Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường

Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia khi dạy và học về phần tĩnh điện, có các bài toán đặc trưng về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện. Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung : vừa rèn luyện kiến thức về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; kết hợp với các kiến thức cơ học bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng để giải những bài toán dao động của điện tích, hệ điện tích, lưỡng cực. Đồng thời đó cũng là những kiến thức cơ bản trong nội dung thi chọn HSG quốc gia và chọn HSG vào đội tuyển Olimpic Vật lí Quốc tế. Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh điện lớp 11 và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia.

MỞ ĐẦU

Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốcgia khi dạy và học về phần tĩnh điện, có các bài toán đặc trưng về chuyển động liên kếtcủa hệ các hạt mang điện Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điệnchứa rất nhiều nội dung : vừa rèn luyện kiến thức về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; kếthợp với các kiến thức cơ học bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rènluyện phương pháp tính gần đúng để giải những bài toán dao động của điện tích, hệ điệntích, lưỡng cực Đồng thời đó cũng là những kiến thức cơ bản trong nội dung thi chọnHSG quốc gia và chọn HSG vào đội tuyển Olimpic Vật lí Quốc tế

Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh

điện lớp 11 và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia

Nội dung của đề tài gồm :

Phần I Tóm tắt lí thuyết

1 Lí thuyết phần tĩnh điện

2 Một số công thức khai triển toán học

3 Phương pháp giải phương trình vi phân

4 Các phép toán về tích véc tơ

Phần II Hệ thống các dạng bài tập về chuyển động của hạt mang điện

trong trường tĩnh điện

1 Bài tập về hệ hai điện tích điểm

2 Bài tập về hệ nhiều điện tích điểm

3 Bài tập về chuyển động của hệ điện tích trong điện trường gây bởivật tích điện có kích thước

4 Các bài tập sử dụng phương pháp ảnh điện

5 Chuyển động của vật tích điện có kích thước

6 Dao động của điện tích, hệ điện tích

7 Dao động của lưỡng cực điện

PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT

A LÍ THUYẾT PHẦN TĨNH ĐIỆN

I Nguyên lí chồng chất điện trường

Cường độ điện trường do nhiều điện tích điểm Q1, Q2 gây ra tại điểm A bằng tổng các vectơ cường độ điện trường Er1, Er2 do từng điện tích riêng biệt Q1, Q2 gây ra tại A :

i

Er  Er  Er   �Er

Chú ý : Lực tác dụng lên điện tích q đặt trong điện trường Eur là Fur = qEur

II Cường độ điện trường của vật mang điện

2 0 to� n b� v� t

* Định lí Ô-xtrô-grát-xki- Gao-xơ cho môi trường điện môi

i 0

III Thế năng của điện tích điểm trong điện trường

1 Thế năng của q trong điện trường gây ra bởi điện tích điểm Q : W = 0

Trong đó r1, r2, là khoảng cách từ điểm A đến Q1, Q2

+ Những điểm trong điện trường có cùng điện thế đều nằm trên mặt đẳng thế Phương trìnhcủa mặt đẳng thế : V(r) = V(x, y, z) = C

Mặt đẳng thế có các tính chất sau đây :

- Công của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích q trên mặt đẳng thế là bằngkhông

- Tại mọi điểm của điện trường, vectơ cường độ điện trường Eur vuông góc với mặt đẳng thế đi qua điểm đó (Vì A = 0 Eur.rl = 0  Eurmặt đẳng thế).

