ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN để GIẢI bài tập TĨNH điện

Bài tập về tĩnh điện rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập cần đến tích phân để làm. Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để giải các bài tập vật lí cũng không phải là dễ. Chính vì lí do đó tôi viết chuyên đề “Ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện” giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong vật lí, từ cơ sở đó các em học sinh có thể làm quen với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân. Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do một vật tích điện gây ra tại một điểm. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em học sinh.

Trang 1

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN

Thầy giáo: Phạm Hồng Quang – GV trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ tỉnh Hoà Bình

LỜI NÓI ĐẦU

Bài tập về tĩnh điện rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập cần đến tích phân để làm

Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để

giải các bài tập vật lí cũng không phải là dễ Chính vì lí do đó tôi viết chuyên đề “Ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện” giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích

phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong vật lí, từ cơ sở đó các em học sinh có thể làm quen với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân

Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do một vật tích điện gây ra tại một điểm

Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của các thầy

cô giáo và các em học sinh

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

- Chia vật tích điện thành những phần tử nhỏ mang điện tích (cách chia này còn tuỳ thuộc vào hình dạng của vật tích điện)

- Xét phần tử nhỏ mang điện tích bất kì, tìm cường độ điện trường ; điện thế do phần tử đó gây ra tại điểm đang cần tính điện trường hoặc điện thế

- Lấy tích phân toàn bộ vật ta sẽ tìm được cường độ điện trường hoặc điện thế do toàn bộ vật tích điện gây ra tại điểm đang xét

1 Công thức xác định cường độ điện trường do điện tích gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r:

với là véc tơ đơn vị trên phương của ; có gốc tại , ngọn tại M

2 Công thức xác định điện thế do điện tích gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r:

3 Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế:

Chú ý:

4 Mật độ điện tích:

Mật độ điện tích dài Mật độ điện tích mặt Mật độ điện tích khối

là điện tích chứa trong yếu tố là điện tích chứa trong yếu tố là điện tích chứa trong yếu tố

(1)

(2)

(3)

Trang 2

A – BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TÍCH ĐIỆN

DẠNG I: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1:

Một vòng tròn mảnh bán kính R, tích điện đều là đặt nằm ngang trong không

khí như hình vẽ bên Lấy trục OZ thẳng đứng trùng với trục của vòng dây Gốc

O tại tâm vòng Tính cường độ điện trường E và điện thế V tại điểm M nằm

trên trục Oz với

Bài giải:

- Mật độ điện tích dài trên vòng tròn mảnh là:

- Chia vòng thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài , với

- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ có chiều dài là

* Tính cường độ điện trường tại M.

- Xét cường độ điện trường do phần tử gây ra tại M

là có phương chiều như hình vẽ, độ lớn

- Do ta luôn tìm được hai phần tử đối xứng nhau

qua O, mỗi phần tử này gây ra tại M một điện

trường có thành phần điện trường vuông góc với

trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó điện

trường tại M có phương trùng với trục OZ, độ lớn:

Với

* Tính điện thế tại M.

Cũng có thể tính V như sau:

- Điện thế do mỗi phần tử gây ra tại điểm M là:

- Điện thế V do cả vòng tròn tích điện gây ra tại

M là:

- Do tính chất đối xứng trục, cường độ điện trường do vòng gây ra tại điểm M có phương trùng với trục OZ, độ lớn:

z

O R

r

M

O

R

Z M

q

R O

Trang 3

Bài 2:

Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 2α, sợi dây tích điện đều là đặt trong không khí Xác định cường độ điện trường và điện thế tại tâm của cung tròn

Bài giải:

- Mật độ điện tích dài trên cung tròn mảnh là:

- Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài , với

- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ là

* Tính cường độ điện trường tại O.

- Xét cường độ điện trường do phần tử gây ra tại M là có

phương chiều như hình vẽ, độ lớn

- Chọn hệ trục toạ độ như HV

- Do ta luôn tìm được hai phần tử trên cung tròn đối xứng nhau

qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra tại O một cường độ điện

trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt

tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó cường độ điện trường tại O có

phương trùng với trục OX, độ lớn:

* Tính điện thế tại O.

- Xét phần tử nhỏ bất kì Phần tử này gây ra tại O một điện thế:

cả cung tròn gây ra tại O một điện thế là

Nhận xét:

+ Véc tơ do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó có phương nằm trên trục đối xứng của cung tròn (trục đối xứng này nằm trong mặt phẳng chứa cung tròn)

+ Nếu ứng với cả vòng tròn phù hợp với kết quả ở bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với

+ Nếu ứng với vòng tròn

+ Nếu ứng với nửa vòng tròn

+ Nếu ứng với vòng tròn

+ điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó không phụ thuộc vào

+ Nếu ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của ngược lại

Bài 3:

Có hai cung tròn mảnh có cùng bán kính, góc ở tâm lần lượt là và Hai cung tròn tích điện đều với mật

độ điện tích dài lần lượt là Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau Tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm O của nó

Bài giải:

Đặt

Chọn hệ trục toạ độ OX như HV

Áp dụng kết quả bài 2 (phần cung tròn tích điện đều)

- Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài

gây ra tại O một cường độ điện trường có phương chiều như HV, độ

lớn (1)

- Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài

gây ra tại O một cường độ điện trường có phương chiều như HV, độ

lớn (2)

(Với ; ; )

Theo nguyên lí chồng chất điện trường tại O ta có:

có phương trùng với trục OX có độ lớn

Dựa vào kết quả và nhận xét của bài 2: “điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm O của cung không phụ thuộc vào ” ; mặt khác điện thế có tính cộng được nên điện thế do cả vòng tròn nói trên gây ra

tại O cho bởi công thức:

Nhận xét:

+ Nếu phù hợp với kết quả bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với

dφ R

X O

q

α

-α φ

φ

R

X

Trang 4

Bài 4:

Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một

cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là , cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí Lấy trục OZ đi qua tâm của vòng dây và vuông góc với mặt phẳng chứa vòng dây.Xác định cường độ điện trường và

điện thế tại điểm M nằm trên trục OZ, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau

Bài giải:

- Chia vòng dây thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích

Chọn hệ trục toạ độ OXYZ như HV1

- Xét cường độ điện trường do phần tử gây ra tại M là có phương

chiều như hình vẽ, độ lớn

- Do ta luôn tìm được hai phần tử đối xứng nhau qua O, mỗi phần

tử này gây ra tại M một điện trường có thành phần điện trường

theo phương của trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó

điện trường tại M có phương vuông góc với trục OZ tức nằm trong

mặt phẳng XOY

- Nhận thấy khi di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì véc tơ

cũng quay trong mặt phẳng XOY, tâm M , độ lớn không đổi, được

vẽ biểu diễn như HV2

- Trong quá trình véc tơ quay trong mặt phẳng XOY, dễ thấy thành

phần theo phương của trục OX bị triệt tiêu, chỉ còn thành phần

theo phương OY

- Nói khác đi

với

(q là điện tích của nửa vòng tròn )

Do tính đối xứng nên

Nhận xét:

- Véc tơ cường độ điện trường cùng chiều dương với trục OY (tức là

hướng về phía nửa âm của vòng tròn)

- Khi phù hợp với kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều (khi sử dụng kết quả bài 2 với và nguyên lí chồng chất điện trường)

O R

Z M

O R

Z

M

z

x

y

HV1

y

HV2

Trang 5

Bài tập tự luyện

B1:

Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là , cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí Xác định cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau

HD:

Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường

B2:

Một cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài , góc ở tâm là Cung tròn mảnh thứ hai cũng có bán kính R, góc ở tâm là tích điện đều với mật độ điện tích dài Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau, tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó

HD:

Bài 3:

Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 3α, đặt trong không khí Gọi A,B,C,D lần lượt là bốn điểm trên cung tròn tuân theo thứ tự trên A,B,C,D thoả mãn sao cho độ dài cung AB bằng

độ dài cung BC bằng độ dài cung CD

Xác định cường độ điện trường và điện thế gây ra tại tâm của cung tròn trên nếu:

Cung BC nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là , cung AB và CD nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là

HD:

DẠNG II: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU,

Phạm vi nghiên cứu

Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai, các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp

Bài 1:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm đặt trong không khí, G là

điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xác định cường độ điện

trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ

điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B của cung

theo quy luật với ; là biến số theo chiều dài

R A

B G

O

Trang 6

Bài giải:

- Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài , với

- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ là

- Xét cường độ điện trường do phần tử gây ra tại M là có

phương chiều như hình vẽ, độ lớn

- Do ta luôn tìm được hai phần tử trên cung tròn đối xứng

nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra một cường độ điện

trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt

tiêu lẫn nhau từng đôi một, do đó cường độ điện trường tại O

có phương trùng với trục OX, độ lớn: * Tính điện thế tại O ().

- Do tính đối xứng, mà điện thế có tính cộng được nên ta chỉ

cần tính điện thế do cung GA gây ra tại O rồi nhân đôi ta sẽ

được điện thế do cả cung AGB gây ra tại O

- Xét một phần tử nhỏ bất kì thuộc cung GA Phần tử này gây

ra tại O một điện thế:

Bài 2:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xác định cường độ điện trường và điện thế do cung

tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn

tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là ; từ G

đến B là với ; là biến số theo chiều dài

Bài giải:

- Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều

- Do tính đối xứng nên ta luôn tìm được hai phần tử trên cung

tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra một

cường độ điện trường có thành phần điện trường theo phương

OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một) do đó điện trường tại O chỉ

theo phương OY có độ lớn:

Làm tương tự

dφ R

X O

q

-α

α φ

φ

A

G

B

R A

B

G

O

dφ R

X O

q

-α

α φ A

G

Trang 7

Bài 3:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm đặt trong không khí Xác định cường

độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ

điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật với ; là

biến số theo chiều dài

Bài giải:

- Chọn hệ trục toạ độ như HV, có OX trùng với OA

- Chia cung tròn ra thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích

- Xét cường độ điện trường do phần tử gây ra tại O là có phương chiều

như hình vẽ, độ lớn

- Phân tích

với

; hợp với OX góc thoả mãn:

