2/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.[r]
Trang 1KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc
GTLG
00
(0)
30 0
( 6
)
45 0 (
4
)
60 0
( 3
)
90 0
( 2
)
2
2 2
3 2
1
2
2 2
1
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
2 2
2 2
2
sin
Hệ quả:
sin 2 x = 1-cos 2 x ; cos 2 x = 1- sin 2 x
tanx=
1
cot x ;
1 cot
tan
x
x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch ”
D/ Công thức lượng giác
1 Công thức cộng:
Với mọi cung có số đo a, b ta có:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) =
1 tan tan
a b
tan(a + b) =
1 tan tan
a b
2 Công thức nhân đôi:
2
sin
0
3
2
cos
0
Trang 2 tan2a = 2
2 tan
1 tan
a a
3 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin 3 a
cos3a = 4cos 3 a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
cos 2 a =
1 cos 2 2
a
sin 2 a =
1 cos 2 2
a
tg2a =
1 cos 2
1 cos 2
a a
5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan2
x
:
sinx = 2
2 1
t t
cosx =
2 2
1 1
t t
tanx = 2
2 1
t t
cotx =
2
1 2
t t
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
sin sin
sin sin
7 Công thức biến đổi tích thành tổng
2
Trang 3
1
2 1
2 1
2 1
2
E/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản
DẠNG 1 : sinu = sinv ⇔ u v k u v k2 2
sinu = sinv ⇔
0
.360
u v k
Phương trình sinx = a có nghiệm khi và chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay a ≤ 1 và vô nghiệm khi và chỉ khi
a 1
hay a >1.
Các trường hợp đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = k π
x = 2
+ k2p
x = – 2
+ k2p
Cho a [ 1; 1] thì arcsina là góc 2 2
sao cho sin = a Khi đó phương trình sinx = a 2
2
x arcsina k.
DẠNG 2 : cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2 π
Nếu u, v tính bằng độ thì :
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k.360o
Phương trình cosx = a có nghiệm khi và chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay a ≤ 1 và vô nghiệm khi và chỉ khi
a 1
hay a >1.
Cho a [ 1; 1] thì arccosa là góc ; sao cho cos = a Khi đó
phương trình: cosx = a
2 2
x arccosa k.
x arccosa k.
Các trường hợp đặc biệt :
x = 2
Trang 4 Cho a bất kỳ, ký hiệu arctana là góc thuộc
;
2 2
sao cho tan = a
Khi đó, ph tr tanx = a x = arcta + k.
Nếu u, v tính bằng độ thì
cotu = cotv ⇔ u = v + k.180o
Cho a bất kỳ, ký hiệu arccota là góc thuộc a 0;
sao cho cotx = a
Khi đó, ph tr cotx = a x = arccota + k.
2/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Là các phương trình lượng giác có dạng sau:
Với a;b;c R; a0 Và u: biểu thức chứa ẩn (u=u(x)).Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện của ẩn phụ:
+ t=sinu , t=cosu : t 1
+ t=tanu (u 2 k )
; t=cotu (u k ) Giả sử giải tìm được t1; t2 thoả đ/k thì phải giải tiếp:sinu=t1; sinu=t2(hoặc cosu=t1; cosu=t2 )
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx
Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (2) (a,b,cR a b c, , , 0) Phương pháp giải:
Chia hai vế của PT cho a2 b2 ,
(1) 2a 2sinx 2b 2 cosx 2c 2
a b a b a b
(ĐK để PT (2) có nghiệm: a2b2 c2) sin cosx cos sinx sin sin(x) sin Trong đó:
4/ Phương trình đẳng cấp bậc hai:
Phương pháp giải:
B1: Xét u 2 k
có thỏa phương trình không?
B2: Nếu u 2 k
không thỏa phương trình ta chia 2 vế của phương trình cho cos2u 0 Ta có PT bậc
2 : atan 2 u+btanu+c = 0 trở về dạng 3
5/ Phương trình lượng giác đối xứng:
Dạng: a(sinx cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4) (a,b,cR a b, , 0)
Phương pháp giải:
Đặt t = sin cosx x 2 sin(x 4) (*)
(Đ/k : t 2
)
sin cos
2
x x
Thế vào PT (4) ta
được phương trình:
2
2
1
2
(4 ’)
Giải PT (4 ’ ) ta sẽ tìm được giá trị t thoả đ/k, thế vào (*) giải tiếp tìm ra nghiệm x của
4