[r]
Trang 1BÀI TẬP:
A/Chứng minh chia hết
1) a/CMR: n5-n chia hết cho 30 với nÎ N ; b/CMR: n(n2+1)(2n+1) chia hết cho 6 với nÎ Z 2) a/CMR: m.n(m2-n2) chia hết cho 2 6 với n,mÎ Z ;
b/CMR: n4-10n2+9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nÎ Z
HD: a/ m.n(m2-n2)=m.n(m2-1- n2+1) ; b/ n4-10n2+9 = n4-n2 -9n2+9 =(n2-1)(n2-9)
3)Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
4) a/CMR nếu n là số tự nhiên lẻ thì giá trị của biểu thức A = n2+4n-5 là bội của 6
b)CMR: A =n4+6n3+11n2+6n chia hết cho 24 ,với nÎ Z
5)CMR: 10n+18n -28 chia hết cho 227 với nÎ N ; b/ CMR : 24n-1 chia hết cho 15 với nÎ N B/Toán cực trị
6)Tìm giá trị NN của các biểu thức
a/ A = x2-5x +1 ; b/ B = (x2-3x)(x2-11x +28) ; c/ C = (x+3)2+(x-5)2
HD: b/ B = x(x-3)(x-4)(x-7)
7)Tìm giá trị LN của các biểu thức
a/ A = 6 – x2-6x ; b) B = 1- x2+3x
8) Cho x + 2y = 8 Tìm giá trị LN của A = xy
9) a/Tìm giả trị NN của A = x2+y2 .Biết x +3y = 10
b/Tìm giả trị NN của B = x3+y3+2xy .Biết x +y = 2
10)Tìm giá trị NN và LN của biểu thức A = 3 x
2− 2 x +3
x2+1 HD: A = 3 x
2
− 2 x +3
(4 x2+4)− x2−2 x − 1
( x +1)2
x2+1 ≤ 4
A = 3 x
2− 2 x +3
x2
+1 =
x2−2 x+1+2 x2+2
x2+1 C/Phân số
11)CM các phân số sau tối giản,với nÎ Z
a / n − 1
2 n+3 ; b/
12n+1
30 n+2
12)Định n để phân số sau tối giản
a / n+8
2 n− 5 ; .b /
2 n+3
n+7
13)CMR: Tổng sau không là số tự nhiên A = 1+1
22+1
32+1
42+ +1
n2 với n ≥ 2 HD: 1
22≺1 2.1 ; 1
32≺2 31 ;
14)Rút gọn và tìm giá trị NN của A= x
4
+2 x3+2 x2+2 x+1
x4+3 x2
+2 15)Tính giá trị của phân thức A = x − y x+ y Biết x2-2y2 = xy (x, y ≠0)
D/ Bất đẳng thức
16/ a/ a2 + 1
a2+1≥ 1 ; b/
a2
+b2
2 ≥(a+b2 )2
17) a/ a2 +b2+1≥ ab +a +b ; b/ a2 +b2+c2+ 3
4 ≥ a +b +c
Trang 218) Cho a +b +c = 0 CMR : ab + bc + ca ≤ 0
19) Cho các số dương x,y.z
CM: x + y
y +z
z +x
20) CMR (với mọi a,b,c > 0)
a/ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc ; b/ (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) ≥ 16abc
HD: a/ (a+b)2 ≥ 4ab ; (b+c)2 ≥ 4bc ; (c+a)2 ≥ 4ac
E/ Sử dụng t/c luỹ thừa:
21) Chứng minh rằng : 1714 > 3111 (HD: 1714 > 1614 ; 3111 < 3211)
22) Tính : 2+2+22+23+24+25+ +22009
23) Số 2100 có bao nhiêu chữ số ?
(HD: 2100 = 102410 > 100010 = 1030; Ta lại có: 2100 = 29.291 = 512.213.7=512.81927 < 1000.100007) 24) Hai số 21997và 51997 được viết liên tiếp nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu chữ số?
HD: Giả sử21997 có k chữ số, và 51997 có m chữ số Tính k +m =? Ta có 10k-1< 21997<10k
Và 10n-1< 51997<10n ; (nhân vế theo vế )
25) Tính a/ S = 75(42008 + 42007 + 42006+ + 42 + 5) + 25
b/ S = 1+ 12+1
4+
1
8+
1
16+
1
32+
1
64 +
1
128 ( vận dụng hằng đẳng thức an-bn) F/ Số chính phương:
26)a/Chứng minh rằng tich của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là số chính phương
b/Chứng minh rằng mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệucủa hai số chính phương
HD: 4k +1 và 4k +3 ; *Nếu 4k+1 = 4k2+4k+1- 4k2
* 4k+3 = 4k2+8k+4- 4k2-4k -1
27)CMR: Với mọi x,y Î Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương
28)CMR: Với mọi n Î N thì A = (10n+10n-1+ +.10 +1)( 10n+1+5) + 1 là số chính phương HD: A=10
n+1
−1
10 − 1 .(10
n+1
+5)+1 ; Đặt a = 10n+1
29)CMR các số sau là số chính phương
a/ A = 111 1555 56 ( có n số 1 và n-1 số 5)
b/ B = 11 1.+ 44 4 + 1 (có 2n số 1 , n số 4)
30) Cho các số A = 11 11 ( 2m chữ số 1) ; B = 11 11 ( m+1 số 1) ; C = 66 66 (m số 6) CMR: A +B + C +8 là số chính phương
HD: A = 102 m − 1
10m +1 −1
10m −1
9 H/ Tìm nghiệm nguyên:
31)a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y = xy
HD: x + y = xy < = > xy – x –y +1 = 1
b/Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy +1 = x + y
32)a/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xy +x+y = 30
b/Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xy +x -2y = 3
c/Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xy - 4x = 35 – 5y
( HD: xy - 4x = 35 – 5y < = > xy – 4x +5y -20 = 15)
33) Tìm các nghiệm nguyên dương của các phương trình sau:
a/ x2 – y2 = 1987 b/ x2 -25 = y(y +6) (HD: x2 -25 = y(y +6) < => x2- y2 -6y -9 = 16 )
34) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x + 15y = 10
HD: Giả sử pt có nghiêm ( xo;yo) Ta có 6xo+15yo= 10 ( dùng tính chất chia hết)
35)Tìm các giá trị nguyên của x ,y,z để (x- y+z)2 = x2 –y2 +z2
Trang 3HD: Đưa về y2 –xy +xz –yz = 0