Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t trªn t«i nhËn thÊy häc sinh chËm ph¸t hiÖn ra c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò trong thêi gian cho phÐp, nhiÒu häc sinh cã lµm ®îc nhng thêi gian hÕt nhiÒu... BÊt ph¬ng tr×nh [r]
Trang 1A đặt vấn đề I.lời mở đầu
Đại số là một là một môn khoa học có thể đợc xem là dễ học hơn so với bộ môn hình học theo quan niệm của một số giáo viên và học sinh, nhng để dạy tốt- học tốt bộ môn đại số thì cũng không phải là điều dễ.Để học sinh có thể học chắc, hình thành cho mình kĩ năng và phơng pháp giải toán thì giáo viên cần trang
bị cho học sinh các kiến thức cơ bản cần thiết không chỉ là những kiến thức cơ bản đợc đa ra trong SGK mà giáo viên cần phải tham khảo các tài liệu,chắt lọc những kiến thức cơ bản mở rộng, đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy để mở rộng kiến thức phù hợp với đôí tợng học sinh từ đó nâng cao hiểu biết về kiến thức cũng nh trau dồi phơng pháp giải toán cho các em Để làm tốt
đợc điều này đòi hỏi mỗi giáo viên toán phải thờng xuyên nghiên cứu ,trăn trở để hệ thống lại những kiến thức theo từng chuyên đề logic với nhau ,biết tổng hợp các phơng pháp giải từng dạng toán và các ứng dụng của nó từ đó giúp học sinh hình thành cho mình những phơng pháp giải từng dạng toán , đó là chìa khoá để giải những bài toán khó ,gây hứng thú học toán cho học sinh
II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Trãi qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn toán, bản thân tôi đã
tự nghiên cứu tài liệu và học hỏi kinh nhiệm của các bạn đồng nghiệp để tìm ra các phơng pháp giải hay ngắn gọn cho từng dạng toán và ứng dụng của nó.Nhiều năm liền tôi đợc nhà trờng
phân công dạy toán 8 -9 tôi thấy rằng : học sinh thờng ngại khi gặp các bài toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối Có
những phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối rất đơn giản nhng các em vẫn lúng túng khi trình bày bài Nguyên nhân là
Trang 2các em cha hiểu cặn kẻ định nghĩa về giá trị tuyệt đối , cha phân định rõ ràng từng dạng bài vì vậy không xác định đợc
ph-ơng pháp giải Mặt khác thời gian phân phối cho các tiết học này rất ít vì vậy các em cha nắm vững kiến thức về GTTĐ
Sau khi dạy bài : Giải phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ,tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút :
Đề bài: Giải các phơng trình sau( mỗi câu 5 phút ):
1 /|2 x+1 |=5; 2/|x+5|=3 x+1; 3/ |x+1|+|x −1|=10
Tỷ lệ học sinh làm bài cụ thể nh sau:
Số HS lớp
8B dự
khảo sát:
40em
Làm đợc hoàn chỉnh trong thời gian khảo sát
15 phút
Làm xong nhng hết >
15 phút
Không làm
đợc(hoặc không
đúng)
Trớc 10 phút
Từ 11 – 15 phút
Qua kết quả khảo sát trên tôi nhận thấy học sinh chậm phát hiện
ra cách giải quyết vấn đề trong thời gian cho phép, nhiều học sinh
có làm đợc nhng thời gian hết nhiều Đa số các em giải rất máy móc
đối với câu a) nhiều em phớt lờ xem nh không có dấu giá trị tuyệt
đối nên đã bỏ mất nghiệm.Với các phơng trình có chứa từ 2 dấu giá trị tuyệt đối trở nên các em rất lúng túng trong vấn dề xét khoảng
và lấy nghiệm số học sinh giải đợc câu 3 rất ít Do vậy tôi đã tổ chức phụ đạo một số buổi cho các em về các bài toán có liên quan
đến giá trị tuyệt đối
Trong phạm vi một đề tài SKKN tôi đa ra: Phơng pháp giải bài toán có chứa dấu giá tị tuyệt đối “ với mục đích nâng cao
Trang 3hiệu quả dạy học bộ môn Đại số và giúp học sinh nhanh chóng tìm
ra chìa khoá cho những bài toán khó ,cũng từ đó các em biết chọn cho mình những con đờng đi ngắn nhất để đến đích một cách nhanh chóng mà không còn vớng mắc,tạo cho các em hứng thú học
bộ môn Đại số nói riêng, bô môn Toán nói chung
B giải quyết vấn đề.
I) Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
1) Định nghĩa giá trị tuyệt đối.
|A| ={ A voi A ≥ 0
-A voi A ≺0
2) Các dạng phơng trình và phơng pháp giải.
Dạng 1: Phơng trình bậc nhất dạng |A|=a( A là nhị thức bậc nhất ,a là hằng số)
Phơng pháp giải :
a) Nếu a<0 kết luận phơng trình vô nghiệm
b) Nếu a0 đa về phơng trình : A=a hoặc A=-a
Bài tập ví dụ: Giải các phơng trình:
1/ |2 x+4| =− 8 2/|3 x− 2| =5 3/|10 x+40| =0
Giải :
1/|2 x+4|=− 8Pt vô nghiệm vì VT luôn không âm với mọi x còn vế phải luôn âm
2/|3 x− 2| =5 ⇔¿ Vậy PT có hai nghiệm là: x1=73; x2=-1
3/|10 x+40| =0⇔10x+40=0⇔ x=− 4 Pt có nghiệm là : x= - 4
Dạng 2: Phơng trình bậc nhất dạng |A|=B( A,B là các nhị thức)
1 Phơng pháp giải:
Cách 1: Nếu A0 phơng trình có dạng: A=B
Nếu A<0 phơng trình có dạng: -A=B
Trang 4Nghiệm của các phơng trình trên thoả mãn điều kiện trong từng khoảng đang xét là nghiệm của PT đã cho
Cách 2: |A|=B⇔{ B ≥ 0
A=BhoacA=− B
2 Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải các phơng trình:
1)|3 x− 1|+2=3 x+4
2)||x|−3|=x+1
3)|x −2005|=x−2005
Giải:
1) |3 x− 1|+2=3 x+4⇔¿
Vậy : PT có nghiệm là x=−16
2) ||x|−3|=x+1
Nếu x0 phơng trình đã cho tơng đơng với pt: Do x0 nên x+1> 0 Khi đó :|x −3|=x+1⇔ x−3=x+1 hoặc x-3=-x-1
*x− 3=x+1⇔−3=1( vô lý)
* x-3=-x-1⇔ x=1( TMĐK x0 )
Nếu x<0 phơng trình đã cho tơng đơng Với:|− x−3|=x+1
⇔|x+3|=x+1⇔¿
Vậy : Pt đã cho có nghiệm là: x=1
3) |x −2005|=x−2005⇔ x−2005 ≥ 0⇔x ≥2005
Vậy : Phơng trình có vô số nghiệm thoả mãn x2005
Bài 2:Giải pt : |x −1|=3 x+2m (1)( m là tham số
Giải :
|x −1|=3 x+2m⇔¿
Vậy : để phơng trình (1) có nghiệm thì phải có:
−2m−1
2 ≥− 2m3 hoặc: 1− 2m4 ≥ − 2m3
Trang 5a)NÕu −2m−12 ≥− 2 m3 ⇔m≤ − 32
b)NÕu 1− 2m4 ≥ − 2m3 ⇔m≥ − 32
Tãm l¹i: m ≤− 3
2 th× pt (1) cã nghiÖm x=¿-2m+12
m ≤− 32 th× pt (1) cã nghiÖm x=1− 2m4
Bµi 3: Gi¶i PT sau theo tham sè m.
