Gióp c¸c em hoµn thµnh tèt bµi thi tèt nghiÖp THPT, tiÒn ®Ò ®Ó häc sinh b- íc tiÕp vµo t¬ng lai... ®ã cã thÓ coi lµ mét thµnh c«ng cña ngêi gi¸o viªn.[r]
Trang 1Sở giáo dục & đào tạo hà nội
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài
“ Phân loại bài toán
viết phơng trình mặt phẳng ”
sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: Hoàng Văn Tơi
- Ngày sinh: 23 / 07 / 1980
- Năm vào ngành: 2001
- Đơn vị công tác: Trung Tâm GDTX Mỹ Đức
- Trình độ chuyên môn: Cử nhân s phạm Toán học
- Hệ đào tạo: Từ xa
- Bộ môn giảng dạy: Môn Toán THPT
Hà nội – năm 2009 năm 2009
Trang 2A Lý do chọn đề tài
Bài toán viết phơng trình mặt phẳng là dạng toán hay và không quá khó trong chơng trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Mức độ t duy Lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc Những phát hiện lời giải hay và hấp dẫn ngời học
Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ không gian trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng
Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX tôi thấy nhìn chung đối tợng học sinh ở mức trung bình yếu, mức độ t duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này, để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi
đa ra phơng pháp phân lại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách
đơn giản dễ nhớ và từng bớc giúp học sinh hình thành lối t duy giải quyết vấn
đề
Giúp các em hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT, tiền đề để học sinh
b-ớc tiếp vào tơng lai
B Phạm vi thực hiện đề tài
Đề tài này đợc thực hiện trong phạm vi 3 lớp 12B1, 12B2, 12B3 trung tâm GDTX Mỹ Đức
C Thời gian thực hiện đề tài
Là những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học song chơng phơng pháp toạ
độ trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2008 -2009
d quá trình thực hiện đề tài
* Tr ớc khi thực hiện đề tài:
Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài toán: Viết phơng trình mặt phẳng (α) trong các trờng hợp sau:
a/ (α) đi qua điểm M( 1;2;3 ) và có pháp tuyến là ⃗n α = ( 2;-4;1)
b/ (α) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d x+1
− 2=
y +2
3 =
z
1
c/ (α) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0
d/ (α) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)
*/Số liệu cụ thể tr ớc khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12B1 ( sĩ số 50)
Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Kết quả của lớp 12B2 ( sĩ số 54)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Trang 3Câu a 4 26 24
Kết quả của lớp 12B3 ( sĩ số 54)
Nh vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi nêu lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú
Nội dung thực hiện đề tài:
Phần I: nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
* n⃗ 0 ⃗ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n⃗ là pháp tuyến của (α)
* n⃗ là pháp tuyến của (α) thì k n⃗ cũng là pháp tuyến của (α)
2 Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
* Phơng trình tổng quát của (α) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C20)
* Nếu (α) có phơng trình Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của (α) là
n⃗( A;B;C)
* Nếu (α) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n⃗(A;B;C) làm pháp tuyến thì phơng trình của (α) là : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
* Nếu (α) chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phơng a⃗=(a1;a2;a3)
b⃗(b1;b2;b3) thì pháp tuyến của (α) là
n⃗ = [a⃗, b⃗] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
* Nếu (α) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lợt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì
(α) có phơng trình là : x
a+
y
b+
z
c=1 ; (a.b.c 0 )
( phơng trình trên gọi là phơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
* (P) (Q) thì n⃗ P n⃗ Q = 0 ( n⃗ P, n⃗ Q lần lợt là pháp tuyến của (P) và (Q) )
* (P) // (Q) thì n⃗ P = k n⃗ Q ( n⃗ P, n⃗ Q lần lợt là pháp tuyến của (P) và (Q) )
* Nếu (α): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x0;y0;z0) thì khoảng cách từ M
đến (α) là d (M, (α)) = ¿Ax0+By0+ Cz0+D∨ ¿
√A2+B2+C2¿
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
- véc tơ ⃗ AB= (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
Trang 4- Toạ độ trung điểm I của AB là I= (x A+x B
2 ;
y A+y B
2 ;
z A+z B
2 )
Quy ớc : Pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n⃗
Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là a⃗
Phần 2: Nêu phơng pháp chung để Lời giải toán:
Trong bài toán Viết phơng trình mặt phẳng (α) thì phơng pháp chung nhất là đi
xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( gọi chung là pháp tuyến) và toạ độ một điểm mà mặt phẳng đi qua sau đó dựa vào công thức nhận xét của định nghĩa( trang 72 sgk hh12) để viết phơng trình mặt phẳng.
