Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D, AB và CD theo thứ tự là tiếp tuyến với đường tròn thứ nhất và thứ hai (B và C là các điểm nằm trên đường tròn).[r]
Trang 1P GIÁO DỤC HUYỆN CƯMGAR ĐỀ THI HSG HUYỆN- NĂM HỌC 2007-2008 TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (2đ)
a Chứng minh công thức:
b Tính giá trị của:
( √12+2√14 +2√13 −√12+2√11) ( √11+√13)
Câu 2: ( 3điểm) Giải các hệ phương trình:
a
x +ay +a2z=0
x +by+b2z +c2z =0
¿
¿
b
xy
xz
yz
¿
¿ Với a, b, c là 3 số phân biệt
Câu 3: (3điểm) a Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2
b Trên trục oy lấy điểm A (0;1) và trên (P) lấy điểm B (2;K) Hãy xác định K và phương trình đường thẳng AB
c Đường thẳng AB cắt P tại điểm thứ hai C ngoài B Gọi M,N theo thứ tự là hình chiếu của B,C trên trục hoành Chứng minh tam giác AMN vuông
Câu 4: (2điểm)
Cho công thức:Q= x√x − 1
x −√x −
x√x
x +√x+( √x − 1
√x) ( √ √x −1 x +1+
√x −1
√x+1)
a Rút gọn biểu thức Q
b Với giá trị nào của x thì Q = 6
Câu 5: (3điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào một bồn không có nước trong 2 giờ 55 phút thì đầy nước.
Nếu để chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bồn nước nhanh hơn vòi thứ hai 2 giơ Hỏi để chảy riêng rẽ thì mỗi vòi làm đầy bồn nước trong bao nhiêu lâu?
Câu 6: (3điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn
(O) và (O’) tại các điểm A,B,C, D theo thứ tự nằm trên đường thẳng Gọi M là giao điểm của AE và DF,
N là giao điểm của EB và FC Chứng minh rằng:
a MENF là hình chữ nhật
b MNAD
c ME MA = MF.MD
Bài 7:
ĐỀ THI: ĐỀ XUẤT
Trang 2a Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB với A ^ O B=1200 hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau ở điểm C Trên các đoạn thẳng BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm I,J,K sao cho K
không trùng với A, không trùng với B và IỊ \{ ^J K =60 o Chứng minh AJ BI ≤ AB2
4 .
b Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D, AB và CD theo thứ tự là tiếp tuyến với đường tròn thứ nhất và thứ hai (B và C là các điểm nằm trên đường tròn) Chứng minh rằng AC
BD=
CD2
AB2
Bài 8: (1điểm)
Cho phương trình x2-(m-1)x+1=0 Hãy xác định giá trị của m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1,x2 để biểu thức A=3x1 + 5x1x2 + 3x2 đạt giá trị nhỏ nhất Hãy xác định các nguồn trong trường hợp A đạt giá trị nhỏ nhất
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ HỌC SINH GIỎI MON TOÁN 9 NĂM HỌC 2007-2008
Bài 1: (2điểm)
Trang 3a Với a>0 ta có:
√a −1=√(√a+1)2−√a −1
= | √a+1|−( √a+1)=0 (0,5điểm)
=(√a+1)−(√a+1)=0 Vậy √a+2√a+1 − a
b ta có√14+2√13=√(√13+1)2=| √13+1|=√13+1
=> √12+ 2√14+ 2√13=√14 +2√13=√13+ 1
Ta lại có: √12+2√11=√(√11+1)2=√11+1 (0,5điểm)