||m|x− 3|=4 − m (1)
1) NÕu m > 0 ph¬ng tr×nh (1) ⇔|mx −3| =4 −m ⇔{ 0<m ≤ 4
mx −3=4− mHoÆc
{ 0<m ≤ 4
mx −3=m− 4
¿¿
¿⇔
¿
¿
0<m≤ 4
x= 7 −m m HoÆc{0<m≤ 4
x= m−1 m
2) NÕu m < 0 ph¬ng tr×nh (1) ⇔|− mx− 3|=4− m⇔|mx+3|=4 −m
(V× m < 0 nªn 4- m > 0)
⇔{ m<0
mx+3=4−m HoÆc: { m<0
mx+3=m− 4 ⇔{ m<0
x= 1−m
m HoÆc { m<0
x= m−7 m
Tãm l¹i:
NÕu m< 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x= 1− m m hoÆcx= m− 7 m
NÕu 0 < m4 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x=7−m m hoÆc
x= m− 1 m
NÕu m = 4 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x= 34
NÕu m= 0 hoÆc m > 4 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng |A|= |B| (A,B lµ c¸c nhÞ thøc)
Trang 61) Phơng pháp giải: |A| = |B|⇔A =B Hoặc A = - B
2) Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải phơng trình:|2 x− 2005|= |2005 x −2|⇔¿
Vậy: phơng trình đã cho có nghiệm là: x=-1 và x=1
Bài 2: Giải phơng trình:
||5 x −1|−2|= |4 x−3|⇔¿(1)⇔¿ (2)⇔¿ ⇔¿⇒ x=23; x=− 4
Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm là: x= 23; x=− 4
Dạng 4: Phơng trình bậc nhất dạng |A|+|B|=C
Trong đó A,B,C là những nhị thức bậc nhất
1) Phơng pháp giải:
Đối với loại phơng trình này ta nên lập bảng xét dấu để loại bỏ giá trị tuyệt đối
sau đó giải phơng trình trong từng khoảng
2) Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải phơng trình:|x −2| +|x −3| =4 (1)
Ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối:
x − ∞ 2 3 +∞
|x −2| 2-x 0 x-2
x-2
|x −3| 3-x 3-x 0 x-3
|x −2| + |x −3| 5-2x 1
2x-5
Nếu x <2 phơng trình (1 ) có dạng: 5-2x=4 ⇔2x=1⇔ x=12 (TMĐK x<2)
Nếu 2x≤ 3 Phơng trình (1) vô nghiệm vì 1 khác 4
Trang 7 Nếu x>3 phơng trình (1) có dạng 2x-5=4⇔ 2x=9⇔ x=92(TMĐK x>3)
Vậy : phơng trình (1) có nghiệm là: x=12; x=92
Bài 2: Giải phơng trình: |x −1| + |x+2|−2|x− 3| =2005(2)
Ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối VT:
X -∞ -2 1
3 +∞
|x −1| 1-x 1-x 0
x-1 x-x-1
|x+2| -x -2 0 x+2 x+2 x+2
-2|x −3| 2x-6 2x -6
2x-6 0 -2x+6
VT(2) -7 2x-3 4x-5 7
Nếu x2 Pt vô nghiệm do -7 2005 '
Nếu -2<x<1 phơng trình (2) ⇔2x −3=2005⇔2x=2008⇔ x=20082 =1004
(KTMĐK)
Nếu 1≤ x ≺3Phơng trình (2) ⇔4 x −5=2005⇔4 x=2010⇔ x=10052
(KTMĐK)
Nếu x≥ 3 phơng trình vô nghiệm (do 7≠ 2005)
Vậy: Phơng trình (2) vô nghiệm.
Bài 3: Giải phơng trình (m −1)(|x|+|x+2|)=3m− 4
Giải : Xét 3 trờng hợp:
Nếu x<-2 thì (m-1)(-x-x-2)=3m- 4 ⇔(m −1)(−2 x−2)=3m −4
Trang 8Với mọi m≠ 1 thì x= −5m+6 2m−2 <−2 hay − m− 2 m− 1<0
Đúng với mọi m≠ 2;m<1 hoặc m >2
Nếu −2≤ x≤ 0Thì (m-1)(-x+x+2)=3m- 4
Khi m≠ 1 thì 3m− 4 m −1 =2nên m=2 phơng trình vô số ngiệm
Nếu x > 0 thì (m-1)(2m+2)=3m-4
Khi m≠ 1 thì x= m−2 2m−2>0đúng với mọi m2;m<1 hoặc m >2
II Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: a)|f (x)|<a
b)|f (x)<g(x)|
1)Phơng pháp giải:
a) |f (x)|<a⇔−a<f (x)<a(với a>0)
b) |f (x)<g(x)|⇔− g(x)<f (x)<g(x)
2) Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải các bất phơng trình sau:
a)|2 x+3|<7 ⇔− 7<2 x+3<7⇔− 5<x<2
Vậy: nghiệm của bất phơng trình là: −5< x<2
b)2|x− 1|<x+1⇔{2 x− 2>− x− 1
2 x−2<x+1 ⇔{x> 13
x<3
⇔ 1
3<x<3
Vậy: nghiệm của bất phơng trình là: 13<x<3
Dạng 2:
a)|f (x)>a|
b)|f (x)|>g(x)
1) Phơng pháp giải:
a) |f (x)>a|¿(với a>0)
b) |f (x)|>g(x)⇔¿
2) Bài tập áp dụng:
Trang 9¿ |2 x− 3| >5 ¿b¿ |x −3|> x+12 ¿
Giải:
a
¿ |2 x− 3|>5⇔¿
Dạng 3:
|f (x)>|g(x)||
1) Phơng pháp giải:
|f (x)>|g(x)||⇔[f (x)]2 >[g (x)]2
2) Bài tập áp dụng.
Giải bất phơng trình:
|x −3| >|x+2|⇔¿
Dạng 4:
a)¿
(4){− f (x)+g(x)>m
f (x)<0
g(x)≥ 0
( Có thể lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối để việc xét khoảng thuận tiện hơn)
b) ¿
Đối với dạng này ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đốiVT rồi giải bất PT trong từng khoảng
Bài tập ví dụ:
Giải các bất phơng trình sau:
a)|x+1|+|x −1|>5
Nếu x<-1 ta có bất phơng trình: -x-1+1-x>5⇔ x<− 52(TMĐK)
Nếu -1x≤ 1ta có bất phơng trình: x+1+1-x >5⇔0x>5 vô nghiệm
Nếu x>1 ta có bất phơng trình: x+1+x-1>5⇔2x>5⇔x> 52(TMĐK)
Trang 10Vậy: Nghiệm của bất phơng trình đã cho là: ⇔ x<− 52 hoặc x>52
b)|x −1|+|x −2|>x+3
Nếu x< 1 ta có bất phơng trình: 1-x +2-x > x+3⇔ x<0(TMĐK)
Nếu 1x≤ 2ta có bất phơng trình: x-1+2-x >x+3⇔ x<− 2( Không thuộc khoảng đang xét)
Nếu x>2 ta có bất phơng trình: x-1+x-2>x+3⇔ x>6(TMĐK)
Vậy: Nghiệm của bất phơng trình đã cho là: ⇔ x<0 hoặc x>6
III.Phơng trình bậc cao có chứa dấu giá trị tuyệt đối phơng trình vô tỉ đa về PT có chứa dấu GTTĐ
Bài tập 1:Giải các phơng trình :
a) x|x+3|−|x2+x+1|=1 b) |x| 3−3|x| +2=0
Giải :
a) Ta có : x2+x+1=(x+12)2+34>0Do đó :|x2+x+1|=x2+ x+1
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
x|x+3|−|x2+x+1|=1⇔ x| x+3| =|x2+x+1|+1⇔ x| x+3|=x 2+x+2(1)
Nếu x-3 phơng trình (1) ⇔ x(x+3)=x2+x+2⇔2x=2⇔ x=1(TMĐK)
Nếu x< -3 phơng trình (1) ⇔ x(− x− 3)=x2+x+2 ⇔− x2−3 x=x2+ x+2
⇔2x2+4 x+2=0⇔¿( KTMĐK đang xét)
Vậy : Phơng trình đã cho có nghiệm là: x=1.