+ Chọn trục s là trục Ox chẳng hạn ta có : Ex =

Vx

là điện thế tại điểm đặt điện tích qi do các điện tích khác của hệ tạo ra

4 Trong trường hợp vật tích điện, ta chia vật thành các phần tử nhỏ mang điện tích q (xem

như điện tích điểm) và tính thế năng của vật theo công thức:

1

2

 � Với V là điện thế tại điểm đặt q do các điện tích còn lại của vật tạo ra

- Nếu vật tích điện là một vật dẫn, thì mọi điểm của vật có cùng điện thế V (V là điện thế vậtdẫn) do đó thế năng (năng lượng tĩnh điện) của vật là :

W =

2 �  2

5 Đối với hệ gồm n vật dẫn tích điện ở trạng thái cân bằng tĩnh điện, điện tích và điện thế của

chúng lần lượt bằng q1, q2 qn và V1, V2 Vn, thì thế năng của hệ là :

Pur  qrtrong đó rl là vectơ hướng từ - q đến +q và có độ dài bằng

khoảng cách l từ –q đến +q

1 Lực tác dụng lên lưỡng cực điện đặt trong điện trường

M = -peEsinα

Lực tổng hợp Fur tác dụng lên lưỡng cực có độ lớn là :

và hướng về phía điện trường mạnh

2 Thế năng của lưỡng cực điện trong điện trường : Wt = -peEcos = pre.Eur

B MỘT SỐ CÁCH KHAI TRIỂN TRONG TOÁN HỌC

1 Định nghĩa và đạo hàm chuỗi mũ

Bằng cách lấy loga có dễ dàng suy ra rằng exey = ex+y vì :

loge(exey) = logeex + logeey = x + y

2 Khai triển hàm lượng giác, công thức Ơle (Euler)

Từ công thức Euler suy ra rằng: e-ix = cosx – isinx (10)

Phương trình: y” + py’ + qy = 0 (2)

là phương trình không có vế phải hoặc phương trình thuần nhất tương ứng với (2.1).Phương trình đặc trưng của (1) và (2)

đó là một phương trình đại số bậc hai, có hai nghiệm thực phân biệt r1 và r2 nếu biệt thức

 = p2 – rq > 0 Khi  = p2 – 4q = 0 thì r1 = r2 là một nghiệm kép Khi  < 0 thì không có

nghiệm thực, nếu xét nghiệm ảo thì

2 Nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) khi  > 0

Định lí: Nếu y1 và y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2) thì: y = C1y1 +C2y2

là nghiệm tổng quát của (2) C1 và C2 là hai hằng số tuỳ ý

Tìm nghiệm riêng: Nếu  > 0 thì phương trình đặc trưng (3) có 2 nghiệm thức riêng biệt

3 Nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) khi  < 0

Tìm nghiệm riêng Khi  < 0 phương trình đặc trưng : r + pr + q = 02 (3)

y = e   = e cosβx + isinβx ; y = e   = e cosβx - isinβx

Là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân (2)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2) có dạng: y = C1y1 + C2y2

còn có thể viết dưới dạng khác Thật vậy:

4 Trường hợp riêng : phương trình y” + 2 y = 0

Phương trình đặc trưng r2 + 2 = 0 có hai nghiệm ảo r1 = i, r2 = -i( = 0,  = ).Theo công thức (5) thì nghiệm tổng quát có dạng:

y = D1cosx + D2sinx (6) với D 1 và D2 là hai hằng số bất kì,  là thực.Khi giải phương trình vi phân y” + 2y = 0 có thể chọn ngay hai nghiệm riêng y1 =cosx, y2 = sinx; chọn như thế ta có thể đi đến biểu thức (6) của nghiệm tổng quát

Việc chọn y1 = cosx là nghiệm riêng có thể thử lại một cách dễ dàng Thật vật y’1 =-sinx, y”1 = -2sinx Thay y”1 và y1 vào phương trình y” + 2y = 0 ta thấy ngay rằng phương trình này được nghiệm đúng.

