[r]
Trang 1Sở gd & ĐT thanh hoá
Trờng thpt triệu sơn 3
======***=====
đáp án – thang điểm
đề thi tuyển sinh vào 10 - thpt chuyên lam sơn
môn: toán chuyên
Bài 1
2 điểm
Câu1(1điểm)
Ta có 2+√3=4 +2√3
2 =¿ ¿ Do đó
2+√3
√2+√2+√3=¿ ¿ (1)
Tơng tự 2 −√3
√2 −√2 −√3=
√3 − 1
√6 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2+√3
√2+√2+√3+
2 −√3
√2 −√2−√3=√2
Vì 7
5<√2<
29
20 suy ra đpcm.
Câu 2( 1điểm)
ĐK : x 0
Ta có A=√x +
3
√2 −√3.√67+4√3− x
4
√9− 4√5 √2+√5+√x=√x+
3
√2 −√3 √6¿ ¿ ¿
¿
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2
2 điểm
Dễ dàng chứng minh đợc rằng : Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
áp dụng : Đặt a=( y − z )√31 − x3,b=(z − x )√31 − y3, c=(x − y )√31 − z3
Khi đó a + b + c = 0 nên a3 + b3 + c3 = 3abc hay:
¿¿ Biến đổi VT của đẳng thức trên , ta đợc VT=3(1 − xyz)(x − y)( y − z )(z − x)
Vì x,y,z đôi một khác nhau nên suy ra 1 − xyz=√3(1− x3)(1 − y3)(1− z3)
Do đó (1 − x 3 )(1 − y 3 )(1 − z 3
)= ¿
0,5
0,5 0,5 0,5
Trang 2Bài 3
2 điểm
Câu1(1điểm)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm là
= -3m2 + 4m + 4 0 −2
3 ≤ m≤ 2
Theo định lý Viét, ta có
x1+x2=4 −m
x1x2=m2− 3 m+3
¿ {
¿
¿
Do đó x1 + x2 = 6 (x1+ x2)2- 2x1x2 = 6 - m2- 2m + 4 = 0 m = -1 √5
Đối chiếu điều kiện ta đuợc m = -1 +√5
Câu 2( 1điểm)
Với điều kiện −2
3 ≤ m<2 và m 0 ta có:
mx12
1− x1+
mx22
1 − x2=
m[x12(1− x 2 )+x12(1 − x 1 )] (1− x 1 )(1− x 2 ) =
m[x12+x22− x1x2 (x1 +x2 )]
1+x1x2−(x1 +x2 )
m2− 6 m+1
Do đó , đặt
F=mx1
2
1− x1+
mx22
1 − x2+8 thì F = ( m – 3 )
2
Suy ra 1= ¿ Đpcm
0,5 0,5
0,5
0,5
Bài 4
2 điểm
ĐK : - x y x, x 0
Hệ PT
√x+ y+√x − y=4
1
2¿
¿
Đặt
u=√x + y v=√x − y
¿ {
¿
¿ ( u, v 0) Ta đợc
u+v =4
u4+v4=256
⇔
¿u+v=4
uv(uv −32)=0
¿ {
¿
¿
⇔
¿u+v=4
uv=32 ( VN)
¿¿
¿
0,5
0,5 0,5
0,5
Trang 3Bài Nội dung điểm
Bài 5
2 điểm
Câu1(1điểm)
ĐK : x 0, x 1 Ta có
¿
¿
x (x+1) Ta đợc
y2+2 y −15=0 ⇔
¿
¿
¿ Vậy phơng trình có 4 nghiệm −3 ±√21
6 ∨ − 5± 3√5
10
Câu 2( 1điểm)
ĐK: x 2
¿ √x2−3 x +2+√x+3=√x −2+√x2+2 x −3
⇔√x − 1√x − 2+√x+3=√x −2+√x −1√x +3
⇔(√x −1 −1)(√x −2 −√x − 3)=0 ⇔
¿
¿
¿ Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2
0,5
0,5
0,5 0,5
Bài 6
2 điểm
Câu1(1điểm)
Vẽ (P) ( học sinh tự vẽ)
Phơng trình đờng thẳng (d): y = mx – 2
Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):− x
2
4=mx −2 ⇔ x2
+4 mx− 8=0
Vì Δ'=4 m2
+ 8>0,∀ m∈ R nên phơng trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt Do
đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Câu 2( 1điểm)
Giả sử A(xA;yA) , B( xB;yB) thì xA và xB là hai nghiệm của phơng trình
x2 + 4mx – 8 = 0 và
y A=mxA − 2
y B=mxB − 2
¿ {
¿
¿
Khi đó
AB=√ ¿ ¿
¿ Vậy AB min = 4√2⇔ m=0
0,5 0,5
0,5 0,5
Trang 4Bài 7
2 điểm
Ta có hằng đẳng thức (x + y + z)3 – ( x3 + y3 + z3 ) = 3(x + y) (y + z)(z + x)
nên (x + y) (y + z)(z + x) = 8
Đặt c = x + y, a = y + z , b = z + x thì abc = 8 do đó a,b,c { 1, 2, 4,
8 }
Giả sử x y z thì c b a Ta có a + b + c = 2 ( x + y + z ) = 6 nên a 2
a) Với a = 2 ta có
b+c=4
bc=4
⇒b=c=2⇒ x= y=z=1
¿ {
¿
¿ b) Với a = 4 ta có
b+c=2
bc=2
¿ {
¿
¿ Không có nghiệm nguyên
c) Với a = 8 ta có
b+c=−2
bc=1
⇒b=c=−1⇒ x=−5 , y=z=4
¿ {
¿
¿ Vậy hệ có 4 nghiệm (1 ;1 ;1) ,(4 ;4 ;-5) (4 ;-5 ;4) (-5 ;4 ;4)
0,5 0,5 0,5
0,5
Bài 8
2 điểm
Gọi I là trực tâm của tam giác ABC Do AFHC và ABMC là các tứ giác nội
0,5 0,5 0,5
Trang 5
AM
AH +
BN
BE +
CK
CF =3+
HM
AH +
NE
BE +
KF CF
¿ 3+IH
AH+
IE
BE+
IF
CF=3+
S Δ BIC
S Δ ABC+
S ΔCIA
S Δ ABC+
S Δ AIB
S Δ ABC=4
Trang 6Bài 9
2 điểm
Đặt MA1 = x, MB1 = y , MC1 = z , ta có ax + by + cz = 2SABC Vì
(a
x+
b
y+
c
z)(ax + by+ cz)=a
2 +b2 +c2 + ab(x
y+
y
x)+bc(
y
z+
z
y)+ca(
z
x+
x
z)
a2 +b2 +c2 +2 ab+2 bc +2 ca= ¿
¿ Dấu bằng đạt đợc khi x = y = z Khi đó M trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 10
2 điểm
Phần thuận
Xét hai trờng hợp
Trờng hợp 1
P là giao điểm của BC và AD Gọi I là trung điểm của OA , khi đó ODM
OM=
OI
OD=
1
2)
ODM = OID = OCD (1)
Mặt khác OCD =BPD (2)
( cùng bằng một nửa tổng số đo hai cung BA và AC)
Từ (1) và (2) suy ra BPD = BID Tứ giác BDPI nội tiếp Vậy BIP = 1v
Từ đó P nằm trên đoạn thẳng I1I2 ( một phần đờng trung trực của đoạn OA)
0,5
0,5
Trang 7Trờng hợp 2
P là giao điểm của AC và BD , lúc đó P chạy trên hai tia I1x và I2y ( thuộc
đ-ờng trung trực của đoạn OA)
Tóm lại : Khi cát tuyến MCD thay đổi thì P chạy trên đờng trung trực xy của
đoạn OA ( trừ điểm I)
Phần đảo
Lấy điểm P bất kỳ trên đờng xy ( trừ điểm I) PA, PB cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm C, D tơng ứng Cần chứng minh M ,C ,D thẳng hàng
Thật vậy từ tam giác PBM cân tại P PMO =PBO =OCP
Lại vì tam giác POA cân và ABCD là tứ giác nội tiếp (O) nên
POM = PAO =BCD (4)
Từ (3) và (4) PCM + BCD = 1800 hay M, C, D thẳng hàng
Kết luận
Quỹ tích điểm P là đờng thẳng xy (từ điểm I)
0,5
0,5