b) Đặt t= |x|> 0 Khi đó phơng trình đã cho trở thành phơng trình:
t3-3t +2 =0⇔t3−t − 2t +2=0⇔(t3−t)−2(t −1)=0⇔t (t2− 1)−2(t −1)=0
⇔t(t −1)(t+1)− 2(t − 1)=0⇔(t −1)(t2+t −2)=0⇔¿( TMĐK t >0) hoặc t=-2( KTMĐK t > 0)
* Với t=1 ta có x=± 1
Vậy: phơng trình đã cho có tập nghiệm : S={−1;1}
Bài 2:Giải phơng trình: |x3+100 x2|= |x+100| (1)
Cách 1: (1)⇔ |x3+100 x2|−|x+100|=0⇔‖( x+100)(x2− 1)‖=0⇔¿
Trang 11Vậy : phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=± 1; x=− 100
Cách 2:
Phơng trình (1)
⇔¿
Vậy : phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=± 1; x=− 100
Bài 3: Giải phơng trình:
√x+5 − 4√x+1+√x+10−6√x+1=1
ĐKXĐ của phơng trình:
Phơng trình ⇔√(√x+1−2)2+ √ ¿¿(*)
Cách 1:Ta thấy : |√x+1− 2|+|√x+1−3|= ¿|√x+1− 2|+|3−√x+1|≥|√x+1− 2+3−√x+1|=1
Dấu (=)xảy ra khi (√x+1−2)(3-√x+1)0⇔3≤ x≤ 8
Vậy : phơng trình đã cho có nghiệm là: 3≤ x ≤ 8
Cách 2: Từ pt (*) ta có:
Nếu {√x+1<2
x ≥− 1 ⇔−1≤ x≤ 3 ta có phơng trình:
2-√x+1+3−√x+1=1⇔5− 2√x+1=1⇔√x+1=2⇔x=3( Loại vì không thoả mãn điều kiện trên)
Nếu {2≤√x+1≤ 3
x ≥1 ⇔3≤ x ≤8 Phơng trình có dạng:
√x+1−2+3−√x+1=1 ⇔1=1 vô số nghiệm x[3;8]
Nếu {3≤√x+1
x≥ −1 ⇔ x>8
Phơng trình (*) ⇔√x+1−2+√x+1− 3=1⇔2❑√x+1=6⇔x=8( loại vì không thoả mãn điều kiện x > 8)
IV Hệ phơng trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài tập 1:Giải hệ phơng trình sau:
{|2 x−3|+| 5 y− 4|=4 (1)
|3 x+2|− 2|y| =9 (2)
Giải :Ta xem y là tham số , xét các trờng hợp sau phá bỏ giá tri
tuyệt đối đa về hệ bậc nhất hai ẩn rồi giải chúng
Trang 12x -∞ − 23 32 +∞
|2 x− 3| -2x+3 -2x+3 0 2x-3
|3 x+2 | -3x-2 0 3x+2 3x+2 (1) |5 y −4|=2x+1 |5 y −4| =2x+1 |5 y −4| =−2 x+7
(2) 2|y|=−3 x− 11 2|y|=3 x+7 2|y|=3 x−7
Lo¹i Lo¹i Thuéc ph¹m vi kho¶ng xÐt
73≤ x 7
2
VËy :73≤ x≤ 72 víi ta cã: |5 y −4|=−2 x+7⇔ ¿
L¹i cã: 2|y|=3x −7⇔¿
Ta cã c¸c hÖ sau:
(I){ 7
3 ≤ x ≤72
2x+5 y=11
3x −2 y=7
⇔{7
3≤ x≤ 72
x=3 y=1
( Nghiªm tho¶ m·n)
(II)
¿
7
3≤ x≤ 72
x=1311
¿
{ 7
3≤ x ≤ 72
2x+5 y=11
3 x+2 y=7
⇔
¿
¿
(NghiÖm kh«ng tho¶ m·n)
(III) { 7
3 ≤ x ≤72
2x −5 y=3
3x −2 y=7
⇔{7
3≤ x≤ 72
x=29
11
y= 5
11
(NghiÖm tho¶ m·n)
Trang 13¿
7
3≤ x≤ 72
x=4119
¿
{ 7
3≤ x ≤ 72
2x −5 y=3
3 x+2 y=7
⇔
¿
¿
(Nghiệm không thoả mãn)
Vậy: nghiệm của hệ phơng trình là: (x=3;y=1) ; (x=2911 ; y= 511)
Bài 3: {5|3 x−2|+7|5 y−1|=88
3 x+5 y=7 (I )
(I)⇔{5|3 x− 2|+7|5 y −1|=88
5 y− 1=6− 3x ⇔{5|3x −2| +21|2− x|=88
3 x+5 y=7
Nếu x≤ 23ta có hệ:{5(−3 x+2)+21(2− x)=88
3x+5 y=7 ⇔{36 x=− 36
3 x+5 y=7 ⇔{x=− 1
y=2 (Thuộc khoảng đang xét)
Nếu 23≤ x≤ 2ta có hệ: {5(3 x− 2)+21(2− x)=88
3 x+5 y=7
¿x= −566 = −283
¿
⇔
¿
¿
( không thuộc khoảng xét)
