.53 = 27 53

4 Chú ý: Từ định lý trên (2) chúng ta thấy mọi số nguyên a khác 0 và khác

 1 đều có dạng phân tích tiêu chuẩn sau:

a =  p11 p22 pnn

Với pi (i = 1, 2, , n) là số nguyên tố

j (j = 1, 2, , n) là số nguyên dương

Thật vậy, khi a ≠ 0 và a ≠  1 ta chia làm hai trường hợp.

- Nếu a > 1 thì a = pi khi a là số nguyên tố

a = p11 p22 pnn khi a là hợp số

- Nếu - a = p11 p22 pnn hoặc - a = pi

và do đó: a = - p11 p22 pnn hoặc a = - pi

III ỨNG DỤNG SỰ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN

TỐ ĐỂ TÌM ƯCLN VÀ BSCNN CỦA NHIỀU SỐ:

1 Định lý:

Cho a là một số nguyên dương có dạng a =  p11 p22 pnn thì số nguyên

d là ước của a khi và chỉ khi nó có dạng phân tích:

d =  p11 p22 pnn

thì ước 0 < i < i (i = 1, 2, 3, , n)

* Chứng minh:

+/ Điều kiện ắt có: Cho d\a thì a = dq

Đẳng thức này chứng tỏ mọi ước số nguyên tố của d đều là ước nguyên tố của

a và số mũ của số nguyên tố đó trong dạng phân tích của d không lớn hơn số mũcủa nó trong dạng phân tích của a

2 Tìm ƯCLN của nhiều số:

Cho các số a1, a2, , an và dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của a1, a2, ,

3 Tìm BSCNN của nhiều số:

Cho các số nguyên a1, a2, , an Gọi p1, p2, , pk là các số nguyên tố Giảsử:

Phân tích các số trên ra thừa số nguyên tố và áp dụng các làm trên ta được: [192; 240; 288; 336] = 26 32 5 7 = 20180

IV MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC VỀ NGUYÊN TỐ:

1 Trong phần trên ta đã biết tập hợp các số nguyên tố là tập hợp vô hạn và ta

đã biết cách tìm các số nguyên tố không vượt quá một số tự nhiên cho trước bằng

"Sàng Eratosthene" Lịch sử toán học đã ghi nhận kết quả của nhiều nhà toán họclập các bảng số nguyên tố

+ Lamberta (1728 - 1777) đã lập bảng các số nguyên tố từ 1 đến 102000+ Đến năm 1891 Secniki đã cho ra số nguyên tố đến 1020000

+ Đến 1914 Lome cho ra đời bảng số nguyên tố từ 1 đến 10006721

2 Số nguyên tố lớn nhất mà chúng ta đã biết là số nào?

Bằng phương pháp chứng minh khác với phương pháp lập bảng, năm 1883nhà toán học Pecvukhin đã chứng tỏ số 261 - 1 = 230584300921369351 là sốnguyên tố

Trong thời gian gần đây nhờ máy tính điện tử người ta đã tìm được số nguyêntố:

24423 - 1 có 1332 chữ số trong hệ ghi cơ số 10

Số nguyên tố có dạng 2p - 1 gọi là số nguyên tố mecsen

Ta chứng minh: Mp = 2p - 1 là số nguyên tố thì p là số nguyên tố

3 Khi nghiên cứu về dãy số nguyên tố ta thấy:

Trong 10 số tự nhiên đầu có 4 số nguyên tố

Trong 100 số tự nhiên đầu có 25 số nguyên tố

Trong 1000 số tự nhiên đầu có 168 số nguyên tố

Trong 100000 số tự nhiên đầu có 78498 số nguyên tố

Và càng về sau số nguyên tố càng thưa dần

* Những vấn đề xung quanh số nguyên tố còn nhiều điều bí ẩn và hấp dẫn để loài người tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu.