GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ HAI PHÉP TOÁN NGƯỢC. ( PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT).[r]
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ HAI PHÉP TOÁN NGƯỢC.
( PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT).
Bài toán tổng quát:
Giải phương trình: s ax +b = r log s ( ux+ vũ )+ dx+e (I) , với a ≠ 0 , u ≠0 ,0<s≠ 1 .
Phương pháp giải:
Điều kiện để phương trình (I) có nghĩa là ux +v>0
Đặt ẩn phụ: ay +b=log s ( ux+ v ) ⇔ s ay+ b
=ux+v (1) Khi đó phương trình (I) trở thành:
s ax +b=ary+dx+br+e (2)
Giả sử có:
¿
u=ar+d
v =br+e
¿ {
¿
hay với b=0 ⇒v =e , b ≠ 0 thì r= u −d
a =
v − e
b Lúc đó, ta có hệ phương trình:
¿
s ay+ b
s ax+b=ary+(u −ar ) x+v
¿ {
¿
(1)
(3)
Trừ từng vế của (1) và (3) rồi rút gọn ta được :
s ax+b
+arx=s ay+b+ary (4) Nếu hàm số f ( x )=s ax+ b+ arx là đơn điệu trên R
⇔ s>1
ar>0
¿ {
hoặc
¿
0<s<1
ar<0
¿ {
¿
Thì (4) ⇔ x= y .
Theo cách đặt ẩn phụ từ (1), ta có: s ax+b=ux+ v ⇔ s ax+b
Khi đó khảo sát sự biến thiên của hàm số g ( x)=s ax+b − ux − v để biết số các nghiệm của g(x) =0 rồi từ đó giải ra các nghiệm đó.
Trang 2VD1: Giải phương trình: (12)2 sin
2
x
+ sinπ
6=cos 2 x +log4(3 cos 2 x − 1) (1).
Lời giải: ĐK để pt (1) có nghĩa: 3 cos 2 x −1>0 ⇔ 3 cos2 x>1
Khi đó pt (1) ⇔2 cos 2 x− 1
+1=2cos 2 x +2 log4(3 cos 2 x −1) .
Đặt ẩn phụ: cos 2 x=t , ta có phương trình: 2t+1=2t +log2(3 t −1) (2)
Tiếp tục đặt ẩn phụ: z=log2(3 t −1)⇔2 z=3 t − 1 (3)
Khi đó phương trình (2) trở thành: 2t+1=2t +z⇔ 2 t
Trừ từng vế của (3) và (4), ta được: 2z − 2 t
=t − z⇔ 2 z
+t (5) Xét hàm số : f (t)=2 t+t có f '(t )=2 tln 2+1>0 nên f (t) đồng biến, do đó
Pt(5) ⇔ z=t thay vào pt(3) có: 2t=3 t −1 , t ∈[− 1;1] (6)
Dễ thấy t = 1 là nghiệm của pt(6)
Nếu t ∈[− 1;0] thì VT(6) > 0; VP(6) < 0 nên pt(6) vô nghiệm.
Nếu t ∈ (0;1 ) thì hàm g(t)=2 t −3 t+1 có g '(t)=2 t ln 2− 3<0 nên hàm g(t) nghịch biến suy ra g(t)>g(1)=0 .
Tóm lại, pt (6) chỉ có nghiệm duy nhất t=1 ⇔cos 2 x=1 ⇔ x=kπ , k ∈ Ζ .
Hiển nhiên cos 2 x=1 thì 3 cos 2 x=3>1 thỏa mãn đk ban đầu.
Vậy pt đã cho có nghiệm là x=kπ , k ∈ Ζ .
VD2: Giải pt: 7x− 1=1+2 log7(6 x −5 )3 (1)
Lời giải: Đk để pt (1) có nghĩa là 6 x − 5>0 ⇔ x >5
Đặt ẩn phụ: y − 1=log7(6 x −5) ⇔6 x − 5=7 y −1
(2) Khi đó pt (1) trở thành: 7x− 1=6 y −5 (3)
Trừ từng vế của (2) và (3 ta được:
7y −1 −7 x −1=6 x −6 y⇔7 y− 1
+6 ( y − 1)=7 x −1+6 ( x −1 ) (4) Xét hàm số: f (t)=7 t+6 t có f '(t )=7 t ln7+6>0 , ∀ t Suy ra f (t) đồng biến trên R
Do đó pt (4) ⇔ x= y Thay x= y vào (2) ta được:
7x− 1=6 x − 5⇔7 x− 1
− 6 ( x −1) −1=0 (5)
Ta có: g (t)=7 t −6 t −1 có g '
(t) =7t ln 7 −6=0 ⇔t=log76 − log77=t0
Do vậy g(t) nghịch biến trong khoảng (− ∞;t0) nghịch biến trong khoảng (t0;+∞)
Nên g(t) có không quá 2 nghiệm Hơn nữa, dễ thấy t=0 và t=1 là 2 nghiệm của g(t)
Do đó pt (5) có 2 nghiệm là x=1 và x=2 Hai nghiệm này đều thỏa mãn pt (1).
Vậy pt (1) có 2 nghiệm là x=1 và x=2.