Phần III: các dạng bài tập thờng gặp
Dạng 1: Viết phơng trình mặt phẳng (α) khi biết pháp tuyến n⃗ (A;B;C) và toạ độ điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuộc mặt phẳng
Hớng dẫn:
Phơng trình mặt phẳng ( α ) là: A(x- x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0
⇔ Ax + By + Cz -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = 0
Ví dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) trong các trờng hợp sau:
a/ (α) đi qua điểm M (1;2;3) và có pháp tuyến là n⃗(3;2;4)
b/ (α) đi qua gốc toạ độ và có pháp tuyến là n⃗(3;-2;0)
Lời giải
a/ Phơng trình mặt phẳng (α) là: 3(x-1) + 2(y-2) + 4(z-3) = 0
⇔ 3x + 2y +4z -19 = 0 b/ Phơng trình mặt phẳng (α) là : 3(x- 0) -2(y-0) + 0(z-0) = 0
⇔ 3x -2y = 0
Dạng 2 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A,B,C cho trớc không thẳng hàng.
Hớng dẫn:
⃗
nα = [⃗ AB.⃗ AC] là pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) Lấy A ( α ) ⇒ phơng trình ( α )
Ví dụ : Viết phơng trình mặt phẳng (α) trong các trờng hợp sau:
a/ (α) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)
b/ (α) đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-3)
Lời giải
a/ Ta có ⃗ AB=(2 ;1 ;-2)
⃗ AC=(-12 ;6 ;0)
Trang 5⇒ ⃗n α = [⃗ AB.⃗ AC] = ( 12 ;24 ;24) hay lÊy ⃗n α =(1 ;2 ;2) lµ ph¸p tuyÕn.
A(2;-1;3) (α) ⇒Ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) lµ:
1(x- 2) +2(y+1) +2(z-3) = 0
⇔ x+ 2y + 2z - 6 = 0 b/ ¸p dông c«ng thøc ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng theo ®o¹n ch¾n ta cã ph¬ng tr×nh
mÆt ph¼ng (α) lµ: x
1+
y
− 2+
z
−3=1⇔ 6x- 3y - 2z - 6 = 0 ( c¸ch gi¶i kh¸c gièng nh c©u a)
Trang 6Dạng 3: Mặt phẳng (α) đi qua một điểm và vài yếu tố khác.
Phơng pháp : Tìm toạ độ véc tơ pháp tuyến ⇒ phơng trình.
Loại 1: Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đ-ờng thẳng d.
Hớng dẫn: ⃗n α = a⃗d ⇒ bài toán trở về dạng 1
Ví dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) trong các trờng hợp sau:
a/ (α) đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với d
x=2t y=− 3+t z=2 −t
¿ { {
¿
¿ ( t là tham số )
b/ (α) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d x+1
− 2=
y +2
3 =
z
1
c/ (α) đi qua điểm P(0;1;2) và vuông góc với trục Ox
Lời giải
a/ Do (α) vuông góc với d ⇒ ⃗n α =a⃗ d = (2;1;-1)
M(1;2;3) (α) ⇒ phơng trình của (α) là: 2(x-1) + 1(y-2) -1(z-3) = 0
⇔ 2x + y -z -1 = 0 b/ Do (α) vuông góc với d ⇒⃗n α = a⃗ d = (-2;3;1)
N(2;-1;3) (α) ⇒ phơng trình của (α) là : -2(x-2) +3(y+1) +1(z-3) = 0
⇔ -2x +3y +z +4 = 0 c/ do (α) vuông góc với Ox ⇒ ⃗n α = i⃗ = (1;0;0)
P(0;1;2) (α) ⇒ phơng trình của (α) là: 1(x- 0) + 0(y-1) + 0(z-2) =0
⇔ x = 0
Loại 2 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).
Hớng dẫn : ⃗n α = n⃗P ⇒ bài toán trở về dạng 1
Ví Dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) trong các trờng hợp sau:
a/ (α) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0
b/ (α) đi qua N(2;0;-3) và // (Oxy)
Lời giải
a/ do (α) // (P) ⇒ ⃗n α =n⃗ P = (1;2;-3)
M(2;-1;3) (α) ⇒ phơng trình của (α) là:
1(x-2) +2(y+1) -3(z-3) = 0
⇔ x +2y -3z + 9 = 0
Trang 7b/ do (α) // (Oxy) ⇒⃗n α = k⃗ =( 0;0;1)
N(2;0;-3) (α) ⇒ phơng trình của (α) là: 0(x-2) + 0(y-0) +1(z+3) = 0
⇔ z + 3 = 0
Loại 3: Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song với đờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Hớng dẫn: ⃗n α = [ a⃗d n⃗P ] ⇒ đa bài toán về dạng 1.