Nếu x>2ta có hệ: {5(3 x− 2)+21(x −2)=88
3 x+5 y=7 ⇔{36 x=140
3 x+5 y=7 ⇔{ x=35
9
y=− 1415(Thoả mãn)
Tóm lại : Hệ đã cho có nghiệm là:¿
Bài 3:Giải và biện luận hệ phơng trình:
{ x− 2 y=m (1)
m|x|+4 y=1 (2)
Giải :Từ phơng trình (1) ta có 2y= x- m thay vào pt (2) ta có:
m|x|+2(x −m)=1⇔m|x|+2x=2m+1
Trang 14 Nếu ta có phơng trình: mx+2x= 2m+1⇔(m+2)x=2m+1(3) Khi m=-2 PT (3) ⇔0x=−3( vô lý ) do đó hệ vô nghiệm
Khi m≠ 2⇒ x= 2m+1 m+2 Để giá trị này là nghiệm của phơng trình ta cần có:
x= 2m+1
m+2 ≥ 0⇔m≥ − 12 Hoặc m < -2
Nếu x< 0 ta có –mx+2x=2m+1⇔(2−m)x=2m+1(4)
Khi m=2 phơng trình (4) 0x=5( vô lý do đó hệ vô nghiệm.) Khi m≠ 2⇒ x= 2m+1 2− mĐể giá trị này là nghiệm của phơng trình ta cần có:
x= 2m+1 m+2 <0⇔m≥− 12 Hoặc m > 2
Kết luận:
Nếu ¿ thì hệ phơng trình có nghiệm là: ¿
Nếu ¿ thì hệ phơng trình có nghiệm là: ¿
Nếu ¿ thì hệ phơng trình vô nghiệm
Bài 4: Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm.
¿
Giải : Từ phơng trình (1) ta có 1=|x−1|+|y− 2|≥|x − y+1|(3)
Từ (2) ta có (x-y) 2 -(x-y)+m(x-y-1)=0⇔(x− y+m)(x − y −1)=0⇔¿
Nếu x- y =1 thì từ (3) ⇒1≥ 2
Nếu x- y =- m thì từ (3) ⇒1≥|1− m|⇔0≤ m≤ 2
Vậy: nghiệm của hệ là: 0≤ m≤ 2.
V.Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của đa thức
có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Trang 151) Phơng pháp giải :
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức |A|= |− A| và |A|+|B|≥|A+B|.Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi A.B0 ( Thờng dùng đối với các đa thức có hai dấu GTTĐ)
Cách 2: Lập bảng xét dấu loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi đánh
giá giá trị của đa thức trong từng khoảng xét
2) Bài tập ví dụ.
Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của A=|x− 1|+|x− 3|
Giải:
Cách 1: A=|x− 1| + |x− 3| ¿ |x −1| + |3− x|≥|x− 1+3− x| =2
Vậy : Amin=2 đạt đợc khi và chỉ khi (x-1)(3-x) 0⇔1≤ x≤ 3
Cách 2:
Trong khoảng x< 1 thì A=1-x+3-x=4-2x
Do x< 1 nên -2x>-2 đo đó 4-2x>2
Trong khoảng 1≤ x ≤3 thì A=x-1+3-x=2
Trong khoảng x>3 thì A=x-1+x-3=2x-4
Do x > 3 nên 2x – 4 > 2
So sánh giá trị của A trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2 khi và chỉ khi 1≤ x ≤3 .
Bài 2: Tìm GTNNcủa B=|x −2006|+|x− 2007|+|x −2008|
Giải : Xét các trờng hợp:
Nếu x< 2006 ta có B =2006 x+2007 x+2008 – x = 6021 -3x Do x< 2006 nên 6021- 3x >3
Nếu 2006 ≤ x<2007 ta có : B = x- 2006 + 2007 – x + 2008 – x
=2009-x
Do 2006 ≤ x<2007 nên 2<B ≤3 đẳng thức xảy ra khi x=2006
Nếu 2007 ≤ x<2008 ta có :B =x-2006+x-2007+2008-x=x-2005
Do 2007 ≤ x<2008 nên 2≤ B<3 Đẳng thức xảy ra khi x=2007