Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo.. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn B, C là các tiếp điểm.. 1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.. C
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 24/6/2009 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức:
x A
với x 0 và x 4 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25
3) Tìm giá trị của x để
1 3
A
Bài II (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thức hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 áo Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo Hỏi mỗi tổ trong một ngày mày được bao nhiêu chiếc áo ?
Bài III (1,0 điểm)
Cho phương trình (ẩn x) : x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0
1) Giải phương trình khi m=1
2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức x12 + x22 = 10
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
2) Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA=R2
3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kì ( K khác B, C) Tiếp tuyến tại K của (O;R) cắt AB, AC lần lượt tại các điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
4) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N Chứng minh PM + QN MN
Bài V (3,5 điểm)
Giải phương trình:
x x x x x x
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2BÀI GIẢI Bài I
1) Rỳt gọn: với x 0 và x 4
( 2)
A
A
2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x=25
Thay x =25 vào biểu thức A ta đ ược:
5 2 3
25 2
Vậy giỏ trị của biểu thức A=
5
3 khi x=25 3) Tỡm giỏ trị của x để
1 3
A
x A
x
với x 0 và x 4
Vậy với
1 4
x
thỡ
1 3
A
Bài II Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh
Gọi số áo tổ thứ nhất may đợc trong một ngày là x (chiếc; x >10) Thì số áo tổ thứ hai may đợc trong một ngày là x-10 (chiếc)
Số áo may đợc trong 3 ngày của tổ thứ nhất là 3x (chiếc)
Số áo may đợc trong 5 ngày của tổ thứ nhất là 5(x-10) (chiếc)
Theo đầu bài ta có phơng trình:
3x + 5(x – 10) =1310
3x + 5x -50 =1310 8x = 1360x = 1360
x=170 (thoả mãn điều kiện)
Gọi số áo tổ thứ nhất may đợc trong một ngày là 170 (chiếc)
Thì số áo tổ thứ hai may đợc trong một ngày là 160 (chiếc)
Bài III
Cho phương trỡnh (ẩn x) : x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0 (*)
1) Giải phương trỡnh khi m=1
Với m=1 , (*) <=> x2 – 4x + 3 = 0
’=(-2)2 - 1.3= 1 >0 => '=1; phơng trình có 2 nghiệm phân biệt;
x1=2+1=3; x2=2 - 1=1
Vậy với m=1 phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1=3; x2=1 2) Phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
’ > 0 (m+1)2- (m2+2) > 0 m2 + 2m + 1 – m2 – 2 > 0
2m – 1 > 0 2m > 1 m >
1 2 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phơng trình Theo hệ thức Viét ta có:
x1+ x2=2(m+1) ; x1.x2= m2 +2
Trang 3Để hai nghiệm x1, x2 thoả món hệ thức: x12 + x22 = 10
(x1+ x2)2 - 2 x1.x2=10
4(m+1)2 – 2(m2 +2) = 10 (thay x1+ x2=2(m+1) ; x1.x2= m2 +2 )
4mm2+8m+4m-2m2-4m=10 2m2+8m-10=0
m2 + 4mm -5 = 0
’=22-1.(-5) = 9 > 0 => '=3
m1=-2+3 = 1 ; m2= -2 – 3 = -5
Kết hợp với điều kiện m >
1
2 ta thấy m1= 1 (thoả mãn) còn m2= -5 (không thoả mãn) Vậy với m=1 thì phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 thoả món hệ thức x12 + x22 = 10
Bài IV
1) Nối OB, OC ta có:
AB là tiếp tuyến của (O;R) tại B (gt)
AB OB (tính chất tiếp tuyến)
AC là tiếp tuyến của (O;R) tại C (gt)
AC OC (tính chất tiếp tuyến)
Xét tứ giác ABOC có:
ABO+ACO=1800 mà ABO và ACO là
hai góc đối nhau
tứ giác ABOC nội tiếp (dấu
hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
2) Xét tam giác ABC có:
AB = AC (tính chất của hai tiếp
tuyến cắt nhau)
tam giác ABC cân tại A
AO hay AE là tia phân giác của BAC
( tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
AE phân giác đồng thời là đờng cao của tam gíac ABC (tính chất của tam giác
cân) Hay AE BE.
Tam giác vuông ABO có BE AE (c/m trên)
=> OB2 = OE.OA (hệ thức lợng trong tam giác vuông)
Hay OE.OA=R2
3) Xét tam giác APQ có chu vi là:
AP+PQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ
Mà PK=PB; KQ=QC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
AP+PQ+AQ=AP+PK+QC+AQ=AB+AC không đổi vì A, B, C cố định
4m) Ta có:
18x = 136000 0
90
(1)
18x = 13600 0 ( )
POQ OPQ OQP (tính chất tổng 3 góc trong của tam giác)
0
18x = 13600 ( )
BPK CQK
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
0 18x = 13600 18x = 13600
0
18x = 13600
2
APK AQK
E
N
P
Q P
C
B
O A
K
Trang 4
0
0 0 18x = 13600 ( )
18x = 13600 90
2
APK AQK
0
90
2
BAC
(2)
Từ (1), (2) => PMO QNO =POQ ( =
0
90
2
BAC
)
- Xét 2 OPM và QPO có
PMO=POQ (cm trên)
QPO OPM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> OPM ~ QPO (g.g) (3)
- Xét 2 QON và QPO có
QNO=POQ (cm trên)
PQO OQN (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> QON ~ QPO (g.g) (4m)
Từ (3) và (4m) => OPM ~ QON
=>
QN ON => PM.QN=OM.ON
Hay PM.QN=OM2 (vì OM=ON)
Ta lại có: PM+QN 2 PM QN. (bất đẳng thức Côsi)
hay PM+QN 2 OM2
hay PM + QN 2OM
=> PM + QN MN (vì MN = 2OM)
Bài V: Giải phương trỡnh:
x x x x x x
(*)
- xét trờng hợp x +
1
2 0 hay x
-1 2 (*)
4 2
1
2
0 (thoa man)
2
x
x
- Xét trờng hợp x +
1
2 < 0 hay x <
-1 2
Ta có x <
-1
2 =>
(2 2 1) (2 1)( 1)
2 x x x 2 x x <0 M à
0
=> phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình có hai nghiệm x1=0; x2=
1 2