5 Nghiệm của phương trình thuần nhất (2) khi  = 0

Khi đó thì phương trình đặc trưng r2 + pr + q = 0 có một nghiệm kép : 1 2

Nghiệm tổng quát của (2) là: y = C1y1 + C2y2 = (C1 + C2x)er x 1 (7)

Trong đó C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ, r1 là nghiệm kép thực của phương trình đặctrưng

6 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có vế phải:

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính có vế phải (8) thì bằng tổng củanghiệm tổng quát của phương trình không vế phải tương ứng (9) và một nghiệm riêng bất

có thể được xác định bằng một trong hai cách sau đây:

- Bằng độ dài A và hướng (xác định bởi góc  hợp với trục Oz và góc  mà mặt phẳngchứa A ur

và Oz hợp với trục Ox)  còn gọi là góc phương vị và  gọi là góc kinh độ, xemhình P.3

- Bằng 3 toạ độ Ax, Ay, Az tức là ba hình chiếu lần lượt lên các trục Ox, Oy, Oz

2 Nếu gọi i, j, k

r r uur lần lượt là vec tơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz thì ta có:

 là góc giữa hai vec tơ Aur và Bur

.Nếu viết biểu thức của tích vô hướng theo hình chiếu thì:

A.B A B ur ur  x x  A By y A Bz z

A.B A B cos ur ur ur ur  

; =(A ur

,B ur)

4 Tích véc tơ (hoặc tích hữu hướng) của hai véc tơ A ur

và B ur : A B ABsin n ur ur �   r

n r

là véctơ đơn vị trên trục vuông góc với mặt phẳng chứa A ur

và B ur trục hướng theo chiềuchuyển động tịnh tiến của một đinh vít thuận khi nó quay theo chiều từ A ur

tới B ur.Nếu viết biểu thức của tích vô hướng theo hình chiếu thì:

mảnh, dài Các quả cầu được đặt cách một điện tích điểm Q một đoạn R như hình

vẽ (Với ) Hỏi điện tích Q tác dụng lên hệ hai quả cầu một lực bằng bao nhiêu?Điện tích toàn phần của hệ 2 quả cầu bằng 0

Vậy lực Q tác dụng lên hệ là lực hút có độ lớn

Bài tập 2 Hai quả cầu có cùng khối lượng m, điện tích q nối với nhau bằng sợi dây dài l.

Hệ số ma sát giữa quả cầu và sàn là Đốt cháy dây nối giữa hai quả cầu Tính vận tốc cựcđại của quả cầu phụ thuộc vào điện tích q

Giải

Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 9 m, q m, q

- Xét khi 2 điện tích cách nhau một khoảng x.

1) Vận tốc của quả cầu 2 thay đổi như thế nào?

2) Xác định các tỷ số

q2

K = 2m2 theo K = 1 m1q1

uur

2

V là vận tốc của quả cầu 2 khi uuur uuurV , V = 90 0

2 2Với  0

1 2

V V

+ Gia tốc theo phương Oy là: 

Bài tập 4 Hai viên bi với điện tích q1 và q2 có các vận tốc ban đầu giống nhau về độ lớn

và hướng Sau khi tạo ra một điện trường đều trong một khoảng thời gian nào đó, thìhướng của viên bi thứ nhất quay đi một góc 600, nhưng độ lớn giảm đi 2 lần, hướng vậntốc của viên bi thứ hai quay đi 900

Hỏi vận tốc viên bi thứ hai thay đổi bao nhiêu lần ? Hãy xác định giá trị tuyệt đối củathương số giữa điện tích và khối lượng đối với viên bi thứ hai, nếu thương số đó là k1 đốivới viên bi thứ nhất Bỏ qua lực tương tác tĩnh điện giữa hai viên bi

Giải

Do điện trường là đều, nên lực tác dụng lên mỗi điện tích có độ lớn và hướng khôngđổi trong suốt thời gian tồn tại điện trường Trong khoảng thời gian đó các viên bi nhậnđược các xung lượng của lực tương ứng bằng và Áp dụng định luật bảo toàn động lượngcho mỗi viên bi :

t q

đồng thời , nghĩa là các xung lượng đó hợp với hướng của động lượng ban đầu các góc

