a) Luoân ñoàng bieán treân khoaûng xaùc ñònh cuûa noù.[r]
Trang 1Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
+ MXĐ D
+ Tìm y’ ,Cho y’ = 0 cực trị (x,y)
+ Bảng biến thiên
X - +
Y’
Y
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận cực trị của hàm số
Chú y ù :Để tính giá trị cưïc trị y 0
+ Đối với các hàm đa thức y=f(x): bậc 3 , bậc 4
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
f (x) = ax 4 + bx 2 + c
Lấy y chia cho y’
y0 = f(x0 ) = R(x0)
+ Đối với các hàm hữu tỷ: y= u
v
y= ax+b
cx+d (hàm nhất biến)
⇒ y '=|a b c d|
¿ ¿
y=ax
2
+bx+ c mx+n ¿(¿px +q+
r
mx+n)
⇒ y '=
amx2+anx+|m n b c|
(mx +n)2
Tính giá trị cực trị y0 = u v=u '
v '
Chú ý : Cho hàm số y = f(x)
yy’
p x
R ( x )
R ( x )
l a
ø p h a à n
d ư
c u û a y
c h i a y
’
Trang 21 x0 là cực tiểu ¿f \( x rSub \{ size 8\{0\} \} \) >0\} right none \} \{ f '(x0)=0
¿
2 x0 là cực tiểu ¿f \( x rSub \{ size 8\{0\} \} \) >0\} right none \} \{ f '(x0)=0
¿
Ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 3x – 4 b) y=¿ ¿
c) y= x
4
4 − x
2
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = (m+2)x3 + 3x2 + mx – 5 có cực đại và cực tiểu
Dạng 2: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) x
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) x y’ 0 x
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) x y’ 0 x
Ví dụ: Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x + 9x – 2 b) y= x4
4 +x
3− x2
2 −3 x
Ví dụ: Định m để hàm số:
a) y= x3
3 −2 x
2
+mx− 2 tăng trên miền xác định b) y= x
2
mx− 1 tăng trên từng khoảng xác định của nó
Dạng 3: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) x D
D = (- ; )
D = ( ; )
D = ( ; +)
Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) x(- ; )
TH1: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) x y’ 0 x
TH2: y = f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (x 1 x2 )
X - (- ; ) x1 x 2 +
f(x) +a 0 -a 0 +a
a<x1<x2
Các trường hợp ( ; ); ( ; +).giải tương tự.
Ví dụ: Định m để hàm số:
x 0
x 0
R ( x )
l a
ø p h a à n
d ư
c u û a y
c h i a y
’
Trang 3x − 1
Ví dụ: Cho hàm số y = 2 x2+(1 − a) x +1+a
x −a Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; +)
Dạng 4: Sử dụng tính tăng (giảm) của hàm số chứng minh bất đẳng thức:
+ Muốn chứng minh: f(x) > g(x) với x D, ta coi hàm số:
h(x) = f(x) – g(x)
- Chứng minh h ‘(x) > 0 , x D Vậy h(x) là hàm số tăng
- Ta dùng tính chất x1,x2 D : x1 < x2 h(x1) < h(x2)
Ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức:
a) ex > 1 + x , x > 0 c) (x+1)lnx > 2x – 2 , x > 1
b) x > ln(1+x) , x > 0 d) Cho x > 0, x 1 Chứng minh: ln x x −1< 1
√x
BÀI TẬP
1) Tìm tham s m đ hàm s :ố m để hàm số: ể hàm số: ố m để hàm số:
a) y = x3-3mx2+4mx-1 luơn đ ng bi nồng biến ến
b) y = -x3+2x2-mx+m2+4 luơn ngh ch bi nịch biến ến
c)
1
y
x
gi m trên t ng kho ng xác đ nhảm trên từng khoảng xác định ừng khoảng xác định ảm trên từng khoảng xác định ịch biến d)
2
y
t ng trên t ng kho ng xác đ nhăng trên từng khoảng xác định ừng khoảng xác định ảm trên từng khoảng xác định ịch biến e)
4
mx y
x m
gi m trên t ng kho ng xác đ nhảm trên từng khoảng xác định ừng khoảng xác định ảm trên từng khoảng xác định ịch biến f)
y
x m
t ng trên t ng kho ng xác đ nh.ăng trên từng khoảng xác định ừng khoảng xác định ảm trên từng khoảng xác định ịch biến 2) Tìm m đ hàm s :ể hàm số: ố m để hàm số:
a) y = x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x +2m(2m-1) t ng ăng trên từng khoảng xác định 2,
b) y =-x3+mx2-m t ng trên (1,2) ăng trên từng khoảng xác định
c)
3
1
3
t ng trên (0,3)ăng trên từng khoảng xác định
d)
2
y
m x
gi m trên ảm trên từng khoảng xác định 1, 3) Ch ng minh các b t đ ng th c:ứng minh các bất đẳng thức: ất đẳng thức: ẳng thức: ứng minh các bất đẳng thức:
a) ln(1+x)< x x 0 b)
2
x osx > 1- , 0
2
Trang 4c)
3
x sinx>2x- , 0
6 x d) sin 2x2 ,x x 0 e)sinx+tgx>2x(0<x< )2
4) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+3x+5
5) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x3-3x2+1 b) y = f(x) = 2x2-x4
c) y = f(x) = x −3 x +2 d) y = f(x) = x2− 4 x+4 1− x
e) y = f(x) = x+2sinx trên (- ; ) f) y = f(x) = xlnx
g) y = f(x) = 3
√x2
i) y= f (x )= x
2−3 x +3
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2]
6) Cho hàm số y = f(x) = x3-3(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó Kq:1 m 0
b) Nghịch biến trên khoảng (-1;0) Kq: m −4
3 c) Đồng biến trên khoảng (2;+ ) Kq: m 13
7) Định mZ để hàm số y = f(x) = mx −1 x − m đồng biến trên các khoảng xác định của nó
Kq: m = 0
8) Định m để hàm số y = f(x) = mx2+6 x −2x+ 2 nghịch biến trên nửa khoảng [1;+)
Kq: m −14
5 9) Chứng minh rằng : e x>1+x, x > 0
10) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng
khoảng xác định) của nó :
a) y = x33x2+3x+2 b) y= x
2
− x −1
2 x+1 11) Tìm m để hàm số y= x
3
2
−(m −7 ) x: a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+)
12) Tìm m để hàm số :y= x
2
− 2 mx+ m+ 2
của nó
Trang 5x −m
Kq: m ≤3 −2√2 14) Tìm m để hàm số y = x2.(m-x)-m đồng biến trên khoảng (1;2) Kq: m3
15) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , x > 0 b) cosx >1-x2
2 , với x > 0