b Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ B.. b Viết phương trình mặt phẳng P chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng P và mặt cầu S là đư
Trang 1TTLT ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2009
Đề ngày 29/6 Môn thi Toán
Thời gian làm bài 180 phút
A PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (8,0 ®iÓm)
CÂU I (2 ®iÓm)
Cho hàm số y2x3 3(2m1)x26 (m m1)x1 (1)
a Khảo sát hàm số (1) khi m=1
b Chứng minh rằng ,m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1, x2 với x1 x2
không phụ thuộc m
CÂU II (2 ®iÓm)
Cho hệ phương trình:
2 2
12 26
xy y
a) Giải hệ phương trình với m=2 b) Với nhương giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm?
CÂU III (2 ®iÓm)
a) Tính:
3 6
0
tan cos 2
x
x
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường
ln
y x, y 0, x e Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D quanh trục Ox
CÂU IV (2 ®iÓm)
Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình,người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người.Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ
b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ
B PHẦN TỰ CHỌN (2 ®iÓm) (Thí sinh được chọn một trong 2 câu sau)
CÂU VA (2 ®iÓm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng:
d1:x = 2 + t, y = t, z = -2 + 2t ; d2:
x y z
; d3:
x y z
Và mặt cầu: ( ) :S x2 y2 z2 2x 2y2z 1 0
a) Chứng minh rằng d1,d2 chéo nhau và viết phương trình đường thẳng d cắt d1,cắt
d2 và song song với d3
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P)
và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r=1
CÂU VB (2 ®iÓm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi O là giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông,ta lấy điểm S sao cho góc
SCB
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD
b) Gọi () là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích thiết diện tạo bởi () và hình chóp S.ABCD
Trang 2ĐÁP ÁN
CÂU I:
a) Khảo sát (1) khi m= 1:
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)
y x m x m m x
m y x x x
TXĐ: D= R
2 ' 6 18 12
' 0
'' 12 18
y
ñieåm uoán I
BBT:
Đồ thị:
b) Chứng minh rằng m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc vào m
Ta có:
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)
2
2 (2 1) 4 ( 1) 1 0
Trang 3 (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2.
Hàm số luôn đạt cực trị tại x x1, 2
Ta có:
2 1 1 2
1
2 1 1 2 2
2
2 1
(haèng soá)
Vậy:x2 x1 không phụ thuộc m
CÂU II:
Cho
2
2
12 26
xy y
Giải hệ khi m=2
Ta có: Hệ phương trình
( ) 12 ( ) 26
y x y
(26 )
(2) 12
y x y
m y x
Thế (2) vào (1) ta được :
2(14 ) 144 (*)
y m
Với m= 2: Phương trình (*) trở thành : 16y 2 144
2 9
(2)
(2)
y
Vậy khi m= 2 hệ có nghiệm :
b) Tìm m để hệ có nghiệm:
Ta có: Hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm
14
m m
CÂU III:
a) Tính
0 cos 2
tg x
x
Đặt t= tgx
1 2 cos
x
Đổi cận :
3
x t
Trang 43 3
3
3 3
2
0
t
t
t
b) Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox
Đồ thị y= lnx cắt Ox tại điểm có hoành độ x= 1
Do đó:
e 2ln 1
V xdx
Đặt
ln 2
x
dv = dx, chọn v = x
2 e e
1 1 e
e 2 ln
1
xdx
Xem
e
ln
1
J xdx
Đặt
1 ln
x
dv = dx, chọn v = x
Trang 5 ln 1e e 1
1
Vậy: V (e 2) (đvtt)
CÂU IV:
Có 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình
Lập tổ công tác 6 người Tìm số cách chọn:
a) Có cả nam lẫn nữ:
Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nữ là:
6 14
C
Số cách lập tổ công tác toàn nam là:
6 6
C
Số cách lập tổ công tác toàn nữ là:
6 8
C
Suy ra số cách lập tổ công tác có cả nam lẫn nữ là:
6 ( 6 6) 2974
C C C
(cách)
b) Có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt:
Có 3 trường hợp xảy ra:
Như vậy còn lại 12 người
Số cách chọn tổ trưởng :12 cách
Số cách chọn tổ viên:
5 11
C
Số cách chọn tổ trong đó không có An lẫn Bình là:
5
12.C115544
(cách)
Như vậy có 13 người trong đó có An nhưng không có Bình
Nếu An là tổ trưởng thì số cách chọn 5 tổ viên trong 12 người còn lại là:
5
12
C
Nếu An là tổ viên thì số cách chọn 1 tổ trưởng và 4 tổ viên còn lại trong 12 người còn lại là:12.C114
Số cách chọn tổ mà trong đó có An và không có Bình là:
5 12 4 4752
C C
(cách)
Tương tự trường hợp 2 có 4752 cách
Tóm lại:
Số cách chọn tổ trong đó có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt
là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách)
CÂU IV:
a) d1; d2 chéo nhau
Ta có d1 đi qua A(0, -2, -6) có VTCP a 1 (1,1, 2)
2
d đi qua B(4, 2, 1) có VTCP a 2 (1, 2,1)
Trang 6Ta có:
, ( 3,1,1)
1 2 (4, 4,7)
a a
a a AB AB
Vậy: d1; d2 chéo nhau
Phương trình đường thẳng d cắt d1 cắt d2, song song d3.
Ta có VTCP của d3 là a 3 (2, 1, 1)
Gọi là mặt phẳng chứa d1 và song song d3.
, (1,5, 3)
1 2
phương trình : x + 5y - 3z – 8 = 0
Gọi là mặt phẳng chứa d2song song d3.
, ( 1,3, 5)
2 3
Phương trình : -x + 3y -5z -8 = 0
Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của và
Phương trình d là:
5 3 8 0
3 5 3 0
x y z
x y z
( d khác phương d1, d2)
b)
Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) và R= 2
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r= 1
d(I,(P))= R2 r2 3
Mặt phẳng (P) chứa d1 nên phương trình có dạng:
m(x – y – 2 ) + n(2x – z – 6 )= 0
(m+2n)x-my-nz-2m-6n=0
Ta có: d(I,(p))= 3
Cho n= 1, ta có 5m222mn17 0
17 1
5
Vậy phương trình (P) là:
4 0
7 17 5 4 0
x y z
CÂU Vb)
Trang 7a) Khoảng cách giữa BC và SD.
Ta có SO là trục hình vuông ABCD và SCB 60
SA = SB = SC = SD = CB = a
Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD))
Với I là trung điểm CB
Gọi H là trung điểm AD, ta có:BC(SHI)
Veơ IJ SH ta có IJ (SAD)
d(BC, SD) = IJ
Tam giác SIH có
2
3 3 2
a a
IJ SH
a
Vậy d(BC, SD) =
6 3
a
b) ( ) Cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang BCFE Do hình chóp đều nên BCFE là hình thang cân:
(EF+BC).IJ
S BCF
Ta có:
HJ SJ SH
Do EF//AD nên:
3
2
a SJ
SH a
2
a EF
Vậy
6
2 6
a
a a
a
S BCEF