BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh sau:.. a.[r]
Trang 1Chuyên đề tam thức bậc hai
I Phơng trình bậc 2, định lý Viet:
1 Giải và biện luận các phơng trình sau:
a m2x2 – m(5m + 1)x – 5m - 2 = 0
b (m - 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 c.
a
x −1 +
1
x − a = 2.
2 Giải các phơng trình sau:
a (1 - √2)x2 - 2(1 + √2)x + 1 + 3√2 = 0
x −1 +
2
x −2 = 3(
2
x+6 -
1
x −3).
c (a + b)2x2 – (a - b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0, (a + b 0)
d x2 – 2sina.sinb.x + sin2a + sin2b – 1 = 0
3 CMR các phơng trình sau luôn có nghiệm a, b, c R:
a (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
b ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0
4 Biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a x3 – m(x - 1) - 1 = 0 b x3 – m(x + 2) + 8 = 0
5 Giả sử phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
A = x1 + x2
B = x1 + x2
C = x1 + x2
D = x1 + x2
E = x2x1 + x1x2
F = | x1 – x2 |
G = 1
x1 +
1
1
x12
+ 1
x22
6 Tìm m sao cho các phơng trình sau thoả mãn:
a Pt: x2–mx+m2 –m–3 = 0 có nghiệm t/m: x1 + x2 = 4
b Pt: x2–(m+2)x+m2+1 = 0 có nghiệm t/m: x1 + x2 = 3x1x2
c Pt: 3x2+4(m-1)x+m2–4m+1 = 0 có nghiệm t/m: 1
x1 +
1
x2=
1
2(x1+x2).
d Pt: x2 +mx+1 = 0 có nghiệm t/m: x22
x12
+ x12
x22
7
e Pt: x2–(2m+1)x+m2 +1 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = 2x2
f Pt: x2–3,75x+m2 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = x2
g Pt: mx2–2(m-1)x+3(m-2) = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 + 2x2 = 1
7 Cho phơng trình: (m – 2)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1) Tìm m để:
a Phơng trình có 2 nghiệm là 2 số đối nhau
b Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu sao cho nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
c Phơng trình có 2 nghiệm âm phân biệt
d Phơng trình chỉ có một nghiệm dơng
8 Cho phơng trình: 2x2 + (2m - 1)x + m – 1 = 0 (1)
a Tìm m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 t/m: 3x1 – 4x2 = 11
b CMR phơng trình (1) không thể có 2 nghiệm dơng
c Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m
Trang 2II Bất phơng trình bậc 2, định lý thuận:
9 Giải các bất phơng trình sau:
a 2x2 – 5x + 3 0
b x2 - 4x – 5 0
c x2 + 3x – 4 0
d x3 – 6x2 + 5x +12 0
e 4x2 - 4x + 1 0
f x2 – (m + 2)x + m + 1 0
3 x +1>
3
2 − x
x+a −
x
x2− a2< 1
a − x
10.Giải và biện luận các bất phơng trình sau:
a ax2 + (a + 1)x + 1 >0
b (m - 1)x2 – 2(m + 1)x + m + 3 > 0
c 4(m + 2)x2 – 2(m - 1)x + m - 1 < 0
11.Giải các hệ bất phơng trình sau:
a
2 x2−5 x +3>0
x2− 4 x −5 ≤ 0
¿{
¿
¿
b
2 x2+9 x +7>0
x2+x −6 ≤ 0
¿{
¿
¿
c
x2+3 x − 4 ≥ 0
x3≤ 4 (4 − x)
¿{
¿
¿
d
x2− 9≤ 0
(x − 1)(3 x2− 7 x+4)≤ 0
¿{
¿
¿
12.Tìm m để:
a (m2 + 2m)x2 + 2(m + 2)x – 3 0, x R
b mx2 + 4x + m 0, x R
c mx2 - mx – 5 0, x R
+2 x −5
(2 m− 1) x2−2 x +4 m−3 0, x R.
13.Tìm m để các bất phơng trình sau vô nghiệm:
a (m + 1)x2 - 2mx – m + 3 0
b (m + 1)x2 – 2(m – 1)x +3m - 3 0
c (m + 1)x2 – 2(m – 1)x +3m - 3 0
14.Tìm a để hệ phơng trình sau vô nghiệm:
a
x2
+4 x+3<0
ax2−(a+1) x+1>0
¿{
¿
¿
b
x2+7 x −8<0
a2x +1>3+(3 a− 2) x
¿{
¿
¿
15.Cho hệ phơng trình:
2 x2+3 x − 2 ≤0
x2− a(a+1) x+ a2≤0
¿{
¿
¿
a Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm
b Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm duy nhất
16.CMR: a x2 + 2xy + 3y2 +2x + 6y + 3 0 x, y R
b x2y4 – 4xy3 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 0 x, y R
17.Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0 Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1
18.Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: (x2 - y2 +1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x2 + y2
III Định lý đảo:
Trang 319.So sánh số –2 với các nghiệm của các phơng trình bậc 2 sau:
a 2x2 – 9x – 15 = 0
b x2 + (m + 3)x + 2m + 1 = 0 c. mx
2 + (m-2)x – 3m – 4 = 0
20.Cho phơng trình bậc 2: x2 – 2(m + 1)x + 5m – 1 = 0 (1) Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số 1 khi m thay đổi
21.Cho phơng trình bậc 2: x2 – mx + 3m – 8 = 0 (1) Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số
4 khi m thay đổi
22.Cho phơng trình: (3 – m)x2 + 2mx + m + 2 = 0 (1) Tìm m để:
a Tìm m để (1) có 2 nghiệm < 1
b Tìm m để (1) có 1 nghiệm (-1; 3) còn nghiệm kia > 3
23.Tìm a để phơng trình: (a + 1)x2 – 8(a + 1)x + 6a = 0 có đúng một nghiệm (0; 1)
24.Tìm m để phơng trình: (m-3)log2 0,5(x-4) – (2m+1)log0,5(x-4) + m + 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 t/m: 4 < x1 < x2 < 6
25.Tìm m để phơng trình: Sin6x +Cos6x
Cox2x − Sin2x = mtg2x có nghiệm.