như nhau bằng  , suy ra

* Từ (1) và (2) suy ra : ,

 q 2 /m 2 = q 1 /m 1 4/3 = 4k 1 /3

Bµi tËp 5 Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm Xét hai loại hạt M1 và M2 khối lượngm1 và m2 có điện tích q1 và q2 cùng dấu Ở thời điểm ban đầu hai hạt được buông ra khôngvận tốc đầu ở khoảng cách r0 giữa chúng Bỏ qua trường trọng lực Tính vận tốc giới hạnv1 và v2 của chúng

a) Bằng cách tích phân của năng lượng

b) Bằng cách khảo sát chuyển động của hạt rút gọn M trong hệ quy chiếu khối tâm

Giải

a) Bảo toàn động lượng : m1 + m2 = (1)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng : (2)

Từ (1) và (2) : ;

- Khi r = ∞ : ;

b) Hệ quy chiếu gắn với khối tâm :

- Bảo toàn cơ năng cho hạt M rút gọn :

r = ∞

;

Bài tập 6 Ở cách xa các vật thể khác trong không gian, có hai quả cầu nhỏ tích điện.

Điện tích và khối lượng của các quả cầu lần lượt là q1 = q2 , m1 = 1g; q1= q2, m2 = 2g Banđầu, khoảng cách hai quả cầu là a = 1m, vận tốc quả cầu m2 là 1m/s, hướng dọc theođường nối hai quả cầu và đi ra xa m1 và vận tốc quả cầu m1 là 1m/s, nhưng hướng vuônggóc với đường nối hai quả cầu Hỏi với giá trị điện tích q bằng bao nhiêu thì trong chuyển

động tiếp theo, các quả cầu có hai lần cách nhau một khoảng bằng 3m ? Chỉ xét tương tácđiện của hai quả cầu.

Do không có ngoại lực, khối tâm chuyển động thẳng đều

- Xét trong hệ quy chiếu khối tâm (C) Vận tốc của mỗi hạt gồm 2 thành phần :

+ Thành phần theo phương nối 2 hạt (dưới đây gọi là thành phần song song)

- Do động lượng của hệ trong hệ quy chiếu C bằng 0 nên vm = 2v và v2m = v

Theo định luật bảo toàn mômen động lượng quanh C của hạt 2m, ta có :

v.rmax =

v0 a v a0 =

m2/3V0

V0/ 3

V0/ 32m

Trạng thái ban đầu

lmax

Trạng thái đạt ()

Từ (1) và (2) suy ra : v =

v a03lmax Vì lmax  3a � v 

0

3 3a hay v 

0v9 (3)Theo định luật bảo toàn năng lượng:

2v

4 2v + 2m 0 - 3mv20

2

- 4πε0 a lmax

= 0,27C (5)

Từ (4) và (5) �

8πε ma0v0 3  q  v0 34πε ma90 hay 0,27C  q  0,32C.

Bài tập 7 Hai quả cầu nhỏ, mỗi quả có khối lượng m và điện tích q

được giữ tại hai điểm A và B cách nhau một khoảng r bên trông một

vỏ cầu cách điện có bán kính OA = OB = r và khối lượng 4m Hãy xác định vận tốc cực

đại của vỏ cầu sau khi thả tự do hai quả cầu Bỏ qua tác dụng của trọng lực

- Do hệ vật là kín nên động lượng được bảo toàn :mv1mv24m.v 0

- Chiếu phương trình này lên trục Ox và phương Ox ta được :

mv1cosα = mv2.cosα (1)

4mv = mv1sinα + mv2sinα (2)

→ v1 = v2 =

2vsin

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng :

2 2

2sin siny

m1, q

Vậy vận tốc lớn nhất của vỏ cầu lúc đó là :

