Mét nguyªn nh©n quan träng lµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n cha thùc sù nghiªn cøu kü bµi d¹y híng dÉn häc sinh vËn dông kiÕn thøc ®Ó gi¶i to¸n chu ®¸[r]
Trang 1a- nhận thức cũ - giải pháp cũ
Hiện nay Sách giáo khoa đã viết theo hớng mở,sau mỗi bài học, chơng học có rất nhiều bài tập để cũng cố kiến thức Nhng theo tôi nghĩ với nhiều lí do khác nhau nh
về thời gian, lợng kiến thức nên ngời viết sách không thể phân ra các dạng toán cụ thể để vận dụng kiến thức trong chơng, trong bài để giải
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán 8 , sau khi dạy xong chơng Tam giác đồng dạng tôi nhận thấy : Đa số học sinh vận dụng cha thành thảo kiến thức về tam giác
đồng dạng để giải một số dạng toán Cha hiểu hết mục đích, ý nghĩa của việc học toán, việc vận dụng kiến thức vào để giải toán , việc suy diễn lập luận trong chứng minh cha chặt chẽ, thấm đáo, dẫn đến làm bài lệch lạc, sai kết quả Một nguyên nhân quan trọng là giáo viên trong quá trình giảng dạy, hớng dẫn học sinh giải toán cha thực
sự nghiên cứu kỹ bài dạy hớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để giải toán chu đáo, cách trình bày lập luận cha chặt chẽ, khoa học
b - nhận thức mới - giải pháp mới
Hiện nay việc vận dụng kiến thức toán để giải bài tập là một yêu cầu quan trọng
đối với việc dạy và học toán Thông qua vấn đề này, học sinh không những củng cố
đ-ợc kiến thức, mà còn nâng cao phẩm chất quý giá học tập: tính cẩn thận chính xác; tính
độc lập suy nghĩ; phát triển t duy sáng tạo, biết lập luận chứng minh một cách lôgic
Và một ý nghĩa vô cùng quan trọng là thấy đợc vai trò của toán học đối với đời sống, thực tiễn
Phần Tam giác đồng dạng là một nội dung quan trọng của hình học 8 Thông qua các tam giác đồng dạng, ta có thể vận dụng giải một số dạng toán cần thiết đó là:
1 Chứng minh đợc các góc bằng nhau
2 Lập đợc các đẳng thức tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.Tính độ dài các đoạn thẳng
3 Chứng minh đợc các đẳng thức trong hình học Đẳng thức tích giữa các đoạn thẳng Chứng minh đợc tích của hai đoạn thẳng không đổi
4 Tính chu vi tam giác
5 Tính đợc diện tích tam giác và một số dạng toán khác
Qua việc hớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức vào giải toán ta sẽ đạt đợc nhiều mục tiêu quan trọng:
* Về kiến thức:
- Củng cố các kiến thức về các trờng hợp đồng dạng của tam giác
- Mở rộng, phát triển kiến thức: Làm đợc một số dạng toán cần thiết nêu trên
* Kỹ năng:
- Rèn luyện kỹ năng phân tích suy diễn hình học Cách chứng minh tính toán trong hình học
- Rèn luyện phong cách trình bày bằng lời nói, chữ viết, cách vẽ hình, kí hiệu chính xác
I kiến thức cần nhớ:
1 Các cách chứng minh hai tam giác đồng dạng:
Cách 1: Dựa vào định lý về tam giác đồng dạng : Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của
tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho
Cách 2 : Trờng hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau
Cách 3: Trờng hợp đồng dạng thứ 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh
của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau
Cách 4: Trờng hợp đồng dạng thứ 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc
của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau
*Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông:
Cách 1: Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia
thì hai tam giác vuông đó đồng dạng
Cách 2: Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của
tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng
Trang 2Cách 3: Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với
cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng
2 Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy ra:
Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:
- Hai góc tơng ứng bằng nhau
- Các cạnh tơng ứng tỉ lệ(lập đợc hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh)
- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng, tỉ số hai đờng phân giác tơng ứng, tỉ số hai trung tuyến tơng ứng bằng tỉ số đồng dạng
- Tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng
- Tỉ số diện tích hai tam giác bằng bình phơng tỉ số đồng dạng
3.Các cách xác định : đỉnh t ơng ứng, góc t ơng ứng, cạnh t ơng ứng tỉ lệ:
* Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:
a) Xácđịnh đỉnh tơng ứng:
- Hai góc của hai tam giác bằng nhau thì hai đỉnh của hai góc đó tơng ứng
- Hai đỉnh đối diệnk với hai cạnh tơng ứng là hai đỉnh tơng ứng
b) Xác định góc tơng ứng:
- Hai đỉnh tơng ứng thì hai góc có hai đỉnh đó tơng ứng ( tức hai góc đó bằng nhau)
- Hai góc đối diện với hai cạnh tơng ứng là hai góc tơng ứng
c) Xác định các cạnh tơng ứng:
- hai cạnh đối diện với hai góc tơng ứng thì hai cạnh đó tơng ứng
- hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau thì hai cạnh đó tơng ứng
L
u ý:
Nên rèn luyện cho học sinh nhận các đỉnh tơng ứng, các góc tơng ứng, cạnh tơng ứng trên hình vẽ để học sinh dễ hiểu,nhớ lâu và khắc sâu đợc kiến thức
4.Một số sai sót mà học sinh th ờng gặp:
a) Xác định các đỉnh tơng ứng, các góc tơng ứng, các cạnh tơng ứng không chính xác, dẫn đến các góc bằng nhau sai, lập hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh sai
b) Lẫn lộn giữa sự tơng ứng tỉ lệ giữa các cạnh với sự bằng nhau của hai cạnh
II Vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để giải một số
dạng toán :
Kiến thức về tam giác đồng dạng có thể vận dụng giải rất nhiều dạng toán Vì
điều kiện ta chỉ nghiên cứu một số dạng đặc biệt, phục vụ cho việc dạy học
1 Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau:
Để chứng minh hai góc bằng nhau, trong một số trờng hợp khó có thể áp dụng cách chứng minh thông thờng đã biết mà chỉ có thể vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng mới giải quyết đợc Đặc biệt các cạnh của góc không cố định, số đo các góc có thể thay đổi
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB=10cm, AC=20cm Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng
AD=5cm Chứng minh ABD❑ = ACB❑
10
5
20 A
D
Phân tích bài toán: Để chứng minh đợc ABD❑ = ACB❑ thì đối với bài toán này ta chỉ dựa vào hai tam giác đồng dạng Ta phải đa hai góc đó về hai góc tng ứng của hai tam giác đồng dạng
Lời giải: Xét ΔADB và ΔABC có
A❑ chung
AD
AB=
AB
AC (¿ 1
2)
Trang 3Vậy ΔADB ~ΔABC (c-g-c)
Suy ra ABD❑ = ACB❑ (hai góc tơng ứng)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BD, CE là các đờng cao Chứng minh rằng:
ADE❑ =AB C❑;AED=❑ ACB❑
Phân tích bài toán: Ta nhận thấy rằng các cặp góc ta cần chứng minh bằng nhau nằm
trong hai tam giác ADE và ABC Để chứng minhđợcADE❑ =AB C❑;AED=❑ ACB❑ ta phải chứng minh đợc hai tam giác ADE và ABC đồng dạng với nhau
A
B
D E
C
Lời giải:
Xét ΔADB và ΔAEC có:
ADB❑ =AEC❑ =900
A❑ chung
Vậy ΔADB ~ ΔAEC (g-g)
Suy ra AD
AE=
AB
AC hay
AD
AB=
AE AC Xét ΔADE và ΔABC có:
A❑ chung
AD
AB=
AE
AC
Vậy ΔADE ~ ΔABC (c-g-c)
Suy ra ADE❑ =AB C❑;AED=❑
ACB❑
Ví dụ 3: Tam giác ABC có AB= 4cm,AC=5cm,BC=6cm Chứng minh rằng A❑=2C❑
Lời giải :
6
5 A
D
Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC = 5cm => ΔADC cân tại A => ACD❑ =ADC❑ (1)
Xét Δ ABC và ΔCBD có:
B❑ chung
AB
CB=
BC
BD=
2 3 Vậy Δ ABC ~ ΔCBD (c-g-c) Suy ra ACB❑ =CDB❑ (2)
Mặt khác ta có:BAC❑ =ACD❑ + ADC❑ (tính chất góc ngoài của tam giác) (3)
Trang 4Từ (1), (2), (3) ta có BAC❑ = ACD❑ + ADC❑ =2 ADC❑ =2 ACB❑ (Đpcm)
Ví dụ 4 : Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm; CD = 16cm và BD = 8cm,
góc ADB bằng 40O Tính số đo góc C của hình thang
Lời giải:
Xét ABD và BDC có
AB//CD ABD = BDC (so le) =
=
= = Vậy ABD BDC (g.c.g) ABD = BCD = 40O hay C = 40O
Dạng2 Lập đ ợc các đẳng thức tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.Tính độ dài các đoạn thẳng
Ngoài cách lập đợc đợc các đẳng thức tỉ lệ theo định nghĩa hai đoạn thẳng tỉ lệ hay theo tính chất tỉ lệ thức ta còn dựa vào tam giác đồng dạng để lập, cũng trên cơ sở đó để chúng ta tính độ dài các đoạn thẳng
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 18 cm Trên cạnh AB, đặt
đoạn thẳng AM = 10cm; trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN
Giải
Xét ABC và ANM
Ta có = Nên
Mặt khác có A chung của hai tam giác nên
ABC ANM (c-g-c)
Ta có hay MN = = 12 (cm)
Ví dụ 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB=4cm, CD=9cm,ADB❑ =BCD❑
a) Chứng minh: ABD BDC
b) Tính độ dài BD
C D
Lời giải:
Xét ABD và BDC có:
ADB❑ =BCD❑ (gt)
ABD❑ =BDC❑ (so le trong)
Vậy ABD BDC(g-g)
b) Theo câu a ABD BDC ta có AB
BD=
BD
DC suy ra BD2=AB DC
do đó BD2=4.9=36 nên BD= 6cm
B A
16cm
4cm
40O 8
18cm
A
M
N
8cm 10cm
S
S
S
S
S
Trang 5Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB= 24cm, AC=18cm Đờng trung trực của
BC cắt BC, BA, CA lần lợt tại M,E,D
Tính độ dài các đoạn: BC, BE, CD
E D
M B
Lời giải :
+Tam giác ABC vuông ở A(gt) Theo định lí Pi - ta-go, ta có:
BC2=AB2+AC2=242+182=900, suy ra BC=30cm
Do đó BM=MC=15cm
+ Xét ΔBME và ΔBAC có:
B❑ chung
M❑=A❑=90 0
Vậy ΔBME ~ ΔBAC (g-g) suy ra: BE
BC=
BM
BA do đó BE=
BC BM
30 15
24 =18 , 75cm + Xét ΔDMC và ΔBAC có:
C❑ chung
M❑=A❑=90 0
Vậy Δ DMC ~ ΔBAC (g-g) suy ra: DC
BC =
MC
AC do đó DC =
BC MC
30 15
18 =25cm
Dạng3 Chứng minh đ ợc các đẳng thức trong hình học Đẳng thức tích giữa ccác
đoạn thẳng Chứng minh đ ợc tích của hai đoạn thẳng không đổi.
Đây là dạng toán thờng gặp ở trong chơng III Tam giác đồng dạng, đặc biệt là những bài tập nâng cao giành cho học sinh khá giỏi Để đi làm dạng toán này thì trớc hết hoc sinh phải nắm chắc đợc kiến thức Tam giác đồng dạng, tính chất tỉ lệ thức Khi hớng dẫn học sinh làm dạng toán này giáo viên nên phân tích ngợc từ kết luận
lên,chẳng hạn để chứng minh a.d=b.c thì ta phải chứng minh đợc: a
b=
c d
Ví dụ 8(mở rộng từ ví dụ2):
Cho tam giác ABC có BD, CE là các đờng cao cắt nhau tại H Chứng minh rằng:
a) AD.AC=AE.AB
b) BH.BD+CH.CE=BC2
Phân tích bài toán:
Câu a: Để có AD.AC=AE.AB thì ta phải có AD
AE=
AB
AC=> ta phải chứng minh đợc :
ΔADB ~ ΔAEC
H
A
D E
F
Câu b: Để có BH.BD+CH.CE=BC2 thì ta phải tìm đợc BH.BD=x.y
CH.CE=k.l
Trang 6mà x.y+ k.l =BC2 muốn vậy ta phải xét các tam giác đồng dạng có liên quan đến các cạnh BH,BD,CH,CE và BC
Lời giải:
a) Xét ΔADB và ΔAEC có:
ADB❑ =AEC❑ =900
A❑ chung
Vậy ΔADB ~ ΔAEC (g-g)
Suy ra AD
AE=
AB
ACdo đó AD.AC=AE.AB b) Vì H là giao của hai đờng cao BD và CE của tam giác ABC nên H là trực tâm của tam giác ABC Suy ra AH là đờng cao của tam giác ABC Gọi F là giao điểm của AH
và BC.Ta có AF BC
Xét hai tam giác BHF và BCD có:
BFH❑ =BDC❑ =900, BDC❑ (chung).
Vậy ΔBHF ~ ΔBCD (g-g)
Suy ra BH
BC=
BF
BD hay BH.BD = BF.BC (1) Chứng minh tơng tự ta có : ΔCHF ~ ΔCBE (g-g)
Suy ra: CH
BC=
CF
CE hay CH.CE = CF.BC (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) ta đợc:
BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.BC=BC(BF+CF)=BC2
Ví dụ9: Cho hình bình hành ABCD điểm F trên cạnh BC, tia AF cắt BD và CD tại E và
G(EBD,FDC) Chứng minh:
a) AF2=EF.EG
b) BF.DG không đổi khi điểm F thay đổi trên BC
Phân tích bài toán:
a) Để có AF2=EF.EG thì ta phải có: AE
EG=
EF
AE , để chứng minh đợc tỉ lệ thức này ta phải chứng minh đợc hai tỉ số AE
EGvà
EF
AE cùng bằng một tỉ số nào đó.
b) Để chứng minh BF.DG không đổi Các đoạn thẳng cố định(không đổi) trong bài toán là các cạnh hình bình hành AB;AD;DC,BC Ta tìm mối quan hệ giữa BF;DG với các đoạn thẳng này
Lời giải:
G
F E
a) Vì AB//DG ( ABCD là hình bình hành)
nên ΔAEB ~ ΔGED ( Định lí Δđồng dạng)
Suy ra: AE
GE=
EB
DE (1) Vì AD//BF ( ABCD là hình bình hành)
nên ΔBEF ~ ΔDEA ( Định lí Δđồng dạng)
Suy ra EF
AE=¿
EB
DE(2)
Trang 7Từ (1) và (2) ta có
EF AE
¿ AE
GE=❑❑
=> AE2=EF.EG
b) Vì ΔAEB ~ ΔGED suy ra :EB
ED=
AB
GD (3) Vì ΔBEF ~ ΔDEA suy ra: EB
ED=
BF
AD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB
GD=
BF
AD vậy BF.GD=AB.AD Vì AB.AD không đổi, nên BF.GD không đổi
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, đờng thẳng d cắt ba cạnh(hoặc phần kéo dài) của BC,
CA, AB lần lợt tại P, Q, R Chứng minh hệ thức:
PB
PC .
QC
QA .
RA
RB=1
¿
¿
( Định lí Mênêlaúyt thuận)
m
l
n
d
P Q
I H
G A
B C
R
Phân tích bài toán : Để chứng minh
PB
PC .
QC
QA .
RA
RB =1
¿
¿
thì ta phải chứng minh đợc
PB
PC=
n
l;
QC
QA=
l
m;
RA
RB =
m
n (m>0,n>0,l>0) từ đó ta sẽ có kết luận của bài toán.