26.Tìm m để phơng trình: 3
Sin2x + 3tg
2x + m(tgx + cotgx) – 1 = 0 có nghiệm
27.Cho phơng trình: x2 – (a + 2)x + 5a + 1 = 0 Tìm a sao cho:
a Phơng trình có một nghiệm lớn hơn 1
b Phơng trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1
c Phơng trình có nghiệm (-1; 1)
28.Tìm m để: f(x) = x2 – (m+2)x + m2 +1 0 x > 1
29.Tìm m để: f(x) = (m-2)x2 – 3(m-6)x – m - 1 < 0 x (-1; 0)
30.Giải và biện luận các bất phơng trình sau:
a x
2−5 x+ 6 −m
x − 1 > 1.
b 2x - m√x −1 > m – 1.
c | x2 – 2x – m | | x2 – 3x – m |
31.Biện luận số nghiệm của các phơng trình sau:
a x4 – 5x2 + 6 – m = 0
b x4 + mx3 + x2 + mx + 1 = 0
c x2 = 2(m-1)√x2+1 - 5m
d (m-1)Sin2x–2(m+1)Cosx+2m–1= 0
32.Tìm a để bất phơng trình: 4cos x + 2(2a + 1)2cos x+ 4a2 – 3 < 0 đúng x
33.Tìm a để bất phơng trình: Sin3x + mSin2x + 3Sinx 0 đúng x t/m: 0 x π 2.
IV Hệ phơng trình bậc 2:
Giải các hệ phơng trình sau:
Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai:
42
2 x −3 y=1
x2− xy=24
¿{
¿
¿
43
3 x − 4 y +1=0
xy=3(x + y )− 9
¿{
¿
¿
44
2 x+3 y=2 xy+x + y +6=0
¿{
¿
¿
45
y +x2=4 x
2 x+ y −5=0
¿{
¿
¿
46
2 x+3 y =5
3 x2− y2+2 y=0
¿{
¿
¿
47
x2+xy + y2=7
2 x − y=5
¿{
¿
¿
Hệ đối xứng loại 1:
48
x + y =4
x2+y2=10
¿{
¿
¿
Trang 4(x − 1)( y −1)=18
x2+y2=65
¿{
¿
¿
50
x + y +xy=5
x2+y2=5
¿{
¿
¿
51
x+ y+xy=5
x2 +y2 +xy=7
¿{
¿
¿
52
x+ y+xy=5
x2y + y2x=6
¿{
¿
¿
53
x + y +xy=5
x3 +y3 +x3y3=17
¿{
¿
¿
54
x+ y+1
x+
1
y=5
x2+y2+ 1
x2+
1
y2=9
¿{
¿
¿
55
(x + y )(1+ 1
xy)=5 (x2+y2)(1+ 1
x2y2)=49
¿{
¿
¿
Hệ đẳng cấp bậc 2:
56
x2
+2 xy+3 y2=9
2 x2+2 xy+ y2=2
¿{
¿
¿
57
x2−2 xy +3 y2=9
x2− 4 xy+5 y2=5
¿{
¿
¿
58
x2−3 xy+ y2
=−1
3 x2− xy +3 y2=13
¿{
¿
¿
59
3 x2 +5 xy − 4 y2=38
5 x2− 9 xy − 3 y2=15
¿{
¿
¿
Hệ đối xứng loại 2:
60
x2=3 x +2 y
y2=3 y +2 x
¿{
¿
¿
61
x2− 2 y2=2 x + y
y2− 2 x2
=2 y +x
¿{
¿
¿
62
x3=2 x + y
y3=2 y +x
¿{
¿
¿
63
x2=my −1
y2
=mx− 1
¿{
¿
¿
64
x2=3 x +my
y2=3 y +mx
¿{
¿
¿
Các hệ phơng trình khác:
65
x+ y+ z=6
xy+yz − zx=7
x2+y2+z =14
¿{ {
¿
¿
66
x2 +x+ y2
+y =18
x (x+1) y ( y +1)=72
¿{
¿
¿
67
x + y +xy=1
x+z +xz=2
y +z +yz=5
¿{ {
¿
¿
68
x (x+ y+z )=2 − yz
y (x + y +z)=3 − xz
z (x + y +z )=6 − xy
¿{ {
¿
¿
Trang 5xy+yz+zx=1
x2+y2+z2=1
¿{
¿
¿
70
x2
=y +1
y2=z+1
z2
=x +1
¿{ {
¿
¿
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
71.x2 + √x+5 = 5
72.x3 + 1 = 2√32 x −1
73.x3 - 3√32+3 x=2
74.x3 - 1 = √3 x+1