12m



Bài tập 8 Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m1 =m; q1 = +q; m2 = 4m; q2 = +2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẫn nằmngang Ban đầu giữ hai quả cầu đứng yên Đẩy quả cấu 1 chuyển động hướng thẳng vàoquả cầu 2 với vận tốc v0, đồng thời buông quả cầu 2:

a) Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu

b) Xét trường hợp a = � tính rmin

c) Tính vận tốc u1, u2 của hai quả cầu ( theo vo, rmin) khi chúng lại ra xa nhau vô cùng Xét trường hợp a = �

m1

m2+q2m1

+q1

b) Xét trường hợp a = � hoặc đầu hai quả cầu ở rất xa nhau Từ (2) ta có :

25kq

rmin= 2

mv0c) Khi hai quả cầu lại ra xa nhau vô cùng, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:

mv2 = mu1 + 4mu2� u1= v0 - 4u2 (5)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có:

1) Tìm thời điểm t0 các ion sẽ gặp nhau.

2) Tìm khoảng cách r1 mà ta phải thả các ion ra không vận tốc đầu để chúng gặpnhau ở thời điểm t1 = 8t0

Ta có : μ mà nghiệm r(t) của phương trình này xác định chuyển động tương đối của M2đối với M1

Bµi tËp 10 Hai quả cầu kim loại, lúc đầu trung hoà về điện, mỗi quả cầu có bán kính

r và khối lượng m, được nối với nhau bằng một dây dẫn nhẹ và mềm có chiều dài L Sau

đó các quả cầu được đặt trong điện trường đều có phương song song với đường thẳng nối

tâm của hai quả cầu Các quả cầu đươc giữ đứng yên, cách nhau một khoảng l (r << l <

L) Xác định tốc độ lớn nhất mỗi quả cầu đạt được sau khi được thả tự do Bỏ qua tácdụng của trường trọng lực.

Giải

Chọn hệ toạ độ có gốc trùng với vị trí khối tâm của hai quả cầu

Vì các quả cầu có kích thước (bán kính r) rất nhỏ so với khoảng cách l giữa chúng, nên

mỗi quả cầu có thể coi là các điện tích điểm Vì hai quả cầu được nối với nhau bằng dâydẫn nên khi khoảng cách giữa các quả cầu thay đổi, các điện tích chạy từ quả cầu nàysang quả cầu kia thông qua dây dẫn Coi sự thay đổi vị trí của các quả cầu là rất chậm, khi

đó dòng điện chạy qua dây dẫn sẽ rất nhỏ, coi như Một cách gần đúng ta coi hệ là cânbằng điện tại mọi thời điểm

- Gọi q là điện tích đã di chuyển từ quả cầu này sang quả cầu kia, khi đó hiệu điện thếgiữa hai quả cầu sinh ra do điện tích trên các quả cầu là : , với k là hằng số Coulomb.Hiệu điện thế này giữa hai quả cầu được sinh ra do sự dịch chuyển điện tích từ quả cầunày sang quả cầu kia do tác dụng của điện trường ngoài

Như vậy, hợp lực của các lực tác dụng vào một quả cầu là :

Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên động nặng của vật bằng công của ngoạilực tác dụng lên vật, ta có:

* Biện luận :

+ Khi r << (L + l), ta có :

+ Khi L >> l, ta có :

Bài tập 11 Hai quả cầu kim loại cùng khối lượng m, có bán kính tương ứng là r và 2r,

tâm của chúng cách nhau 4r, được đặt trong một điện trường đều E có hướng từ quả lớnđến quả nhỏ Qủa cầu lớn hơn được tích điện q , quả cầu nhỏ không mang điện Người ta

thả đồng thời các quả cầu Thời gian giữa va chạm thứ nhất và va chạm thứ hai là Tìmthời gian giữa lần va chạm thứ n và lần thứ (n +1) và quãng đường mà mỗi quả cầu điđược trong khoảng thời gian ấy Gia tốc của các quả cầu bằng bao nhiêu sau thời gian đủlớn Xem rằng các va chạm là tuyệt đối đàn hồi và thời gian xảy ra va chạm là rất nhỏ

Giải

- Khi các quả cầu được buông ra :

+ quả cầu nhỏ vẫn còn đứng yên (ở đây ta bỏ qua tác dụng của trọng lực)