Lời giải:
Gọi khoảng cách từ A,B,C đến đờng thẳng d lần lợt là : m,n,l
Do BI//CH (cùng vuông góc với d)
nên ΔBIP~ ΔCHP (Đlí về Δ đồng dạng)
BP
PC=
n
l(1)
Chứng minh tơng tự ta có :
QC
QA=
l
m(2)
RA
RB =
m
n(3)
Nhân (1),(2),(3) vế với vế, ta đợc:
PB
PC .
QC
QA .
RA
RB=1
¿
¿
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC, AD là đờng phân giác trong của góc BAC, D BC.
Trang 8Chứng minh rằng: AD2=AB.AC-DB.DC.
A
D
A
B
C
E
Phân tích bài toán: Để có đợc các tích độ dài các đoạn thẳng trong phần kết luận
bài toán thì ta phải nghĩ đến tam giác đồng dạng, nhng với hình vẽ ban đầu ta không thể tìm ra lối giải của bài toán Chính vì vậy ta phải vẽ thêm yếu tố phụ đễ xuất hiện tam giác đồng dạng: Trên tia AD xác định điểm E sao cho AEB❑ =ACB❑ Ta chứng minh
ΔABE~ΔADC và ΔBDE~ΔADC sẽ kết luận đợc bài toán.
Lời giải:
Trên tia AD xác định điểm E sao cho AEB❑ = ACB❑
Xét ΔABE vàΔADC có:
BAD❑ =DAC❑ ( Vì AD là phân giác )
AEB❑ = ACB❑
Vậy ΔABE~ΔADC (g-g)
=> AB
AD=
AE
AC⇒ AB.AC=AE.AD
=> AB.AC=(AD + DE)AD = AD2 + AD.DE
=> AD2 = AB.AC - AD.DE (1)
Xét ΔBDE và ΔADC có:
AEB❑ =ACB❑
BDE❑ =ADC❑ (đối đỉnh)
Vậy ΔBDE~ΔADC (g-g)
=> DB
AD=
DE
DC=> DB.DC=AD.DE (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: AD2 = AB.AC - DB.DC
Ngoài cách vận dụng tam giác đồng dạng vào chứng minh các đẳng thức hình học ta còn vận dụng tam giác đồng dạng chứng minh đợc bất đẳng thức hình học.
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, CD là đờng phân giác của góc BCA của tam giác
Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB
Phân tích bài toán: Để có CD2 < CA.CB ta nghĩ đến việc so sánh CD2 và CA.CB với một biểu thức thứ 3 nào đó
A
D
E
Lời giải:
Ta có ADC❑ >B❑ ( góc ADC là góc ngoài của ΔDBC).
Vẽ tia DE sao cho EDC❑ =B❑ , E AC ( vì ADC❑ >B❑ ) nên CE < CA
Xét ΔBCD và ΔDCE có:
Trang 9EDC❑ =B❑
BCD❑ =DCE❑ ( CD phân giác)
Vậy ΔBCD ~ ΔDCE (g-g)
=> CD
CE =
CB
CD=> CD2 = CE.CB mà CE < CA => CD2 = CA.CB.
Dạng 4: Tính chu vi tam giác:
Trong chơng III Hình học 8 ta thờng gặp một số bài toán đi tính chu vi của các tam giác đồng dạng, hoặc đi tìm độ dài các cạnh của một tam giác khi biết tam giác này đồng dạng với một tam giác khác đã biết số đo các cạnh và tỉ số chu vi của hai tam giác Để làm đợc dạng toán này ta phải vận dụng vào định nghĩa hai tam giác
đồng dạng suy ra các cạnh tơng ứng tỉ lệ, đồng thời phải vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.Trớc hết ta xét bài toán sau:
Bài toán*: Chứng minh rằng nếu Δ A'B'C' ~ Δ ABC với tỉ số đồng dạng k
thì Chuvi ΔA ' B ' C '
Chuvi ΔABC =k.
Thật vậy, nếu Δ A'B'C' ~ Δ ABC thì ta có:
k=A ' B '
AB =
B' C '
BC =
C ' A '
A ' B '+B ' C ' +C ' A '
Chuvi ΔA ' B ' C ' Chuvi Δ ABC (Theo t/c dãy tỉ số bằng
nhau)
=>Chuvi ΔA ' B ' C '
Chuvi ΔABC =k.