Ví dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2;3;-1) song song với
d
x=1 −3 t
y=2 t
z=3 − t
¿ { {
¿
¿
( t là tham số ) và vuông góc với (P): x + y - z + 1 = 0
Lời giải
Ta có : a⃗d = (-3 ;2 ;-1)
⃗
nP = (1 ;1 ;-1)
Do (α) //d và vuông góc với (P) ⇒ ⃗n α = [a⃗ d n⃗ P] = (-1 ;-4 ;-5)
M(2;3;-1) (α) ⇒ phơng trình của (α) là: -1(x-2) - 4(y-3) - 5(z+1) = 0
⇔ x +4y + 5z - 9 = 0
Loại 4: Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Hớng dẫn: ⃗n α = [ n⃗P n⃗Q ] ⇒ bài toán đa về dạng 1
Ví Dụ : Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x - 2y +2 z + 7 = 0, (Q): 5x- 4y + 3z +1 = 0
Lời giải
Ta có: n⃗ P = (3;-2;2)
⃗
nQ= (5;-4;3)
Do (α) vuông góc với (P) và (Q) ⇒ ⃗n α = [n⃗ P n⃗ Q] = (2;1;-2)
M(3;-1;-5) (α) ⇒ phơng trình của (α) là:
2(x-3) +1(y+1) -2(z+5) = 0
⇔ 2x + y - 2z -15 = 0
Loại 5 Viết phơng trình mặt phẳng (α) đia qua điểm M và song song với d
và d’
Hớng dẫn : ⃗n α = [ a⃗d a⃗d’ ] ⇒ đa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng
Trang 8d
x=1+2 t
y=−3 t
z=4 +t
¿ { {
¿
¿
; ( t là tham số ) và d’: x −2
1 =
y +1
2 =
z −3
− 1
Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua M(1 ;2 ;3) đồng thời song song với d
và d’
Lời giải
Ta có : a⃗d = (2 ;-3 ;1)
a⃗d’= (1 ;2 ;-1)
Do (α) // d và d’ ⇒ ⃗n α = [a⃗ d a⃗ d’] = (1;3;7)
Và M(1;2;3) (α) ⇒ phơng trình của (α) là :
1(x-1) +3( y - 2) +7(z-3) = 0
⇔ x + 3y + 7z - 28 = 0
Loại 6 Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa d ( d không
đi qua M )
Hớng dẫn: - Lấy N d
- ⃗n α = [ a⃗d , ⃗ MN] ⇒ đa bài toán về dạng 1
Ví dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1;2;3) và chứa đờng
thẳng d :x −2
1 =
y +1
2 =
z −3
− 1
Lời giải:
Ta có: N(2;-1;3) d
⃗ MN= (1;3;0)
⃗
a d = (1;2;-1) do ( α ) chứa M và d ⇒⃗n α = [ a⃗d , ⃗ MN] =(-3;1;-1)
⇒ phơng trình của (α) là : -3(x-1) + 1(y-2) - 1(z - 3) = 0
⇔ -3x + y - z + 4 = 0
Dạng 4 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm và các yếu tố khác.
Loại 1 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua M,N và song song với đờng thẳng d.
Hớng dẫn: ⃗n α = [⃗ MN a⃗d ]
Chọn M ( α ) ⇒ đa bài toán về dạng 1
Trang 9Ví dụ :Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua M(2;1;3), N(1,-2,1) và song song
với d
x=−1+t
y =2t
z=− 3− 2t
¿ { {
¿
¿ ( t là tham số )
Lời giải
Ta có: ⃗ MN = (-1;-3;-2)
⃗
ad = (1;2;-2)
Do (α) đi qua M,N và song song với d ⇒⃗n α = [⃗ MN a⃗ d]= (10;-4;1)
M(2;1;3) (α) ⇒ phơng trình của (α) là: 10(x-2) -4(y-1) +1(z-3) = 0
⇔ 10x - 4y +z -19 = 0
Loại 2: Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua M,N và vuông góc với (P)
(MN không vuông góc với (P))
Hớng dẫn: ⃗n α = [⃗ MN n⃗P ]
Chọn M ( α ) ⇒ đa bài toán về dạng 1
Ví dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua M(0;1;2), N(2;0;1) và vuông góc với (P): 2x + 3y - z + 1 = 0
Lời giải
Ta có: ⃗ MN = (2;-1;-1)
⃗
nP= (2;3;-1)
Do (α) đi qua M,N và vuông góc với (P) ⇒ ⃗n α = [⃗ MN n⃗ P] = (4;0;8)
M(0;1;2) (α) ⇒ phơng trình của (α) là: 4(x-0) + 0 (y-1) + 8(z-2) = 0
⇔ 4x + 8z - 16 = 0
⇔ x + 2z - 4 = 0
Dạng 5: Mặt phẳng chứa 1 đờng thẳng và một yếu tố khác.