+ qủa cầu lớn bắt đầu chuyển động với gia tốc

+ sau thời gian qủa cầu lớn tiến gần tới quả cầu nhỏ với vận tốc Sau va chạm hai quảcầu trao đổi vận tốc cho nhau: quả cầu lớn ngay sau va chạm có vận tốc bằng 0 và quả cầunhỏ có vận tốc

- Vì các quả cầu đều làm bằng kim loại nên khi va chạm điện tích q phân bố trên cả haiquả cầu

+ Giả sử là điện tích của quả lớn sau va chạm khi đó điện tích của quả cầu nhỏ là

- Dễ dàng thấy rằng trong những va chạm tiếp sau, điện tích của mỗi quả cầu không thayđổi Trong thời gian giữa hai va chạm gia tốc của hai quả cầu là:

+ (quả cầu lớn)

+(quả cầu nhỏ)

Cứ mỗi va chạm các quả cầu lại trao đổi vận tốc cho nhau

- Va chạm thứ hai xảy ra qua thời gian sau va chạm thứ nhất Từ điều kiện quãng đường

đi được bằng nhau của hai quả cầu trong khoảng thời gian giữa va chạm thứ nhất và thứhai :

- Bằng lập luận tương tự ta đi đến kết luận rằng thời gian giữa hai va chạm liên tiếp đềubằng

- Từ những tính toán ở trên ta dễ dàng thấy rằng vận tốc của quả cầu lớn sau va chạm thứ

n bằng Từ đó ta tìm được mà mỗi quả cầu đi được giữa va chạm thứ n và n +1 bằng :

Vậy gia tốc trung bình mà hệ (khối tâm của hai quả cầu) sẽ chuyển động sau thời gian đủlớn bằng

II BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU ĐIỆN TÍCH ĐIỂMBài tập 1 Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m, M, m cùng điện tích Q nối với nhau bằng hai

dây nhẹ không dãn và không dẫn điện, chiều dài l Hệ thống

được đặt trên mặt bàn nhẵn nằm ngang Quả cầu giữa khối

lượng M được truyền vận tốc vr0

theo hướng vuông góc với dây Bỏ qua mọi ma sát.a) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 quả cầu m trong quá trình chuyển động

b) Tính vận tốc của quả cầu M ở thời điểm cả 3 quả cầu lại thẳng hàng

Giải

a) Khi 2 quả cầu m gần nhau nhất thì 3 quả cầu cùng vận tốc v

- Theo bảo toàn động lượng, ta có : Mv0 = (M + 2m)v →

Thay v từ (1) vào (2) ta được :

b) Khi cả 3 quả cầu lại thẳng hàng :

Bài tập 2 Ba quả cầu cùng khối lượng m, điện tích cùng dấu, đều bằng q, được nối với

nhau bằng ba sợi dây dài, không giãn, không khối lượng , không dẫn điện Hệ được đặt

trên mặt phẳng ngang, nhẵn Người ta đốt một trong ba sợi dây đó

a) Xác định vận tốc cực đại vmax của các quả cầu trong quá trình chuyển động.b) Mô tả chuyển động của các quả cầu sau khi đã đạt được vmax

Giải

Cách 1 :

a) Khi một trong ba dây bị đứt, dưới tác dụng của các nội lực còn lại (lực đẩy tĩnh điện vàlực căng dây) cả ba viên bi đều chuyển động nhưng khối tâm của hệ vẫn đứng yên vàđộng lượng của hệ vẫn bảo toàn :

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì động năng cực đại của hệ ứng với thế năng cựctiểu của hệ:

Wt(min)  x = 2l : Hệ ba quả cầu thẳng hàng

→ vr1vr3 và vuông góc với đường nối 3 điện tích

2kq26mlb) Sau khi đạt vận tốc cực đại chúng chuyển động chậm dần cho đến khi vận tốc bằngkhông thì khôi phục thế năng ban đầu và tam giác điện tích trở thành tam giác đều cóhình dạng đối xứng với tam giác ban đầu Sau đó hệ dao động tuần hoàn quanh khối tâmG