Ví dụ 13: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD=2
3DB Qua D kẻ đ-ờng thẳng song song với BC cắt AC ở E
a) Chứng minh rằng: ΔADE ~ ΔABC Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác
b) Tính chu vi của ΔADE, biết chu vi ΔABC bằng 60cm.
Lời giải:
A
a) Ta có :DE//BC (gt) do đó ΔADE ~ ΔABC (theo định lí về tam giác đồng dạng)
Gọi k là tỉ số đồng dạng thì k=AD
AB . Theo giả thiết: AD=2
3DB =>
AD
DB =
2
3⇒AD
AD+ DB=
2 2+3=
2
5 hay
AD
AB=
2 5 VậyΔADE ~ ΔABC với tỉ số k=2
5. b) Vì ΔADE ~ ΔABC với tỉ số k=2
5 nên theo bài toán * ta có
Chuvi ΔADE
Chuvi ΔABC =
2
5=> Chu vi ΔADE =
2
5Chu vi ΔABC =
2
5.60 = 24 (cm)
Ví dụ 14: ΔA'B'C' ~ ΔABC Biết độ dài các cạnh của ΔABC là: AB=3cm, AC = 4cm,
BC=7cm và chu vi ΔA'B'C' là 55cm Hãy tính độ dài các cạnh của ΔA'B'C'.
Lời giải:
Do ΔA'B'C' ~ ΔABC nên ta có:
Trang 10A ' B '
AB =
B' C '
BC =
C ' A '
A ' B '+B ' C ' +C ' A '
55
15=
11 3
=> A'B' = 11
3 AB =
11
3 .3= 11 cm,
=> B'C' =11
3 BC =
11
3 .7 = 25,67 cm.
=> A'C' = 11
3 AC =
11
3 .4 = 14,67 cm.
Dạng 5 Tính diện tích tam giác
Với nhiều bài toán trong chơng II Diện tích đa giác khi đi giải gặp rất nhiều khó
khăn nhng nếu ta vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng vào giải các bài toán này ta lại thấy dễ dàng hơn Đồng thời thông qua tam giác đồng dạng ta còn so sánh đợc diện tích của các tam giác
Ví dụ 15: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm Gọi E,F theo thứ tự là
trung điểm của AD, DC Gọi I,H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD Tính diện tích tứ giác EIHD
2cm
1
1
1 2
H' H I
F
E
C D
Phân tích bài toán: Ta nhận thấy tứ giác EIHD nằm trong ΔADF => để tính đợc
diện tích tứ giác EIHD trớc hết phải tính đợc diện tích các tam giác AIE, DHF và ADF
Lời giải:
Ta có ΔADF = ΔBAE (2 cạnh góc vuông) => F❑1=E❑1 mà F❑1=A❑2(so le trong)
=>E❑1=A❑2
Mặt khác A❑1+A❑2=90 0⇒ A❑1+E❑1= 90 0⇒ AIE❑ =90 0
=> ΔAIE ~ ΔADF (g-g) nên
SAIE
SADF=
AE2
AF2=
1
5 (ta có AE=1cm, AF=√22+ 12=√5cm)
Mà SADF= 1
2AD.DF=
1
2.2.1=1 cm2 => SAIE=
1
5cm2. Vì DF//AB =>ΔDHF ~ ΔBHA với tỉ số =DF
AB=
1
2 nên ta tính đợc đờng cao HH' của Δ DHF bằng 2
3cm =>SDHF=
1
2.
2
3 1=
1
3cm2 Vậy SEIHD= SADF - (SAIE + SDHF) = 1- (15+
1
3)=7
15 cm2
Ví dụ 16: Cho tam giác ABC có A❑=600, các đờng cao BI và CK cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng:
a) HC.HK= HB.HC
b) So sánh diện tích Δ HIK và Δ HCB
Phân tích bài toán:
Câu a: Tơng tự cách làm các bài toán ở dạng 3