Loại 1: Viết phơng trình mặt phẳng (α) chứa d và song song với d ’
Hớng dẫn: ⃗n α = [ a⃗d a⃗d’ ]
Lấy M d ⇒ M ( α ) ⇒ đa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng
d
x=1+2 t
y=−3 t
z=4 +t
¿ { {
¿
¿
; ( t là tham số ) và d’: x −2
1 =
y +1
2 =
z −3
− 1
Viết phơng trình mặt phẳng (α) trong các trờng hợp sau :
a/ (α) chứa d và // d’
Trang 10b/ (α) chøa d vµ // d
Lêi gi¶i
a/ Ta cã : a⃗d = (2 ;-3 ;1)
a⃗d’= (1 ;2 ;-1)
Do (α) chøa d vµ // d’ ⇒⃗n α = [a⃗ d a⃗ d’] = (1;3;7)
Vµ M(1;0;4) d ⇒ M (α) ⇒ ph¬ng tr×nh cña (α) lµ :
1(x-1) +3( y - 0) +7(z-4) = 0
⇔ x + 3y + 7z - 29 = 0 b/ Ta cã : a⃗d = (2 ;-3 ;1)
a⃗d’= (1 ;2 ;-1)
Do (α) chøa d’ vµ // d ⇒⃗n α = [a⃗ d a⃗ d’] = (1;3;7)
Vµ N(2;-1;3) d’ ⇒ N (α) ⇒ ph¬ng tr×nh cña (α) lµ :
1(x - 2) + 3(y+1) + 7(z-3) = 0 ⇔ x + 3y + 7z - 20 = 0
Lo¹i 2: ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α ) chøa d vµ vu«ng gãc víi (P) ( d kh«ng vu«ng gãc víi (P))
Híng dÉn: ⃗n α = [ a⃗d n⃗P ]
LÊy M d ⇒ M ( α ) ⇒ ®a bµi to¸n vÒ d¹ng 1
VÝ dô : ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) trong c¸c trêng hîp sau:
a/ (α) chøa d:x+1
2 =
y − 1
3 =
z +1
1 vµ vu«ng gãc víi (P): -x + y + 2z - 1 = 0
b/ (α) chøa d
x=3t y=− 1+t z=2 −2 t
¿ { {
¿
¿
vµ vu«ng gãc víi (Oyz)
c/ (α) chøa trôc Oy vµ vu«ng gãc víi (P) : 2x + 3y - 4z + 1= 0
Lêi gi¶i
a/ Ta cã a⃗d= ( 2 ;3 ;1)
n⃗P = (-1 ;1 ;2)
Do (α) chøa d vµ vu«ng gãc víi (P) ⇒ ⃗n α = [a⃗ d n⃗ P] = (5; -5;5)
M(-1;1;-1) d ⇒ M (α) ⇒ ph¬ng tr×nh cña (α) lµ :
5(x+1) - 5(y-1) + 5 (z+1) = 0
⇔ x - y + z + 3 = 0
b/ Ta cã a⃗d= ( 3 ;1 ;-2)
i⃗ = (1 ; 0 ; 0) lµ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (Oyz)
Trang 11Do (α) chứa d và vuông góc với (Oyz) ⇒⃗n α = [a⃗d i⃗] = (0 ; -2 ; -1)
M(0 ;-1 ;2) d ⇒ M (α) ⇒ phơng trình của (α) là :
0(x - 0) -2(y+1) -1(z-2) = 0
⇔ -2y - z = 0
c/ Ta có ⃗j= (0 ;1 ;0 ) là chỉ phơng của đờng thẳng chứa trục Oy
n⃗P= (2 ;3 ;-4)
Do (α) chứa trục Oy và vuông góc với (P) ⇒⃗n α = [⃗j n⃗P] = (-4 ;0 ;-2)
O(0 ;0 ;0) Oy ⇒ O (α) ⇒ phơng trình của (α) là : -4x - 2z =0
⇔ 2x + z = 0
Dạng 6 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) là trung trực của đoạn thắng MN.
