ve don gian hoa la mĩ thuật 4 nguyễn văn toại thư viện tư liệu giáo dục

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths.[r]

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Nguyễn Dương 093 252 8949

………

Ứng Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

(phần 1)

I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

Ví dụ 1:

Giải phương trình 3x = 4 - x

Bài giải:

Tập xác định D= R Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0

Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 Hàm số xác định và liên tục trên R

f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0  x R Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R  phương trình (1) có không quá một nghiệm mà f(1) = 0 ; vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

ví dụ 2 :

giải phương trình : 4x1 4x2 1 1

bài giải :

điều kiện : 2

2

x

x x

 





 

xét hàm số f x( ) 4x1 4x21 xác định và liên tục trong nửa đoạn

1

; 2







x

f x

1 2

x

 

; vậy hàm số đồng biến trên nửa đoạn

1

; 2





  phương trình (1) không có quá một nghiệm mặt khác

( ) 1

là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình sau : 7x 7 7x 6 2 49 x27x 42 181 14  x (1)

Bài giải :

(1) 7x 7 7x 6 2 49 x27x 42 181 14  x0

Đặt t  7x 7 7x 6 t2 14x2 49x27x 42 (t 0)

Phương trình trở thành : t2 t 182 0  14 t 13 kết hợp điều kiện (t 0)

ta được : 0 t 13 (1) 7x 7 7x 6 1 3 (2) ; điều kiện

6

; 7

x  



1) Định lí 1:

Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một

nghiệm D

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x = x0 nghĩa là f x( )0 m

Nếu x x 0 thì f x( ) f x( )0 m  phương trình vô nghiệm

Nếu x x 0 thì f x( ) f x( )0 m  phương trình vô nghiệm

Chú ý :

Nếu hàm số f x( ) luôn nghịch biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một

nghiệm D

Cách chứng minh hoàn toàn giống với định lí được phát biểu ở trên

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Nguyễn Dương 093 252 8949

………

xét hàm : f x( ) 7x 7 7x 6 ; hàm số xác định và liên tục trên

6

; 7

x  



ta có

7

6

; 7

x  

 ; mặt khác

(6) 13

f  nên f x( ) 13  x6 vậy nghiệm của bất phương trình là

6

6

7 x hay

6 6 7

x  



Ví dụ 4:

giải bất phương trình x6 7 x 1

bài giải:

Tập xác định D = - 6; 7 Xét hàm số f(x) = x6 7 x

Ta có f’(x) =

0

2 x6 2 7 x   x  (- 6; 7)

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn - 6; 7

Mặt khác f(3) = 1 Do đó bất phương trình tương đương với f(x)  f(3)  x  3

Bài Tập áp dụng

bài tập 1: Giải phương trình x1 x2 3

bài tập 2: Giải phương trình : x1x3 4x5

bài tập3: Giải phương trình: logx11 x

bài tập 4: Giải phương trình:

9x  (13 x ).3x  9x 36 0

bài tập 5 :Giải bất phương trình x 9 2x4 5

bài tập 6: Giải bất phương trình x2 2x 3 x2 6x11 3 x x1

bài 8 : Giải bất phương Trình 2x  1 7 x

Bài tập 9: Giải bất phương trình x3 3x2 6x16 2 3 4 x

Bài tập 10 : Giải bất phương trình

6

3 x  2 x 

Ví dụ 1 :

Giải phương trình :

2

2

3

x

Định lý 2 : cho hàm số yf t( ) ; xác định trên D

Nếu yf t( ) là hàm luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , với x y D, 

Nếu xy  f x( ) f y( ) phương trình f x( )f y( )

Nếu x y  f x( ) f y( ) phương trình f x( )f y( )

Vậy để f x( )f y( ) thì xy ( khi yf t( ) là hàm luôn nghịch biến làm hoàn toàn tương tự)

Bài giải:

Tập xác định D = R Phương trình đã cho tương đương với

log (x x3) ( x x3) log (2 x 4x5) (2 x 4x5) (*)

http://chuyentoan.wordpress.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Nguyễn Dương 093 252 8949

………

Xét hàm số f(t) = log t t3  Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ )

f’(t) =

1

1 ln 3

t  > 0 t > 0 Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ )

Phương trình (*)  f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)

 x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 

2

x

x







Ví dụ 2 :

Giải phương trình :

2

2x 2x x (x 1)

   (1)

Bài giải :

(1)

2x 2x x x 2x 1 2x 2x x (x x) (x 1) 2x (x 1) 2x x (x x)

trung gian : f t( ) 2 tt ; t R

f t'( ) 2 ln 2 1 0 t   t , vậy f t( ) là hàm đồng biến

vậy f x( 1)f x( 2 x) x1x2 x x2 2x  1 0 x1

Bài Tập Áp Dụng

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

4

x 2x

y







Bài tập 2: Giải hệ phương trình

1

x 3x

y







Bài tập 3: Giải hệ phương trình







Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

x







Bài tập 5 : giải phương trình 2009sin2x 2009cos2x cos2x

Bài tập 7 : giải và biện luận theo m :

2 2 2 2 2 4 2 2

5x mx 5 x mx m  x 2mx m

Bài tập 8 :Giải hệ Phương Trình

1







Bài tập 9 : Giả hệ phương trình

3

y x









Bài giảng này gồm tất cả 10 phần trên đây là phần 1 , các phần tiếp theo tôi tiếp tục đăng trên trang web của tôi để các bạn tham khảo

http://chuyentoan.wordpress.com Nha trang 8/2009