Cách 2 : (Dùng định luật bảo toàn năng lượng)

- Vì hệ không chịu tác dụng của ngoại lực nên năng lượng của hệ được bảo toàn Dễ thấyrằng thế năng tĩnh điện giữa các quả cầu 1, 3 và 2, 3 không thay đổi nên có thể viết địnhluật bảo toàn năng lượng của hệ dưới dạng :

22

Bài tập 3 Tại ba đỉnh của một tứ diện đều cạnh a giữ ba quả cầu nhỏ giống nhau có khối

lượng và điện tích tương ứng là M và Q Tại đỉnh thứ tư giữ một quả cầu khác điện tích q,khối lượng m (m << M, Q = 2q) Tất cả các quả cầu được thả đồng thời

a) Tính độ lớn vận tốc các quả cầu sau khi chúng đã bay rất xa nhau

b) Sau khi đã bay ra xa nhau, các quả cầu này chuyển động theo phương hợp vớimặt phẳng tứ diện chứa ba quả cầu M một góc bao nhiêu ?

Bỏ qua tác dụng của trọng lực

2 = 3

kQq

a =

26kq

a → v0 =

212kqma

Do tính đối xứng nên khi các quả cầu M chuyển động thì vận tốc của chúng có độ lớnluôn bằng nhau Gọi v là vận tốc mỗi quả cầu M khi chúng rất xa

nhau Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có :

23Mv

2 =

23kQ

a → v =

22kQ

Ma =

28kqMab) Gọi thành phần vận tốc của các quả cầu M theo phương trục Z

là vz

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (m + 3M), ta có :

3Mvz = mv = m

212kq

ma → vz =

m3M

212kqma

2 3

N 4

N -1 5

Bài tập 4 Có bốn hạt mang điện giống nhau, khối lượng mỗi hạt là m, điện tích mỗi hạt

là q, được giữ trên bốn đỉnh của một hình vuông cạnh a

a) Hãy xác định động năng cực đại của mỗi hạt khi chúng được thả ra đồng thời b) Hãy xác định động năng của từng hạt khi người ta lần lượt thả từng hạt một saocho hạt tiếp theo được thả ra khi hạt trước nó đã đi khá xa hệ

Giải

Thế năng tương tác ban đầu của hệ bằng :

a) Khi thả đồng thời các hạt, do tính đối xứng của bài toán, các hạt được gia tốc như nhau,khiến cho khi ra tới vô cùng, động năng của chúng như nhau và bằng

Điện tích thứ tư được hoàn toàn tự do sau khi các điện tích khác của hệ đã ra xa vô cùng

Nó không thể tự chuyển động từ trạng thái nghỉ và do đó không có đông năng

Bài tập 5 Tại các đỉnh của một đa giác đều gồm 2004 cạnh, có gắn các viên bi giống

nhau, mang điện tích giống nhau Mỗi cạnh đa giác bằng a Vào một thời điểm nào đóngười ta thả một viên bi ra, và sau một khoảng thời gian đủ lâu, người ta thả tiếp viên nằmcạnh viên đã thả lúc trước Nhận thấy rằng khi đã cách đa giác một khoảng đủ lớn thìđộng năng của hai viên bi đã thả chênh nhau một lượng bằng K Hãy tìm điện tích q củamỗi viên bi

Giải

Giả sử viên bi thứ nhất được thả từ đỉnh thứ N Khi đã ở vô cùng (sau một khoảngthời gian đủ lớn), nó đạt được động năng bằng thế năng tương tác ban đầu của nó vớiđiện tích còn lại