Do đó ta có: ( √12+2√14 +2√13 −√12+2√11)(√11+√13)
=( √13 −√11) ( √13+√11)=13 −11=2
Vậy (12+2 √14+2√13 −√12+2√11)( √11+√13)=2 (0,5điểm)
Bài 2: (3điểm)
a Từ hai phương trình đầu của hệ ta có:
(a – b) y + (a2 – b2 )z =0
y + (a + b)z = 0 (1) (vì ab) (0,5điểm)
Từ hai phương trình đầu và cuối của hệ, ta có:
(a - c)y + (a2 – c2)z = 0 y + ( a + c )z = 0 (2) (vì ac) (0,5điểm)
Từ (1) và (2) ta có: (b - c)z = 0 z = 0 (vì bc)
Do đó ta có: x = y = z = 0
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = y = z = 0 (0,5điểm)
b
xy
xz
yz
y+ z=4
¿
¿
x+ y
xy =
1 2
x+z
xz =
1 3
y+ z
yz =
1 4
¿
¿
1
x+
1
1 2 1
x+
1
z=
1 3 1
y+
1
z=
1 4
(0,5điểm)
1
x+
1
y=
1
2(12+
1
3+
1
4)
1
x+
1
z=
1 3 1
y+
1
z=
1 4
1
1
2(12+
1
3−
1
4)
1
1
2(12−
1
3+
1
4)
1
1
2(13+
1
4−
1
2)
7
5
z=24
(0,5điểm)
Bài 3: (3điểm)
b Do B (2;K) ( P) nên K = 22 = 4
Hệ số góc của đường thẳng AB là:
K= yB− yA
xB− xA=
4 − 1
2 −0=
3 2
Trang 4Phương trình đường thẳng AB là:
c Hoành độ các giao điểm của AB và (P) là nghiệm của phương trình
x2
=3
2x +1 ⇔ x1=2; x2=−1
2
Vậy ta có M(2;0); N(−12;0) Tam giác AMN có đường cao ứng với đỉnh A là AO thoả mãn hệ thức
AN2 = 1 = /OM/ /ON/ =2 1
2
AMN là tam giác vuông
Bài 4: (2điểm)
Q=2(x+√x +1)
b 2(x +√x+1)
Vậy không có giá trị nào của x để Q = 6 (0,25điểm)
Bài 5 (3điểm)
Ta có 2h 55’ = 3512h
Gọi x(h) là thời gian làm đầy bồn nước của vòi thứ nhất
Ta có:
1
x+
1
x +2=
1 35 12
=12 35
=> x1 = 5 (nhận) , x2 = −76 (loại)
Vậy vòi 1 trong 5h thì đầy nước
Vòi 2 trong 7h thì đầy nước
a Ta có: F ^ E N=1
2E ^ O B
2F ^ OC
F ^ E N + E ^F N =1
2(E ^ O B+F ^ O C)
OEEF; O,F EF
OEFO’ là hình thang vuông
Đo đó E ^ N F=900 Tứ giác MENF có 3 góc vuông : ^E=^ N= ^ F=900
b Ta có M ^ A B=F ^E B , E ^B A=F ^E M , F ^ E M= A ^ M N (T/C hcn)
do đó: M ^A B+ A ^ M N =F ^E B+F ^E M=B ^E M =900
Trang 5=> MNAD (1điểm)
c Ta có Δ MEF đồng dạng Δ MDA (vì M ^ A D=F ^E N=M ^F E)
Do đó:MEMD=MF
Bài 7: (3điểm)
a (1,5điểm)
Ta có: sđ AB = A ^ O B=1200
=> C ^ A B=C ^B A=¿1
2sđ \{ ^A B=60
0
A ^ K I =A ^ K J +J ^ K I=A ^ K J +600
A ^ K I =A ^ B I+ B ^I K =B ^I K + 600
=> A ^ K J =B ^I K ⇒ Δ AKJ đồng dạng ΔB ^I K ( A ^ K J =B ^I K ;J ^ A K =K ^ B I=600) AK
BI =
AJ
Vế trái (1) được biến đổi như sau:
AK BK = AK (AB – AK) = AK AB – AK2
= 1
4AB
2
−(14AB
2
2 AK +AK
2
)
=1
4AB
2
−(AB2 − AK)2≤AB
2
4
Từ 1 ta được AJ BI ≤AB2
4
b (1,5điểm)
trong đường tròn tâm (O) ta có:
D ^ A B=A ^ C B
trong đường tròn tâm (O’) ta có:
C ^ D A= D ^B A
DB =
AC
DA=
DC BA
DB .
AC
DA=(DCBA )2⇒AC
BD=
CD2
AB2 Bài 8: (1điểm)
A= 25- 4m 0 m 254
Gọi x1, x2 là các nghiệm thì x1 + x2 = 5 , x1x2 = m ta có:
6x1 + x2 = 5x1 + ( x1 + x2 ) = 5 x1 + 5 = 8 => x1 = 3
5; x2=22
5 m= x1 x2 = 35.22
5 =
66
5 thoả mãn điều kiện m
25 4