- Xét một phần tử nhỏ bất kì Phần tử này gây ra tại O một điện thế:

B1:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm đặt trong không khí, G

là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xác định cường độ

điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ

điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B của cung

theo quy luật với ; là biến số theo chiều dài

HD:

Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm

được điện trường tại O có phương nằm trên đường GO, điểm đặt tại O,

chiều từ độ lớn

B2:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm đặt trong không khí, G là

điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xác định cường độ điện

trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích

trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật: từ G

đên A là ; từ G đến B là với ; là biến số theo chiều dài

R A

B

O

R A

B

O

X Y

R A

B

G

O

R A

B G

O

Trang 8

Làm tương tự như bài 2 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm được điện trường tại O có phương vuông góc với đường GO, điểm đặt tại O, chiều từ phía bản dương về phía bản âm, độ lớn

B3:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm đặt trong không khí Xác định

cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện

tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật với ; là

biến số theo chiều dài

HD:

Làm tương tự như bài 3 phần cung tròn tích điện không đều

Chọn trục OX trùng với OA ta có

DẠNG III: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1:

Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với

mật độ điện tích dài , đặt trong không khí

Xác định cường độ điện trường và điện thế do thanh gây

ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của

thanh đoạn như HV

Bài giải:

- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài , mỗi phần tử mang điện tích

- Xét phần tử mang điện tích có chiều dài ở vị trí cách A đoạn là bất kì như hình vẽ, phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường có phương chiều như HV, độ lớn

điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là

- Xét một phần tử nhỏ bất kì ở vị trí cách A đoạn là bất kì như hình vẽ Phần tử này gây ra tại M một điện thế:

điện thế do cả thanh gây ra tại M là

Bài 2:

Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài , đặt trong không khí

Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A của thanh đoạn a như HV

R A

B

O

B A

M

A

B a

M

Trang 9

Bài giải:

- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài , mỗi phần tử mang điện tích

Chọn hệ toạ độ OXY như hình vẽ:

+ Xét một phần tử nhỏ có chiều dài , mang điện có toạ độ X bất kì,

xác định bởi góc như HV

+ Phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường có phương

chiều như hình vẽ, độ lớn:

(1)

+ HV (2)

Từ (1)(2) (3)

+ Phân tích thành hai thành phần

- Với

Nhận xét:

Nếu ứng với thanh bán vô hạn hay thì

Bài 3:

Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài , đặt trong không khí

Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách trục của thanh đoạn a như HV

Bài giải:

- Coi thanh được cấu tạo từ hai phần AO và BO, chiều dài mỗi phần tương

ứng là

- Chọn hệ trục toạ độ OXY như HV

- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện

đềuriêng thanh AO gây ra tại M một cường độ điện

trường có các thành phần theo phương OX và OY là:

- Một cách tương tự thanh BO gây ra tại M một

cường độ điện trường có các thành phần theo

phương OX và OY là:

- Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường có

Với lần lượt là các véc tơ cường độ điện trường do

thanh AO và BO gây ra tại M

Nhận xét:

- Nếu ứng với thanh AB dài vô hạn thì phù hợp với thực tế

- Nếu tức , lúc này điểm M ở rất xa thanh AB, thanh được coi như điện tích điểm, phù hợp với thực tế

- Nếu tức M nằm trên đường trung trực của thanh AB khi đó phù hợp với thực tế (do tính đối xứng nên )

Bài 4:

L

M

O

Y

X dX

X

r a

θ

a M

O Y

X

Trang 10

Có hai thanh mảnh thẳng OA; OB chiều dài lần lượt là đặt trong không khí Hai thanh tích điện đều với mật độ điện tích trên mỗi thanh là Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép

Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a

Bài giải:

- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đềuriêng thanh

AO gây ra tại M một cường độ điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là:

- Một cách tương tự thanh BO gây ra tại M một cường độ điện trường

có các thành phần theo phương OX và OY là:

- Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường có

Với lần lượt là các véc tơ cường độ điện trường do thanh AO và BO gây

ra tại M

Nhận xét:

+ Nếu phù hợp với kết quả bài 3 phần đường tích điện đều

+ Nếu và các thanh dài bán vô hạn tức phù hợp với thực tế

+ Nếu các thanh dài bán vô hạn tức

B1:

Hai thanh OA; OB mảnh thẳng , các thanh tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là và Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép

HD:

- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều và nguyên lí chồng chất điện trường và tính đối xứng , hướng từ (hướng về phía nhiễm điện tích âm), độ lớn

- Nếu tức hai thanh OA;OB dài bán vô hạn thì

B2:

Hai thanh mảnh OA và OB dài bán vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là và Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB dài vô hạn Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép

HD:

Chọn trục OX trùng với trục của thanh AOB

Áp dụng kết quả bài 2 phần đường tích điện đều và nguyên lí chồng chất điện trường

(kết quả này tương tự như kết quả ở phần nhận xét của bài 4 phần đường thẳng tích điện đều)

DẠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU

Phạm vi nghiên cứu

Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai,

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,03 MB