Trong đó a i là khoảng cách từ các điện tích ở các đỉnh 1, 2, đến q đặt tại đỉnh N Riêng a1 và a N-1 là các khoảng cách từ đỉnh cạnh nó và bằng a Động năng của hạt thứ hai khi tới

vô cùng được tính tương tự, nhưng thiếu đi một số hạng của một điện tích cạnh nó, tựa

như nó cũng được thả ra từ đỉnh N, nhưng đã thiếu mất điện tích ở đỉnh N - 1 :

Vậy : Suy ra :

III BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH ĐIỂM TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

GÂY BỞI VẬT TÍCH ĐIỆN CÓ KÍCH THƯỚC Bài tập 1 Có một nửa vòng trong tích điện trên hình vẽ Một hạt mang điện trái dấu với

điện một điểm nửa vòng tròn đó Được thả ra từ một điểm rất xa trên đường thẳng AB với

vận tốc ban đầu bằng 0 Biết tỉ số vận tốc của hạt khi đi qua A và B

vA = n

vB Hãy tìm tỉ sốgia tốc của hạt ở hai điểm đó

Mặt khác, ta viết biểu thức của lực do nửa vòng tròn tác dụng lên điện tích tại A và tại B:

FA = qEA = maA; FB = qEB = maB, với EA, EB tương ứng là cường độ điện trường của nửa vòng tròn tại A và B

Suy ra:

EA aA =

EB aB

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

aA EA VA = n

aB EB VBDưới đây ta sẽ lần lượt xác định VA, EA; VB; EB

* Tính V A Chia nửa vòng tròn thành những đoạn đủ nhỏ để coi là điện tích điểm, mỗi

đoạn mang điện tích ΔQ Điện tích do nó gây ra tại A là (hình vẽ)

(Q là điện tích nửa vòng tròn) (4)

+ Tính EA gọi chiều dài của mỗi đoạn

mang điện tích ΔQàΔl , λ1 v i là điện

tích của mỗi đơn vị độ dài của nửa vòng

tròn, cường độ điện trường do AQi gây ra tại A là:

B

Bài tập 2 Một hạt khối lượng m, tích điện q quay quanh quả cầu dẫn điện bán kính r, tích

điện Q Quĩ đạo của hạt là đường tròn bán kính R và tâm trùng với tâm quả cầu Tính tốc

độ góc quay của hạt

Giải

Ta có thể coi trường tạo bởi điện tích q , điện tích Q và các điện tích hưởng ứng như

là trường tạo bởi hệ của 3 điện tích : q, điện tích

qrq'= -

- Theo tính chất ảnh điện, điện tích q' đặt tại C, cách tâm O một đoạn d = r /R2

- Lực tác dụng lên điện tích q có độ lớn:

IV CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN

Bài tập 1 Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích q ban đầu được giữ ở vị trí thẳng

đứng, cách một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn, có mật độ điện mặt  một khoảng h Thảquả cầu cho nó chuyển động Hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu

Vì bản rộng vô hạn nên có thể coi điện trường do bản gây ra là điện trường đều, có

phương vuông góc với bản, có cường độ : E =

σ2ε0Lực điện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điệntrường E tác dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên

+ Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ lớn :

qσ

F = qE =1

2ε0Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng

lực tác dụng giữ điện tích q và điện tích – q là ảnh của q

qua mặt phẳng vô hạn Lực này là lực hút, nó có hướng ra

xa bản và có độ lớn :

2kq

F =2 24dTrong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại

Cuối cùng lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại

2σ.q kq

F = F - F =1 2 - 2

2ε0 4d

* Vị trí cân bằng : P = F  mg =

2σ.q kq

+ Nếu h = d0 quả cầu ở vị trí cân bằng

+ Nếu h > d0 quả cầu chuyển động ra xa bản kim loại

Bài tập 2 Một mặt phẳng kim loại rộng được uốn thành dạng góc vuông như hình vẽ.

Một điện tích điểm có khối lượng m và điện tích Q được đặt ở vị trí

cách mỗi mặt một khoảng d Thả tự do điện tích Hãy xác định : d m, Q

m, q

m, q’

h

h