Hớng dẫn : ⃗n α = ⃗ MN
( α ) đi qua trung điểm I của MN
Ví dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) là trung trực của MN biết M(1;3;2), N(-1;1;0)
Lời giải
(α) là trung trực của MN ⇒ (α) MN I ( I là trung điểm của MN)
Ta có toạ độ của I=(0;2;1) (α)
⃗
n α = ⃗ MN = (-2 ;-2 ;-2) là pháp tuyến của (α)
⇒ phơng trình của (α) là: -2 (x-0) - 2(y-2) -2(z-1) = 0
⇔ x + y + z - 3 = 0
Dạng 7 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R)
Hớng dẫn : - ( α ) // (P) ⇒ dạng tổng quát của ( α ) ( Cha biết D)
- ( α ) tiếp xúc S(I ;R) ⇒ d(I,( α ) ) = R ⇒ D=? ⇒ phơng trình ( α )
Ví Dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) //(P):x - 2y + 2z +1 =0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phơng trình: (x+2)2 + (y-1)2 + (z- 2)2 = 4
Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;2) , bán kính R = 2
Do (α) // (P) ⇒ phơng trình của (α) có dạng: x - 2y +2z + D = 0
Do (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ d(I,(α)) = R
⇔ |− 2− 2+ 4+ D|
√12+ ¿ ¿ ¿ = 2 ⇒ |D|=6 ⇒ D = 6 hoặc D = -6 Vậy tìm đợc hai mặt phẳng (α) là : x - 2y + 2z + 6 = 0
Và x - 2y + 2z - 6 = 0
Trang 12Dạng 8 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) vuông góc với đờng thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R).
Hớng dẫn : + ⃗n α = a⃗d ⇒ dạng tổng quát của ( α ) ( Cha biết D)
+ ( α ) tiếp xúc S(I ;R) ⇒ d(I,( α ) ) = R ⇒ D=? ⇒ phơng trình ( α )
Ví Dụ: Viết phơng trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0 và vuông góc với đờng thẳng
d: x+1
1 =
y − 2
2 =
z
− 2
Lời giải
Ta có (S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0
⇔ (x - 1)2 + (y +1)2 + (z + 2)2 = 9
⇒ tâm I(1 ;-1 ;-2), bán kính R = 3
Do (α) vuông góc với d ⇒⃗n α = a⃗ d = (1;2;-2)
⇒ phơng trình của (α) có dạng: x + 2y - 2z +D = 0
Do (α) tiếp xúc với mặt cầu S ⇒ d(I,(α)) = R
⇔ |1− 2+4 +D|
√1 2
+ 2 2
+ ¿ ¿ ¿3 ⇒ | D +3 | = 9 ⇒ D = 6 hoặc D = -12
Vậy tìm đợc hai mặt phẳng là: x + 2y - 2z + 6 = 0 và x + 2y - 2z - 12 = 0
Dạng 9 : Viết phơng trình mặt phẳng (α) song song với d, vuông góc (P) và
tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R) (d không vuông góc với (P))
Hớng dẫn : +⃗n α = [ a⃗d n⃗P ] ⇒ dạng tổng quát của ( α ) ( Cha biết D)
+ ( α ) tiếp xúc S(I ;R) ⇒ d(I,( α ) ) = R ⇒ D=? ⇒ phơng trình ( α )
Ví Dụ : Viết phơng trình mặt phẳng (α) song song với d: x −2
1 =
y +1
3 =
z
− 1 , vuông
góc với (P): 2x +y + z - 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x - 2)2 + (y+1)2 + z2 = 9
Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 0), bán kính R = 3
⃗
nP = (2 ; 1 ; 1 )
⃗
ad = (1 ; 3 ; -1)
Do (α) //d và vuông góc (P) ⇒ ⃗n α = [a⃗ d n⃗ P] = (- 4 ; 3 ; 5 )
⇒ phơng trình của (α) có dạng: - 4x + 3y + 5z + D = 0
Do (α) tiếp xúc S(I ;R) ⇒ d(I,(α) ) = R ⇔ |− 8 −3+D|
√ ¿ ¿ ¿ = 3
⇔ | D - 11 | = 15√2⇒ D = 11 + 15√2 hày D = 11 - 15√2