testpro template sở gd đt t t huế đề thi chọn học sinh giỏi khối 12 trường thpt môn toán thời gian làm bài 150 phút nguyễn đình chiểu không kể thời gian giao đề

[r]

SỞ GD & ĐT T T HUấ́ Đấ̀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHễ́I 12

TRƯỜNG THPT MễN TOÁN _ Thời gian làm bài : 150 phút

NGUYấ̃N ĐÌNH CHIấ̉U ( Khụng kờ̉ thời gian giao đờ̀ )

********* **********

Bài 1 :

1/ Chứng minh rằng x0, ta có :

2

ln(1 ) 2

x

x  x x

n N; n 1, đặt u ln(1 )(1 )(1 ) (1 ) Tính limu

Bài 2 : Cho f(x) = nxn+1 – 3(n+1)xn + an+1

1/ Khi n = 2007, giải phương trình : f(x) = 0 với a3

2/ Chứng minh rằng : n lẻ ; a > 3 thì phương trình f(x) = 0 vụ nghiệm

1

y = f(x) = x + 1 + (C)

x 1 Tìm những điờ̉m trờn (C) có hoành độ lớn hơn 1, sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giỏc có chu vi bộ nhất

Bài 4 : Cho ABC, lấy điờ̉m P trờn cạnh BC, qua P kẻ PN // AB ; PM // AC Xỏc định vị

trớ điờ̉m P sao cho MN có độ dài ngắn nhất

Bài 5 : Giải hệ phương trình:

{ x + log2y= y log23+log2x

x log272+log2x=2 y+log2y

- Hấ́T

-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

1

1/

Đặt

2

2

x

f x  x  x  x

2

1

x

 f(x) là hàm số giảm, nên : f(x) < f(0)  x > 0

Ta có :

2

ln(1 ) (1)

2

x

x  x

Đặt g x( ) x ln(1x)  x 0.

1

x

 g(x) là hàm số tăng, nên : g(x) > g(0)  x > 0

Ta có : xln(1x) (2).

Từ (1) và (2), ta có :

2

ln(1 ) 2

x

x  x x

 x > 0.(*)

0,5

0,5

0,25 2/

Từ (*) thay x bởi : 2 2 2 2

1 2 3

; ; ; ; n

n n n n , ta có :

ln(1 ) 2

ln(1 ) 2

ln(1 ) 2



u

Nên : lim un =

1

2

0,5 0,25

2 1/ Khi n = 2007 , f(x) = 0  2007x2008 – 3.2008x2007 + a2008 = 0

Đặt g(x) = 2007x2008 – 3.2008x2007 + a2008 với a ≥ 3

g/(x) = 2008.2007.x2006( x – 3 )

g/(x) = 0 

0 3

x x





 



g(x) ≥ g (3) ≥ 0 với a ≥ 3

- - + a = 3 : g(x) = 0

 g(x) = g(3) khi x = 3

a > 3 : g(x) > g(3) > 0

CT

Vậy phương trình có nghiệm x = 3 khi a = 3

Phương trình vô nghiệm khi a > 3

0,5

0,5

0,25 2/ Với n lẻ ; a > 3 :

x y/

y

Đặt f(x) = nxn+1 – 3(n+1)xn + an+1.

f/(x) = n(n+1).xn( x – 3 )

f/(x) = 0 

0 3

x x





 

 Tương tự như câu (a ), ta có : f(x) ≥ f( 3) , với a > 3 thì f(3) > 0

Vậy phương trình vô nghiệm

0,5

0,25

3

Phương trình tiệm cận đứng : x = 1

Phương trình tiệm cận xiên : y = x + 1

Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận , thì I ( 1 ; 2 )

2

Gọi

1 A(a ;a 1 ) (C) a 1

a 1

 Phương trình tiếp tuyến tại A là :

2

(d) cắt tiệm cận đứng tại B thì tọa độ của

2a B(1; )

a 1 (d) cắt tiệm cận xiên tại C thì tọa độ của C(2a 1;2a)

Ta có :

2

a 1



BC IB IC 2IB.IC cos IB IC 8

4



CV = IB + IC + BC

=IB+IC+ IB2IC2 8 2 IB.IC2 2( 2 1) 4 24 2 2( 2 1).

CVmin= 4 24 2 2( 2 1)  IBIC

4

 Vậy

4

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25 0,25

4

Đặt

Do đó :

AN xAC ; AM  (1 x)AB

MN AN  AM xAC  (1 x)AB x(AC AB ) AB

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC thì :

MN xAD  AB AQ  AB ; QPN AD



MN BQ 

 

MNQB là hình bình hành

MN ngắn nhất  BQ ngắn nhất  BQAD

0,5 0,5

0,5 0,5

5

- Áp dụng công thức đổi sang cơ số 10 của logarit, ta có:

log23=log 3

log 2 cho hệ phương trình

{ x +log2y= y log23+log2x

x(3+2 log23)+log2x=2 y +log2y

- Suy ra: y = 2x

2 log23 −1

2 log23− 1

1,0 0,25 0,25